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初中数学第27章 圆27.2 与圆有关的位置关系3. 切线教案配套ppt课件
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这是一份初中数学第27章 圆27.2 与圆有关的位置关系3. 切线教案配套ppt课件，文件包含2723第1课时切线的判定与性质pptx、2723第1课时反证法wmv等2份课件配套教学资源，其中PPT共37页， 欢迎下载使用。
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.
从图可以看出来，对直线 l 上除点 A 外的任一点 P，必有 OP＞OA，即点 P 位于圆外，从而可知直线与圆只有一个公共点，所以直线 l 是圆的切线.
如图，画一个圆 O 及半径 OA，经过 ☉O 的半径 OA 的外端点 A 画一条直线 l 垂直于这条半径，这条直线与圆有几个公共点？
经过圆的半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
直线 l 为⊙O 的切线
下列各直线是不是圆的切线？为什么？
(1) 不是，因为没有垂直.
(2) (3) 不是，因为没有经过圆的半径的外端点 A.
在此定理中，“经过圆的半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
2. 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即 d = r)时，直线与圆相切；
3. 判定定理：经过圆的半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
例1 如图，线段 AB 是☉O 的直径，直线 AC 与 AB 交于点 A，∠ABC = 45°，且 AB = AC.求证：AC 是☉O 的切线.
分析：直线 AC 经过半径的一端，因此只要证 OA 垂直于 AC 即可.
证明：∵ AB = AC，∠ABC = 45°，
∴∠ACB =∠ABC = 45°.
∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°，即 AB⊥AC.
∵ AB 是☉O 的直径，
∴ AC 是☉O 的切线.
例2 已知直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB， CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
分析：由于 AB 过⊙O 上的点 C，所以连接 OC，只要证明 AB⊥OC 即可.
证明：连接 OC.∵ OA ＝ OB，CA ＝ CB， ∴ OC 是等腰△OAB 底边 AB 上的中线. ∴ OC⊥AB. ∵ OC 是 ⊙O 的半径，∴ AB 是 ⊙O 的切线.
例3 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是 BC 的中点，⊙O 与 AB 相切于 E.求证：AC 是⊙O 的切线．
分析：根据切线的判定定理，要证明 AC 是⊙O 的切线，只要证明由点 O 向 AC 所作的垂线段 OF 是⊙O 的半径就可以了，而 OE 是⊙O 的半径，因此只需要证明 OF = OE.
证明：连接 OE ，OA， 过 O 作 OF ⊥AC.
∵ ⊙O 与 AB 相切于 E ，∴ OE ⊥ AB.
又∵ 在△ABC 中，AB ＝AC ， O 是 BC 的中点，
∴ AO 平分∠BAC，
∵ OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC，
∴ AC 是⊙O 的切线．
又∵ OE⊥AB ，OF⊥AC.
如图，已知直线 AB 经过⊙O 上的点 C，并且 OA＝OB，CA＝CB求证:直线AB是⊙O 的切线.
如图，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O 的直径为 6.求证:直线AB是⊙O的切线.
(1) 有交点，连半径，证垂直；(2) 无交点，作垂直，证半径.
证切线时辅助线的添加方法
有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
(1) 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
(2) 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
思考：如图，如果直线 l 是⊙O 的切线，点 A 为切点，那么 OA 与 l 垂直吗？
∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，
（1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作 OM⊥CD，垂足为 M；
理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直.
（2）则 OM＜OA，即圆心到直线 CD 的 距离小于⊙O 的半径，因此，CD 与⊙O 相交. 这与已知条件“直线 与⊙O 相切”相矛盾；
（3）所以假设不成立，故 AB 与 CD 垂直.
作出小⊙O 的同心圆大⊙O，CD 切小⊙O 于点 A，且 A 点为 CD 的中点，连接 OA，根据垂径定理，则 CD⊥OA，即圆的切线垂直于经过切点的半径．
1. 如图①，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线 MN 与⊙O 相切于点 B. 若∠ABN = 30°，则∠AOB = °.
2. 如图②，AB 为⊙O 的直径，D 为 AB 延长线上一点，DC 与⊙O 相切于点 C，∠DAC = 30°. 若⊙O 的半径长 1 cm，则 OD = cm.
利用切线的性质解题时，常需作辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.
例4 如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与⊙O交于 B、C 两点，∠P＝30°，连接 AO、AB、AC.(1) 求证：△ACB≌△APO；
解析：根据已知条件我们易得∠CAB = ∠PAO = 90°，由∠P = 30° 可得出∠AOP = 60°，则∠C = 30° = ∠P，即 AC = AP；这样就凑齐了角边角，可证得 △ACB≌△APO.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又 OA＝OB，∴△AOB 为等边三角形．∴ AB＝AO，∠ABO＝60°.
在△ACB 和△APO 中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABC＝∠AOP，∴△ACB≌△APO.
证明：∵ PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点，
又∵ BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC＝90°.
(2) 若 AP＝ ，求 ⊙O 的半径．
∴ AO＝1，即⊙O 的半径为 1.
解析：由已知条件可得△AOP 为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径 OA 的长.
1. 判断下列命题是否正确. (1) 经过半径外端的直线是圆的切线. ( ) (2) 垂直于半径的直线是圆的切线. ( ) (3) 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的 切线. ( ) (4) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. ( ) (5) 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. ( )
2. 如图，A 是☉O 上一点，且 AO = 5，PO = 13， AP = 12，则 PA 与☉O 的位置关系是 .
3. 如图，在☉O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径， ∠BCD = 120°，过 D 点的切线 PD 与直线 AB 交于 点 P，则∠ADP 的度数为 （ ） A．40° B．35° C．30° D．45°
OB2 + PB2 = PO2，即 r2 + 42 = (2 + r)2.
4. 如图，PB 切☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O 的半径是多少？
解：连接 OB，如图. 则∠OBP = 90°.
设⊙O 的半径为 r，则OA = OB = r，OP = OA + PA = r + 2.
在 Rt△OBP 中，
即 ⊙O 的半径为 3.
5. 如图，△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于 P，PE⊥AC 于 E. 求证：PE 是 ⊙O 的切线.
证明：连接 OP，如图.∵ AB = AC，∴∠B =∠C. ∵ OB = OP，∴∠B =∠OPB. ∴∠OPB =∠C. ∴ OP∥AC. ∵ PE⊥AC，∴ PE⊥OP. ∴ PE为 ⊙O 的切线.
6.如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为圆心，OA 长为半径的 ⊙O 与 BC 相切于点 M. 求证：CD 与⊙O 相切．
证明：连接 OM，过点 O 作ON⊥CD 于点 N，
∵ ⊙O 与 BC 相切于点 M，∴ OM⊥BC.又∵ ON⊥CD，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，∴ OM＝ON ∴ CD 与⊙O 相切．
6. 已知：△ABC 内接于☉O，过点 A 作直线 EF.(1)如图1，AB 为直径，要使 EF 为☉O 的切线，还需 添加的条件是（只需写出两种情况）： ① ________ ；② ___________ .
(2) 如图2，AB 是非直径的弦，∠CAE = ∠B， 求证：EF 是☉O 的切线.
证明：连接 AO 并延长交☉O 于 D，连接 CD， 则 AD 为☉O 的直径.
∴ ∠D +∠DAC = 90°.∵ ∠D 与∠B 同对 ，∴ ∠D = ∠B.又∵ ∠CAE = ∠B，∴ ∠D = ∠CAE.∴ ∠DAC+∠EAC = 90°.∴ EF 是☉O 的切线.
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.
从图可以看出来，对直线 l 上除点 A 外的任一点 P，必有 OP＞OA，即点 P 位于圆外，从而可知直线与圆只有一个公共点，所以直线 l 是圆的切线.
如图，画一个圆 O 及半径 OA，经过 ☉O 的半径 OA 的外端点 A 画一条直线 l 垂直于这条半径，这条直线与圆有几个公共点？
经过圆的半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
直线 l 为⊙O 的切线
下列各直线是不是圆的切线？为什么？
(1) 不是，因为没有垂直.
(2) (3) 不是，因为没有经过圆的半径的外端点 A.
在此定理中，“经过圆的半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
2. 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即 d = r)时，直线与圆相切；
3. 判定定理：经过圆的半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
例1 如图，线段 AB 是☉O 的直径，直线 AC 与 AB 交于点 A，∠ABC = 45°，且 AB = AC.求证：AC 是☉O 的切线.
分析：直线 AC 经过半径的一端，因此只要证 OA 垂直于 AC 即可.
证明：∵ AB = AC，∠ABC = 45°，
∴∠ACB =∠ABC = 45°.
∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°，即 AB⊥AC.
∵ AB 是☉O 的直径，
∴ AC 是☉O 的切线.
例2 已知直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB， CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
分析：由于 AB 过⊙O 上的点 C，所以连接 OC，只要证明 AB⊥OC 即可.
证明：连接 OC.∵ OA ＝ OB，CA ＝ CB， ∴ OC 是等腰△OAB 底边 AB 上的中线. ∴ OC⊥AB. ∵ OC 是 ⊙O 的半径，∴ AB 是 ⊙O 的切线.
例3 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是 BC 的中点，⊙O 与 AB 相切于 E.求证：AC 是⊙O 的切线．
分析：根据切线的判定定理，要证明 AC 是⊙O 的切线，只要证明由点 O 向 AC 所作的垂线段 OF 是⊙O 的半径就可以了，而 OE 是⊙O 的半径，因此只需要证明 OF = OE.
证明：连接 OE ，OA， 过 O 作 OF ⊥AC.
∵ ⊙O 与 AB 相切于 E ，∴ OE ⊥ AB.
又∵ 在△ABC 中，AB ＝AC ， O 是 BC 的中点，
∴ AO 平分∠BAC，
∵ OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC，
∴ AC 是⊙O 的切线．
又∵ OE⊥AB ，OF⊥AC.
如图，已知直线 AB 经过⊙O 上的点 C，并且 OA＝OB，CA＝CB求证:直线AB是⊙O 的切线.
如图，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O 的直径为 6.求证:直线AB是⊙O的切线.
(1) 有交点，连半径，证垂直；(2) 无交点，作垂直，证半径.
证切线时辅助线的添加方法
有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
(1) 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
(2) 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
思考：如图，如果直线 l 是⊙O 的切线，点 A 为切点，那么 OA 与 l 垂直吗？
∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，
（1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作 OM⊥CD，垂足为 M；
理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直.
（2）则 OM＜OA，即圆心到直线 CD 的 距离小于⊙O 的半径，因此，CD 与⊙O 相交. 这与已知条件“直线 与⊙O 相切”相矛盾；
（3）所以假设不成立，故 AB 与 CD 垂直.
作出小⊙O 的同心圆大⊙O，CD 切小⊙O 于点 A，且 A 点为 CD 的中点，连接 OA，根据垂径定理，则 CD⊥OA，即圆的切线垂直于经过切点的半径．
1. 如图①，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线 MN 与⊙O 相切于点 B. 若∠ABN = 30°，则∠AOB = °.
2. 如图②，AB 为⊙O 的直径，D 为 AB 延长线上一点，DC 与⊙O 相切于点 C，∠DAC = 30°. 若⊙O 的半径长 1 cm，则 OD = cm.
利用切线的性质解题时，常需作辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.
例4 如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与⊙O交于 B、C 两点，∠P＝30°，连接 AO、AB、AC.(1) 求证：△ACB≌△APO；
解析：根据已知条件我们易得∠CAB = ∠PAO = 90°，由∠P = 30° 可得出∠AOP = 60°，则∠C = 30° = ∠P，即 AC = AP；这样就凑齐了角边角，可证得 △ACB≌△APO.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又 OA＝OB，∴△AOB 为等边三角形．∴ AB＝AO，∠ABO＝60°.
在△ACB 和△APO 中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABC＝∠AOP，∴△ACB≌△APO.
证明：∵ PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点，
又∵ BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC＝90°.
(2) 若 AP＝ ，求 ⊙O 的半径．
∴ AO＝1，即⊙O 的半径为 1.
解析：由已知条件可得△AOP 为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径 OA 的长.
1. 判断下列命题是否正确. (1) 经过半径外端的直线是圆的切线. ( ) (2) 垂直于半径的直线是圆的切线. ( ) (3) 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的 切线. ( ) (4) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. ( ) (5) 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. ( )
2. 如图，A 是☉O 上一点，且 AO = 5，PO = 13， AP = 12，则 PA 与☉O 的位置关系是 .
3. 如图，在☉O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径， ∠BCD = 120°，过 D 点的切线 PD 与直线 AB 交于 点 P，则∠ADP 的度数为 （ ） A．40° B．35° C．30° D．45°
OB2 + PB2 = PO2，即 r2 + 42 = (2 + r)2.
4. 如图，PB 切☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O 的半径是多少？
解：连接 OB，如图. 则∠OBP = 90°.
设⊙O 的半径为 r，则OA = OB = r，OP = OA + PA = r + 2.
在 Rt△OBP 中，
即 ⊙O 的半径为 3.
5. 如图，△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于 P，PE⊥AC 于 E. 求证：PE 是 ⊙O 的切线.
证明：连接 OP，如图.∵ AB = AC，∴∠B =∠C. ∵ OB = OP，∴∠B =∠OPB. ∴∠OPB =∠C. ∴ OP∥AC. ∵ PE⊥AC，∴ PE⊥OP. ∴ PE为 ⊙O 的切线.
6.如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为圆心，OA 长为半径的 ⊙O 与 BC 相切于点 M. 求证：CD 与⊙O 相切．
证明：连接 OM，过点 O 作ON⊥CD 于点 N，
∵ ⊙O 与 BC 相切于点 M，∴ OM⊥BC.又∵ ON⊥CD，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，∴ OM＝ON ∴ CD 与⊙O 相切．
6. 已知：△ABC 内接于☉O，过点 A 作直线 EF.(1)如图1，AB 为直径，要使 EF 为☉O 的切线，还需 添加的条件是（只需写出两种情况）： ① ________ ；② ___________ .
(2) 如图2，AB 是非直径的弦，∠CAE = ∠B， 求证：EF 是☉O 的切线.
证明：连接 AO 并延长交☉O 于 D，连接 CD， 则 AD 为☉O 的直径.
∴ ∠D +∠DAC = 90°.∵ ∠D 与∠B 同对 ，∴ ∠D = ∠B.又∵ ∠CAE = ∠B，∴ ∠D = ∠CAE.∴ ∠DAC+∠EAC = 90°.∴ EF 是☉O 的切线.
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
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