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人教版七年级数学下册同步压轴题 专题02 平方根与立方根的六种考法全攻略（原卷版+解析版）
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这是一份人教版七年级数学下册同步压轴题 专题02 平方根与立方根的六种考法全攻略（原卷版+解析版），共26页。试卷主要包含了平方根的非负性，利用数轴化简根式，探究性规律问题，整数部分问题，平方根与立方根的实际应用，平方根与立方根的综合运用等内容，欢迎下载使用。
类型一、平方根的非负性
例1．已知，则的平方根为____________．
例2．若，则的值为______．
【变式训练1】当时，化简的结果为_________________．
【变式训练2】若实数x，y满足|x﹣3|＋＝0，则(x＋y)2的平方根为_______．
【变式训练3】已知与互为相反数，求的平方根．
【变式训练4】若，其中a，b均为整数，则______．
类型二、利用数轴化简根式
例．已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是( )
A．B．C．D．0
【变式训练1】已知：如图，化简代数式______
【变式训练2】(1)填空：__________；__________；
(2)猜想：__________；
(3)实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，请化简：．
【变式训练3】若实数、、依次在数轴上的对应点如图所示，试化简：
．
【变式训练4】已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简：．
类型三、探究性规律问题
例1．观察下列有规律的一组等式：
，即；，即．
(1)猜想：______，______．
(2)你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含(为正整数)的式子表示这一规律，并验证所写式子的正确性．
例2．(1)已知 , ，，则____；
(2)已知 , ，，则 ____；
(3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向___移动____位；
(4)如果，则___，____．
【变式训练1】我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
(1)表格中的三个值分别为：x＝ ；y＝ ；z＝ ；
(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n(n为整数)时，＝ ；
(3)利用这一规律，解决下面的问题：
已知，则①≈ ；②≈ ．
【变式训练2】(1)填写如表，观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律：
(2)根据你发现的规律填空：
① 已知：2.775，8.775.则___________，___________；
② 已知：5.385，若53.85.则x=___________．
(3)将你发现的规律用文字语言表述出来.
【变式训练3】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
①，
②，
③，
④．
(1)观察算式规律，计算＝______；＝______．
(2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律并证明．
【变式训练4】为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下表中．
(1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整；
表．
(2)请你仿照表中的规律，将表补充完整．
表．
(3)通过表和表，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现．
(提示：如果没有思路，你可以先观察第组、第组、第组、第组中的被开方数和结果，再观察第组、第组、第组中的被开方数和结果)．
类型四、整数部分问题
例1．已知．若为整数且，则的值为( )
A．43B．44C．45D．46
例2定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为__________．
【变式训练1】若的整数部分为，小数部分为，则_________，_________．
【变式训练2】已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【变式训练3】阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．
请解答：
如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
【变式训练4】如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形．
(1)阴影部分的面积是__________，边长是____________；
(2)写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；
(3)为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．
类型五、平方根与立方根的实际应用
例．如图，琦琦想用一块面积为900cm2的正方形纸片．沿着边的方向裁出一块面积为800cm2的纸片，使它的长宽之比为5：4，琦琦能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请通过计算说明．
【变式训练1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，
(1)小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？(直接写结果)
(2)求图中阴影部分的面积．
(3)若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求(y﹣)x的值．
【变式训练2】教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法(数轴的单位长度为1)．
(1)阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A表示的数为________；
(2)迁移应用：
请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．
①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．
②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 的点，并比较它们的大小．
【变式训练3】某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t(h)可以用公式来估计，其中d(km)是雷雨区域的直径．
(1)如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？(结果精确到0.1h)
(2)如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？(结果精确到0.01km)
类型六、平方根与立方根的综合运用
例．如果为的算术平方根，为的立方根，求的平方根与立方根．
【变式训练1】已知2的平方等于，是27的立方根，表示3的平方根．
(1)求，，的值；
(2)求多项式：．
【变式训练2】计算下列各题，
(1)已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根；
(2)已知，，求．
【变式训练3】已知的平方根是，的立方根是2，．
(1)求的值；
(2)求的算术平方根．
a
…
0.04
4
400
40000
…
…
x
2
y
z
…
a
0.0036
0.36
36
3600
___________
___________
___________
___________
第组
第组
第组
第组
第组
第组
第组
______
______
______
第组
第组
第组
第组
第组
第组
______
______
______
专题02 平方根与立方根的六种考法全攻略
类型一、平方根的非负性
例1．已知，则的平方根为____________．
【答案】
【详解】解：，
，
，
，
．
故的平方根为．
故答案为：．
例2．若，则的值为______．
【答案】
【详解】解：∵，，即，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练1】当时，化简的结果为_________________．
【答案】2
【详解】解：，
又，
原式．
故答案为：2．
【变式训练2】若实数x，y满足|x﹣3|＋＝0，则(x＋y)2的平方根为_______．
【答案】±4
【详解】解：根据题意得x﹣3＝0，y﹣1＝0，解得：x＝3，y＝1，
则(x+y)2＝(3+1)2＝16，
所以(x+y)2的平方根为±4．
故填：±4．
【变式训练3】已知与互为相反数，求的平方根．
【答案】的平方根为±3．
【详解】∵与互为相反数，∴+=0，
∴a=27，b=36，∴=3+6=9，
∴的平方根为±3．
【变式训练4】若，其中a，b均为整数，则______．
【答案】0，2，4
【详解】解：∵，其中a，b均为整数，
又∵，
①当，时，
∴，
∴
②当，时，
∴或，
∴或
③当，时，
∴或，
∴或
故答案为：4或2或0
类型二、利用数轴化简根式
例．已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是( )
A．B．C．D．0
【答案】A
【详解】解：观察数轴可知：，
，，，，
．
故选A．
【变式训练1】已知：如图，化简代数式______
【答案】
【详解】解：由数轴得，
∴，，
∴
，
故答案为：．
【变式训练2】(1)填空：__________；__________；
(2)猜想：__________；
(3)实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，请化简：．
【答案】(1)5；5；(2)；(3)
【详解】解：(1)；；
故答案为：5；5；
(2)当时，；
当时，；
∴，
故答案为：；
(3)由数轴得：，且，
∴，，
∴
．
【变式训练3】若实数、、依次在数轴上的对应点如图所示，试化简：
．
【答案】
【详解】解：根据题意得：，且，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴
．
【变式训练4】已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简：．
【答案】
【详解】解：由数轴可知，a∴a+b<0，b+c>0，c−a>0，
∴
．
类型三、探究性规律问题
例1．观察下列有规律的一组等式：
，即；，即．
(1)猜想：______，______．
(2)你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含(为正整数)的式子表示这一规律，并验证所写式子的正确性．
【答案】(1)
(2)被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，，验证见解析
【详解】(1)解：由给定的等式猜想得：；
故答案为：；
(2)由给定的式子可以得到：被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，
用一个含(为正整数)的式子可表示为：；
理由如下：
．
例2．(1)已知 , ，，则____；
(2)已知 , ，，则 ____；
(3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向___移动____位；
(4)如果，则___，____．
【答案】(1)300；(2)0.04；(3)左(或右)，1；(4)10a，
【解析】解：(1)已知，，，则300；
(2)已知， ，，则 0.04；
(3)从以上的结果可以看出，被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向左(或右)移动1位；(4)如果，则10a，，
故答案为：(1)300；(2)0.04；(3)左(或右)；1；(4)10a；．
【变式训练1】我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
(1)表格中的三个值分别为：x＝ ；y＝ ；z＝ ；
(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n(n为整数)时，＝ ；
(3)利用这一规律，解决下面的问题：
已知，则①≈ ；②≈ ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】(1)解：根据算术平方根定义可得：．
故答案为．
(2)解：当(n为整数)时，．
故答案为．
(3)解：若，则①；②．
故答案为：．
【变式训练2】(1)填写如表，观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律：
(2)根据你发现的规律填空：
① 已知：2.775，8.775.则___________，___________；
② 已知：5.385，若53.85.则x=___________．
(3)将你发现的规律用文字语言表述出来.
【答案】(1) 0.06 0.6 6 60
(2) 87.75 0.02775 2900
(3)被开方数小数点每向右(左)移动两位，则算术平方根的小数点向相同的方向移动一位，反之亦然
【详解】(1)因为，，，，
故答案为：0.06，0.6，6，60．
(2)①因为77的小数点向右移动了2位，得到7700，
所以算术平方根的小数点向右移动1位，
因为．
所以；
因为7.7的小数点向左移动4位，得到0.00077，
所以算术平方根的小数点向左移动2位；
因为，
所以0.02775，
故答案为：87.75，0.02775．
②因为5.385小数点向右移动一位得到53.85，
所以被开方数小数点向右移动2位，
因为，
所以，
故x=2900，
故答案为：2900．
(3)根据前面的解答，发现规律如下：
被开方数小数点每向右移动两位，则算术平方根的小数点向相同的方向移动一位，反之亦然．
【变式训练3】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
①，
②，
③，
④．
(1)观察算式规律，计算＝______；＝______．
(2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律并证明．
【答案】(1)6，27
(2)，证明见解析．
【详解】(1)解：，，
故答案为6，27；
(2)通过观察可得规律式：；
证明：
∵ n为正整数
∴
∴
【变式训练4】为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下表中．
(1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整；
表．
(2)请你仿照表中的规律，将表补充完整．
表．
(3)通过表和表，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现．
(提示：如果没有思路，你可以先观察第组、第组、第组、第组中的被开方数和结果，再观察第组、第组、第组中的被开方数和结果)．
【答案】(1)；；
(2)；；
(3)被开方数的小数点向左或向右移动位，算数平方根的小数点就随之向左或向右移动位．
【解析】(1)
解：根据题意，得．
故答案为：；；．
(2)
解：已知，
，．
已知，
．
故答案为：；；．
(3)解：通过观察表和表可发现，被开方数的小数点向左或向右移动位，算数平方根的小数点就随之向左或向右移动位．
类型四、整数部分问题
例1．已知．若为整数且，则的值为( )
A．43B．44C．45D．46
【答案】B
【分析】由题意可直接进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选B．
例2定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为__________．
【答案】35
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的最大整数为35．
故答案为：35．
【变式训练1】若的整数部分为，小数部分为，则_________，_________．
【答案】
【详解】解：，
，
则．
故答案是：3，．
【变式训练2】已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【详解】解：∵的算术平方根是；的平方根是，
∴，，
∴，．
∵是的整数部分，，
∴．
∴．
∵的平方根是．
∴的平方根为．
【变式训练3】阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．
请解答：
如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
【答案】1
【详解】∵，即，
∴的整数部分为3，小数部分为，即
∵，即，
∴的整数部分为4，即b=4．
∴，
即的值是1．
【变式训练4】如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形．
(1)阴影部分的面积是__________，边长是____________；
(2)写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；
(3)为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．
【答案】(1)13，；(2)不大于的所有正整数为：1，2，3；(3)
【详解】解：(1)阴影部分面积为：，
∵阴影部分是一个正方形，
∴边长为：，
故答案为：13，．
(2)不大于的所有正整数为：1，2，3．
(3)∵，
∴，
∵
∴
∴．
类型五、平方根与立方根的实际应用
例．如图，琦琦想用一块面积为900cm2的正方形纸片．沿着边的方向裁出一块面积为800cm2的纸片，使它的长宽之比为5：4，琦琦能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请通过计算说明．
【答案】不能．理由见解析
【详解】不能．理由如下：
正方形纸片的边长为：＝30(cm)，
设裁出的纸片的长为5acm，宽为4acm，
则：5a•4a＝800，解得：a＝2，
∴5a＝10＞30，∴不能裁出符合要求的纸片．
【变式训练1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，
(1)小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？(直接写结果)
(2)求图中阴影部分的面积．
(3)若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求(y﹣)x的值．
【答案】(1)小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近；(2)；(3)4
【详解】解：(1)∵小正方形的面积为6，∴小正方形的边长为，
∵4＜6＜9，∴2＜＜3，∴小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近．
(2)∵阴影部分的面积的和为一个长为，宽为(3﹣)的矩形面积，
∴阴影部分的面积＝．
(3)∵小正方形的边长为，∴x＝2，y＝，
∴原式＝，＝4.
【变式训练2】教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法(数轴的单位长度为1)．
(1)阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A表示的数为________；
(2)迁移应用：
请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．
①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．
②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 的点，并比较它们的大小．
【答案】(1)；(2)①见解析；②见解析，
【详解】解：设正方形边长为a，
∵a2=2， ∴a=，
故答案为：，；
(2)解：①裁剪后拼得的大正方形如图所示：
②设拼成的大正方形的边长为b， ∴b2=5， ∴b=±，
在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M，则M表示的数为-3+，看图可知，表示-0.5的N点在M点的右方，
∴比较大小：．
【变式训练3】某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t(h)可以用公式来估计，其中d(km)是雷雨区域的直径．
(1)如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？(结果精确到0.1h)
(2)如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？(结果精确到0.01km)
【答案】(1)0.5h；(2)9.65km
【详解】(1)．
这场雷雨大约能持续0.5h．
(2)
类型六、平方根与立方根的综合运用
例．如果为的算术平方根，为的立方根，求的平方根与立方根．
【答案】的平方根为，立方根为1
【详解】解：为的算术平方根，
，
．
为的立方根，
，
．
，
，，
的平方根为，立方根为1．
【变式训练1】已知2的平方等于，是27的立方根，表示3的平方根．
(1)求，，的值；
(2)求多项式：．
【答案】(1)，，；
(2)．
【详解】(1)解：由2的平方等于，是27的立方根，表示3的平方根可得
，，
解得，，；
(2)解：将，，代入，可得
．
【变式训练2】计算下列各题，
(1)已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根；
(2)已知，，求．
【答案】(1)
(2)或
【详解】(1)解：∵的平方根为，
∴，即，
∵的算术平方根为4，
∴，且，
∴，
∴，
∴的立方根是．
(2)解：∵，
∴，且，
当时，；
当时，．
【变式训练3】已知的平方根是，的立方根是2，．
(1)求的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)a=5、b=2、c=1或c=0；(2)或3．
【详解】解：(1)∵的平方根是，的立方根是2
∴a=5，2b+4=8，即b=2
∵
∴c=1或c=0
∴a=5、b=2、c=1或c=0；
(2)当c=1时，=
当c=0时，=3；
∴的算术平方根为或3．
a
…
0.04
4
400
40000
…
…
x
2
y
z
…
a
0.0036
0.36
36
3600
___________
___________
___________
___________
第组
第组
第组
第组
第组
第组
第组
______
______
______
第组
第组
第组
第组
第组
第组
______
______
______
类型一、平方根的非负性
例1．已知，则的平方根为____________．
例2．若，则的值为______．
【变式训练1】当时，化简的结果为_________________．
【变式训练2】若实数x，y满足|x﹣3|＋＝0，则(x＋y)2的平方根为_______．
【变式训练3】已知与互为相反数，求的平方根．
【变式训练4】若，其中a，b均为整数，则______．
类型二、利用数轴化简根式
例．已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是( )
A．B．C．D．0
【变式训练1】已知：如图，化简代数式______
【变式训练2】(1)填空：__________；__________；
(2)猜想：__________；
(3)实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，请化简：．
【变式训练3】若实数、、依次在数轴上的对应点如图所示，试化简：
．
【变式训练4】已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简：．
类型三、探究性规律问题
例1．观察下列有规律的一组等式：
，即；，即．
(1)猜想：______，______．
(2)你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含(为正整数)的式子表示这一规律，并验证所写式子的正确性．
例2．(1)已知 , ，，则____；
(2)已知 , ，，则 ____；
(3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向___移动____位；
(4)如果，则___，____．
【变式训练1】我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
(1)表格中的三个值分别为：x＝ ；y＝ ；z＝ ；
(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n(n为整数)时，＝ ；
(3)利用这一规律，解决下面的问题：
已知，则①≈ ；②≈ ．
【变式训练2】(1)填写如表，观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律：
(2)根据你发现的规律填空：
① 已知：2.775，8.775.则___________，___________；
② 已知：5.385，若53.85.则x=___________．
(3)将你发现的规律用文字语言表述出来.
【变式训练3】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
①，
②，
③，
④．
(1)观察算式规律，计算＝______；＝______．
(2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律并证明．
【变式训练4】为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下表中．
(1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整；
表．
(2)请你仿照表中的规律，将表补充完整．
表．
(3)通过表和表，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现．
(提示：如果没有思路，你可以先观察第组、第组、第组、第组中的被开方数和结果，再观察第组、第组、第组中的被开方数和结果)．
类型四、整数部分问题
例1．已知．若为整数且，则的值为( )
A．43B．44C．45D．46
例2定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为__________．
【变式训练1】若的整数部分为，小数部分为，则_________，_________．
【变式训练2】已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【变式训练3】阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．
请解答：
如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
【变式训练4】如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形．
(1)阴影部分的面积是__________，边长是____________；
(2)写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；
(3)为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．
类型五、平方根与立方根的实际应用
例．如图，琦琦想用一块面积为900cm2的正方形纸片．沿着边的方向裁出一块面积为800cm2的纸片，使它的长宽之比为5：4，琦琦能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请通过计算说明．
【变式训练1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，
(1)小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？(直接写结果)
(2)求图中阴影部分的面积．
(3)若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求(y﹣)x的值．
【变式训练2】教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法(数轴的单位长度为1)．
(1)阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A表示的数为________；
(2)迁移应用：
请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．
①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．
②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 的点，并比较它们的大小．
【变式训练3】某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t(h)可以用公式来估计，其中d(km)是雷雨区域的直径．
(1)如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？(结果精确到0.1h)
(2)如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？(结果精确到0.01km)
类型六、平方根与立方根的综合运用
例．如果为的算术平方根，为的立方根，求的平方根与立方根．
【变式训练1】已知2的平方等于，是27的立方根，表示3的平方根．
(1)求，，的值；
(2)求多项式：．
【变式训练2】计算下列各题，
(1)已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根；
(2)已知，，求．
【变式训练3】已知的平方根是，的立方根是2，．
(1)求的值；
(2)求的算术平方根．
a
…
0.04
4
400
40000
…
…
x
2
y
z
…
a
0.0036
0.36
36
3600
___________
___________
___________
___________
第组
第组
第组
第组
第组
第组
第组
______
______
______
第组
第组
第组
第组
第组
第组
______
______
______
专题02 平方根与立方根的六种考法全攻略
类型一、平方根的非负性
例1．已知，则的平方根为____________．
【答案】
【详解】解：，
，
，
，
．
故的平方根为．
故答案为：．
例2．若，则的值为______．
【答案】
【详解】解：∵，，即，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练1】当时，化简的结果为_________________．
【答案】2
【详解】解：，
又，
原式．
故答案为：2．
【变式训练2】若实数x，y满足|x﹣3|＋＝0，则(x＋y)2的平方根为_______．
【答案】±4
【详解】解：根据题意得x﹣3＝0，y﹣1＝0，解得：x＝3，y＝1，
则(x+y)2＝(3+1)2＝16，
所以(x+y)2的平方根为±4．
故填：±4．
【变式训练3】已知与互为相反数，求的平方根．
【答案】的平方根为±3．
【详解】∵与互为相反数，∴+=0，
∴a=27，b=36，∴=3+6=9，
∴的平方根为±3．
【变式训练4】若，其中a，b均为整数，则______．
【答案】0，2，4
【详解】解：∵，其中a，b均为整数，
又∵，
①当，时，
∴，
∴
②当，时，
∴或，
∴或
③当，时，
∴或，
∴或
故答案为：4或2或0
类型二、利用数轴化简根式
例．已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是( )
A．B．C．D．0
【答案】A
【详解】解：观察数轴可知：，
，，，，
．
故选A．
【变式训练1】已知：如图，化简代数式______
【答案】
【详解】解：由数轴得，
∴，，
∴
，
故答案为：．
【变式训练2】(1)填空：__________；__________；
(2)猜想：__________；
(3)实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，请化简：．
【答案】(1)5；5；(2)；(3)
【详解】解：(1)；；
故答案为：5；5；
(2)当时，；
当时，；
∴，
故答案为：；
(3)由数轴得：，且，
∴，，
∴
．
【变式训练3】若实数、、依次在数轴上的对应点如图所示，试化简：
．
【答案】
【详解】解：根据题意得：，且，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴
．
【变式训练4】已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简：．
【答案】
【详解】解：由数轴可知，a
∴
．
类型三、探究性规律问题
例1．观察下列有规律的一组等式：
，即；，即．
(1)猜想：______，______．
(2)你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含(为正整数)的式子表示这一规律，并验证所写式子的正确性．
【答案】(1)
(2)被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，，验证见解析
【详解】(1)解：由给定的等式猜想得：；
故答案为：；
(2)由给定的式子可以得到：被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，
用一个含(为正整数)的式子可表示为：；
理由如下：
．
例2．(1)已知 , ，，则____；
(2)已知 , ，，则 ____；
(3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向___移动____位；
(4)如果，则___，____．
【答案】(1)300；(2)0.04；(3)左(或右)，1；(4)10a，
【解析】解：(1)已知，，，则300；
(2)已知， ，，则 0.04；
(3)从以上的结果可以看出，被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向左(或右)移动1位；(4)如果，则10a，，
故答案为：(1)300；(2)0.04；(3)左(或右)；1；(4)10a；．
【变式训练1】我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
(1)表格中的三个值分别为：x＝ ；y＝ ；z＝ ；
(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n(n为整数)时，＝ ；
(3)利用这一规律，解决下面的问题：
已知，则①≈ ；②≈ ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】(1)解：根据算术平方根定义可得：．
故答案为．
(2)解：当(n为整数)时，．
故答案为．
(3)解：若，则①；②．
故答案为：．
【变式训练2】(1)填写如表，观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律：
(2)根据你发现的规律填空：
① 已知：2.775，8.775.则___________，___________；
② 已知：5.385，若53.85.则x=___________．
(3)将你发现的规律用文字语言表述出来.
【答案】(1) 0.06 0.6 6 60
(2) 87.75 0.02775 2900
(3)被开方数小数点每向右(左)移动两位，则算术平方根的小数点向相同的方向移动一位，反之亦然
【详解】(1)因为，，，，
故答案为：0.06，0.6，6，60．
(2)①因为77的小数点向右移动了2位，得到7700，
所以算术平方根的小数点向右移动1位，
因为．
所以；
因为7.7的小数点向左移动4位，得到0.00077，
所以算术平方根的小数点向左移动2位；
因为，
所以0.02775，
故答案为：87.75，0.02775．
②因为5.385小数点向右移动一位得到53.85，
所以被开方数小数点向右移动2位，
因为，
所以，
故x=2900，
故答案为：2900．
(3)根据前面的解答，发现规律如下：
被开方数小数点每向右移动两位，则算术平方根的小数点向相同的方向移动一位，反之亦然．
【变式训练3】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
①，
②，
③，
④．
(1)观察算式规律，计算＝______；＝______．
(2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律并证明．
【答案】(1)6，27
(2)，证明见解析．
【详解】(1)解：，，
故答案为6，27；
(2)通过观察可得规律式：；
证明：
∵ n为正整数
∴
∴
【变式训练4】为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下表中．
(1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整；
表．
(2)请你仿照表中的规律，将表补充完整．
表．
(3)通过表和表，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现．
(提示：如果没有思路，你可以先观察第组、第组、第组、第组中的被开方数和结果，再观察第组、第组、第组中的被开方数和结果)．
【答案】(1)；；
(2)；；
(3)被开方数的小数点向左或向右移动位，算数平方根的小数点就随之向左或向右移动位．
【解析】(1)
解：根据题意，得．
故答案为：；；．
(2)
解：已知，
，．
已知，
．
故答案为：；；．
(3)解：通过观察表和表可发现，被开方数的小数点向左或向右移动位，算数平方根的小数点就随之向左或向右移动位．
类型四、整数部分问题
例1．已知．若为整数且，则的值为( )
A．43B．44C．45D．46
【答案】B
【分析】由题意可直接进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选B．
例2定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为__________．
【答案】35
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的最大整数为35．
故答案为：35．
【变式训练1】若的整数部分为，小数部分为，则_________，_________．
【答案】
【详解】解：，
，
则．
故答案是：3，．
【变式训练2】已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【详解】解：∵的算术平方根是；的平方根是，
∴，，
∴，．
∵是的整数部分，，
∴．
∴．
∵的平方根是．
∴的平方根为．
【变式训练3】阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．
请解答：
如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
【答案】1
【详解】∵，即，
∴的整数部分为3，小数部分为，即
∵，即，
∴的整数部分为4，即b=4．
∴，
即的值是1．
【变式训练4】如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形．
(1)阴影部分的面积是__________，边长是____________；
(2)写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；
(3)为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．
【答案】(1)13，；(2)不大于的所有正整数为：1，2，3；(3)
【详解】解：(1)阴影部分面积为：，
∵阴影部分是一个正方形，
∴边长为：，
故答案为：13，．
(2)不大于的所有正整数为：1，2，3．
(3)∵，
∴，
∵
∴
∴．
类型五、平方根与立方根的实际应用
例．如图，琦琦想用一块面积为900cm2的正方形纸片．沿着边的方向裁出一块面积为800cm2的纸片，使它的长宽之比为5：4，琦琦能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请通过计算说明．
【答案】不能．理由见解析
【详解】不能．理由如下：
正方形纸片的边长为：＝30(cm)，
设裁出的纸片的长为5acm，宽为4acm，
则：5a•4a＝800，解得：a＝2，
∴5a＝10＞30，∴不能裁出符合要求的纸片．
【变式训练1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，
(1)小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？(直接写结果)
(2)求图中阴影部分的面积．
(3)若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求(y﹣)x的值．
【答案】(1)小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近；(2)；(3)4
【详解】解：(1)∵小正方形的面积为6，∴小正方形的边长为，
∵4＜6＜9，∴2＜＜3，∴小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近．
(2)∵阴影部分的面积的和为一个长为，宽为(3﹣)的矩形面积，
∴阴影部分的面积＝．
(3)∵小正方形的边长为，∴x＝2，y＝，
∴原式＝，＝4.
【变式训练2】教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法(数轴的单位长度为1)．
(1)阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A表示的数为________；
(2)迁移应用：
请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．
①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．
②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 的点，并比较它们的大小．
【答案】(1)；(2)①见解析；②见解析，
【详解】解：设正方形边长为a，
∵a2=2， ∴a=，
故答案为：，；
(2)解：①裁剪后拼得的大正方形如图所示：
②设拼成的大正方形的边长为b， ∴b2=5， ∴b=±，
在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M，则M表示的数为-3+，看图可知，表示-0.5的N点在M点的右方，
∴比较大小：．
【变式训练3】某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t(h)可以用公式来估计，其中d(km)是雷雨区域的直径．
(1)如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？(结果精确到0.1h)
(2)如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？(结果精确到0.01km)
【答案】(1)0.5h；(2)9.65km
【详解】(1)．
这场雷雨大约能持续0.5h．
(2)
类型六、平方根与立方根的综合运用
例．如果为的算术平方根，为的立方根，求的平方根与立方根．
【答案】的平方根为，立方根为1
【详解】解：为的算术平方根，
，
．
为的立方根，
，
．
，
，，
的平方根为，立方根为1．
【变式训练1】已知2的平方等于，是27的立方根，表示3的平方根．
(1)求，，的值；
(2)求多项式：．
【答案】(1)，，；
(2)．
【详解】(1)解：由2的平方等于，是27的立方根，表示3的平方根可得
，，
解得，，；
(2)解：将，，代入，可得
．
【变式训练2】计算下列各题，
(1)已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根；
(2)已知，，求．
【答案】(1)
(2)或
【详解】(1)解：∵的平方根为，
∴，即，
∵的算术平方根为4，
∴，且，
∴，
∴，
∴的立方根是．
(2)解：∵，
∴，且，
当时，；
当时，．
【变式训练3】已知的平方根是，的立方根是2，．
(1)求的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)a=5、b=2、c=1或c=0；(2)或3．
【详解】解：(1)∵的平方根是，的立方根是2
∴a=5，2b+4=8，即b=2
∵
∴c=1或c=0
∴a=5、b=2、c=1或c=0；
(2)当c=1时，=
当c=0时，=3；
∴的算术平方根为或3．
a
…
0.04
4
400
40000
…
…
x
2
y
z
…
a
0.0036
0.36
36
3600
___________
___________
___________
___________
第组
第组
第组
第组
第组
第组
第组
______
______
______
第组
第组
第组
第组
第组
第组
______
______
______
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