2021-2022学年安徽省宿州市萧县城北中学九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析） (1)

2021-2022学年安徽省宿州市萧县城北中学九年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 如图，四边形内接于，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

2. 如图是由六个棱长为的小正方体搭成的几何体，其左视图的面积为

A.
B.
C.
D.

3. 如图，是的弦，半径，是优弧上一点，若，则的大小是

A.
B.
C.
D.

4. 如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道的长为米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为

A.
B.
C.
D.

5. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，是的中点，连接，，若的面积为，则

A.  B.  C.  D.

6. 如图，为的直径，，为上的两点，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，若内一点，满足，
   ，则必有；
   若则必有，
   对于这两个结论，下列说法正确的是

A. 对，错 B. 错，对 C. ，均对 D. ，均错

8. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：且；；；；方程的两根之和为，其中正确的结论有

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在中，，，于点点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是

A.  B.
C.  D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，点和点分别为轴和轴上的动点，且，点为线段的中点，已知点，则的最大值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11. 方程的解为______．
12. 在中，、都是锐角，若，，则的形状为______三角形．
13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于，两点，且点在轴上，则弦的长为______．
    
    
     

14. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是______．

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

15. 计算：

四、解答题（本大题共8小题，共82分）

16. 如图，是的弦，交于点，点是弦不是直径的中点，若，，求的半径．
    
     

17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．
    点关于坐标原点对称的点的坐标为______ ；
    将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的C.

18. “新冠肺炎”肆虐，无数抗疫英雄涌现，以下四位抗疫英雄是钟南山、李兰娟、李文亮、张定宇依次记为、、、为让同学们了解四位的事迹，老师设计如下活动：取四张完全相同的卡片，分别写上、、、四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后每个同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相应抗疫英雄的资料，并做成小报．
    
    班长在四种卡片中随机抽到标号为的概率为______．
    平平和安安两位同学抽到的卡片是不同英雄的概率是多少？用树状图或列表的方法表示．
19. 图是放置在水平面上的台灯，图是其侧面示意图台灯底座高度忽略不计，其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳．现测得点到桌面的距离为请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？参考数据：取．

20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，点的坐标为，点的坐标为．
    分别求、、的值．
    点为轴上一动点，若，求点的坐标．
21. 如图，▱的对角线相交于点，经过、两点，与的延长线相交于点，点为上一点，且连接、相交于点，若，．
    求▱对角线的长；
    求证：▱为矩形．

22. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器高度不计竖直向上弹射一个小钢球忽略空气阻力，在秒时，它们距离地面都是米，在秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度米与小钢球运动时间秒之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度米与它的运动时间秒之间的函数关系如图中抛物线所示．
    直接写出与之间的函数关系式；
    求出与之间的函数关系式；
    小钢球弹射秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？

23. 已知、、为上三点，且．
    如图，延长至点，使，连接．
    求证：为直角三角形；
    若的半径为，，求的值；
    如图，若，为上的一点，且点，位于两侧，作关于对称的图形，连接，求证：．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：四边形内接于，
，
，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质得出，再代入求出答案即可．
本题考查了圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补．
 

2.【答案】

【解析】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
所以左视图的面积为．
故选：．
根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

3.【答案】

【解析】【试题解析】

解：，
的度数是，
，
，
的度数是，
圆周角对着，
，
故选：．
根据圆心角求出的度数，根据垂径定理求出，求出的度数，再求出答案即可．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和垂径定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．

4.【答案】

【解析】

【试题解析】
【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用 坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可．
【解答】
解： ，
，
故选 D ．   

5.【答案】

【解析】解：是的中点，的面积为，
的面积为，
设
轴于点，
，
点在反比例函数的图象上，
．
故选：．
由是的中点求的面积，设根据面积公式求，最后求．
本题考查了比例系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握用面积法求是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】解：连接，如图，
为的直径，
，
，
．
故选：．
连接，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出，从而得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

7.【答案】

【解析】解：当时，，
，
，
，
正确；
当时，则，
即，
，
，
，
，
，
∽，
．
故选C．
首先由得到，然后利用即可证明；
首先利用得到，即，再利用可以得到，最后证明∽即可求证明．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用等腰三角形的性质，能力要求比较高．
 

8.【答案】

【解析】解：抛物线开口向下，经过原点，
，，
，
，，
，
错误，错误，
抛物线与轴交于，处两点，
，方程的两个根为，，
，
正确，
当时，即，
正确，
故正确的有．
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用．
 

9.【答案】

【解析】解：在中，，，
，，
于点，
，
，，
四边形是矩形，
，，
点运动的路程为，
，
则，
，
四边形的面积为，
当点从点出发，沿路径运动时，
即时，



，
当时，抛物线开口向下；
当点沿路径运动时，
即时，
是的平分线，
，
四边形是正方形，
，，
，
．
当时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映与之间函数关系的图象是：．
故选：．
根据中，，，可得，根据于点可得，平分角，点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，分两种情况讨论：根据，，可得四边形是矩形和正方形，设点运动的路程为，四边形的面积为，进而可得能反映与之间函数关系式，从而可以得函数的图象．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
 

10.【答案】

【解析】解：，点为线段的中点，
，
点在以为圆心为半径的圆上运动．
如图，连接并延长交于点，
这时，最大值，
的最大值．
故选：．
，求出的最大值再加上即可得解．
本题考查了最值问题，属于中考常考题型，求出的最大值是解题的关键．
 

11.【答案】，

【解析】解：，
，
或，
或．
故答案为：，．
把方程的左边分解因式得，得到或，求出方程的解即可．
本题主要考查对解一元二次方程因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

12.【答案】等边

【解析】解：、都是锐角，，，
，，
，
为等边三角形．
故答案为：等边．
根据、都是锐角，，，求出、的度数，根据三角形的内角和定理求出的度数，可得出的形状．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值，求得、的度数．
 

13.【答案】

【解析】解：过作直线与，直线交轴于，

，
当时，，
当时，，解得：，
所以，，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，过圆心，
，
，
故答案为：．
过作直线与，直线交轴于，根据直线的解析式求出和的长度，解直角三角形求出，求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，再求出答案即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质和垂径定理等，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：由题意可知，，
时，，
故答案为：．
根据新定义得到，在时，得到，即可得到限变点的纵坐标的取值范围是．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到关于的函数．
 

15.【答案】解：原式

．

【解析】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握特殊锐角三角函数值、绝对值性质、零指数幂、二次根式性质．直接利用特殊锐角三角函数值、绝对值、零指数幂以及二次根式进行运算，再进一步计算可得．
 

16.【答案】解：连接，设的半径为，则，

点是弦不是直径的中点，过圆心，，
，，
，
由勾股定理得：，
，
解得：，
即的半径为．

【解析】连接，设的半径为，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出关于的方程，再求出方程的解即可．
本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记平分弦弦不是直径的直径垂直于弦是解此题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：点关于坐标原点对称的点的坐标为．
如图：
故答案为．
根据中心对称图形的性质解答；
根据旋转的性质解答．
本题考查了作图--旋转变换，这类题要在动手实践的基础上进行探索，要求学生具备动手实验操作能力和熟悉图形、推理论证的能力．
 

18.【答案】

【解析】解：共有四张卡片，分别是、、、四个标号，
班长在四种卡片中随机抽到标号为的概率是；
故答案为：；

根据题意画树状图如下：

共有种等可能的结果数，其中平平和安安两位同学抽到的卡片是不同英雄的有种结果，
则平平和安安两位同学抽到的卡片是不同英雄的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
利用树状图展示种等可能的结果数，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．也考查了勾股数．
 

19.【答案】解：如图，作于，于，于．

，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，

，
，
在中，，
，
此时台灯光线为最佳．

【解析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，作于，于，于解直角三角形求出即可判断．
 

20.【答案】解：把点的坐标代入，得，
把点的坐标代入，得，
点的坐标为，
由直线过点，点，得
，
解得．

如图，连接，，直线与轴的交点为，
设点的坐标为，
．
，
，
，
，．
点的坐标为或．

【解析】把点的坐标代入，求出反比例函数的解析式，把点的坐标代入反比例函数解析式，得出的值，得出点的坐标，再把、的坐标代入直线，求出、的值；
设点的坐标为，连接，，先求出点的坐标，得出根据，求出的值，从而得出点的坐标．
此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积等知识点的运用，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
 

21.【答案】解：是直径，
，

，
又
∽

，
，
．
由知，，
在中，
，
▱是平行四边形
，
由知，

▱为矩形．

【解析】利用弧相等，圆周角定理推出∽，可求的长度进而求的长度；
利用对角线相等的平行四边形是矩形可得．
本题考查了圆的基本性质，相似和矩形的判定，考的知识点比较全，但是难度中等，掌握圆和矩形的基本性质和相似以及灵活应用是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
函数图象过点和，
则，
解得：，
与之间的函数关系式为；
时，，
的图象是过原点的抛物线，
设，
点，在抛物线上，

解得：，
，
答：与的函数关系式为；
设小钢球和无人机的高度差为米，
由得，或，
时，

，
抛物线开口向下，
又，
当时，的最大值为；
时，，
，
抛物线开口向上，
又对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
，
当时，的最大值为，
，
高度差的最大值为米．

【解析】先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
用待定系数法求函数解析式即可；
当时小钢球在无人机上方，因此求，当时，无人机在小钢球的上方，因此求，然后进行比较判断即可．
本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．
 

23.【答案】证明：，，
，
，
为直角三角形；
解：连接，，如图，

，
，
，，
，
设，则，
，
，
解得．
，
，，
，
；
延长交于点，连接，，如图，

，，
，
，，
，
，
关于对称的图形，
，
，
，
，
，即，
由，得，
在与中，
，
≌，
，
．

【解析】根据直角三角形的判定定理即可得到结论；
连接，，根据垂径定理得到且，设，于是得到，根据勾股定理列出方程求得的值，根据三角形的中位线定理得到；
延长交于点，连接，，根据圆周角定理得到得到，根据对称的性质得到，于是得到为等腰直角三角形，为直角三角形；根据勾股定理和全等三角形的性质即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，正确地作出添加辅助线是解题的关键．