专题01 高一上期末真题精选（常考122题 29类考点专练） -2024-2025学年高一数学上学期期末重难点突破（人教A版2019）

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【题型1】集合的概念
【题型2】集合间的基本关系
【题型3】集合的基本运算
【题型4】充分性与必要性
【题型5】全称量词与存在量词
【题型6】基本不等式
【题型7】二次函数与一元二次方程、不等式
【题型8】函数的概念及其表示
【题型9】函数的基本性质
【题型10】分段函数模型
【题型11】指数与对数运算
【题型12】指数（对数）函数过定点
【题型13】指数（对数）函数图象问题
【题型14】指数（对数）型复合函数的值域问题
【题型15】对数型复合函数单调区间
【题型16】指数（对数）型复合函数借助单调性奇偶性比较大小
【题型17】根据不同函数增长差异选择适当的函数模型
【题型18】函数零点（方程的根）问题
【题型19】二分法
【题型20】任意角与弧度制
【题型21】三角函数定义
【题型22】同角三角函数基本关系
【题型23】诱导公式化简问题
【题型24】三角函数的图象与性质
【题型25】三角函数图象变化
【题型26】求三角函数解析式
【题型27】生活中的三角函数模型
【题型28】三角函数中的零点问题
【题型29】三角函数中的恒成立问题
01集合的概念
1．（2023下·广西北海·高二统考期末）用列举法可将集合表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】.
集合表示为.
故选：D.
2．（2022上·山西忻州·高三校考期末）设集合，则集合M中所有元素的和为 ．
【答案】
【详解】因为且，
所以时，，符合题意；
时，，符合题意；
时，，符合题意；
时，，符合题意；
时，，符合题意；
时，，符合题意；
时，，则时不符合题意；
所以集合共有个元素，元素之和为.
故答案为：.
3．（2022上·新疆阿克苏·高一校考期末）已知集合，若，则实数 .
【答案】0
【详解】若，则，而，不满足集合元素的互异性；
若，则，故，满足题设，
所以.
故答案为：0
4．（2022上·西藏林芝·高一校考期末）集合中只有一个元素，则实数的值是 .
【答案】
【详解】因为集合中只有一个元素，
则，解得.
故答案为：.
02集合间的基本关系
1．（2022上·云南文山·高二校考期末）下列式子表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】对于选项A，由空集的定义可得：空集是任意非空集合的真子集，即，正确；
对于选项B，根据集合的关系知，错误；
对于选项C，根据集合的关系知，错误；
对于选项D，根据元素与集合的关系知，错误.
故选：A.
2．（2021·陕西西安·校考模拟预测）已知集合或，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】A
【详解】当时，无解，此时，满足题意；
当时，有解，即，
若，则，所以要使，需满足，解得；
若，则，所以要使，需满足，解得.
综上，实数a的取值范围为.
故选：A.
3．（多选）（2021上·福建福州·高一校联考期中）已知集合，集合，则集合可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【详解】因为集合，
对于A：满足，所以选项A符合题意；
对于B：满足，所以选项B符合题意；
对于C：满足，所以选项C符合题意；
对于D：不是的真子集，故选项D不符合题意，
故选：ABC.
03集合的基本运算
1．（2022上·新疆阿克苏·高一校考期末）设集合，则（ ）
A．{2}B．{4,5}C．{3,4}D．{2,3}
【答案】D
【详解】由题设.
故选：D
2．（2022上·云南临沧·高二校考期末）集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】集合，，
则，
故选：B.
3．（2022上·新疆阿克苏·高一校考期末）已知集合，B＝{x|}.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
.
（2），则，解得,
所以实数的取值范围为.
4．（2023上·江苏徐州·高一徐州高级中学校考期中）已知，，其中.
(1)当时，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）当时，，
所以，.
（2）若，则，则，解得.
故实数的取值范围是.
5．（2021上·江苏常州·高一校联考期中）设为实数，集合，.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)
【详解】（1）集合，时，，
所以，
又因为，
所以或，
（2）由，得或，
即或，
所以实数m的取值范围是.
6．（2017上·辽宁大连·高一庄河高中校考期末）已知全集，集合．
(1)求,；
(2)已知集合，若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)
【详解】（1）全集，集合；
∴；
，
∴；
（2）∵，
又集合，且，
∴，解得，
∴实数的取值范围是．
04充分性与必要性
1．（2022上·贵州黔西·高二校考期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】先说充分性：当，比如，此时：不成立，所以“”不是“”的充分条件；
再说必要性：，所以成立，所以“”是“”的必要条件.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
2．（2023下·辽宁·高二校联考期末）“”是“方程有实数解”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】当时，此时的方程为，即无解，所以有实数解；
因为，所以，即，所以方程有实数解；
所以“”是“方程有实数解”的必要不充分条件．
故选：B.
3．（多选）（2023上·四川凉山·高一统考期末）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】因为方程至多有一个实数根，
所以方程的判别式，
即：，解得，
利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C.
故选：BC.
4．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由，解得，记，
由，解得，记，
∵“”是“”的充分非必要条件，
∴真包含于，即，解得.
故答案为：
05全称量词与存在量词
1．（2022上·江西宜春·高二校考期末）已知命题，都有，则为（ ）
A．，都有B．，使得
C．，都有D．，使得
【答案】D
【详解】命题，都有，所以为，使得，
故选：D.
2．（多选）（2023上·安徽·高一安徽省颍上第一中学校联考期末）命题p：，是假命题，则实数b的值可能是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】AB
【详解】因为命题p：，是假命题，
所以命题：，是真命题，也即对，恒成立，
则有，解得：，根据选项的值，可判断选项符合，
故选：.
3．（2020上·江苏扬州·高二扬州市江都区丁沟中学校考期末）命题：“，都有”的否定： .
【答案】，都有
【详解】由全称命题的否定，得
命题：“，都有”的否定为：，都有.
故答案为：，都有.
4．（2016上·安徽合肥·高二统考期末）命题“”为假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】解：命题“”的否定为：“，”，
因为原命题为假命题，则其否定为真，所以
当时，恒成立，满足题意；
当时，只需，解得：.
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
06基本不等式
1．（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
,
.
故选:D.
2．（2021上·陕西延安·高二校考期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，
所以，
当且仅当时，即取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
3．（多选）（2022上·重庆巫山·高一校考期末）下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．因为，所以
C．（且）
D．若正数x，y满足，则的最小值为3
【答案】ACD
【详解】对于A，由可得，所以，
当且仅当时等号成立，故A正确；
对于B，由可知
当且仅当时，等号成立，而，显然等号不成立，所以错误，可知B错误；
对于C，当时，，当且仅当时，等号成立；
当时，，当且仅当时，等号成立；
即可得成立，所以C正确；
对于D，由可得，
则，
当且仅当，即时，等号成立；即D正确.
故选：ACD
4．（2020下·浙江宁波·高一校联考期末）已知正实数x，y满足，则的最小值 ．
【答案】/
【详解】因为，所以，
则
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
07二次函数与一元二次方程、不等式
1．（多选）（2020上·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
【答案】AD
【详解】对于A项，由不等式的解集范围为两边，即可得出二次函数开口向上，即，故A项正确；
对于B项，由已知可得，3、4即为的两个解.
由韦达定理可得，，解得，
代入可得.
又，所以，所以解集为，故B项错误；
对于C项，由B知，，，，
代入不等式可得，
化简可得，
解得，
所以，不等式的解集为，故C项错误；
对于D项，由已知可得，当时，有，故D项正确.
故选：AD.
2．（2022上·新疆哈密·高一校考期末）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设，则在的最大值为4，
因为关于的不等式在上有解，
即，解得，
故答案为：.
3．（2023下·湖南长沙·高二统考期末）设关于x的函数，其中a， b都是实数.
(1)若的解集为，求出a、b的值；
(2)若，求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)当时，解集为；时，解集为;时，解集为.
【详解】（1）的解集为，
则的开口向上，是对应方程的两根，
则，即；
（2）若，则，
，
当时，，则的解集为
当时，若，即时，的解集为；
当时，，的解集为；
综上：当时，解集为；
时，解集为
时，解集为.
4．（2021上·云南曲靖·高一校考期末）设.
(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意，不等式对于一切实数恒成立，
等价于对于一切实数恒成立.
所以.
（2）不等式等价于.
当即时，不等式可化为，不等式的解集为；
当即时，不等式可化为，不等式的解集为；
当即时，不等式可化为，此时.
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
08函数的概念及其表示
1．（2023上·江苏徐州·高一统考期末）已知函数满足：对任意的非零实数x，y，都成立，.若，，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【详解】由题意可得，，
又，
所以，而，可得.
故选：B
2．（2023上·甘肃临夏·高一校考期末）下列两个函数相等的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】C
【详解】对于A，，定义域为R，
，，故A不正确；
对于B，定义域为R，定义域为，故B错误；
对于C，，的定义域为，故C正确；
对于D， 定义域为，的定义域为，故D错误；
故选：C.
3．（2020上·陕西延安·高一校考期末）已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由，设，则
所以，
所以
故选：D
4．（2023上·天津红桥·高一天津市瑞景中学校考期末）已知函数，则 .
【答案】/0.5
【详解】因为，所以，
故，
故答案为：.
5．（2023下·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知函数，满足．
(1)求的值；
(2)若，求的解析式与最小值．
【答案】(1)11；
(2)，.
【详解】（1）因为函数，满足，
所以当时，.
（2）由，得，于是，
即，因此，当时，，
所以的解析式是，最小值为.
09函数的基本性质
1．（2022上·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以，解得，所以的定义域为，
又因为在上单调递增，所以在上单调递减，
又因为，则，
所以，解得或，
所以的解集为．
故选：C．
2．（2023上·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围可以是下面选项中的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【详解】由题意得为偶函数，且在上，单调递减，
故在上单调递增，
因为，故，
所以，
当时，恒成立，满足要求，
当时，在上恒成立，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，解得，
综上，a的取值范围为
A选项，由于，A正确；
B选项，，B正确；
C选项，，C正确；
D选项，显然不是的子集，D错误.
故选：ABC
3．（2022上·江西宜春·高二校考期末）已知定义在R上的函数满足，当时，，则 ．
【答案】
【详解】由已知可知是偶函数，
且，
故.
故答案为：
4．（2022上·云南临沧·高一校考期末）已知函数是定义在区间上的奇函数，且在上是单调递增的，若实数a满足，求实数a的取值范围．
【答案】
【详解】由题意可得，
则，
故实数a的取值范围为．
5．（2022上·新疆哈密·高一校考期末）函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)解关于t的不等式．
【答案】(1)；
(2)在上是增函数，证明见解析；
(3)．
【详解】（1）由题意，解得，
此时，满足，
所以；
（2）在上是增函数，证明如下：
设任意的且，
，
又，则，，，，
所以，即，
所以在上是增函数；
（3）不等式化为，
又是奇函数，则，再由（2）得，
解得．即解集为．
6．（2023上·安徽合肥·高一校联考期末）已知函数，不等式的解集为，且.
(1)求函数的解析式；
(2)设函数在上的最小值为，求的表达式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为函数，不等式的解集为，
所以且0和2为方程的两个根，
则有，解得，，
又因为，则，可得，，
所以.
（2）因为，图象开口向上，对称轴为，
①当时，函数在上单调递增，
所以；
②当，即时，函数的对称轴在区间内，
故；
③当，即时，函数在上单调递减，
所以；
综上所述：.
7．（2023上·河北邯郸·高一校考期末）已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立．
(1)求；
(2)用定义证明的单调性；
【答案】(1)0；
(2)见解析.
【详解】（1）令，则由题意可得，
（2）任取且，即，
由题意可得，
而当且仅当时，，所以，即，
所以函数在单调递减.
10分段函数模型
1．（2020上·广东汕尾·高一海丰县彭湃中学校考期末）已知函数在R上为减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】函数在R上为减函数
所以满足
解不等式组可得.
故选:D
2．（多选）（2022上·贵州毕节·高一统考期末）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．D．若，则的值是2
【答案】BCD
【详解】对A：由题意知函数的定义域为，故A错误；
对B：当时，；当时，；
则的值域为，故B正确；
对C：当时，，故C正确；
对D：当时，，解得，不合题意；
当时，，解得或（舍去）；
综上所述：若，则的值是2，故D正确；
故选：BCD．
3．（2019下·江苏宿迁·高二统考期末）设函数，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】作出函数的图象如图，
由图可知，满足的实数m的取值范围是．
故答案为：．
4．（2020上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】当时,,此时值域为
若值域为,则当时.为单调递增函数,且最大值需大于等于1
即,解得
故答案为:
5．（2021上·浙江·高一期末）满足：对任意都有成立，a的取值范围 ．
【答案】
【详解】因为对任意都有成立，
不妨设，则有，所以为减函数，
所以需满足：，解得：.
则a的取值范围.
故答案为：
6．（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如，，当时，函数的值域为 .
【答案】
【详解】依题意，当时，，则，当时，，则，
当时，，则，当时，，则，
所以当时，函数的值域为.
故答案为：
7．（2022上·天津滨海新·高一校考期末）已知，函数，当时，不等式则的解集是 ；若函数的图象与x轴恰有2个交点，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】，，则当，得；
当，得；
综上，当时，不等式则的解集是.
函数的图象与x轴恰有2个交点等价于恰有两个根，
又，.
故当，根为1、2，符合题意；
当，根为1、2、3，不合题意；
当，根为1、3，符合题意；
当，根为3，不合题意；
故的取值范围是.
故答案为：；.
8．（2020上·广东深圳·高一统考期末）已知函数，则 .若存在，使得，则 .
【答案】 6
【详解】（1）；
（2）作出函数的图象，可得，
，
，
，
；
故答案为：；6.
9．（2020上·浙江湖州·高一统考期末）已知函数（，且），则 ，若函数的值域为，则实数的取值范围是 .
【答案】 7. .
【详解】解：∵，
∴，
∴；
当时，，
要函数的值域是，只要即可，解得，
故答案为：，．
11指数与对数运算
1．（2022上·新疆昌吉·高一校考期末）（1）；
（2）计算：.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
2．（2022上·云南曲靖·高一校考期末）计算下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)5
【详解】（1）原式.
（2）原式.
3．（2022上·吉林·高一校考期末）计算下列各式的值
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)10
【详解】（1）.
（2）.
4．（2022上·广东深圳·高一校考期末）（1）化简；
（2）．
【答案】;.
【详解】（1）
，
（2）
.
12指数（对数）函数过定点
1．（2022上·云南红河·高一校考期末）函数，的图象过定点，则的坐标为（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【详解】由，可得，
当时，有，
故其过定点.
故选：C.
2．（2023上·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考期中）函数（且）的图象定点，若对任意正数，都有，则的最小值为（ ）
A．4B．2C．D．1
【答案】D
【详解】由（且），
令，则，
即的图象恒过定点，则，
由，所以，，
又，
则
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
3．（2023上·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校联考期中）实数且，则函数的图象恒过定点 ．
【答案】
【详解】令，则，
所以函数的图象恒过定点.
故答案为：.
4．（2023上·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）已知幂函数在区间上单调递减，则函的图象过定点
【答案】
【详解】由函数为幂函数，可得，即，
解得或，
当时，可得在单调递增，不符合题意，舍去；
当时，可得在单调递减，符合题意，
此时函数，令，即，可得，
所以函数的图象恒过定点.
故答案为：.
13指数（对数）函数图象问题
1．（2022上·河北邯郸·高一统考期末）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】∵，
∴为奇函数，A不正确；
很显然有三个零点分别为0，±1，
，只有C符合.
故选：C.
2．（2021上·陕西渭南·高一统考期末）若定义运算则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可得：，
作函数与函数的图象，如下图所示：

由图可知：，
易知其值域为.
故选：C.
3．（2019上·浙江金华·高三校联考期末）在同一直角坐标系中，函数，的图象不可能的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】对于A来说：幂函数中，而对数函数平移后的图象应该还在轴右侧（定义域为），所以A是不可能的；
对于B来说：幂函数中，而对数函数平移后的图象应该还在直线右侧（定义域为），所以B是可能的；
对于C来说：幂函数中，选择，而对数函数平移后的图象应该还在直线右侧（定义域为），所以C是可能的；
对于D来说：幂函数中，选择，而对数函数平移后的图象应该还在直线右侧（定义域为），所以D是可能的.
故选：A.
4．（2023上·陕西西安·高一统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】对于AB，若图象正确，则，单调递减，
又时，，A正确，B错误；
对于CD，若图象正确，则，单调递增，CD错误.
故选：A.
5．（2023上·湖南益阳·高一校联考期末）函数（ 且 ）的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】，函数定义域为，
有，函数图像过原点，AD选项不符合，，B选项不符合.
故选：C.
6．（多选）（2022上·广西百色·高一统考期末）函数（，且）与在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．. B．
C． D．
【答案】BD
【详解】由题意得，中若，，则，
若，，则；
中表示纵截距.
对于A，图像中，图像中，故A错误；
对于B，图像中，图像中，故B正确；
对于C，图像中，图像中，故C错误；
对于D，图像中，图像中，故D正确；
故选：BD
14指数（对数）型复合函数的值域问题
1．（2021上·广西南宁·高一上林县中学校考期末）若，则函数的最小值为（ ）
A．4B．0C．5D．9
【答案】A
【详解】设，则（），
对称轴为，所以在上单调递增，
所以.
故选：A.
2．（2022上·云南楚雄·高三统考期末）已知奇函数在上的最大值为，则（ ）
A．或3B．或2C．2D．3
【答案】B
【详解】由已知可得，.
因为是奇函数，所以，所以，
即，解得，即.
当时，则，所以函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增.所以在处有最大值，所以，整理可得，解得或（舍去），所以；
同理，当时，函数在上单调递减，所以在处有最大值，所以，整理可得，解得或（舍去），所以.
综上所述，或.
故选：B.
3．（2022上·广东深圳·高一校考期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由函数，令，
令，可得，
要使得函数的值域为，
则的值域能取遍一切正实数，
当时，则满足，解得；
当时，可得，符合题意；
当时，则满足，此时函数的值域能取遍一切正实数，符合题意，
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：.
4．（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考期末）函数的值域为，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】由函数的值域为及对数函数的图像和性质可得，
是值域的子集，
当即时，的值域为，显然成立；
当即时，二次函数的对称轴为，
所以由一元二次函数的图像可得，解得，.
综上，
故答案为：
5．（2020下·江苏盐城·高一统考期末）设函数．
(1)若函数的图象关于原点对称，求函数的零点；
(2)若函数在，的最大值为，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解： 的图象关于原点对称，
为奇函数，
，
，
即，．所以，所以，
令，
则，
，又，
，解得，即，
所以函数的零点为．
（2）解：因为，，
令，则，，，
对称轴，
当，即时，，；
②当，即时，，（舍；
综上：实数的值为．
6．（2023上·山东枣庄·高一山东省滕州市第五中学校考期末）求函数的值域.
【答案】
【详解】当时，，
令，则，
这是一个开口向上的二次函数，对称轴为，
所以当时，取得最小值为；
当时，取得最大值为.
所以函数的值域为，
也即函数的值域为.
15对数型复合函数单调区间
1．（2023下·江西赣州·高二统考期末）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．(1，+∞)
【答案】C
【详解】令，由，可得或，
所以在单调递减，在单调递增，
又单调递增.
由复合函数“同增异减”可得：在单调递减.
故选：C.
2．（2016上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【详解】令且，即，则或，
所以定义域为，
由开口向上，对称轴为，则在上递减，在上递增，
而在定义域上递减，故的增区间为，减区间为.
故答案为：
3．（2023上·福建莆田·高一莆田一中校考期末）函数的单调递减区间为 ．
【答案】
【详解】由解析式，则，即定义域为，
又，
而在上递增，在上递减；在定义域上递增；
所以在上递增，上递减.
故答案为：
16指数（对数）型复合函数借助单调性奇偶性比较大小
1．（2022上·江西上饶·高三校考期末）设函数（且），是定义域为R的奇函数．
(1)求的值；
(2)若，试判断函数单调性，并求使不等式恒成立的的取值范围 .
【答案】(1)2；
(2)在R上单调递减，.
【详解】（1）∵是定义域为R的奇函数，
∴，
∴，此时，满足，
综上，.
（2）由（1）知，且，∵，∴，
又，且，∴，
在R上单调递减，在R上单调递增，
故在R上单调递减，
不等式化为，
∵是定义域为R的奇函数，
∴，即，
∴，∴恒成立，
∴，解得．
∴.
2．（2022上·云南曲靖·高一校考期末）已知函数，若是定义在R上的奇函数．
(1)求；
(2)判断函数的单调性并证明；
(3)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)在R上单调递增，证明见解析
(3)
【详解】（1）由是定义在R上的奇函数，得，
即，解得.
当时，，此时定义域为，不满足题意.
当时，，此时定义域为R，且满足.
综上可得.
（2）在R上单调递增.
证明如下：
因为，
所以.
，且，
则有.
，函数为R上的增函数.
，
则，.
，
即.
在R上单调递增.
（3）原不等式可化为：
由是定义在R上的奇函数，得：
.
由是在R上单调递增，得：，
即，解得：.
不等式的解集为.
3．（2023上·甘肃定西·高一统考期末）已知函数.
(1)用定义证明：函数在上是减函数；
(2)如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）对任意，且，
则，
因为则，
可得，即，
所以函数在上是减函数.
（2）令，则，
由题意可得：对一切恒成立，
当时，则，符合题意，；
当时，可得，
令，
由（1）知在上是减函数，
当时，取到最小值，所以；
综上所述：的取值范围为.
4．（2023上·安徽淮北·高一淮北市实验高级中学校考期末）已知函数为奇函数.
(1)求的值，并用函数单调性的定义证明函数在上是增函数；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)；函数在上是增函数证明见解析
(2)
【详解】（1）∵是奇函数，定义域为，
∴，则，，
所以，符合为奇函数，
证明：任取，且，
则，
由，可得，则，，
∴，即，
∴函数在上是增函数.
（2）∵函数在上是奇函数
∴
又函数在上是增函数
∴
令为，则解得即
∴不等式的解集为
17根据不同函数增长差异选择适当的函数模型
1．（2023上·安徽合肥·高一校联考期末）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．
(1)求m的值及用x表示S；
(2)当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值．
【答案】(1)，（）；
(2)当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元.
【详解】（1）设隔热层厚度x，依题意，每年的能源消耗费用为：，而当时，，
则，解得，
显然建造费用为，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：
（）.
（2）由（1）知
，
当且仅当，即时取等号，
所以当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元．
2．（2023上·贵州黔东南·高一统考期末）1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科学家在研究了各行星离太阳的距离（单位：，是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星（后被命名为谷神星）存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：
(1)为了描述行星离太阳的距离与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论）；
①；②；③．
(2)根据你的选择，依表中前三组数据求出函数解析式，并用剩下的两组数据检验模型的吻合情况；（误差小于0.2的为吻合）
(3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离．
【答案】(1)散点图见解析，模型②符合题意
(2)，模型与数据吻合
(3)
【详解】（1）散点图如图所示：

根据散点图可知，模型②符合题意；
（2）将，，分别代入，
得，解得，，
所以
当时，，误差，吻合，
当时，，误差，吻合，
所以，模型与数据吻合；
（3）当时，，
即谷神星距太阳的距离为.
3．（2023上·广东肇庆·高一统考期末）某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：
为了描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，现有以下四种函数模型供选择：
①，
②，
③，
④．
(1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；
(2)在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m的最大值．
【答案】(1)选择，理由见解析，
(2)20
【详解】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增，
因为，，都是单调函数，所以不符合题意，
因为可先单调递减后单调递增，故符合题意，
由表格数据可得，解得，
所以，经检验其他几组数据也满足表达式
（2）由（1）知，故其对称轴为，且开口向上，
，所以，
所以实数m的最大值为20
18函数零点（方程的根）问题
1．（2023上·上海松江·高一校考期末）已知函数.
(1)当时，求解的零点；
(2)若对任意的，不等式恒不成立，求实数的取值范围；
(3)讨论函数的零点个数.
【答案】(1)
(2)
(3)当或时，有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点．
【详解】（1）当时，，
当时，令，所以，由于，
故此时方程无解，无零点，
当时，令，所以，即，解得，（正根舍去）
综上可知：的零点为．
（2）由于对任意的，不等式恒不成立，故对任意的，不等式恒成立，
由于，且恒成立，
由于，故；
（3）由可得，变为，
令，
作的图象及直线，由图象可得：
当或时，有1个零点．
当或时，有2个零点；
当时，有3个零点．

2．（2023上·甘肃天水·高一天水市第一中学校考期末）已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且．
(1)求函数和的解析式；
(2)若关于的方程有实根，求正实数的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)．
【详解】（1）因为是奇函数，是偶函数，
所以，，
又，所以
则，所以
所以，；
（2）关于的方程有实根，即有实根，
所以有实根，
令，则有正根，
所以有正根，
因为，
设，则，，
当时，，
当且时，，
利用对勾函数知在上递减，在上递减，在上递增，
所以，
所以或，
所以或，
综上所述：正实数的取值范围为．
3．（2023上·山东菏泽·高一校联考期末）已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
(1)若函数的值域为，求的值；
(2)若时，函数对一切正整数，在区间内总存在唯一零点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得函数在区间上单调递减，在区间
上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
所以函数值域为，
因为函数的值域为，
所以，故.
（2）函数，
因为和在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为在上总存在唯一零点，
所以
则，
可得对一切正整数，总有，得，
即得.
19二分法
1．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：
要使零点的近似值精确到0.1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6次0.7B．6次0.6
C．5次0.7D．5次0.6
【答案】C
【详解】由题意可知，对区间内，需要求解
的值，然后达到零点的近似值精确到，所以零点的近似解为，
共计算次.
故选：C
2．（2023上·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，显然函数图象是连续的，
则有，，，，，
所以，，，，
故区间可以作为初始区间，故A，C，D错误.
故选：B.
3．（多选）（2023上·浙江丽水·高一统考期末）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】由选项AC中函数图象可知这两个函数的函数值没有负实数，即在零点左右函数值不变号，
选项BD中的函数图象可知这两个函数的函数值有负实数，即在零点左右函数值变号，
因此不能用二分法求其零点的是AC，
故选：AC
20任意角与弧度制
1．（2022上·新疆昌吉·高一校考期末）时针走过1小时30分钟，则分钟转过的角度是 .
【答案】
【详解】时针走过1小时30分钟，则分针顺时针转过1圈半，即转过.
故答案为：.
2．（2023下·北京延庆·高一统考期末）在半径为的扇形中，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由扇形面积公式知：扇形的面积为.
故选：C
3．（2023下·北京昌平·高一统考期末）扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素.小明制作了一把如图所示的扇子，其半径为，圆心角为，则这把扇子的弧长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为扇形半径为，圆心角为，所以弧长为.
故选：B
21三角函数定义
1．（2023下·北京怀柔·高一统考期末）在平面直角坐标系xy中，角以x为始边，终边经过点，则值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为角以x为始边，终边经过点，
由三角函数的定义可知：.
故选：B.
2．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）已知角终边经过点，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为角终边经过点，所以，所以，
解得.
故选：C
22同角三角函数基本关系
1．（2023上·山东枣庄·高一统考期末）已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【详解】将两边同时平方可得，，
可得；
又，所以；
易知，可得；
又,所以.
故选：C
2．（多选）（2023上·山东菏泽·高一校联考期末）已知为锐角，且，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】因为，
所以，而为锐角，
所以，选项A正确；
，
所以选项C正确；
因为为锐角，
所以，
因此选项D正确，
由，
所以选项B不正确，
故选：ACD
3．（多选）（2022上·湖北孝感·高一校考期末）已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】由，可得，
则，
解之得，或
又，则，故选项A判断正确；
则，，故选项B判断正确；
，故选项C判断错误；
，故选项D判断正确.
故选：ABD
4．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，则 .
【答案】
【详解】因为，则
.
故答案为：.
5．（2022上·云南昆明·高一校考期末）已知，求下列各式的值.
(1)；
(2).
【答案】(1)7
(2)
【详解】（1），
.
（2），
.
23诱导公式化简问题
1．（2023上·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末）已知的终边上有一点，则的值为 .
【答案】/
【详解】因为的终边上有一点，可得
则.
故答案为：.
2．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，且，化简并求的值.
【答案】
【详解】解：因为，且，则，
所以，，
故.
3．（2022上·云南曲靖·高一校考期末）已知角的终边经过点．
(1)求及的值；
(2)若函数，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）角的终边经过点,
，且点到坐标原点的距离,
；
（2）
.
24三角函数的图象与性质
1．（2023上·湖北黄冈·高一校考期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】，
∵函数在区间内单调递增，
∴，∴，
∵，∴，
若在区间上单调递增，则，
解得，当时，，又因为，∴.
故选：A
2．（多选）（2023上·广西贵港·高二统考期末）若函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．直线是图象的一条对称轴
C．是的一个零点
D．在上单调递增
【答案】BC
【详解】因为，所以的最小正周期，A不正确；
当时，，故直线是图象的一条对称轴，B正确；
当时，，故是的一个零点，C正确；
当时，，由在上单调递减，上单调递增，
所以在上不单调递增，D不正确.
故选：BC.
3．（多选）（2023下·广东阳江·高一广东两阳中学校考期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．函数最小正周期为B．
C．在区间上单调递减D．方程在区间内有个根
【答案】ACD
【详解】对于A，由图象知：的最小正周期，A正确；
对于B，由A知：，，
，解得：，
又，，B错误；
对于C，由AB可知：，
当时，，在上单调递减，C正确；
对于D，当时，，
则当或或或，即或或或时，，
在区间内有个根，D正确.
故选：ACD.
4．（多选）（2023下·江西赣州·高一统考期末）已知函数，若，，且在区间上单调递减，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．对任意，均有
C．函数在区间上单调
D．
【答案】ABD
【详解】因为在区间上单调递减，且
所以点是函数的一个对称中心，并且最小正周期满足，即，
所以当，则直线是函数的一条对称轴与对称中心相邻，则，即，所以，故A正确；
则，
由于是函数的一个对称中心，所以，得，又，所以，故D正确；
则，所以，
又的最大值为，则对任意，均有，故B正确；
当时，，则函数在区间上不单调，故C错误.
故选：ABD.
5．（多选）（2023下·辽宁锦州·高一统考期末）下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．定义域为B．在区间上单调递增
C．最小正周期是D．图象关于直线对称
【答案】ACD
【详解】函数，定义域满足，
解得，所以函数定义域为，故A正确；
当，则，所以函数在区间上单调递增，
则函数在区间上先减后增，故B不正确；
函数的最小正周期，
所以函数的最小正周期是，故C正确；
函数的对称轴满足，所以，
则函数图象关于直线对称，故D正确.
故选：ACD.
25三角函数图象变化
1．（2022上·青海西宁·高三统考期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】A
【详解】，，
，
所以的图象向右平移得到的图象.
故选：A.
2．（2022上·贵州黔东南·高二校考期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度
【答案】D
【详解】，
只需把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度即可得到的图象.
故选：D.
3．（多选）（2022上·吉林·高一校考期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，下面四个结论中，错误的是（ ）
A．函数在区间上为增函数
B．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
C．点是函数图象的一个对称中心
D．函数在上的最大值为1
【答案】AC
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象；再把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象．
当时，，此时是不单调，故A错误；
将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，此函数是偶函数，满足图象关于轴对称，故B正确；
将代入函数的解析式中，得到，故点不是函数图象的一个对称中心，故C错误；
当，，所以当，即时，的最大值为1，故D正确．
故选：AC.
4．（多选）（2023上·山东聊城·高三校联考期末）函数的图象关于直线对称，将的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象关于对称B．函数图象关于对称
C．在单调递减D．最小正周期为
【答案】BC
【详解】A选项，关于对称，则，，
解得，，
又，故当时，，满足要求，其他均不合要求，
故，
将的图象向左平移个单位长度得到．
令，则对称轴为，
显然不满足，故A错误；
B选项，令，则，
所以对称中心为，
显然时，，故B正确；
C选项，令，整理得，
所以单调递减区间为，
显然，时，单调递减区间为，C正确；
D选项，最小正周期，故D不正确．
故选：BC．
5．（多选）（2023上·河南新乡·高一校联考期末）为了得到函数的图象，只要将函数图象（ ）
A．所有点的横坐标缩短到原来的，再把得到的图象向右平移个单位长度
B．所有点的横坐标伸长到原来的3倍，再把得到的图象向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
D．向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
【答案】AD
【详解】对于A，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到，故A正确；
对于B，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到，故B错误；
对于C，将的图象向右平移个单位长度，得到，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，故C错误；
对于D，将的图象向右平移个单位长度，得到，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，故D正确.
故选：AD.
26求三角函数解析式
1．（多选）（2023下·江西南昌·高一统考期末）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位，再将横坐标扩大为原来的2倍得到的图象，则下列说法正确的有（ ）

A．B．
C．D．是的一个对称中心
【答案】ACD
【详解】由图可知函数得周期，
所以，故A正确；
则，
又，所以，
所以，则，
又，所以，故B错误；
则，
将的图象向左平移个单位，得，
再将横坐标扩大为原来的2倍得，
，
则，故C正确；
因为，
所以是的一个对称中心，故D正确.
故选：ACD.
2．（多选）（2023下·浙江嘉兴·高二统考期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）

A．
B．
C．在区间上单调递减
D．为偶函数
【答案】AC
【详解】由图可知，，
，
所以，
所以，
将点代入可得：，，
又因为，
所以，
所以，故A项正确，B项错误；
对于C项，因为，所以，
由图可知，在上单调递减，
即：在上单调递减，故C项正确；
对于D项，因为，
所以，
当时，，
所以不是偶函数，故D项错误.
故选：AC.
3．（多选）（2023下·江西赣州·高一校联考期末）已知某曲线部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．一条对称轴方程为
C．在上单调递增
D．图象可以由图象向左平移个单位长度得到
【答案】ABD
【详解】对于A.因为，所以由图象知，
，所以，
又因为，且在的单调递减区间上，所以
因为，所以，
又因为，所以，所以，故A正确；
对于B.，故对称轴方程为，当时，，故B正确；
对于C.由知，
由，解得，
所以的单调递增区间为，故C错误；
对于D.图象向左平移个单位长度得到，
，故D正确．
故选：ABD．
4．（2021下·湖北武汉·高一统考期末）已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
【答案】(1)
【详解】（1）由图可知，所以，
又函数的图象经过点，所以，
解得，因为，所以，
所以；
5．（2023下·辽宁·高一校联考期末）已知函数的部分图象如图所示．将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度得到的图象．

(1)求的解析式；
【答案】(1)
【详解】（1）由图象可知，，所以，
即，
又，所以，
因为，所以，
故，
由，可得，
所以.
27生活中的三角函数模型
1．（多选）（2023上·吉林·高一统考期末）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用．如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水下则为负数），与时间（单位：）之间的关系是，则下列说法正确的是（ ）
A．筒车的半径为，旋转一周用时
B．筒车的轴心距离水面的高度为
C．时，盛水筒处于向上运动状态
D．盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点
【答案】ABD
【详解】对于A，的振幅为筒车的半径，筒车的半径为；
的最小正周期，旋转一周用时，A正确；
对于B，，筒车的半径，筒车的轴心距离水面的高度为，B正确；
对于C，当时，，此时单调递减，
盛水筒处于处于向下运动的状态，C错误；
对于D，令，，
，解得：，
又，当时，，即盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点，D正确.
故选：ABD.
2．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为 ，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为 秒．

【答案】 4
【详解】（1）由题意，塔高即风车中心距地面的高度，风车半径，
风车转动一圈为秒，则角速度，
如图，以风车中心为坐标原点，以与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系，
设时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设，
以为始边，为终边的角不妨取，
那么经过（秒）后，运动到点，
于是，以为始边，为终边的角为，
由三角函数定义知，
则，
所以.
（2）令，
所以,
所以.
当时，，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为4秒.
故答案为：；.

3．（2023下·江西上饶·高一统考期末）筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1）.如图2，现有一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，若以盛水筒刚浮出水面在点处时为初始时刻，设经过秒后盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）.筒车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最高处时把水倾倒到水槽上.

(1)求函数的表达式；
(2)求第一筒水倾倒的时刻和相邻两个盛水筒倾倒的时间差；
(3)若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一个盛水筒倾倒到水槽的水约为0.01立方米，求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌.（精确到0.1小时）
【答案】(1)
(2)20秒，5秒
(3)13.9
【详解】（1）由已知可得，
∵盛水筒运动的角速度，
∴秒后盛水筒转过的角度为，
此时可得以为终边的角
∴
（2）当第一筒水到达最高位置时，是第一次取得最大值，此时，得（秒），
相邻两个盛水筒倾倒的时间差为（秒），
（3）完成该稻田的浇灌需倾倒筒水，
所需时间为秒，约为13.9小时.
所以第一筒水倾倒的时刻为20秒，相邻两个盛水筒倾倒的时间差为5秒，约13.9小时可完成该稻田的浇灌.
4．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）已知函数，，，的图象如图所示．

(1)求的解析式；
(2)设若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由图象可得：，，
所以，又，则，
所以，
代入得：，
则，，解得：，，
又，所以，
故．
（2）由（1）知：，
所以，
即，又，所以，则，
令，则有恒成立，
所以， 解得：，
故的取值范围为．
28三角函数中的零点问题
1．（2023下·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期末）已知函数
(1)求的单调递减区间；
(2)若，函数的解恰有3个，求实数a的取值范围．
【答案】(1),
(2)
【详解】（1）
由，
得，.
故此函数的单调递增区间为（）.
（2）由（1）知：，
令，即
根据题意得：，，恰好有3解，

根据正弦函数图像解得：
即有：
故实数a的取值范围为.
2．（2023上·广西玉林·高一统考期末）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数．求方程在上的所有根之和．
【答案】(1)周期，单调递增区间为
(2)
【详解】（1）因为，所以最小正周期，
令，
解得，
故的单调递增区间为．
（2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，向右平移个单位，
可得函数的图象；
再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，
纵坐标不变，得到函数的图象．
方程，即，在区间上，．
故由方程可得，或，求得，或，
故方程在区间上的所有根之和为．
3．（2023下·四川自贡·高一统考期末）已知函数的相邻两对称轴间的距离为．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的最值．
(3)对于第（2）问中的函数，记在上的5个零点从小到大依次为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)最小值为，最大值为.
(3)
【详解】（1）解：由函数
，
因为函数的相邻两对称轴间的距离为，可得，所以，
所以函数的解析式为.
（2）解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，可得，
当时，即时，函数取得最小值，最小值为；
当时，即时，函数取得最大值，最大值为，
所以函数的最小值为，最大值为.
（3）解：因为，可得，
令，作出函数在上的图象，如图所示，
因为方程，在上有五个实数根，
可函数在上有五个实数根，
由图象可得，
且
所以，，
所以，
所以.
29三角函数中的恒成立问题
1．（2023下·吉林长春·高二长春市第十七中学校考期末）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式和单调递增区间.
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.
(3)设，若恒成立，求实数c的最小值.
【答案】(1)，单调递增区间为，；
(2)
(3)
【详解】（1）化简原函数式
又为奇函数，且相邻两对称轴距离，
故，
即
令
所以，单调递增区间为；
（2）由（1）知，向右平移个单位长度得，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），
得到，
当时，，
所以，
则，
故的值域为；
（3）结合（1）得，
令，则
又，
故，
由二次函数的性质可知，
故恒成立等价于，
所以的最小值为.
2．（2023上·江苏连云港·高一校考期末）函数（其中，，）的部分图象如图所示，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)对于，是否总存在唯一的实数，使得成立？若存在，求出范围.
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）由函数图象可知，，，，，
，当时，，则，由，，，
，
由，解得，
函数的单调递增区间为.
（2），，
由，，，
∴，，
又，则有，，
由的唯一性可得：，即]，
，则有，解得，
当时，使成立.
所以实数m的取值范围为.
行星编号
1
（金星）
2
（地球）
3
（火星）
4
（ ）
5
（木星）
6
（土星）
离太阳的距离
时间t
7
9
10
11
13
种植成本Q
19
11
10
11
19
0
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6875
0.65625
0.671875
-1
1
-0.375
0.1718
-0.1308
-0.2595
0.01245
-0.06113
-0.02483