上海高一下期末真题精选（基础60题32个考点专练）-高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版必修二）

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1．（2022春•金山区校级期末）“tanx＝1”是“x＝+2kπ，k∈Z”的 必要不充分 条件．
【分析】通过举实例判断充分性不成立，利用正切函数的图象与性质判断必要性成立．
【解答】解：①若x＝，满足tanx＝1，但不满足x＝+2kπ，k∈Z，∴充分性不成立，
②若x＝+2kπ，k∈Z，则tan（+2kπ）＝tan＝1，∴必要性成立，
∴tanx＝1是x＝+2kπ，k∈Z的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分．
【点评】本题主要考查了必要条件、充分条件的判断，正切函数的图象与性质，属于基础题．
二．三角函数值的符号（共1小题）
2．（2020春•金山区期末）若tanθ＜0且sinθ＜0，则θ是第 四 象限的角．
【分析】结合三角函数值的符号和象限之间的关系进行判断即可．
【解答】解：∵tanθ＜0，∴θ位于第二象限或第四象限，
∵sinθ＜0，∴θ位于第三象限或第四象限或y轴的非正半轴，
综上θ位于第四象限，
故答案为：四
【点评】本题主要考查角的象限的判断，结合三角函数的符号和象限之间的关系是解决本题的关键．
三．运用诱导公式化简求值（共1小题）
3．（2022春•黄浦区校级期末）已知sin（α+）＝，α∈（﹣，0），则tanα＝ ﹣2 ．
【分析】由α∈（﹣，0）sin（α+）＝，利用诱导公式可求得csα，从而可求得sinα与tanα．
【解答】解：∵sin（α+）＝csα，sin（α+）＝，
∴csα＝，
又α∈（﹣，0），
∴sinα＝﹣，
∴tanα＝＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题．
四．正弦函数的图象（共1小题）
4．（2022春•金山区校级期末）函数y＝3sin（2x+）的单调递减区间是 [+kπ，+kπ]，k∈Z ．
【分析】根据正弦函数的单调区间列出不等式解出．
【解答】解：令+2kπ≤2x+≤+2kπ，
解得+kπ≤x≤+kπ．
故答案为：[+kπ，+kπ]，k∈Z．
【点评】本题考查了正弦函数的单调性，属于中档题．
五．余弦函数的图象（共1小题）
5．（2022春•金山区校级期末）已知余弦函数的图象过点（﹣，m），则m的值为 ．
【分析】直接利用余弦函数的解析式求解m即可．
【解答】解：余弦函数的图象过点（﹣，m），
可得m＝cs（﹣）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查余弦函数值的求法，是基础题．
六．正切函数的单调性和周期性（共1小题）
6．（2022春•普陀区校级期末）函数的最小正周期为 ．
【分析】直接利用正切函数的周期公式T＝，求出函数的最小正周期．
【解答】解：因为函数，所以T＝＝．
所以函数的最小正周期为．
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查正切函数的周期的求法，考查计算能力，送分题．
七．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共3小题）
7．（2022春•上海期末）要得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需要将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【分析】由条件利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：将y＝sin2x向右平移个单位得：y＝sin2（x﹣）＝sin（2x﹣），
故选：D．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
8．（2022春•浦东新区校级期末）把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）＝ sin（2x+） ．
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得y＝sin2x的图象；
再把所得图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数y＝g（x）＝sin（2x+）的图象，
故g（x）的解析式为g（x）＝sin（2x+），
故答案为：sin（2x+）．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
9．（2022春•浦东新区校级期末）函数f（x）＝sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的，那么所得图象的函数表达式为（ ）
A．y＝sinxB．y＝sin（x+）
C．y＝sin（4x+）D．y＝sin（4x+）
【分析】由条件利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：把函数f（x）＝sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得y＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x+）的图象，
再将图象上各点的横坐标压缩为原来的，那么所得图象的函数表达式为y＝sin（4x+），
故选：D．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
八．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共1小题）
10．（2022春•浦东新区校级期末）已知函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）图像如图，则函数y＝Asin（ωx+φ）的解析式为 y＝4sin（x+） ．
【分析】根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图像与性质，求出A、T和ω、φ的值．
【解答】解：由函数y＝Asin（ωx+φ）的图像知，A＝4，T＝2×（﹣）＝4π，
所以ω＝＝＝，
又×+φ＝+2kπ，k∈Z，解得φ＝+2kπ，k∈Z，
又因为|φ|＜π，所以φ＝，
所以函数y＝4sin（x+）．
故答案为：y＝4sin（x+）．
【点评】本题考查了正弦型函数的图像与性质的应用问题，是基础题．
九．同角三角函数间的基本关系（共3小题）
11．（2021春•松江区期末）已知tanα＝4，则＝ 6 ．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．
【解答】解：因为tanα＝4，
所以＝＝＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
12．（2021春•嘉定区校级期末）在△ABC中，已知ctActB＞1，则△ABC是 钝角 三角形（填“直角”、“锐角”或“钝角”）
【分析】已知不等式左边利用同角三角函数间基本关系化简，整理后得到1﹣tanAtanB大于0，利用两角和与差的正切函数公式列出关系式得到tan（A+B）大于0，再由tanC＝﹣tan（A+B），得到tanC小于0，即C为钝角，即可确定出三角形形状．
【解答】解：∵ctActB＝＞1，
∴tanAtanB＜1，即1﹣tanAtanB＞0，
∵A与B为三角形的内角，即tanA＞0，tanB＞0，
∴tan（A+B）＝＞0，
∴tanC＝﹣tan（A+B）＜0，即C为钝角，
则△ABC为钝角三角形．
故答案为：钝角．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
13．（2022秋•浦东新区校级期末）已知＝4，则tanα＝ 2 ．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可化简求解．
【解答】解：∵＝＝4，
∴tanα＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
一十．两角和与差的三角函数（共3小题）
14．（2022春•松江区校级期末）已知sinx＝，x∈（，π），则tan（x）＝ ．
【分析】先利用同角三角函数的关系式，求得tanx的值，再由两角和的正切公式展开，代入数据，运算即可．
【解答】解：因为sinx＝，x∈（，π），
所以csx＝﹣＝﹣，tanx＝＝﹣，
所以tan（x）＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握同角三角函数的关系式，两角和的正切公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
15．（2022春•奉贤区校级期末）已知α、β∈（0，），sinα＝，csβ＝，则cs（α﹣β）＝ ．
【分析】利用和差公式、同角三角函数基本关系式即可得出．
【解答】解：α、β∈（0，），sinα＝，csβ＝，
∴csα＝＝，sinβ＝＝，
则cs（α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ＝×+×＝，
故答案为：，
【点评】本题考查了和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．（2021春•徐汇区期末）已知sin（75°+α）＝，则cs（15°﹣α）的值为 ．
【分析】由15°﹣α＝90°﹣（75°+α），再结合诱导公式，得解．
【解答】解：cs（15°﹣α）＝cs[90°﹣（75°+α）]＝sin（75°+α）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查诱导公式的应用，属于基础题．
一十一．二倍角的三角函数（共2小题）
17．（2022春•嘉定区校级期末）函数y＝sinxcsx值域是 [﹣，] ．
【分析】先利用二倍角公式化简函数，再结合正弦函数的值域，得解．
【解答】解：y＝sinxcsx＝sin2x，
因为x∈R，所以sin2x∈[﹣1，1]，
所以函数y的值域为[﹣，]．
故答案为：[﹣，]．
【点评】本题考查三角函数的基础知识，熟练掌握二倍角公式，正弦函数的值域是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
18．（2021春•浦东新区校级期末）已知tanx＝﹣2，则sin2x＝ ﹣ ．
【分析】由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
【解答】解：因为tanx＝﹣2，
所以sin2x＝＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
一十二．三角函数的恒等变换及化简求值（共1小题）
19．（2021春•松江区期末）化简：＝ 1 ．
【分析】利用诱导公式化简所求即可得解．
【解答】解：＝•＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
一十三．向量的概念与向量的模（共3小题）
20．（2022春•徐汇区校级期末）若非零不共线的向量，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】由向量模长不等式可得＝≤||+||，结合题目条件即可求解．
【解答】解：∵＝≤||+||＝2||，
∵，是非零向量，∴必有，上式中等号不成立，
∴2||＞，
故选：C．
【点评】本题主要考查了向量模长的定义，属于基础题．
21．（2022春•浦东新区校级期末）与向量（﹣3，﹣4）反向的单位向量是 ．
【分析】根据单位向量的定义以及向量的坐标运算计算即可．
【解答】解：与向量（﹣3，﹣4）反向的单位向量是﹣（﹣3，﹣4）＝（，），
故答案为：（，）．
【点评】本题考查了向量的坐标运算，考查单位向量的定义，是基础题．
22．（2022春•浦东新区校级期末）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，则||＝ ．
【分析】求|+即为求正方形对角线长．
【解答】解：根据向量加法的三角形法则可得：|+|＝||＝．
故答案为：．
【点评】本题考查向量加法几何意义，考查数学运算能力，属于基础题．
一十四．向量相等与共线（共1小题）
23．（2022春•黄浦区校级期末）若四边形ABCD满足+＝，（﹣）•＝0，则该四边形一定是（ ）
A．直角梯形B．矩形C．菱形D．正方形
【分析】首先根据+＝判断出四边形为平行四边形，然后根据证明四边形对角线互相垂直，最后综合以上结论得出四边形为菱形．
【解答】解：+＝⇒
四边形ABCD为平行四边形，
对角线互相垂直的平行四边形为菱形．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量与共线向量，以及数量积判断两个向量的垂直关系，需要通过对向量间的关系转化为线段间的关系，然后即可判断四边形的形状．属于基础题．
一十五．平面向量数量积的含义与物理意义（共1小题）
24．（2022春•嘉定区校级期末）已知，则在方向上的投影为 ．
【分析】根据向量投影的定义计算即可．
【解答】解：因为，
所以在方向上的投影为||cs＜，＞＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量投影的定义与应用问题，是基础题．
一十六．平面向量数量积的性质及其运算（共7小题）
25．（2022春•浦东新区校级期末）已知单位向量，满足|﹣2|＝，则•＝（ ）
A．﹣B．﹣2C．D．2
【分析】由已知结合向量数量积的性质即可直接求解．
【解答】解：因为||＝||＝1，|﹣2|＝，
两边同时平方得，＝3，
故＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了向量数量积的性质，属于基础题．
26．（2022春•长宁区校级期末）设向量、满足，则＝ 2 ．
【分析】根据平面向量的数量积求模长即可．
【解答】解：因为||＝1，||＝2，＜，＞＝，
所以＝4+4•+＝4×1+4×1×2×cs+4＝4，
所以|2+|＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长计算问题，是基础题．
27．（2022春•奉贤区校级期末）已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 （﹣1，﹣2） ．
【分析】由在方向上的投影向量为，然后结合平面向量数量积的运算求解即可．
【解答】解：已知向量，，
则，，
则在方向上的投影向量的坐标为＝，
故答案为：（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了投影向量的运算，属基础题．
28．（2022春•闵行区校级期末）已知△ABC中，，，求的值 ﹣25 ．
【分析】易求得csA＝，csC＝，再根据平面向量的数量积的运算法则，得解．
【解答】解：由题意知，△ABC为直角三角形，且∠B＝90°，csA＝，csC＝，
所以＝0+||•||cs（π﹣C）+||•||cs（π﹣A）＝4×5×（﹣）+5×3×（﹣）＝﹣25．
故答案为：﹣25．
【点评】本题考查平面向量的数量积，需注意平面向量的夹角的概念，考查运算求解能力，属于基础题．
29．（2022春•虹口区校级期末）边长为的等边三角形ABC中，设，则＝ ﹣ ．
【分析】根据平面向量的数量积的运算法则，即可得解．
【解答】解：＝××cs120°×3＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查平面向量的数量积，注意平面向量的夹角的定义是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
30．（2022春•浦东新区校级期末）已知向量，若，则k＝ 1 ．
【分析】根据题意，求出﹣的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得关于k的方程，解可得答案．
【解答】解：根据题意，向量，
则﹣＝（﹣1﹣k，﹣4），
若，则（﹣1﹣k）×2＝﹣4，解可得k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
31．（2022春•宝山区校级期末）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知＝（csB，csA）且满足．
（1）求C；
（2）若c＝3，求当函数f（B）＝cs2B﹣4csCsinB取最小值时△ABC的周长；
（3）求sinAsinB的取值范围．
【分析】（1）首先运用向量数量积公式求得，然后由正弦定理求得C；
（2）运用三角变换把f（B）化为关于角B的函数，然后求之；
（3）运用三角变换把sinAsinB化为关于角A的函数，然后解之．
【解答】解：（1）∵＝（csB，csA），∴＝2acsB+2bcsA＝，
由正弦定理得，2sinAcsB+2sinBcsA＝＝2sin（A+B）＝2sinC，∴csC＝，又0＜C＜π，∴C＝；
（2）由（1）得，f（B）＝cs2B﹣4csCsinB＝1﹣2sin2B﹣2sinB＝﹣2+，又，∴当B＝时，f（B）最大，此时b＝，a＝，△ABC的周长3；
（3）由（1）得，sinAsinB＝sinAsin（＝sinA（＝+＝，∴当2A﹣＝，即A＝时，sinAsinB最大值＝，
∴sinAsinB的取值范围是．
【点评】本题考查了平面向量、三角变换、解三角形基础知识，是基础题．
一十七．向量的投影（共2小题）
32．（2022春•长宁区校级期末）若，则在上的数量投影为 6 ．
【分析】根据向量的数量投影定义计算即可．
【解答】解：因为，
所以在上的数量投影||cs＜，＞＝＝＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了平面向量数量投影的计算问题，是基础题．
33．（2022春•徐汇区期末）已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影为 ．
【分析】根据向量的投影定义计算即可．
【解答】解：向量与的夹角为，且，，
所以在方向上的投影为||cs＜，＞＝4cs＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了向量的投影定义与计算问题，是基础题．
一十八．平面向量的基本定理（共4小题）
34．（2022春•青浦区校级期末）下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A．＝（0，0），＝（1，﹣2）B．＝（﹣1，2），＝（2，﹣4）
C．＝（3，5），＝（6，10）D．＝（2，﹣3），＝（6，9）
【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可．
【解答】解：只要两个向量不共线，即可作为基底，所以判断哪两个向量不共线即可：
A.，∴共线，不可作为基底，所以该选项错误；
B.，∴共线，不可作为基底，所以该选项错误；
C.，∴共线，不可作为基底，所以该选项错误；
D．可以判断向量不共线，所以可作为基底，所以该选项正确．
故选：D．
【点评】考查基底的概念，共线向量基本定理，向量的坐标．
35．（2022春•嘉定区校级期末）如图，三角形ABC中，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB的中点，AD交CF于点M，若，则λ＝ ．
【分析】建立以点C为坐标原点，以CB为x轴，CA为y轴的直角坐标系，再由点A，M，D三点共线，即可解出．
【解答】解：如图：
建立以点C为坐标原点，以CB为x轴，CA为y轴的直角坐标系，
C（0，0），A（0，1），B（，0），F（，），
∵D是线段BC上一点，且，
∴D（，0），
∴＝（0，1），＝（，0），＝（，），
∵A，M，D三点共线，
∴＝μ+（1﹣μ）＝（，μ），
∵＝＝（，），
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量基本定理，学生的数学运算能力，属于基础题．
36．（2022春•黄浦区校级期末）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，则λ＝ ．
【分析】结合向量加法的三角形法则及平面向量基本定理即可求解．
【解答】解：因为，
则＝＝+＝＝
∵
λ＝．
故答案为：
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．
37．（2022春•黄浦区校级期末）已知梯形ABCD，AB∥CD，设，向量的起点和终点分别是A、B、C、D中的两个点，若对平面中任意的非零向量，都可以唯一表示为、的线性组合，那么的个数为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】由平面向量基本定理得：、不共线，又起点和终点分别是A、B、C、D中的两个点，则此向量共有＝12个，又，，，与共线，即的个数为12﹣4＝8，得解．
【解答】解：由已知有、不共线，
又起点和终点分别是A、B、C、D中的两个点，
则此向量共有＝12个，
又，，，与共线，
即的个数为12﹣4＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量基本定理，属中档题．
一十九．平面向量的坐标运算（共4小题）
38．（2022春•浦东新区校级期末）已知点A（2，3）、B（1，4），且，则点P的坐标是（ ）
A．（0，5）B．C．（3，2）D．（﹣3，2）
【分析】由题意，利用两个向量坐标形式的运算法则，求出点P的坐标．
【解答】解：∵A（2，3），B（1，4），且，
设点P（a，b），
则（ a﹣2，b﹣3）＝﹣2（1﹣a，4﹣b），
解得a＝0，b＝5，
则点P的坐标为（0，5），
故选：A．
【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
39．（2022春•浦东新区校级期末）若＝（2，b）为直线l：y＝2x﹣1的一个法向量，则b＝ ﹣1 ．
【分析】根据向量的坐标运算以及垂直关系判断即可．
【解答】解：令x＝0，得y＝﹣1，令x＝1，得y＝1，
故直线的一个方向向量是＝（1，2），
由•＝0，得2+2b＝0，解得b＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了向量的坐标运算，考查向量的垂直关系，是基础题．
40．（2022春•普陀区校级期末）设，，若，则实数m的值为 ．
【分析】直接利用向量平行的充要条件列出方程求解即可．
【解答】解：∵，，，
∴2×4﹣3m＝0，解得m＝，
故答案为：．
【点评】本题考查向量的平行的充要条件，考查计算能力．
41．（2022春•徐汇区期末）已知两点M（1，﹣2）、N（2，3），点P满足，则P的坐标为 （﹣1，﹣12） ．
【分析】首先设出点P的坐标，再根据所给的两个点的坐标，写出要用的两个向量的坐标，根据两个向量共线的性质，把点的坐标代入共线的充要条件，写出等式，横标和纵标分别相等，得到要求的点的坐标．
【解答】解：设P（x，y）
∵M（1，﹣2）、N（2，3），
∴＝（x﹣1，y+2），＝（2﹣1，3+2）＝（1，5）
∵点P满足，
∴（x﹣1，y+2）＝﹣2（1，5），
∴x﹣1＝﹣2，y+2＝﹣10，
∴x＝﹣1，y＝﹣12，
∴点P的坐标是（﹣1，﹣12）．
故答案为：（﹣1，﹣12）．
【点评】本题考查向量共线的充要条件，在解题过程中，注意由点的坐标写出向量的坐标时，注意两个点的坐标符号，本题主要考查简单数字的运算．
二十．平面向量共线（平行）的坐标表示（共2小题）
42．（2022春•黄浦区校级期末）已知A（1，﹣2），B（﹣1，3），若，则C的坐标是 （﹣2，） ．
【分析】设C点坐标，利用向量的坐标运算，先求和的坐标，再根据，即可得到C点坐标满足的等式，解出C点坐标．
【解答】解：设C（x，y），则＝（x﹣1，y+2），＝（x+1，y﹣3）
∵，∴（x﹣1，y+2）＝3（x+1，y﹣3）
∴x﹣1＝3x+3，y+2＝3y﹣9
∴x＝﹣2，y＝
∴C的坐标是（﹣2，）
故答案为（﹣2，）
【点评】本题主要考查了向量坐标的求法，属于向量运算的基础题．
43．（2022春•金山区校级期末）设向量＝（n，1），＝（﹣4，﹣2），且∥，则实数n的值是 2 ．
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得﹣2n＝﹣4，解可得n的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量＝（n，1），＝（﹣4，﹣2），
若∥，则﹣2n＝﹣4，解可得n＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
二十一．数量积表示两个向量的夹角（共2小题）
44．（2022春•嘉定区校级期末）若向量，，已知与的夹角为，则实数k是 ﹣2 ．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：由已知有，故，
故，
解得：k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，属于基础题．
45．（2022春•浦东新区校级期末）平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用三角形的面积公式表示出面积；再利用三角函数的平方关系将正弦表示成余弦；再利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦化简即得．
【解答】解：
＝
＝•
＝；
故选：C．
【点评】本题考查三角形的面积公式；同角三角函数的平方关系，利用向量的数量积求向量的夹角．
二十二．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共3小题）
46．（2022春•长宁区校级期末）若向量，且与垂直，则实数k＝ ﹣6 ．
【分析】直接利用向量的数量积和向量垂直的充要条件的应用求出k的值．
【解答】解：已知向量，且与垂直，
则•＝0，
整理得﹣6﹣k＝0，
解得k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的充要条件的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
47．（2022春•嘉定区校级期末）设平面上有两个向量，．
（1）求证：向量与垂直；
（2）当向量与平行时，求α的大小．
【分析】（1）根据已知条件，结合向量模公式，以及向量的数量积公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合向量平行的性质，求出tan，再结合α的取值范围，即可求解．
【解答】证明：（1）∵，，
∴，，
∵＝，
∴向量与垂直．
（2）∵向量与平行，
∴，解得tan，
∵0°≤α＜360°，
∴α＝120°或300°．
【点评】本题主要考查向量模公式，以及向量的数量积公式，属于基础题．
48．（2022春•浦东新区校级期末），依照下列条件求实数k的值．
（1）与相互平行；
（2）与相互垂直．
【分析】（1）根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量平行的性质，即可求解．
（2）根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：∵，
∴，，
（1）与相互平行，
则4（1+2k）＝8×4，解得k＝，
（2）与相互垂直，
则4（1+2k）+8×4＝0，k＝﹣．
【点评】本题主要考查向量平行和向量垂直的性质，属于基础题．
二十三．正弦定理（共1小题）
49．（2022春•上海期末）在△ABC中，a＝2，b＝1，，那么△ABC的面积等于 ．
【分析】由三角形面积公式即可求．
【解答】解：由三角形面积公式得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形的面积公式，属于基础题．
二十四．余弦定理（共1小题）
50．（2022春•奉贤区校级期末）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，三角形的面积等于，则AB的长为 ，或 ．
【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将AC与BC，以及已知面积代入求出sinC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出csC的值，利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及csC的值代入即可求出AB的长．
【解答】解：∵在△ABC中，AC＝3，BC＝4，三角形的面积等于，
∴AC•BC•sinC＝sinC＝3，解得sinC＝，
∵C为三角形内角，
∴csC＝±＝±，
∴由余弦定理得：AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•csC＝16+9±12＝13，或37，
解得：AB＝，或．
故答案为：，或．
【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．
二十五．解三角形（共1小题）
51．（2022春•宝山区校级期末）已知：复数z1＝bcsC+（a+c）i，z2＝（2a﹣c）csB+4i，且z1＝z2，其中A，B，C为△ABC的内角，a，b，c为角A、B、C所对的边．
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用复数相等的条件得到关于csB的解析式，再由正弦定理解出边长代入csB的解析式，求出csB的值，从而得到角B的大小．
（2）利用余弦定理求出ac，再根据角B的大小，代入面积公式s＝ac×sinB 进行计算．
【解答】解：（1）∵z1＝z2，复数z1＝bcsC+（a+c）i，z2＝（2a﹣c）csB+4i，
∴bcsC＝（2a﹣c）csB①，a+c＝4②，
由①得2acsB＝bcsC+ccsB，
在△ABC中，由正弦定理得 2sinAcsB＝sinBcsC+sinCcsB，
∴2sinAcsB＝sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sinA，
∵0＜A＜π，∴sinA＞0，
∴，
∵0＜B＜π，∴；
（2）∵，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accsB⇒a2+c2﹣ac＝8③，
由②得a2+c2+2ac＝16④，
由③④得，
∴＝．
【点评】本题考查复数相等的充要条件及利用余弦定理、正弦定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二十六．虚数单位i、复数（共2小题）
52．（2022春•浦东新区校级期末）3+4i的虚部是 4 ．
【分析】根据已知条件，结合虚部的定义，即可求解．
【解答】解：3+4i的虚部是4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查虚部的定义，属于基础题．
53．（2022春•浦东新区校级期末）若i是虚数单位，当n∈N时，的所有可能的取值组成的集合为 {﹣2，0，2} ．
【分析】分类讨论，利用复数的运算求解即可．
【解答】解：当n＝4k，k∈N时，
1+＝1+1＝2，
当n＝4k+1，k∈N时，
i+＝i﹣i＝0，
当n＝4k+2，k∈N时，
i2+＝﹣1﹣1＝﹣2，
当n＝4k+3，k∈N时，
i3+＝﹣i+i＝0，
故当n∈N时，的所有可能的取值组成的集合为{﹣2，0，2}；
故答案为：{﹣2，0，2}．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位i的性质，是基础题．
二十七．复数的代数表示法及其几何意义（共1小题）
54．（2022春•闵行区校级期末）如果复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝2，那么|z﹣1﹣i|的最大值是 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝2，
复数z对应的点为复平面x轴上，A（﹣1，0），B（1，0）之间的任意点，
故|z﹣1﹣i|表示复数z对应的点到点P（1，1）的距离，
所以|z﹣1﹣i|的最大值是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
二十八．纯虚数（共1小题）
55．（2022春•徐汇区校级期末）复数z＝（1+i）m2﹣（8+i）m+15﹣6i（m∈R），求实数m的取值范围使得：
（1）z为纯虚数；
（2）z在复平面上对应的点在第四象限．
【分析】整理已知的复数，求得其实部和虚部，
（1）根据纯虚数的要求求解结论，
（2）根据第四象限内点的要求即可求解结论．
【解答】解：∵z＝（1+i）m2﹣（8+i）m+15﹣6i＝（m2﹣8m+15）+（m2﹣m﹣6）i，
（1）z为纯虚数，需满足m2﹣8m+15＝0且m2﹣m﹣6≠0，
可得m＝5；
（2）z在复平面上对应的点在第四象限，需满足m2﹣8m+15＞0且m2﹣m﹣6＜0，
解得﹣2＜m＜3，
即实数m的取值范围为（﹣2，3）．
【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
二十九．复数的运算（共2小题）
56．（2022春•浦东新区校级期末）i2022+i2021+…+i+1＝（ ）
A．1B．i+1C．iD．0
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：i+i2+i3+i4＝0，i4＝1，
则i2022+i2021+…+i+1＝1+i+i2+i3+i4+i4（i+i2+i3+i4）+•••+i2021+i2022＝1+i2021+i2022＝1+（i4）505•i+1+（i4）505•i2＝1+i﹣1＝i．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
57．（2022春•虹口区校级期末）已知关于x的实系数一元二次方程x2﹣3ax﹣a＝0（a∈R）有一对共轭虚根x1，x2．
（1）当时，求共轭虚根x1和x2；
（2）若，求实数a的值．
【分析】（1）利用一元二次方程求根公式求解．
（2）由|x1﹣x2|＝，结合韦达定理能求出实数a的值．
【解答】解：（1）当a＝﹣时，＝﹣，
则方程＝0的根为＝﹣，
解得，．
（2）∵x1+x2＝3a，x1x2＝﹣a，
∴|x1﹣x2|＝＝＝，
整理得9a2+4a＝，a＝＝，
∴a＝．
【点评】本题考查一元二次方程求根公式、韦达定理、复数的运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三十．复数的模（共1小题）
58．（2022春•嘉定区校级期末）设复数z1，z2，满足，则|z1+z2|＝ ．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R，
∵|z1|＝|z2|＝2，
∴a2+b2＝4，c2+d2＝4，
∵z1﹣z2＝（a﹣c）+（b﹣d）i＝+i，
∴，b﹣d＝1，
∴a2+c2﹣2ac+b2+d2﹣2bd＝3+1，
∴ac+bd＝2，
∴|z1+z2|＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
三十一．复数的三角表示（共1小题）
59．（2022春•嘉定区校级期末）复数的三角形式（用辐角主值表示）为 cs+isin ．
【分析】由复数的共轭复数的定义和复数的三角形式可得答案．
【解答】解：＝cs（﹣）+isin（﹣）＝cs+isin．
故答案为：cs+isin．
【点评】本题考查复数的共轭复数的求法，以及三角形式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
三十二．实系数多项式虚根成对定理（共1小题）
60．（2022春•浦东新区校级期末）若1+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的根，则pq＝ ﹣4 ．
【分析】根据实系数方程x2+px+q＝0的虚根是共轭复数，利写出方程的另一根，
再用根与系数的关系求出p、q的值．
【解答】解：若1+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的根，
则1﹣i也是该方程的根，
所以（1+i）+（1﹣i）＝﹣p，解得p＝﹣2；
（1+i）（1﹣i）＝q，解得q＝2；
所以pq＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了根与系数的关系应用问题，也考查了一元二次实系数方程的虚根是共轭复数问题，是基础题．