【讲通练透】专题01 集合及其运算-2024高考数学题源解密（全国通用）

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高考命题专家命制高考试题时绝非凭空杜撰，必有命题的原始模型（“题根”）和命题着力点（“题眼”），对“题根”与“题眼”进行深入的探求与拓展可构造出高考母题。命题人拿来千变万化为难你们的历年真题，本质上也是从这有限的母题中衍生出来的。母题的重要性不言而喻。
专题01 集合及其运算
目录一览
2023真题展现
考向一 交集的运算
考向二 集合间的关系
真题考查解读
近年真题对比
考向一 交集的运算
考向二 交、并、补集的混合运算
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 交集的运算
1．（2023•新高考Ⅰ）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，则M∩N＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{﹣2}D．{2}
【答案】C．
解：∵x2﹣x﹣6≥0，∴（x﹣3）（x+2）≥0，∴x≥3或x≤﹣2，
N＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），则M∩N＝{﹣2}．
考向二 集合间的关系
2．（2023•新高考Ⅱ）设集合A＝{0，﹣a}，B＝{1，a﹣2，2a﹣2}，若A⊆B，则a＝（ ）
A．2B．1C．D．﹣1
【答案】B．
解：依题意，a﹣2＝0或2a﹣2＝0，
当a﹣2＝0时，解得a＝2，
此时A＝{0，﹣2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；
当2a﹣2＝0时，解得a＝1，
此时A＝{0，﹣1}，B＝{1，﹣1，0}，符合题意．
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【命题意图】理解元素与集合的属于关系；会求两个集合的并集、交集与补集。
【考查要点】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，集合的基本运算、充要条件是历年高考的热点．集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．
【得分要点】
解集合运算问题应注意如下三点：
（1）看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等；
（2）对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了；
（3）注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
考向一 交集的运算
1．（2022•新高考Ⅰ）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（ ）
A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}D．{x|≤x＜16}
【答案】D．
解：由＜4，得0≤x＜16，∴M＝{x|＜4}＝{x|0≤x＜16}，
由3x≥1，得x，∴N＝{x|3x≥1}＝{x|x}，
∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|≤x＜16}．
2．（2022•新高考Ⅱ）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，2}B．{1，2}C．{1，4}D．{﹣1，4}
【答案】B．
解：|x﹣1|≤1，解得：0≤x≤2，
∴集合B＝{x|0≤x≤2}
∴A∩B＝{1，2}．
3．（2021•新高考Ⅰ）设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（ ）
A．{2，3，4}B．{3，4}C．{2，3}D．{2}
【答案】C．
解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，
∴A∩B＝{2，3}．
考向二 交、并、补集的混合运算
4．（2021•新高考Ⅱ）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁UB＝（ ）
A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3}
【答案】B．
解：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，
所以∁UB＝{1，5，6}，
故A∩∁UB＝{1，6}．
分析近三年的新高考试题，可以发现数学试题的前1~2题都是考查集合的基本运算，只是每年考查的切入点不同，但实质都是集合的最基本知识，属于送分题，偶尔会变换形式进行考查，预计2024年还是主要体现在集合的基本运算上。
1．（2023•梅河口市校级一模）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣2，﹣1，1，2，4}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1}B．{﹣1，2}C．{1，2}D．{1，2，4}
【答案】C．
解：∵A＝{x|﹣1＜x＜4}，{﹣2，﹣1，1，2，4}，
∴A∩B＝{1，2}．
2．（2023•麒麟区校级模拟）已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{0}
【答案】A．
解：∵A＝{x|x＜﹣1或x＞1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴∁RA＝{x|﹣1≤x≤1}，（∁RA）∩B＝{﹣1，0，1}．
3．（2023•河南模拟）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，4，5}，B＝{1，3，5}，则A∩∁UB（ ）
A．{ 2，4}B．{4，6}C．{ 2，3，6}D．{ 2，4，6}
【答案】A．
解：U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{1，3，5}，
则∁UB＝{2，4，6}，则A∩∁UB＝{2，4}．
4．（2023•大兴区校级模拟）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x＜0}，则A⋂B＝（ ）
A．{0，1，2}B．{﹣1，0}C．{﹣1}D．{1，2}
【答案】C．
解：由题知，A⋂B＝{﹣1}．
5．（2023•潮州模拟）已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}，则A∪B＝（ ）
A．[1，3]B．（2，3]C．[1，+∞）D．（2，+∞）
【答案】C．
解：A＝{x|x＞2}，由x2﹣4x+3≤0，得（x﹣3）（x﹣1）≤0，解得1≤x≤3，
所以B＝{x|x²﹣4x+3≤0}＝{x|1≤x≤3}，
所以A∪B＝{x|x＞2}∪{x|1≤x≤3}＝{x|x≥1}．
6．（2023•武侯区校级模拟）若集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|x＞7}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．（﹣1，7]B．（﹣1，6]C．（7，+∞）D．（6，+∞）
【答案】C．
解：∵x2﹣5x﹣6≤0，∴（x﹣6）（x+1）≤0，
集合A＝{x|﹣1≤x≤6}，
∴∁RA＝（﹣∞，﹣1）⋃（6，+∞），
∴（∁RA）⋂B＝（7，+∞）．
7．（2023•三模拟）已知集合M＝{x||x﹣1|＜2}，N＝{x|2x＜8}，则M∩N＝（ ）
A．{x﹣3＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2}
【答案】C．
解：因为M＝{x||x﹣1|＜2}＝（﹣1，3），N＝{x|2x＜8}＝（﹣∞，3），
则M∩N＝（﹣1，3）．
8．（2023•湖北二模）设全集U＝R，A＝{x|x2﹣5x+6＜0}，B＝{x|x＜2}，则A∩（∁UB）＝（ ）
A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．AD．A∪B
【答案】C．
解：由x2﹣5x+6＜0可得（x﹣2）（x﹣3）＜0，即2＜x＜3，
于是A＝{x|2＜x＜3}，
又∁UB＝{x|x≥2}，
故A⋂（∁UB）＝{x|2＜x＜3}＝A．
9．（2023•湖南模拟）已知全集U＝R，集合A＝{x|2x＜1}，B＝{x|x﹣2＜0}，则（∁UA）⋃B＝（ ）
A．{x|0≤x＜2}B．RC．{x|0＜x＜2}D．{x|x＜2}
【答案】B．
解：由集合A＝{x|2x＜1}＝{x|x＜0}，B＝{x|x﹣2＜0}＝{x|x＜2}，
则（∁UA）∪B＝{x|x≥0}∪{x|x＜2}＝R．
10．（2023•全国四模）已知集合A＝{（x，y）|y＝x3}，B＝{（x，y）|y＝4x}，则A⋂B＝（ ）
A．{﹣2，0，2}B．{（0，0）}
C．{（0，0），（2，8）}D．{（﹣2，﹣8），（0，0），（2，8）}
【答案】D．
解：解方程组可得或或，
又因为A＝{（x，y）|y＝x3}，B＝{（x，y）|y＝4x}，
则A⋂B＝{（﹣2，﹣8），（0，0），（2，8）}．
11．（2023•湖南模拟）已知集合A＝{x|lg2x≤2}，B＝{x|2x≥6}，则A⋂B＝（ ）
A．{x|3≤x≤4}B．{x|0＜x≤3}C．{x|x＞0}D．{x|1≤x≤3}
【答案】A．
【解答】解：由不等式lg2x≤2，可得0＜x≤4，
所以集合A＝{x|0＜x≤4}，
又由B＝{x|2x≥6}＝{x|x≥3}，
根据集合交集的运算，可得A∩B＝{x|3≤x≤4}．
12．（2023•湖南模拟）已知集合A＝{x|2x2﹣x﹣3＜0}，B＝{x|﹣2＜3﹣x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．B．（0，5）C．D．（﹣1，5）
【答案】C．
解：因为，B＝{x|0＜x＜5}，
所以．
13．（2023•天门模拟）设全集U＝R，集合A＝{x|lg2x＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A⋂（∁UB）＝（ ）
A．[1，2）B．（﹣∞，﹣1]C．（0，1）D．[1，2]
【答案】A．
解：由A＝{x|lg2x＜1}可得A＝{x|0＜x＜2}，
∁UB＝（﹣∞，﹣1]⋃[1，+∞），
则A⋂（∁UB）＝[1，2）．
14．（2023•武侯区校级模拟）设集合A＝{x∈N|﹣1≤x≤2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}
C．{0，1}D．{1}
【答案】C．
解：因为A＝{x∈N|﹣1≤x≤2}＝{0，1，2}，
又B＝{﹣2，﹣1，0，1}，
所以A⋂B＝{0，1}．
15．（2023•潮阳区三模）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{y|y＝ln（x2+1）}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，3）B．[0，3）C．（﹣1，+∞）D．（0，3）
【答案】B．
解：解不等式得A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝（﹣1，3），
又x2+1≥1，所以y＝ln（x2+1）≥0，即集合B＝[0，+∞），
所以A∩B＝[0，3）．
16．（2023•西宁二模）设集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，3，5}，B＝{2}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{2}B．{1，2，3，5}C．{0，2，4}D．∅
【答案】A．
解：U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，3，5}，则∁UA＝{0，2，4，
则（∁UA）∩B＝{0，2，4}∩{2}＝{2}．
17．（2023•长沙模拟）已知集合A＝{x|x2＜2x}，集合B＝{x|lg2（x﹣1）＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{x|0＜x＜3}B．{x|1＜x＜2}C．{x|2≤x＜3}D．{x|0＜x＜2}
【答案】B．
解：因为A＝{x|x2＜2x}，x2﹣2x＜0，
可得0＜x＜2，
因为B＝{x|lg2（x﹣1）＜1}，lg2（x﹣1）＜1，
即0＜x﹣1＜2，可得1＜x＜3，
取交集可得A∩B＝{x|1＜x＜2}．
18．（2023•阆中市校级二模）已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{y|y＝sinx}，则（∁RA）⋂B＝（ ）
A．[﹣1，0]B．[﹣1，1]C．[0，2]D．[0，1]
【答案】D．
解：集合A＝{x|x2﹣2x＞0}＝{x|x＞2或x＜0}，
则∁RA＝{x|0≤x≤2}，
B＝{y|y＝sinx}＝{x|﹣1≤x≤1}，
故（∁RA）⋂B＝[0，1]．
19．（2023•香坊区校级三模）集合A＝{x|lg2x＞2}，集合B＝{x|x2﹣5x﹣6＞0}．则（∁RB）∩A为（ ）
A．（﹣1，4）B．（4，6]C．（4，6）D．[6，+∞）
【答案】B．
解：∵lg2x＞2，∴lg2x＞lg22²，∴x＞4，
∵x2﹣5x﹣6＞0，∴（x﹣6）（x+1）＞0，∴x＞6或x＜﹣1，
则∁RB＝[﹣1，6]，则（∁RB）∩A＝（4，6]．
20．（2023•道里区校级一模）已知集合A＝{（x，y）|2x﹣y＝0}，B＝{（x，y）|y＝2x﹣3}，则A⋂B＝（ ）
A．∅B．{（0，0）}C．{﹣3}D．R
【答案】A．
解：因为直线2x﹣y＝0与2x﹣y﹣3＝0平行，
所以A∩B＝∅．
21．（2023•万州区校级模拟）已知集合A＝{x∈Z|（2x+3）（x﹣4）＜0}，，则A⋂B＝（ ）
A．（0，e]B．{0，e}C．{1，2}D．（1，2）
【答案】C．
解：A＝{x∈Z|（2x+3）（x﹣4）＜0}＝{﹣1，0，1，2，3}，
B＝{x|y＝}＝{x|1﹣lnx≥0}＝{x|0＜x≤e}，
则A∩B＝{1，2}．
22．（2023•平顶山模拟）已知集合A＝{x|x＝2k+1，k∈N}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，则A⋂B＝（ ）
A．{﹣1，3}B．{1，2，3}C．{1，3}D．{﹣1，0，1，2，3}
【答案】C．
解：由题知集合A为正奇数组成的集合，且B＝[﹣1，3]，
则A⋂B＝{1，3}．
23．（2023•驻马店三模）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≤0}，B＝{y|y＝1﹣x2}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，1]B．[﹣1，1）C．[﹣3，1]D．[﹣3，1）
【答案】C．
解：A＝{x|x2+2x﹣3≤0}＝{x|﹣3≤x≤1}，
B＝{y|y＝1﹣x2}＝{y|y≤1}，
所以A⋂B＝[﹣3，1]．
24．（2023•黄州区校级三模）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合，则∁UA＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，2}B．{﹣2，2}C．∅D．{﹣2，﹣1，0，2}
【答案】A．
解：由题意得，，解得﹣2＜x＜2，
因为x∈N，所以A＝{0，1}，
故∁UA＝{﹣2，﹣1，2}．
25．（2023•密云区三模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|0≤x＜3，x∈N}，则A∪B＝（ ）．
A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}
【答案】C．
解：由题意，B＝{0，1，2}，
∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．
26．（2023•驻马店三模）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≤0}，B＝{y|y＝x2+4x+3，x∈A}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．[﹣1，1）D．（﹣1，1]
【答案】A．
解：由x2+2x﹣3≤0，得﹣3≤x≤1，
所以A＝[﹣3，1]，
因为y＝（x+2）2﹣1，且x∈[﹣3，1]，
所以﹣1≤y≤8，
所以B＝[﹣1，8]，
所以A∩B＝[﹣1，1]．
27．（2023•龙湖区三模）设集合M＝{x|x2+2x﹣15≤0}，N＝{x|2x+1＞1}，则M∩N＝（ ）
A．（﹣5，1）B．（﹣1，3]C．[﹣7，3）D．（﹣5，3）
【答案】B．
【解答】解：因为x2+2x﹣15＝（x+5）（x﹣3）≤0，所以﹣5≤x≤3，即M＝{x|﹣5≤x≤3}；
因为2x+1＞20＝1，所以x+1＞0，x＞﹣1，即N＝{x|x＞﹣1}；
所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤3}．
28．（2023•合肥模拟）已知集合A＝{x|＜1，x∈R}，B＝{x∈N|≤2x≤4}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{1，2}D．{0，1，2}
【答案】D．
解：∵≤2x≤4，∴2﹣1≤2x≤2²，∴﹣1≤x≤2，B＝{x|﹣1≤x≤2，x∈N}＝{0，1，2}，
∵＜1，∴﹣1＝＜0，∴x+1＞0，x＞﹣1，
A＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝{0，1，2}．
29．（2023•镇海区校级模拟）已知集合A＝{x|x+2＞0}，∁RB＝{x|x＞4}，则A∩B＝（ ）
A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|﹣2＜x≤4}C．{x|x＞4}D．{x|﹣2＜x＜4}
【答案】B．
解：∵A＝{x|x＞﹣2}，B＝{x|x≤4}，
∴A∩B＝{x|﹣2＜x≤4}．
30．（2023•高州市二模）设集合A＝{x|x2﹣16≤0}，，则A⋂B＝（ ）
A．[1，4]B．C．D．[﹣4，+∞）
【答案】B．
解：因为A＝{x|x2﹣16≤0}＝{x|﹣4≤x≤4}，，
所以A⋂B＝．
31．（2023•锦州一模）已知集合A＝{（x，y）|x＝1}，B＝{（x，y）|y＝1}，C＝{（x，y）|x2+y2＝1}，则（A⋃B）⋂C＝（ ）
A．{（0，0）}B．{（1，1）}
C．{（1，0），（0，1）}D．∅
【答案】C．
解：所求（A∪B）∩C中的元素（x，y）需满足或，
解得或，
所以共有两个元素（1，0），（0，1）满足．
32．（2023•全国模拟）设集合A＝{x∈N|﹣2＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．（0，1）B．（0，2）C．{0，1}D．{0，1，2}
【答案】C．
【解答】解：∵A＝{x∈N|﹣2＜x＜2}＝{0，1}，B＝{﹣1，0，1，2}，
∴A∩B＝{0，1}．
33．（2023•古冶区校级模拟）已知集合A＝{x|4x2﹣x﹣5≤0}，，则A⋂B＝（ ）
A．B．C．[﹣1，+∞）D．
【答案】A．
解：由，，
所以A⋂B＝．
34.（2023•包河区校级模拟）设集合，则∁R（A∩B）＝（ ）
A．∅B．{0}C．{x∈R|x≠0}D．R
【答案】C．
解：∵|x﹣1|≤1，∴﹣1≤x﹣1≤1，∴0≤x≤2，
∴A＝{x|0≤x≤2}，
∵B＝{y|y＝﹣x2，﹣≤x＜1}＝{y|﹣2≤y≤0}，
∴A∩B＝{0}，
∴∁R（A∩B）＝{x∈R|x≠0}．
35．（2023•铁岭模拟）设，N＝{x|x＞a}，若M⊆N，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＜1B．a≤1C．D．
【答案】A．
解：∵，
∵N＝{x|x＞a}，M⊆N，
∴a＜1．
36．（2023•湖北模拟）已知集合M＝{x|x2﹣2x＞0}和N＝{x|ln（x+1）＞1}，则（ ）
A．N⊆MB．M⊆N
C．M∩N＝（e﹣1，+∞）D．M∪N＝（﹣∞，0）∪（e﹣1，+∞）
【答案】D．
解：∵M＝{x|x2﹣2x＞0}＝（﹣∞，0）∪（2，+∞），N＝{x|ln（x+1）＞1}＝（e﹣1，+∞），A、B选项错误；
∴M∩N＝（2，+∞），M∪N＝（﹣∞，0）∪（e﹣1，+∞），故C错误，D正确．
37．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）设集合，，若，则（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】B
解：因为，，
所以，解得，所以1．
38．（2023·山东德州·三模）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解；，
，
因为，
所以，解得.
39．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知集合，，，则的子集共有（ ）
A．2个B．4个C．6个D．64个
【答案】D
解：因为，，
所以，
所以，则的子集共有个，
40．（2023·广西河池·校联考模拟预测）设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ）
A．{5}B．{1}C．{0，5}D．{0，1}
【答案】C
解：因为，
所以，
解得或，
的取值集合为
41．（2023·全国·模拟预测）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
解：由题意，集合表示不等式的解集，故，
集合表示当定义域为集合时，函数的值域，因此，
故和之间没有包含关系，，，
42．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知是全集，集合，满足，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：由可得,进而，故C正确，ABD错误，
故选：C
43．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
解：由题意可知，，则集合为整数的构成的集合，
，则集合为整数中奇数的构成的集合，
所以，故B正确；A ，C错误；
所以，故D错误.
44．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
解：由题知，错误；
错误：
，故C错误；
，D正确，
45．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：因为，所以.
因为，所以.
判断四个选项，只有B正确.
故选：B.
46．（2023·河南·校联考模拟预测）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
解:根据已知得，所以.
故选：A.
47.（2023·广东东莞·校考三模）已知全集和它的两个非空子集，的关系如图所示，则下列命题正确的是（ ）

A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
解：由图可知，且，非空，
则根据子集的定义可得：
对于，，不正确，
对于，，正确，
对于，，不正确，
对于，，不正确，
48．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知全集，集合，则下列区间不是的子集的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：因为且，
所以，结合选项，可得不是的子集.
49．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）若集合，则满足的集合B的个数为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
解：对于集合，由,解得，
又∵，∴.
又∵，
∴满足条件的集合可能为，，，，，，，，共8个．
50．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：由，得，所以，
因为，所以，故．
51．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
解：对于可得：
可得集合；
对于可得：
可得集合，所以，
则成立，不成立，，
所以A正确，B、C、D错误.
52．（2023·河南郑州·统考模拟预测）若且,,则称a为集合A的孤立元素．若集合,集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：集合的三元子集个数为，
满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为
，一共35种，
由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率．
53．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）以下四个写法中：① ；②；③；④，正确的个数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
解：对于①，正确；对于②，因为空集是任何集合的子集，所以正确；对于③，根据集合的互异性可知正确；对于④， ，所以不正确；四个写法中正确的个数有个，
54．（2023·山东·模拟预测）已知集合，，若，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
解：由，知，因为，，
若，则方程无解，所以满足题意；
若，则，
因为，所以，则满足题意；
故实数取值的集合为.
1.集合的有关概念
（1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性．
（2）元素与集合的两种关系：属于，记为eq \a\vs4\al(∈)；不属于，记为.
（3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
（4）五个特定的集合
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
5．常用结论
（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；
②空集是任何集合的子集（即∅⊆A）；
空集是任何非空集合的真子集（若A≠∅，则∅A）．
（2）子集个数：若有限集A中有n个元素，
则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有个．
（3）A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B．
（4）(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B) ．
6.充分条件、必要条件与充要条件的概念
7.充分、必要条件与集合的关系
设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．
（1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔AB；
（2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔BA；
（3）p是q的充要条件⇔A＝B．
8.全称量词和存在量词
9.全称命题和特称命题
10.全称命题与特称命题的否定
<知识记忆小口诀>
集合平时很常用，数学概念有不同，理解集合并不难，三个要素是关键，元素确定和互译，还有无序要牢记，空集不论空不空，总有子集在其中，集合用图很方便，子交并补很明显．
<解题方法与技巧>
集合基本运算的方法技巧：
（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；
（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.
集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.
充要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
(3)数学定义都是充要条件.
xy
-1
1
-1
-2
0
1
0
2
xy
-1
1
-1
0
2
1
-2
0
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
eq \a\vs4\al(N)
N*或N＋
eq \a\vs4\al(Z)
eq \a\vs4\al(Q)
eq \a\vs4\al(R)
文字语言
符号语言
集合间的
基本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A＝B
子集
集合A中任意一个元素均为集合B中的元素
A⊆B
真子集
集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
若p ⇒ q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p ⇒ q且q ⇏ p
p是q的必要不充分条件
p ⇏ q且q ⇒ p
p是q的充要条件
p ⇔ q
p是q的既不充分也不必要条件
p ⇏ q且q ⇏ p
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
eq \a\vs4\al(∀)
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、某些等
eq \a\vs4\al(∃)
名称
形式
全称命题
特称命题
语言表示
对M中任意一个x，有p(x)成立
M中存在元素x0，使p(x0)成立
符号表示
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)