2022-2023学年陕西省西安市雁塔区益新中学七年级（下）第二次月考数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省西安市雁塔区益新中学七年级（下）第二次月考数学试卷(含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是( )
A. 吉B. 祥C. 如D. 意
2.下列运算正确的是( )
A. (−a3)2=a6B. a8÷a2=a4C. a3+a3=a6D. a⋅a5=a5
3.2019年12月，新型冠状病毒肺炎爆发，目前检测出的新型冠状病毒的半径平均在50纳米左右，即0.00000005米，用科学记数法表示0.00000005正确的是( )
A. 5×107B. 5×108C. 5×10−7D. 5×10−8
4.下列说法中，正确的是( )
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 同位角相等
C. 从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5.某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为( )
A. y=x(100−x)B. y=x(100−6x)
C. y=(100−x)(15+x)D. y=(100−6x)(15+x)
6.如图，在△ABC中，AB=AC=24cm，∠B=∠C，BC=16cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.若在某一时刻能使△BPD与△CQP全等.则点Q的运动速度为( )
A. 4cm/s
B. 3cm/s
C. 4cm/s或3cm/s
D. 4cm/s或6cm/s
7.如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的容积为( )
A. b2−4a2
B. ab2−4a2b+4a3
C. ab2+4a2b+4a3
D. a3−2a2+ab
8.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N，CD与BM交于点E.下列结论：①∠ABM=∠ACD；②DM=DN；③∠AMD=45°；④S△EDN=S△ADM.其中正确结论有个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.如图，在△ABC和△FED中，AD=FC，∠A=∠F，要使△ABC≌△FED，可以添加的条件是______.(写出一个即可)
10.如图，将一张长方形纸条折叠，如果∠1=64°，则∠2的度数为______．
11.小杜在爬一小山时，前一阶段的平均速度为v，所用时间为t1；后一阶段的平均速度为14v，所用时间为t2.下山时，小杜的平均速度保持为2v，已知小杜上山的路程和下山的路程是相同的，那么小杜下山所用时间为______．
12.若a=20220，b=2020×2022−20212，c=(−2)2022×(12)2021，比较a、b、c大小(用“<”连接) ______．
13.如图，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF的面积为4，则四边形AEFD的面积为______．
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
尺规作图：作△ABC，使∠ABC=a，AB=m，BC=n.(保留作图痕迹，不写作法)．
15.(本小题8分)
计算：(−1)2023×(π−5)0−(−12)−3．
16.(本小题8分)
先化简，再求值：[(a−2b)2−(a−2b)(a+2b)]÷2b，其中a=1，b=−2．
17.(本小题8分)
如图，有一块长为(4a−b)米，宽为(2a−b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间预留边长为(a+b)米正方形地块种花．
(1)用含a、b的代数式表示阴影部分的面积；
(2)若a=20，b=5，求阴影部分的面积．
18.(本小题8分)
已知：如图，AB//DE，AB=DE，AC=DF.求证：△ABF≌△DEC．
19.(本小题8分)
如图，点D在线段AB上，点E、F在线段BC上，DE/​/AC，DF/​/AE，DF平分∠BDE.试说明：AE平分∠BAC．
解：因为DF平分∠BDE(已知)，
所以______(角平分线定义)．
因为DF//AE(已知)，
所以∠3=∠4(理由：______)，
∠2=∠5(理由：______)，
所以∠2=∠3=∠4=∠5(等式的性质)．
因为DE//AC(已知)，
所以∠3= ______(两直线平行，内错角相等)，
所以______(等式性质)，
所以AE平分∠BAC(理由：______).
20.(本小题8分)
如图所示，△ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，证明：∠D=12∠A．
21.(本小题8分)
如图，已知AB=12cm，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC=4cm，点P从点B向点A运动，每秒钟走1cm，点Q从点B向点D运动，每秒钟走2cm，两点同时出发，运动几秒钟后，△CPA与△PQB全等？
22.(本小题8分)
(1)已知3m=6，3n=2，求32m+n−1的值；
(2)已知a2+b2+2a−6b+10=0，求(a−b)−3的值．
23.(本小题8分)
某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收，超过的部分按每吨3.3元收费．
(1)设某户某月用水量为x吨(x>20)，应缴水费为y元，写出y关于x的函数关系式．
(2)若该城市某户6月份用水15吨，该户6月份水费是______．
(3)某用户8月份水费为76.4元，求该用户8月份用水量．
24.(本小题8分)
代数推理：
阅读材料：利用完全平方式，将多项式x2+bx+c变形为(x+m)2+n的形式，然后由(x+m)2≥0就可以求出多项式x2+bx+c的最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：x2−12x+ ______=(x−______)2；
(2)将多项式x2+16x−1变形为(x+m)2+n的形式，并求出x2+16x−1的最小值；
(3)若一个长方形的长和宽分别为(2a+3)和(3a+5)，面积记为S1，另一个长方形的长和宽分别为5a和(a+3)，面积记为S2，试比较S1和S2的大小，并说明理由．
25.(本小题8分)
(1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE．
(2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图(3)，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：B，C，D选项中的方块字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的方块字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：A、(−a3)2=a6，故A符合题意；
B、a8÷a2=a6，故B不符合题意；
C、a3+a3=2a3，故C不符合题意；
D、a⋅a5=a6，故D不符合题意；
故选：A．
利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】D
【解析】解：0.00000005=5×10−8．
故选：D．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，掌握形式为a×10−n，其中1≤|a|<10是关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、过直线外的一点有且只有一条直线与已知直线平行，不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等，不符合题意；
C、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，不符合题意；
D、同一平面内，过直线外的一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合题意；
故选：D．
根据平行线的判定与性质、点到直线的距离、平行公理及推论判断求解即可；
此题考查了平行线的性质、点到直线的距离等知识点，熟练掌握平行线的判定和性质、点到直线的距离等有关知识是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意得，y=(100−6x)(15+x)，
故选：D．
根据单价每提高1元，销售量减少6千克，即可得到y关于x的函数表达式；
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式．
6.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC=24cm，∠B=∠C，BC=16cm，点D为AB的中点，
∴BD=12×24=12，
设点P、Q的运动时间为t s，
∴BP=4t，
∴PC=(16−4t)，
若△BPD与△CQP全等．则有：
①当BD=CP时，16−4t=12，
解得：t=1，
则BP=CQ=4，
故点Q的运动速度为：4÷1=4；
②当BP=PC时，
∵BC=16cm，
∴BP=PC=8，
∴t=8÷4=2．
故点Q的运动速度为12÷2=6．
所以，点Q的运动速度为4cm/s或6cm/s
故选：D．
设点P、Q的运动时间为t s，分别表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD、CQ是对应边两种情况讨论求解即可．
本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．
7.【答案】B
【解析】解：纸盒的底面积为(b−2a)2，高为a，
∴这个纸盒的容积为(b−2a)2×a=ab2−4a2b+4a3，
故选：B．
根据容积的公式为底面积乘以高即可计算．
本题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知完全平方公式的应用．
8.【答案】D
【解析】解：∵CD⊥AB于点D，BM⊥AC于点M，
∴∠BDC=∠ADC=∠CMB=∠AMB=90°，
∴∠ABM=∠ACD=90°−∠A，
故①正确；
∵DN⊥MD，交BM于点N，
∴∠MDN=90°，
∴∠CDM=∠BDN=90°−∠CDN，
∵∠BDC=90°，∠ABC=45°，
∴∠DCB=∠DBC=45°，
∴CD=BD，
在△CDM和△BDN中，
∠CDM=∠BDNCD=BD∠MCD=∠NBD，
∴△CDM≌△BDN(ASA)，
∴DM=DN，
故②正确；
∵DM=DN，∠MDN=90°，
∴∠DMN=∠DNM=45°，
∴∠AMD=∠AMB−∠DMN=90°−45°=45°，
故③正确；
∵∠END=45°，∠AMD=45°，
∴∠END=∠AMD，
∵∠EDN+∠CDM=90°，ADM+∠CDM=90°，
∴∠EDN=∠ADM，
在△EDN和△ADM中，
∠END=∠AMDDN=DM∠EDN=∠ADM，
∴△EDN≌△ADM(ASA)，
∴S△EDN=S△ADM，
故④正确，
故选：D．
由CD⊥AB于点D，BM⊥AC于点M，得∠BDC=∠ADC=∠CMB=∠AMB=90°，则∠ABM=∠ACD=90°−∠A，可判断①正确；
由∠DCB=∠DBC=45°，得CD=BD，而∠CDM=∠BDN=90°−∠CDN，可证明△CDM≌△BDN，得DM=DN，可判断②正确；
由∠AMB=90°，∠DMN=∠DNM=45°，得∠AMD=45°，可判断③正确；
由∠END=∠AMD=45°，∠EDN=∠ADM=90°−∠CDM，DN=DM，可证明△EDN≌△ADM，则S△EDN=S△ADM，可判断④正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明△CDM≌△BDN及△EDN≌△ADM是解题的关键．
9.【答案】AB=EF(答案不唯一)
【解析】解：∵AD=FC，∠A=∠F，
∴AD+CD=CD+CF，即AC=DF，
在△ABC和△FED中，已有一边一角相等，只需要添加一边或一角，
当添加一边时，根据SAS判定，必是AB=EF；
当添加一角时，根据ASA或AAS判定，可以是∠B=∠E或∠ACB=∠FDE等，
故答案为：AB=EF(答案不唯一)．
根据全等三角形的判定定理：SAS 或ASA或AAS，即可推出要添加的条件．
本题主要考查全等三角形的判定定理，关键在于熟练掌握全等三角形的判定定理．
10.【答案】58°
【解析】解：如图，设∠3=x，
由翻折变换的性质可知：180°−x=x+64°，
∴x=58°，
∴∠3=58°，
由平行线的性质可知∠2=∠3=58°．
故答案为：58°．
如图，设∠3=x，构建方程求出x，可得结论．
本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．
11.【答案】12t1+18t2
【解析】解：(vt1+v4t2)÷2v=12t1+18t2；
答：小杜下山所用时间为12t1+18t2；
故答案为：12t1+18t2．
根据时间等于路程除以速度，进行计算即可．
本题考查多项式除以单项式．熟练掌握多项式除以单项式的法则，是解题的关键．
12.【答案】b【解析】解：a=20220=1；
b=2020×2022−20212
=(2021−1)×(2021+1)−20212
=20212−1−20212
=−1；
c=(−2)2022×(12)2021
=(−2×12)2021×(−2)
=2；
∴b故答案为：b先利用零指数幂的运算法则计算a，利用平方差公式化简求出b，利用积的乘方的运算法则求出c，再利用有理数大小的比较方法，比较a、b、c得结论．
本题考查了零指数幂、平方差公式、积的乘方、有理数大小的比较等知识．变形2020×2022−20212，利用平方差公式计算出其值是解题的关键．
13.【答案】14
【解析】解：如图，连接AF，
∵EF=FC，△BEF的面积为4，
∴△BFC的面积为4，
∵BF=2FD，
∴△DFC的面积为2，
∵EF=FC，
∴△AEF的面积=△AFC的面积=△ADF的面积+2，
∵BF=2FD，
∴△ABF的面积=△ADF的面积×2，
∴△AEF的面积+4=△ADF的面积×2，
∴△ADF的面积+2+4=△ADF的面积×2，
∴△ADF的面积=6，
∴△AEF的面积=8，
则四边形AEFD的面积=△AEF的面积+△ADF的面积=14．
故答案为：14．
根据等底等高的三角形面积相等即可解决问题．
本题考查了三角形的面积，解决本题的关键是掌握等底等高的三角形面积相等．
14.【答案】解：如图所示的△ABC就是所要求作的图形．
【解析】先作出∠MBN=α，然后在边BM上截取BA=m得到点A，在边BN上截取BC=n得到点C，连接AC，即可得到符合要求的图形．
本题主要考查了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的作法，都是基本作图，需要熟练掌握．
15.【答案】解：(−1)2023×(π−5)0−(−12)−3
=−1×1−(−8)
=−1+8
=7．
【解析】根据幂的运算，零指数幂，负整数指数幂的运算求解即可．
本题考查了幂的运算，零指数幂，负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
16.【答案】解：[(a−2b)2−(a−2b)(a+2b)]÷2b，
=(a2−4ab+4b2−a2+4b2)÷2b，
=(8b2−4ab)÷2b，
=4b−2a，
将a=1，b=−2代入得：4b−2a=4×(−2)−2×1=−10．
【解析】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，再算除法，最后代入求出结果即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解答此题的关键，要正确运用运算顺序．
17.【答案】解：(1)S阴影=(4a−b)(2a−b)−(a+b)2
=8a2−4ab−2ab+b2−a2−2ab−b2
=7a2−8ab．
(2)当a=20，b=5时，
S阴影=7a2−8ab=7×202−8×20×5=2000(m2).
【解析】(1)分别表示出大长方形，小正方形的面积，作差得到阴影部分的面积．
(2)把a，b的值代入(1)中求出的结果即可．
本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，结合图形列出等式是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AB//DE，
∴∠A=∠D，
∵AC=FD，
∴AF=DC，
在△ABF和△DEC中，
AB=DE∠A=∠DAF=DC，
∴△ABF≌△DEC(SAS)．
【解析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．根据SAS证明△ABF≌△DEC即可．
19.【答案】∠4=∠5 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同位角相等 ∠1 ∠1=∠2 角平分线定义
【解析】解：因为DF平分∠BDE(已知)，
所以∠4=∠5(角平分线定义)．
因为DF//AE(已知)，
所以∠3=∠4(理由：两直线平行，内错角相等)，
∠2=∠5(理由：两直线平行，同位角相等)，
所以∠2=∠3=∠4=∠5(等式的性质)．
因为DE//AC(已知)，
所以∠3=∠1(两直线平行，内错角相等)，
所以∠1=∠2(等式性质)，
所以AE平分∠BAC(理由：角平分线定义)．
故答案为：∠4=∠5；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；∠1；∠1=∠2；角平分线定义．
由角平分线的定义可得∠4=∠5，再由平行线的性质可得∠3=∠4，∠2=∠5，则有∠2=∠3=∠4=∠5，即可判定DE/​/AC，则有∠3=∠1，可得∠1=∠2，即可判定AE平分∠BAC．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
20.【答案】证明：如图，

∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACM，
∴∠DCM=12∠ACM，∠CBD=12∠ABC，
∵∠ACM=∠A+∠ABC，
∴∠DCM=12∠A+12∠ABC=12∠A+∠CBD，
∵∠DCM=∠D+∠CBD，
∴∠D+∠CBD=12∠A+∠CBD，
∴∠D=12∠A．
【解析】根据角平分线性质可得∠DCM=12∠ACM，∠CBD=12∠ABC，另根据三角形的外角性质得∠ACM=∠A+∠ABC，∠DCM=∠D+∠CBD，从而得∠D+∠CBD12∠A+∠CBD，即可证明结论成立．
本题考查了角平分线的性质以及三角形外角等于不相邻两内角的和的性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键．
21.【答案】解：1)当△CPA≌△PQB时，BP=AC=4(米)，
则BQ=AP=AB−BP=12−4=8(米)，
A的运动时间是：4÷1=4(分钟)，
Q的运动时间是：8÷2=4(分钟)，
则当t=4分钟时，两个三角形全等；
2)当△CPA≌△PQB时，BQ=AC=4(米)，
AP=BP=12AB=6(米)，
则P运动的时间是：6÷1=6(分钟)，
Q运动的时间是：4÷2=2(分钟)，
故不能成立．
总之，运动4分钟后，△CPA与△PQB全等．
【解析】分当△CPA≌△PQB时和当△CPA≌△PQB时，两种情况进行讨论，求得BQ和BP的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可，满足全等，若不等，则不能成立．
本题考查了全等三角形的判定，注意分△CPA≌△PQB和△CPA≌△PQB两种情况讨论是关键．
22.【答案】解：(1)∵3m=6，3n=2，
∴32m+n−1=(3m)2⋅3n⋅3−1
=62×2×13
=36×2×13
=24；
(2)a2+b2+2a−6b+10=0变形为(a2+2a+1)+(b2−6b+9)=0，
∴(a+1)2+(b−3)2=0，
∴a+1=0，b−3=0，
∴a=−1，b=3，
∴a−b=−1−3=−4，
∴(a−b)−3=(−4)−3=−164．
【解析】(1)利用同底数幂的乘法法则的逆运算和负整数指数幂可得32m+n−1=(3m)2⋅3n⋅3−1，再将3m=6，3n=2代入即可求解；
(2)将a2+b2+2a−6b+10=0变形为(a2+2a+1)+(b2−6b+9)=0，再利用完全平方式可得(a+1)2+(b−3)2=0，根据非负数的性质可得a=−1，b=3，再将其代入(a−b)−3中即可求解．
本题主要考查同底数幂的乘法、负整数指数幂、配方法的应用、非负数的性质，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】37.5元
【解析】解：(1)设某户某月用水量为x吨(x>20)，超出20吨的水量为(x−20)吨，
则该户20吨的按每吨2.5元收费，(x−20)吨按每吨3.3元收费，
应缴水费y=2.5×20+3.3×(x−20)，
整理后得：y=3.3x−16，
答：y关于x的函数关系式为y=3.3x−16；
(2)根据题意：该户用水15吨，按每吨2.5元收费，
2.5×15=37.5(元)，
∴该户6月份水费是37.5元；
故答案为：37.5元；
(3)若用水量为20吨，则收费为：20×2.5=50(元)，
∵50元<76.4元，
∴该用户用水超过20吨，
∴3.3x−16=76.4，解得x=8，
∴该用户8月份用水量为28吨．
(1)如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收费，超过的部分按每吨3.3元收费，设某户某月用水量为x吨，那么超出20吨的水量为(x−20)吨，根据水费=每吨水的价格×用水量，即可得出答案；
(2)每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费，而该城市某户6月份用水15吨，未超过20吨，根据水费=每吨水的价格×用水量，即可得出答案；
(3)根据题意可知，该用户用水超过20吨，所以3.3x−16=76.4，解得x=28，由此可得结论．
本题考查的是一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键．
24.【答案】36 6
【解析】解：(1)由完全平方公式可得x2−12x+36=(x−6)2，
故答案为：36；6．
(2)x2+16x−1
=x2+2x⋅8+82−82−1
=(x+8)2−65，
无论x取何值，(x+8)2总是非负数，
即(x+8)2≥0，
∴(x+8)2−65≥−65，
∴x2+16x−1的最小值为−65．
(3)由题意得：S1=(2a+3)(3a+5)=6a2+19a+15，
S2=5a(a+3)=5a2+15a，
∴S1−S2=6a2+19a+15−5a2−15a
=a2+4a+15
=a2+2a⋅2+22−22+15
=(a+2)2+11，
无论a取何值，(a+2)2总是非负数，即(a+2)2≥0，
∴(a+2)2+11≥11，
∴S1−S2的最小值为11，
∴S1−S2>0，
∴S1>S2．
(1)根据完全平方公式进行计算即可；
(2)根据完全平方公式对原式进行整理，根据完全平方公式的非负性求值即可；
(3)根据S1−S2的值判断即可．
本题考查了完全平方公式，完全平方公式的非负性，解题的关键是配方求最小值：把式子化为a2+b的形式，当a=0时取得最小值为b．
25.【答案】解：(1)如图1，
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ADB和△CEA中，
∠BDA=∠AEC∠DBA=∠EACAB=CA,
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
(2)成立：DE=BD+CE．
如图2，
证明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
∠BDA=∠AEC∠DBA=∠EACAB=CA．
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
(3)如图3，
过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI，交HI的延长线于N．
∴∠EMI=∠GNI=90°，
由(1)和(2)同理可证△AEM≌△BAH，△AGN≌△CAH，
∴EM=AH=GN
∴EM=GN
在△EMI和△GNI中，
∠EIM=∠GIN∠EMI=∠GNIEM=GN,
∴△EMI≌△GNI(AAS)，
∴EI=GI
∴I是EG的中点．
【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD=AE、CE=AD是解题的关键．
(1)由条件可证明△ADB≌△CEA，可得DA=CE，AE=BD，可得结论；
(2)由条件可知∠BAD+∠CAE=180°−α，且∠DBA+∠BAD=180°−α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ADB≌△CEA，同(1)可得出结论；
(3)过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI，交HI的延长线于N.由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点．例题：求x2+8x+21的最小值
解：x2+8x+21
=x2+2x⋅4+42−42+21
=(x+4)2+5
无论x取何值，(x+4)2总是非负数，
即(x+4)2≥0所以(x+4)2+5≥5
所以：当x=−4时，x2+8x+21有最小值，最小值为5