1.17 平行线几何模型（铅笔头模型）浙教版数学七年级下册基础知识讲与练

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专题1.17 平行线几何模型（铅笔头模型）（知识讲解） 几何模型1：铅笔头模型 图二 几何模型2：多个铅笔头模型 证明思路参考几何模型1 【典型例题】 类型一、平行线几何模型➽➼铅笔头模型➻➸求解✬✬证明 1．阅读下面材料，完成（1)～（3）题． 数学课上，老师出示了这样—道题： 如图1，已知点分别在上，．求的度数． 同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法： 小明：“如图2，通过作平行线，发现，由已知可以求出的度数．” 小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得也能求出的度数．” 小华：∵如图4，也能求出的度数．” 请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______； (2) 请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为_________°； 老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．” 请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题： 如图，，点分别在上，平分若请探究与的数量关系（(用含的式子表示)，并验证你的结论． 【答案】（1）过点作；（2）30；（3）． 【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可； （2）过点作，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，进而可得答案； （3）设，过点作，根据平行线的性质可得，，进而根据角的和差关系即可得答案． 解：（1）由图中虚线可知PQ//AC， ∴小明同学辅助线的做法为过点作， 故答案为：过点作 （2）如图2，过点作， ∵AB//CD， ∴PQ//AB//CD， ∴∠1=∠3，∠2=∠4， ∵EP⊥FP， ∴∠EPF=∠3+∠4=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∵∠1=60°， ∴∠2=30°， 故答案为：30 （3）如图，设，过点作， ∵ ，即． 【点拨】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 举一反三： 【变式】问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数； 小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数； 小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为　 　°； 问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系． 【答案】问题解决：110°；问题迁移：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由见分析；（2）∠CPD＝∠β﹣∠α，理由见分析 【分析】小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝110°． （1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案； （2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案． 解：小明的思路：如图2，过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°， ∴∠APC＝50°+60°＝110°， 故答案为：110； （1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下： 如图5，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β； （2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α； 理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α； 当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β． 理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β． 【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． 类型二、平行线几何模型➽➼多铅笔头模型➻➸求解✬✬证明 2．（1）如图1，AM∥CN，求证： ①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°； ②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°； 如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．      【答案】（1）①详见分析；②详见分析；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°，证明详见分析 【分析】（1）①过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG，依据平行线的性质，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到结论；②过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，依据平行线的性质，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到结论；（2）过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，即可得出所有角的和为（n+1）•180°． 解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG ∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180° ∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360° ∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360° ②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN， ∵AM∥CN，∴EP∥FQ， ∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180° ∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°； （2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°． 证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行， ∴结合（1）问得： 所有角的和为（n+1）•180°． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用两直线平行，同旁内角互补得出结论． 举一反三： 【变式】如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180° 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案； （2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案； （3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案； （4）由（2）（3）类比可得答案． 解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：180°； （2）如图2，过点E作AB的平行线EF， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF，CD∥EF， ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=360°； （3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线， 类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°， 故答案为：540°； （4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°， 故答案为：（n-1）×180°． 【点拨】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．