第02讲 整式（知识点梳理）（记诵版）-【学霸计划】2024年中考数学大复习

这是一份第02讲 整式（知识点梳理）（记诵版）-【学霸计划】2024年中考数学大复习，共6页。学案主要包含了单项式，多项式等内容，欢迎下载使用。

考点01 代数式
1.代数式的概念：用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数式。单独一个数或一个字母也是代数式；运算符号是指加、减、乘、除、乘方等。
2.代数式的书写规则：
（1）含有乘法运算的代数式的书写规则：字母与字母相乘，乘号一般可以省略不写，字母的排列顺序不变；数字与字母相乘，乘号一般也可以省略，但数字一定要写在字母的前面，且当数字是带分数时，必须写成假分数的形式；数字与数字相乘，乘号不能省略；带括号的式子与字母的地位相同。
（2）含有除法运算的代数式的书写规则：当代数式中含有除法运算时，一般不用“÷”，而改用分数线；因为分数线具有括号的作用，所以分数线又称括线。
（3）含有单位名称的代数式的书写规则：若代数式是和或差的形式，如需注明单位，则必须用括号把整个式子括起来后再写单位；若代数式是积或商的形式，则无需加括号，直接在代数式后面写出单位即可。
3.代数式的值
（1）代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算出的结果，叫作代数式的值。
（2）求代数式的值的步骤：
第1步：代入，用具体数值代替代数式里的字母；
第2步：计算，按照代数式里指明的运算，计算出结果。
（3）求代数式的值时要注意：一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值去代替；如果代数式里省略了乘号，那么字母用数值代替时要添上乘号，代入负数和分数时要加括号；代入数值时，不能改变原式中的运算符号及数字。
(4)运算时，要注意运算顺序。（先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要求先算括号里面的）
考点02 单项式和多项式
一、单项式
1.单项式的概念：如3、、、等这些代数式都是数字、字母、数字与字母的积、字母与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
2.单项式中不能含有加减法运算，但可以含有除法运算。
3.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，确定单项式的系数的注意事项：
（1）确定单项式的系数时，最好现将单项式写成数与字母的乘积的形式，在确定系数；
（2）圆周率是常数，单项式中出现时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，1通常省略不写，负数做系数应包括前面的符号；
（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。
4.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；不能将数字的指数一同计算。
二、多项式
1.多项式的概念：几个单项式的和叫作多项式，例如：，等。
2.多项式的项：在多项式中每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项。
3.多项式中应注意的问题：
（1）多项式的每一项包括它前面的符号；
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，例如：是一个三项式。
4.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫作这个多项式的次数。多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数；多项式通常以它的项的次数和项数来命名，例如：是一个六次三项式。
5.整式：单项式与多项式统称为整式。所有的整式都是代数式，但反过来就不一定是整式。
6.多项式的降幂与升幂排列
（1）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫作把这个多项式按这个字母降幂排列；把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫作把这个多项式按这个字母升幂排列。
考点03 整式的加减
1.同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项，所有的常数项都是同类项。
2.合并同类项
（1）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项；
（2）合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；
（3）合并同类项的一般步骤：①找出多项式中的同类项；②将多项式中的同类项移到一起；③将系数相加，字母和字母的指数不变。
3.去括号：如果括号外的因数是正数，那么去括号后，原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
4.整式加减法的运算法则：几个整式加减，如果有括号，当出现多层括号时，一般由里向外去括号，如遇特殊情况，为了简便运算，也可由外向里逐层去括号。
考点04 整式的乘法
1.同底数幂的乘法：
（1）法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
（2）符号表示：（都是正整数）
（3）知识拓展：当3个或3个以上同底数幂相乘时，也同样适用这一法则；法则可以逆运用，即；
2.幂的乘方：
（1）法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；
（2）符号表示：（都是正整数）；
（3）知识拓展：法则可推广为（都是正整数）；法则可逆运用，（都是正整数）；不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，幂的乘方是转化为指数的乘法运算，同底数幂的乘法是转化为指数的加法运算。
3.积的乘方：
（1）法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
（2）符号表示：（是正整数）；
（3）知识拓展：3个或3个以上的数的乘积，也适用这一法则；法则可以逆运用。
4.单项式乘单项式
（1）法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
（2）单项式乘以单项式的运算步骤：①系数：把它们的系数相乘，包括它们的符号；②同底数幂：同底数幂相乘；③只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
（3）知识拓展：①应先确定积的符号；②注意按运算顺序进行；③不要丢掉只有一个单项式里含有的字母。
5.单项式乘多项式：
（1）法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即
；
（2）知识拓展：单项式与多项式相乘的依据是乘法分配律，先将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式，再转化为同底数幂相乘；单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，运算时可以以此来检验是否漏乘。
6.多项式乘多项式：
（1）法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即：；
（2）知识拓展:①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积；③多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，运算过程中要注意先确定积中各项的符号；④相乘后，若有同类项应该合并。
7.同底数幂的除法：
（1）法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
（2）符号表示：（，都是正整数，且）；
（3）知识拓展：3个或3个以上的同底数幂相除，也适用这一法则；法则可以逆运用。
（4）0次幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即。
8.单项式除以单项式：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。单项式除以单项式的结果仍为单项式。
9.多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。多项式除以单项式的结果是一个多项式。
考点05 乘法公式
1.平方差公式：
（1）符号表述：
（2）语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；
（3）知识拓展：①公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式可以逆运用；
2.完全平方公式：
（1）符号表述：两数和的完全平方公式
两数差的完全平方公式
（2）语言描述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。
（3）①公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式可以逆运用；
3.添括号法则：
（1）法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
（2）字母表示：。
考点06 因式分解
1.概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作把这个多项式分解因式。
2.因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式是积化和，因式分解则是和化积。
3.因式分解的结果要以积的形式表示，否则不是因式分解；因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底。
4.公因式：多项式的各项中都含有的公共因式叫作这个多项式的公因式。确定公因式时，一看系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；二看字母，取各项相同的字母；三看指数，取相同字母的最低次幂；最后还要根据情况确定符号。
5.提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。（注意：①所提公因式必须是最大公因式；②如果多项式的首相系数是负数，应先提出“-”号；③如果多项式的某一项恰好与公因式相同，那么提公因式后此项为1，而不是0）
6.用平方差公式分解因式：（公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式）
7.用完全平方公式分解因式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即：，；公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式。
8.因式分解的一般步骤：一提；二套；三试；四分；五查。