沪教版 (五四制)八年级上册17．4 一元二次方程的应用优秀第1课时练习题

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1.知道二次三项式的因式分解与一元二次方程的根之间的联系；会通过求一元二次方程的根在实数范围内将二次三项式分解因式;
2.会分析实际问题中的数量关系和列一元二次方程解简单的应用题.
知识点一 二次三项式的因式分解
二次三项式的因式分解
如果一元二次方程（a≠0）实数根是, 那么二次三项式的分解式为
利用公式法将二次三项式分解因式的步骤
求二次三项式所对应的一元二次方程 （a≠0）的两个根;
将求得的的值代入中.
注意：
有些二次三项式可用十字相乘法进行因式分解；
2.当时，分解式中的因不要漏写.当时，,此时称 为完全平方式.
3.把二次三项式（a≠0）分解因式时，
(1)如果,那么先求出方程的两个实数根，再写出分解式.
(2)如果,那么方程没有实数根，在实数范围内不能因式分解
即学即练1 在实数范围内分解因式：
(1)2x2+3x−1；
(2)4x2+2x−3；
(3)3x2−6x+1；
(4)6x2+3x−3．
【答案】(1)2x+3+174x+3−174
(2)4x+1+134x+1−134
(3)3x−3+63x−3−63
(4)6x+32x−33
【分析】（1）求出方程2x2+3x−1=0的解，即可分解因式；
（2）求出方程4x2+2x−3=0的解，即可分解因式；
（3）求出方程3x2−6x+1=0的解，即可分解因式；
（4）求出方程6x2+3x−3=0的解，即可分解因式．
【详解】（1）解：方程2x2+3x−1=0的两个解为x1=−3+174，x2=−3−174，
∴在实数范围内分解因式2x2+3x−1=2x−−3+174x−−3−174=2x+3+174x+3−174；
（2）解：方程4x2+2x−3=0的两个解为：x1=−1+134，x2=−1−134，
∴在实数范围内分解因式4x2+2x−3=4x−−1+134x−−1−134=4x+1+134x+1−134；
（3）解：方程3x2−6x+1=0的两个解为：x1=3+63，x2=3−63，
∴在实数范围内分解因式3x2−6x+1=3x−3+63x−3−63；
（4）解：方程6x2+3x−3=0的两个解为：x1=−32，x2=33，
∴在实数范围内分解因式6x2+3x−3=6x+32x−33．
【点睛】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根是x1和x2，那么二次三项式
ax2+bx+c可分解为：ax2+bx+c =ax−x1x−x2．
即学即练2 （2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）在实数范围内分解因式2x2+3x−1= ．
【答案】2x−−3+174x−−3−174
【分析】先求出方程的两个根，再因式分解．
【详解】∵2x2+3x−1=0的根为x1=−3+174,x2=−3−174，
∴2x2+3x−1= 2x−−3+174x−−3−174．
故答案为：2x−−3+174x−−3−174．
【点睛】本题考查了因式分解，正确计算方程的两个根是解题的关键．

知识点二 一元二次方程根与系数的关系
1.一元二次方程的根与系数的关系
设方程①的两实数根分别为和，则该方程可化为.整理，得② .比较①②的系数，得，.所以方程的根与系数的关系为，.
注意：当一元二次方程二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
2.方程（a≠0）的根与系数的关系的推导
若一元二次方程（a≠0）有实数根，设这两个实数根分别为，
由求根公式得（），
令，.
由此可得+=+=，
=·=.
所以，.
这一结论表明:一元二次方程两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.此结论称为一元二次方程根与系数的关系（也叫“韦达定理”）.
3.以x1，x2为实数根的一元二次方程（二次项系数为1）
4.与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形
前提条件：（1）方程是一元二次方程（2）方程有实数根，即△≥0.



即学即练1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据如果一元二次方程的两根为，和，那么，进行求解即可得到答案；
（2）根据如果一元二次方程的两根为，和，那么，进行求解即可得到答案；
（3）根据如果一元二次方程的两根为，和，那么，进行求解即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，，，
∴，；
（2）∵，
∴，，，
∴，；
（3）∵，即
∴，，，
∴，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．
即学即练2 一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，
∴
．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键．
题型一 换元法因式分解
例1 在实数范围内分解因式：
(1)x2y2+4xy+1；
(2)−12x2y2−3xy+4．
【答案】(1)(xy+2+3)(xy+2−3)
(2)−12(xy+3−17)(xy+3+17)
【分析】（1）令a=xy，得a2+4a+1=0，解出a1，a2，即可分解因式；
（2）令a=xy，得−12a2−3a+4=0，解出a1，a2，即可分解因式．
【详解】（1）令a=xy，则有方程为a2+4a+1=0，
解得：a1=−2+3，a2=−2−3，
∴a2+4a+1=(a+2−3)(a+2+3)
∴x2y2+4xy+1 =(xy+2+3)(xy+2−3)；
（2）令a=xy，则有方程为−12a2−3a+4=0，
解得：a1=−3+17，a2=−3−17，
∴−12a2−3a+4=−12(a+3−17)(a+3+17)
∴−12x2y2−3xy+4=−12(xy+3−17)(xy+3+17)．
【点睛】本题考查了因式分解，运用分解因式中整体思想，换元灵活变化应用是解题的关键．
举一反三1 在实数范围内分解因式：6x2y2+2xy−1．
【答案】6xy+1−76xy+1+76
【分析】令a=xy，该方程即为6a2+2a−1=0，求出a的值，然后分解因式即可．
【详解】令a=xy，该方程即为6a2+2a−1=0，解得：a1=−1+76，a2=−1−76，
则原式可分解为6a−−1+76a−−1−76=6xy+1−76xy+1+76．
【点睛】此题考查了换元法的思想一元二次方程的应用，在实数范围内分解因式，解题的关键是把一个字母当做未知数，另一个当做常数列方程求解．
举一反三2 在实数范围内分解因式：3x2y2−4xy−2；
【答案】3xy−2+103xy−2−103
【分析】首先解关于xy的方程，然后利用公式法进行因式分解；
【详解】解：关于xy的方程3x2y2−4xy−2=0的解是：xy=2±103，
∴3x2y2−4xy−2=3(xy−2+103)(xy−2−103)；
【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止，求根公式法分解因式：ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根．
题型二 主元素法分解因式
主元素法：
当二次三项式式中有两种字母时,可选一个字母为主元素,另一字母为常数.
例如分解因式
以为主元素:.
所以
以为主元素:
所以
例2 （2021秋·上海奉贤·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2x2-3xy-4y2．
【答案】2(x−3+414y)(x−3−414y)
【分析】令2x2−3xy−4y2=0,把y看作是常数，再利用公式法解一元二次方程，再利用方程的两根得到因式分解的结果.
【详解】解：令2x2−3xy−4y2=0,
∴a=2,b=−3y,c=−4y2,
∴△=b2−4ac=(−3y)2−4×2×(−4y2)=41y2≥0,
∴x1=3y+41y4=3+414y,x2=3−414y,
∴ 2x2−3xy−4y2=2(x−3+414y)(x−3−414y)
【点睛】本题考查的是在实数范围内分解因式，一元二次方程的解法，掌握“把某个未知数看作是常数，利用公式法解一元二次方程”是解本题的关键.
举一反三1 在实数范围内分解因式：2x2−4xy−5y2
【答案】(2x−2y+7y)(2x−2y−7y)
【分析】先利用配方法，再利用平方差公式即可得．
【详解】解：原式=2x2−4xy+2y2−2y2−5y2
=2(x2−2xy+y2)−7y2
=2(x−y)2−7y2
=(2x−2y)2−(7y)2
=(2x−2y+7y)(2x−2y−7y)．
【点睛】本题考查了用配方法和平方差公式法进行因式分解，因式分解的常用方法有：配方法、公式法、提取公因式法、十字相乘法等．
举一反三2 在实数范围内把多项式x2y−2xy−y分解因式所得的结果是 ．
【答案】yx−1+2x−1−2.
【分析】把y看作已知数，求出x2y−2xy−y=0的根，然后根据一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1、x2，则a(x-x1)(x-x2)=0，进而分解因式即可．
【详解】对于x2y−2xy−y=0，
∴x=2y±2y22y=1±2，
∴x1=1+2，x2=1−2，
∴x2y−2xy−y=yx−1+2x−1−2，
故答案为：yx−1+2x−1−2．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为a(x－x1)(x－x2)＝0．
题型三 实数范围内分解因式求参数取值范围
例3 二次三项式3x2−4x+2k，当k取何值时，
(1)在实数范围内能分解；
(2)不能分解；
(3)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？
【答案】(1)k≤23
(2)k>23
(3)k=23，完全平方式为3x−232
【分析】（1）二次三项式3x2−4x+2k在实数范围内能分解，则二次三项式对应的方程3x2−4x+2k=0有实数根，利用一元二次方程有实数根的条件列不等式求解即可得到答案；
（2）由（1）知，二次三项式3x2−4x+2k在实数范围内不能分解，则二次三项式对应的方程3x2−4x+2k=0无实数根，利用一元二次方程有实数根的条件列不等式求解即可得到答案；
（3）由（1）（2）可知，当二次三项式3x2−4x+2k能分解成一个完全平方式，则二次三项式对应的方程3x2−4x+2k=0有两个相等的实数根，即Δ=0，从而求出结论．
【详解】（1）解：由题意可知，当二次三项式对应的方程3x2−4x+2k=0有实数根时，二次三项式3x2−4x+2k在实数范围内能分解，
∴当3x2−4x+2k=0时，Δ=−42−4×3×2k =16−24k≥0，解得k≤23，
∴当k≤23时，二次三项式3x2−4x+2k在实数范围内能分解；
（2）解：由（1）知，当k≤23时，二次三项式3x2−4x+2k在实数范围内能分解，
∴当k>23时，二次三项式3x2−4x+2k在实数范围内不能分解；
（3）解：由（1）（2）可知，当二次三项式3x2−4x+2k能分解成一个完全平方式，则二次三项式对应的方程3x2−4x+2k=0有两个相等的实数根，即Δ=0，解得k=23，
此时，二次三项式为3x2−4x+43= 3x−232．
【点睛】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．
举一反三1 若多项式6x2−8x+2k−1在实数范围内不能分解因式，则k能取的最小整数值是多少？
【答案】2
【分析】由题意可知，多项式在实数范围内不能分解因式，所以方程6x2−8x+2k−1=0无解，即Δ<0，代入解出即可.
【详解】解：根据题意可知，多项式在实数范围内不能分解因式
∴方程6x2−8x+2k−1=0无解，
即Δ<0，
∴Δ=b2−4ac=−82−4×6×2k−1<0，
∴k>116，
∴k的最小整数值是2
【点睛】本题主要考查了实数范围内分解饮食和，多项式在实数范围内不能分解因式，即方程无解，也就是Δ<0，读懂审清楚题意是解答本题的关键.
举一反三2 二次三项式(2a−1)x2−22ax+(a−1)，当a取何值时，
(1)在实数范围内能分解；
(2)能分解成两个相同的因式；
(3)不能因式分解．
【答案】(1)a≥13且a≠12
(2)a=13
(3)a<13
【分析】（1）首先得到2a−1≠0，然后令(2a−1)x2−22ax+(a−1)=0，表示出判别式Δ=12a−4，根据题意得12a−4≥0，即可求出a的取值范围；
（2）根据题意可得12a−4=0，求解即可；
（3）根据题意可得12a−4<0，求解即可．
【详解】（1）原式是二次三项是，可知二次项系数2a−1≠0，得：a≠12，
令(2a−1)x2−22ax+(a−1)=0，
得Δ=−22a2−42a−1a−1=12a−4，
原式可分解因式，则有12a−4≥0，
得：a≥13且a≠12；
（2）原式可分解为两个相同的式子，则有12a−4=0，得：a=13；
（3）原式不能分解因式，则有12a−4<0，得：a<13．
【点睛】考查二次三项式的因式分解与方程根的情况之间的关系，注意区分开各种情形之间的区别和联系．
题型四 一元二次方程的根与系数的关系推论运用
例4 已知x1，x2是方程3x2−5x−1=0的两个根，则x2x1+x1x2的值为 ．
【答案】−313
【分析】根据“x1，x2是方程3x2−5x−1=0的两个根”，结合“一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca”，得出“x1+x2=53，x1x2=−13”，将原式变形为x1+x22−2x1x2x1x2，代入计算即可．
【详解】解：∵x1，x2是方程3x2−5x−1=0的两个根，
∴x1+x2=53，x1x2=−13，
原式=x12+x22x1x2=x1+x22−2x1x2x1x2=532−2×−13−13=−313．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将原式变形、运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
举一反三1 已知α，β是方程2x2+6x+3=0的两个实数根，求下列各式的值．
(1)1α+1β；
(2)α−2β−2；
(3)α2+β2．
【答案】(1)−2
(2)232
(3)6
【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系分别求得两根之和和两根之积：α+β=−3①，αβ=32②；先通分，然后将①②代入求值；
（2）利用整式的乘法展开，再整理代入①②即可；
（3）把原式变为(α+β)2−2αβ，代入①②即可．
【详解】（1）解：∵α、β是方程2x2+6x+3=0的两个实数根，
∴α+β=−3，αβ=32；
原式=α+βαβ=−2；
（2）解：原式=αβ−2(α+β)+4
=32−2×(−3)+4
=232；
（3）解：原式=(α+β)2−2αβ
=(−3)2−2×32
=6．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
举一反三2 （2023春·安徽六安·八年级校考期末）已知关于x的一元二次方程2x2−4x+k−1=0有实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)若此方程的两根为x1，x2，且x1，x2为矩形的两对角线长，求k．
(3)若k为正整数，此方程的两根为x1，x2，求x12+x22+1x1x2．
【答案】(1)k≤3
(2)k=3
(3)x12+x22+1x1x2的值为5或3．
【分析】（1）由关于x的一元二次方程2x2−4x+k−1=0有实数根，可得−42−4×2k−1≥0，再解不等式即可；
（2）由矩形的对角线相等，可得原方程有两个相等的正实数根，可得−42−4×2k−1=0，再解方程即可；
（3）由根与系数的关系可得：x1+x2=2，x1x2=k−12，可得x12+x22+1x1x2=x1+x22−2x1x2+1x1x2 =5−k+2k−1，再分析可得k=2或k=3，再分别代入求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程2x2−4x+k−1=0有实数根．
∴−42−4×2k−1≥0，
解得：k≤3；
（2）∵方程2x2−4x+k−1=0的两根为x1，x2，且x1，x2为矩形的两对角线长，
∴x1=x2>0，
∴−42−4×2k−1=0，
解得：k=3；经检验符合题意；
（3）∵方程2x2−4x+k−1=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=2，x1x2=k−12，
∵k为正整数，k≤3，
∴k=1或k=2或k=3，
∴x12+x22+1x1x2=x1+x22−2x1x2+1x1x2
=5−k+2k−1，
∴k≠1，
当k=2时，x12+x22+1x1x2=5−2+2=5，
当k=3时，x12+x22+1x1x2=5−3+1=3；
综上：x12+x22+1x1x2的值为5或3．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式的应用，根与系数的关系是灵活应用，矩形的性质，熟记根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．
题型五 根据一元二次方程根的情况求参数
例5 已知关于x的方程ax2+3−2ax+a−3=0．如果方程有两个实数根x1，x2，当x1−x2=32时，求出a的值．
【答案】a=±2
【分析】运用x1+x2=−ba和x1x2=ca，然后整理x1−x2=x1+x22−4x1x2，直接代入求解即可．
【详解】解：方程的两个实数根为x1，x2，
则x1+x2=2a−3a，x1⋅x2=a−3a，
∵x1−x2=32，
则x1−x2=x1+x22−4x1x2，
∴x1+x22−4x1x2=2a−3a2−4×a−3a=32，
那么2a−32a2−4a−12a=94，
则2a−32a2−4a2−12aa2=94，
即9a2=94，
解得a=±2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握一元二次方程的根与系数的关系的知识点是解题的关键．
举一反三1 （2023秋·福建福州·九年级福建省福州则徐中学校考开学考试）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2m+1x+m2+1=0的两个实数根，当x1x2=5时，求m的值．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程根与系数关系列方程求解即可．
【详解】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2m+1x+m2+1=0的两个实数根，
∴Δ=2m+12−4m2+1=4m−3≥0，则m≥34，
∵x1x2=m2+1=5，
∴m1=2，m2=−2（舍去），
∴当x1x2=5时，m的值为2．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根为x1、x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．特别要注意方程有实数根的前提条件是判别式Δ≥0．
举一反三2 （2021秋·上海·八年级期中）已知a、b分别是等腰三角形的一腰和底边的长，求证：关于x的二次三项式x2−4ax+b2一定能在实数范围内分解因式.
【答案】证明见解析
【分析】根据三角形三边的关系定理，可得2a+b＞0，2a﹣b＞0，从而判断根的判别式的符号，即可得到答案．
【详解】∵a、b分别是等腰三角形的一腰和底边的长，∴2a+b＞0，2a＞b．∴2a﹣b＞0．
∵△=16a2﹣4b2=（4a+2b）（4a﹣2b）=4（2a+b）（2a﹣b），∴△=4（2a+b）（2a﹣b）＞0，∴方程x2﹣4ax+b2=0有两个不相等的实数根，∴关于x的二次三项式x2﹣4ax+b2一定能在实数范围内分解因式．
【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式，利用根的判别式得出方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
题型六 根据一元二次方程根的情况求代数式的值
例6 （2023秋·广东广州·九年级广州大学附属中学校考开学考试）已知m，n是方程x2+2x−2023=0的两个实数根，则m2+3m+n的值为 ．
【答案】2021
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到m+n=−2，根据解的概念得到m2+2m=2023，然后代入求解即可．
【详解】解：∵m，n是x2+2x−2021=0的两根，
∴m2+2m−2023=0，m+n=−2，
∴m2+2m=2023，
∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=2023+−2=2021．
故答案为：2021．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
举一反三1 （2023秋·广东广州·九年级广东广雅中学校考开学考试）已知x1和x2是方程x2−x−1=0的两个根，则x12+x1x2+x22的值是（ ）
A．1B．2C．3D．−1
【答案】B
【分析】由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可．
【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得，
x1+x2=1，x1x2=−1 ，
∴x12+x1x2+x22
＝x1+x22−x1x2
＝1+1
＝2，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
举一反三2 （2023春·安徽滁州·八年级校考期中）已知m，n是关于x的一元二次方程x2+x−2021=0的两个实数根，则m2−m−2n= ．
【答案】2023
【分析】先由方程的解的概念和根与系数的关系得出m+n=−1，m2=2021−m，将其代入原式计算可得．
【详解】解：∵ m，n是关于x的一元二次方程x2+x−2021=0的两个实数根，
∴m+n=−1，m2=2021−m，
∴m2−m−2n=2021−m−m−2n=2021−2m+n=2021+2=2023．
【点睛】本题考查了方程的解的概念和根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题关键．
一、单选题
1．（2023春·安徽合肥·八年级校考期末）已知a，b是一元二次方程x2+2023x+1=0的两个实数根，求ba+ab的值（ ）
A．−2023B．2023C．12023D．±2023
【答案】B
【分析】根据完全平方公式可变形为ba+ab2=ba+ab+2ba×ab=ba+ab+2，
再利用完全平方公式可得ba+ab=b2+a2ab=a+b2−2abab，最后利用韦达定理即可解答．
【详解】解：根据完全平方公式将原式变形变形，得：
ba+ab2=ba+ab+2ba×ab=ba+ab+2，
再利用完全平方公式可得ba+ab=b2+a2ab=a+b2−2abab，
故原式=a+b2−2abab+2，
∵a，b是一元二次方程x2+2023x+1=0的两个实数根，
∴a+b=−2023,ab=1，
∴原式=−20232−2+2=2023，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，韦达定理，熟练利用完全平方公式对原式进行变形是解题的关键．
2．（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2−6x+m−3=0有两个大于2的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．7【答案】A
【分析】根据方程有两个实数根，得到Δ≥0，根据根与系数的关系，得到m−3>4，进行求解即可．
【详解】解：设方程的两个根为x1,x2，则x1>2,x2>2
∴x1x2=m−3>4，
∴m>7，
又方程有两个实数根，
∴Δ=−62−4m−3≥0，
∴m≤12，
∴7故选A．
【点睛】本题考查根与判别式以及根与系数的关系．熟练掌握相关知识点，列出不等式，是解题的关键．
3．（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）若x=1是一元二次方程x2−3x+c=0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．x=−4B．x=−2C．x=2D．x=4
【答案】C
【分析】根据根与系数的关系即可求解．
【详解】解：设方程的另一个根为x1，
则1+x1=−−31=3，
∴x1=2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
4．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0的一个实数根为2，则另一实数根和m的值分别为（ ）
A．−4，−8B．−4，8C．4，−8D．4，8
【答案】A
【分析】设方程的另一实数根为t，根据题意得2+t=−2，2t=m，然后先求出t的值，再计算m的值．
【详解】解：设方程的另一实数根为t，
根据题意得2+t=−2，2t=m，
解得t=−4，m=−8，
即方程的另一根为−4，m的值为−8．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
5．（2023春·安徽池州·八年级统考期末）已知α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，则α2+2024α+2β2+2024β+2的值为（ ）
A．−2021B．2021C．−2023D．2023
【答案】A
【分析】由α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，根据根于系数关系可得，α⋅β=1，α+β=−2023，由一元二次方程根的定义可得α2+2023α+1=0，β2+2023β+1=0，即可求解；
【详解】∵ α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，
∴α2+2023α+1=0，
β2+2023β+1=0，
α⋅β=1，α+β=−2023，
∴α2+2024α+2β2+2024β+2
=α2+2023α+1+α+1β2+2023β+1+β+1
=α+1β+1
=α⋅β+α+β+1
=1−2023+1
=−2021
故选A．
【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键．
6．（2023春·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）若x1，x2是方程x2+x−2＝0的两实数根，则x12−x2+2的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到x12=−x1+2，则x12−x2+2化为−(x1+x2)+4，再利用根与系数的关系得到x1+x2=−1，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】∵x1是方程x2+x﹣2＝0的根，
∴x12+x1−2=0，
∴x12=−x1+2，
∴x12−x2+2=−x1+2−x2+2=−(x1+x2)+4，
∵x1，x2是方程x2+x−2＝0的两实数根，
∴x1+x2=−1，
∴x12−x2+2=1+4=5．
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，则x1+x2=−ba，x1x2=ca；利用方程的根的基本定义，是方程的根代入方程恒成立列出x1的关系式将其与根与系数关系的等式结合运用是解该类题的关键．
7．（2021秋·上海·八年级期中）在实数范围内因式分解2x2−3xy−y2，下列四个答案中正确的是（ ）．
A．x−3+174yx−3+174y
B．x+3+174yx−3−174y
C．2x-3+174yx−3−174y
D．2x+3+174yx−3−174y
【答案】C
【分析】把y看作已知数，求出2x2−3xy−y2=0的根，然后根据一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1、x2，则a(x-x1)(x-x2)=0，进而分解因式即可．
【详解】对于2x2−3xy−y2=0，
∴x=3y±17y4=3±174y，
∴2x2−3xy−y2=2x−3+174yx−3−174y，
故选C．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为(x－x1)(x－x2)＝0．
8．（2019·八年级统考课时练习）如果二次三项式ax2+3x+4在实数范围内不能分解因式，那么a的取值范围是（ ）.
A．0916D．a<34且a≠0
【答案】C
【分析】因二次三项式ax2+3x+4在实数范围内不能分解因式，所以ax2+3x+4=0无实数根，据此求解即可.
【详解】∵二次三项式ax2+3x+4在实数范围内不能分解因式，
∴ax2+3x+4=0无实数根，
∴∆=9-16a<0，
∴a>916.
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为a(x－x1)(x－x2)＝0
9．（2021秋·上海·八年级期中）下列多项式，在实数范围内能用公式法分解因式的有（ ）.
①x2+6x+9；②4x2−4x−1；③−x2−y2；④2x2−y2；⑤x2−7；⑥9x2+6xy+4y2.
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【分析】别求出对应方程∆的值，看方程是否有实数根即可．
【详解】①∵对于x2+6x+9=0，
∆=36-36=0，
∴在实数范围内能用公式法分解因式；
②∵对于4x2−4x−1=0，
∆=16+16=32>0，
∴在实数范围内能用公式法分解因式；
③∵对于−x2−y2=0，不管把哪个字母看作未知数，
∆=0-4<0，
∴在实数范围内不能用公式法分解因式；
④∵对于2x2−y2=0，不管把哪个字母看作未知数，，
∆=0+8=8>0，
∴在实数范围内能用公式法分解因式；
⑤∵对于x2−7=0，
∆=0+28=28>0，
∴在实数范围内能用公式法分解因式；
⑥∵对于9x2+6xy+4y2=0，不管把哪个字母看作未知数，，
∆=36-144=-108<0，
∴在实数范围内不能用公式法分解因式；
故选B.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为a(x－x1)(x－x2)＝0
10．在实数范围内把2x2−4x−8分解因式为（ ）.
A．2x−3x+1
B．x−1+5x−1−5
C．2x−1+5x−1−5
D．2x+1−5x+1+5
【答案】C
【分析】先求出一元二次方程2x2−4x−8=0的根，然后实数范围内把2x2−4x−8分解即可.
【详解】2x2−4x−8=0，
∵∆=16+64=80，
∴x=4±804=1±5 ,
∴x1=1+5,x2=1−5,
∴2x2−4x−8=2x−1+5x−1−5.
故选C.
【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，以及求根公式法解一元二次方程，正确利用方程根分解因式是解题关键.
二、填空题
1．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考开学考试）若一元二次方程x2−4x−3=0的两个根是x1，x2，则x1⋅x2的值是 ．
【答案】−3
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【详解】解：∵一元二次方程x2−4x−3=0的两个根是x1，x2，
∴x1⋅x2=ca=−31=−3．
故答案为：−3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟记x1，x2，是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca是解题的关键．
2．（2023秋·九年级课时练习）若α，β是方程x2+2x−2022=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 ．
【答案】2020
【分析】先根据根与系数的关系得到α+β=−2，α2+2α=2022，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得α+β=−2，α2+2α=2022，
所以α2+3α+β=α2+2α+α+β=2022+−2=2020，
故答案为：2020．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．利用整体代入法是本题的关键．
3．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）等腰三角形的一边为9，另两边恰好是关于x的一元二次方程x2−kx+9=0的两根，则k的值是 ．
【答案】10
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=k，x1x2=9，根据题意可得x1=9，x2=1或x1=x2=3，进而求解即可．
【详解】解：设x2−kx+9=0的两个根分别为x1，x2，
∴x1+x2=k，x1x2=9，
∵等腰三角形的一边长为9，另两边的长是关于x的方程x2−kx+9=0的两根，
∴x1=9，x2=1或x1=x2=3，
当x1=9，x2=1时，三边为9，9，1，满足三角形的三边关系，此时k=10；
当x1=x2=3时，三边为9，3，3，不满足三角形的三边关系，舍去；
∴k=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2023春·安徽滁州·八年级统考期中）已知α，β是一元二次方程x2+x−1=0的两个根，求：
（1）α2+β2= ；
（2）α4−α−4β= .
【答案】 3 6
【分析】（1）根据α+β=−1,αβ=−1,α2+β2=α+β2−2αβ，计算即可.
（2）根据α+β=−1,αβ=−1,α2+α−1=0，变形降次计算即可.
【详解】（1）∵α，β是一元二次方程x2+x−1=0的两个根，
∴α+β=−1,αβ=−1，
∵α+β2=α2+β2+2αβ，
∴α2+β2=α+β2−2αβ=−12−2×−1=3，
故答案为：3.
（2））∵α，β是一元二次方程x2+x−1=0的两个根，
∴α+β=−1,αβ=−1,α2+α−1=0，
∴α2=1−α，
∴α4=α22=1−α2=α2−2α+1=1−α−2α+1=2−3α，
∴α4−α−4β=2−3α−α−4β=2−4α+β=2+4=6，
故答案为：6.
【点睛】本题考查了根与系数关系定理，根的定义，熟练掌握定理，灵活运用的根的定义降次变形计算是解题的关键.
5．（2023春·陕西西安·八年级校考期末）若x=3是一元二次方程x2−mx=6的一个解，则该方程的另一个解是 ．
【答案】x=−2
【分析】将方程化为一般式，根据一元二次方程根与系数的关系得出x1⋅x2=ca=−6，即可求解．
【详解】解：将方程化为一般式为x2−mx−6=0，
∴a=1,b=−m,b=−6，
∴x1⋅x2=ca=−6，
∵x=3是原方程的一个解，
∴另一个解为x=−63=−2，
故答案为：x=−2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根与系数关系：x1+x2=−ba,x1⋅x2=ca．
6．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么x1+x2=−ba，x1x2=ca，已知m，n是一元二次方程2x2+3x−1=0的两个不相等的实数根，则m−n= ．
【答案】±172
【分析】由根与系数的关系可得出m+n=−32，mn=−12，结合m−n2=m+n2−4mn，代入数据即可得出结论．
【详解】解：∵m与n是方程2x2+3x−1=0的两根，
∴m+n=−32，mn=−12，
∴m−n2=m+n2−4mn=94+2=174．
∴m−n=±172；
故答案为±172．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，完全平方公式变形的应用，根据根与系数的关系找出m+n=−32，mn=−12是解题的关键．
7．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）若关于x的一元二次方程x2+2x−m2−m=0(m>0)．
（1）该方程根的情况是 ．
（2）当m=1,2,3,⋅⋅⋅,2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1,α2、β2,…,α2024、β2024，则1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2024+1β2024的值为 ．
【答案】 有两个不相等的实数根 40482025
【分析】（1）根据根的判别式Δ=b2−4ac即可进行判断；（2）根据根与系数的关系x1+x2=−ba,x1·x2=ca可得：1x1+1x2=x1+x2x1·x2=2m2+m，进一步可寻找1α2024+1β2024的规律，即可求解．
【详解】解：（1）Δ=b2−4ac=22−4×1×−m2−m=4m2+4m+4=2m+12+3
∴Δ>0
故该方程有两个不相等的实数根
故答案为：有两个不相等的实数根
（2）设方程x2+2x−m2−m=0(m>0)的两个根为：x1,x2
则x1+x2=−ba=−2,x1·x2=ca=−m2−m
∴1x1+1x2=x1+x2x1·x2=2m2+m=2m(m+1)
故：1α1+1β1=21×2，1α2+1β2=22×3，1α3+1β3=232+3=23×4
…..
1α2024+1β2024=22024×2025
∴1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2024+1β2024=2×11×2+12×3+...+12024×2025
=2×1−12+12−13+...+12024−12025
=2×1−12025
=40482025
故答案为：40482025
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等．熟记相关结论是解题关键．
8．（2021春·上海普陀·七年级校考期中）二次三项式x2﹣3x﹣4a在实数范围内能分解因式，则a的取值范围是 ．
【答案】a≥﹣916且a≠0
【分析】关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程x2﹣4x+m＝0无实数根，由此可解．
【详解】解：二次三项式x2﹣3x﹣4a在实数范围内能分解因式，
就是对应的二次方程x2﹣3x﹣4a＝0有实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×（﹣4a）＝9+16a≥0且a≠0，
解得a≥−916且a≠0．
故a的取值范围是a≥−916且a≠0．
故答案为：a≥−916且a≠0．
【点睛】本题考查二次三项式的因式分解问题，可转化为对应的二次方程的实数根的情况，掌握“一元二次方程根的判别式”是解本题的关键．
9．（2022秋·八年级单元测试）在实数范围内分解因式：3x2y2−2xy−6=
【答案】3xy−1+193xy−1−193
【分析】把3x2y2−2xy−6=0看作关于xy的一元二次方程，解出xy的值，即可得解.
【详解】解：关于xy的方程3x2y2−2xy−6=0中，a=3，b=-2，c=-6，
△=b2-4ac=(-2)2-4×3×(-6)=76，
∴方程的两根为xy=2±762×3=1±193，
∴原式可分解为：3xy−1+193xy−1−193
故答案为：3xy−1+193xy−1−193
【点睛】此题考查因式分解和求根公式法解一元二次方程，掌握相应的运算公式是解答此题的关键.
三、解答题
1．（2021秋·上海宝山·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2x2﹣3xy﹣y2．
【答案】2(x−3+174y)(x−3−174y).
【分析】先令2x2−3xy−y2=0,把y看作是常数，再解一元二次方程可得x1=3+174y,x2=3−174y,从而可得因式分解的答案.
【详解】解：令2x2−3xy−y2=0,
∴△=(−3y)2−4×2×(−y2)=17y2≥0,
∴x=3y±17y4,
∴x1=3+174y,x2=3−174y,
∴2x2−3xy−y2=2(x−3+174y)(x−3−174y).
【点睛】本题考查的是在实数范围内进行因式分解，一元二次方程的解法，掌握“利用公式法解一元二次方程”是解本题的关键.
2．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k−2=0有实根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)方程的两个实数根分别为x1，x2，若x1−1x2−1=−1，求k的值．
【答案】(1)k≤174
(2)k的值为−3
【分析】（1）一元二次方程有实根时Δ≥0，由此可解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求解．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+k−2=0有实根，
∴ Δ=32−4k−2=17−4k≥0，
∴ k≤174；
（2）解：∵方程的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=−3，x1x2=k−2，
∵x1−1x2−1=−1，
∴x1x2−x1+x2+1=−1，
∴k−2+3+1=−1，
解得k=−3，符合题意．
故所求k的值为−3．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1，x2，则Δ≥0，x1+x2=−ba，x1x2=ca，掌握上述知识点是解题的关键．
3．（2023春·山东威海·八年级统考期末）关于x的一元二次方程x2−3x−mx+m−1=0．
(1)试判断该方程根的情况并说明理由；
(2)若x1,x2是该方程的两个实数根，且3x1−x1x2+3x2=12，求该方程的解．
【答案】(1)该方程有两个不相等的实数根，详见解析
(2)x1=0,x2=4
【分析】(1)根据方程，计算根的判别式，确定根的情形．
(2)根据方程，利用根与系数关系定理，代入计算．
【详解】（1）方程有两个不相等的实数根．理由如下：
∵x2−3x−mx+m−1=0，
∴x2−3+mx+m−1=0，
∴a=1,b=−3+m,c=m−1，
∴Δ=−3+m2−4m−1=m2+6m+9−4m+4，
=m+12+12＞0，
故方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x2−3x−mx+m−1=0，
∴x2−3+mx+m−1=0，
∵x1,x2是该方程的两个实数根，
∴x1+x2=3+m,x1·x2=m−1，
∵3x1−x1x2+3x2=12，
∴33+m−m−1=12，
解得m=1，
故原方程变形为x2−4x=0，
解得x1=0,x2=4．
【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数关系定理，方程的解法，熟练掌握根的判别式，根与系数关系定理是解题的关键．
4．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）在实数范围内分解因式：−2x2+3xy+4y2
【答案】−2(x−3+414y)(x−3−414y)
【分析】令−2x2+3xy+4y2=0，将y看作常数解得x的值，继而求得答案．
【详解】解：令−2x2+3xy+4y2=0，将y看作常数，
则a=−2，b=3y，c=4y2，
那么Δ=(3y)2−4×−2×4y2=41y2≥0，
则x=−3y±41y22×−2=3±414y，
那么原式=−2(x−3+414y)(x−3−414y)．
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，一元二次方程的解法，令−2x2+3xy+4y2=0，将y看作常数解得x的值，是解题的关键．
5．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两实数根为x1，x2，根据一元二次方程解的意义和因式分解法解一元二次方程可知，x1，x2也是（x﹣x1）（x﹣x2）＝0的两个实数根，所以ax2＋bx＋c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
利用这个结论可以解决一些相关问题．
（1）实数范围内因式分解：
例：分解因式2x2＋2x﹣1
解：令2x2＋2x﹣1＝0，解这个方程，得
x=−2±124＝−1±32.
即x1＝−1+32，x2＝−1−32.
所以 2x2＋2x﹣1＝2(x−−1+32)(x−−1−32)．
试仿照上例在实数范围内分解因式：x2﹣6x＋1；
（2）解不等式：x2＋2x﹣1＞0；
（3）灵活运用：
已知方程（x﹣a）（x﹣b）﹣x＝0的两个实数根是c、d，求方程（2x﹣c）（2x﹣d）＋2x＝0的根．
【答案】（1）(x−3−2)(x−3+2)；（2）x>2−1，或x<−2−1；（3）x1＝a2，x2＝b2.
【分析】（1） 根据题意设x2－6x＋1＝0，解得x的值再代入方程即可.
（2） 根据题意设x2＋2x－1＝0，解得x的值再代入不等式，解得不等式组即可.
（3） 将方程（x﹣a）（x﹣b）﹣x＝0的两根c、d代入方程，再把x=a代入方程即可解得方程的根.
【详解】解：（1）令x2－6x＋1＝0，解这个方程，得
x=6±322=3±22.
所以，x2－6x＋1＝(x−3−2)(x−3+2).
（2）令x2＋2x－1＝0，解这个方程，得
x=−2±82=−1±2.
所以 x2＋2x－1＝(x+1−2)(x+1+2).
所以 (x+1−2)(x+1+2)＞0.
所以 {x+1−2>0x+1+2>0，或{x+1−2<0x+1+2<0.
解这两个不等式组，得
x>2−1，或x<−2−1.
（3）因为方程（x﹣a）（x﹣b）﹣x＝0的两根是c、d，
所以 （x﹣a）（x﹣b）﹣x＝（x－c）（x－d）.
所以 （x－c）（x－d）＋x＝（x﹣a）（x﹣b）.
因为当x＝a时，代入上式，得
（a－c）（a－d）＋a＝（a﹣a）（a﹣b）＝0，
所以x＝a是方程（x－c）（x－d）＋x＝0的一个根，
同理，x＝b也是方程（x－c）（x－d）＋x＝0的一个根.
所以方程 （x－c）（x－d）＋x＝0的两个根为x＝a或b.
在方程（2x﹣c）（2x﹣d）＋2x＝0中，设2x＝y，得（y﹣c）（y﹣d）＋y＝0.
所以 y＝a或b.
所以 2x＝a或b，解得x1＝a2，x2＝b2.
所以，方程（2x﹣c）（2x﹣d）＋2x＝0的根是x1＝a2，x2＝b2.
【点睛】本题考查解方程及解不等式组，熟练掌握计算法则是解题关键.