第06讲 分式（知识点梳理）（记诵版）-【学霸计划】2024年中考数学大复习

这是一份第06讲 分式（知识点梳理）（记诵版）-【学霸计划】2024年中考数学大复习，共6页。学案主要包含了分式的概念，分式的基本性质，分式的约分，分式的通分等内容，欢迎下载使用。

考点01 分式
一、分式的概念
1.概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式，A叫作分子，B叫作分母。
2.分式的三个要素：
（1）形如的式子；
（2）A，B是整式；
（3）分母B中含有字母。
3.分式有意义的条件：分母不等于0。
4.分式无意义的条件：分母等于0.
5.分式的值为0的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。
二、分式的基本性质
1.分式的意义：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
2.用式子表示：，其中A，B，C均为整式。
三、分式的约分、最简分式
1.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子、分母的公因式约去，叫作分式的约分。
2.分式约分的依据：分式的基本性质。
3.约分的方法：
（1）先确定分式的分子、分母的公因式，当分子、分母都是单项式时，分子、分母的公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积；当分子、分母是多项式时，应先将多项式因式分解，再根据确定公因式的方法确定公因式；
（2）根据分式基本性质，分子分母都除以它们的公因式；
（3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式。
4.分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式。
四、分式的通分、最简公分母
1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫作分式的通分。
2.通分的依据：分式的基本性质。
3.最简公分母：异分母的分式通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫作最简公分母。
4.确定最简公分母的方法：
（1）取各分母的系数的最小公倍数；
（2）各分式的分母中所有字母（或因式）都要取到；
（3）相同字母（或因式）的幂取指数最大的；
（4）所得系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积即为最简公分母。
5.约分与通分的联系与区别
（1）联系：约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；
（2）区别：约分是针对一个分式来说的，而通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式。
考点02 分式的运算
一、分式的乘除
1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。用式子表示：；
2.分式乘法运算的结果需通过约分化为最简分式或整式；当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变；分式的分子或分母的系数是负数时，一般把负号提到分式前面；分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解因式看能否约分，然后相乘。
3.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。用式子表示：。
4.分式的除法运算结果要通过约分化为最简分式或整式的形式；当除式（或被除式）是整式时，可以看作分母是1的式子，然后按分式除法法则计算；乘除混合运算，一般按从左到右的顺序进行，也可以将除法转化为乘法后，根据乘法交换律、结合律简化运算。
5.分式的乘方
（1）法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方；
（2）用式子表示：；
二、分式的加减
1.同分母分式相加减：
（1）法则：分母不变，把分式相加减；
（2）式子表示：；
2.异分母分式相加减：
（1）法则：先通分，变为同分母的分式，再加减。
（2）式子表示：
3.同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添括号；异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式加减法进行运算；分式加减运算的结果要化为最简分式或整式。
三、整数指数幂
1.概念：一般地，当是正整数时，。
2.当为整数时，，，所以。
3.；。
4.科学记数法：用科学记数法表示绝对值小于1的数时，可以表示为的形式，其中，为原数左起第一个不为零的数字前面所有零的总个数（包括小数点前面的那个零）。
5.分式的混合运算：分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同，必须按照运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号时先去小括号再去中括号，最后结果要化为最简分式或整式。
考点03 分式方程
1.分式方程的概念：分母中含未知数的方程叫作分式方程。
2.分式方程的特征：一是方程；二是分母中含有未知数。
3.分式方程的解法：
（1）解分式方程的基本思路是去分母，将分式方程化为整式方程；
（2）解分式方程的一般步骤：
①去分母：在方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程；
②解方程：解这个整式方程；
③检验：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不为0的根是原方程的根；使最简公分母等于0的根不是原方程的根，必须舍去。
4.分式方程的增根
（1）增根的定义：在方程两边都乘以一个含未知数的最简公分母时，扩大了未知数的取值范围；有时可能产生不合适原方程的根，这种根叫方程的增根。
（2）分式方程产生增根的原因：解方程时，总是将方程两边同乘以含有未知数的整式（即最简公分母），将分式方程化为整式方程，当所乘的这个整式不为0时，所得的整式方程与原方程同解，当所乘的整式为0时，原方程中的分式无意义，求出来的根就是增根。
（3）增根的特点：增根是原分式方程转化成整式方程后所产生的根，增根必定使各分式的最简公分母的值等于0.
考点04 分式方程的应用
1.解分式方程的步骤：
（1）审清题意；
（2）找出等量关系；
（3）设未知数；
（4）列出分式方程；
（5）解这个分式方程；
（6）既要检验所得未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验其是否符合题意；
（7）写出答案；
2.用分式方程解应用题的常见题型
（1）行程问题：有路程、时间和速度3个量，其关系式是“路程=速度×时间”，一般是以时间为等量关系。
（2）工程问题：有工作效率、工作时间和工作总量3个量，其关系式是“工作总量=工作效率×工作时间”，一般以工作总量为等量关系。
（3）增长率问题：其等量关系式是“原量×（1+增长率）=增长后的量，原量×（1-减少率）=减少后的量”。