第04讲 均值不等式及其应用-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.均值不等式ab≤a+b2
(1)均值不等式成立的条件: .
(2)等号成立的条件:当且仅当 时取等号.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥ (a,b∈R).
(2)ba+ab≥ (a,b同号).
(3)ab≤a+b22(a,b∈R).
(4)a+b22≤a2+b22(a,b∈R).
3.算术平均值与几何平均值
给定两个正数a,b,数 称为a,b的算术平均值;数ab称为a,b的几何平均值.均值不等式可叙述为: .
4.利用均值不等式求最值问题
已知x>0,y>0.
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值,是 (简记:积定和最小).
(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值,是 (简记:和定积最大).
常用结论
1.若x≠0,则x+1x≥2,当且仅当x=±1时,等号成立.
2.若ab≠0,则ba+ab≥2,当且仅当a=±b时,等号成立.
3.若ab>0,x≠0,则ax+bx≥2ab,当且仅当x=±ba时,等号成立.
4.若a>0,b>0,则21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22,当且仅当a=b时,等号成立.
分类训练
探究点一 直接用均值不等式
例1 (1)(多选题) 若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法错误的是( )
A.ab有最小值14
B.a+b有最小值2
C.1a+1b有最小值4
D.a2+b2有最小值22
(2)已知3a=4b=12,则下列不等式不成立的是( )
A.a+b>4B.ab>4
C.(a-1)2+(b-1)2>2D.a2+b2<3
[总结反思] 利用均值不等式比较大小,主要有两个思路:一是直接建立不等关系比较大小;二是观察待比较式子的结构特征,合理选取均值不等式或其变形形式,结合不等式的性质比较大小.
变式题 (多选题)下列函数中,最小值为4的是( )
A.y=x2+8x
B.y=sin x+4sinx(0C.y=ex+4e-x
D.y=x2+1+4x2+1
探究点二 变形用均值不等式求最值
微点1 配凑法求最值
例2 (1)已知实数a>0,b>0,1a+1+1b+1=1,则a+2b的最小值是( )
A.32B.22
C.3D.2
(2)已知x>54,则函数y=4x+14x-5的最小值为 .
[总结反思] 均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,利用均值不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,先配凑出积、和为常数的形式,再利用均值不等式求解.
微点2 常数代换法求最值
例3 (1)已知a,b>0,2a+b=2,则ab+1a的最小值为( )
A.32B.2+1
C.52D.22
(2) 若正实数x,y满足4x+y=xy,且x+y4>a2-3a恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.[-1,4]B.(-1,4)
C.[-4,1]D.(-4,1)
[总结反思] 常数代换法主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求ax+by的最值”的问题,通常先将ax+by转化为ax+by·x+yt,再用均值不等式求最值.
微点3 消元法求最值
例4 若正数a,b满足1a+1b=1,则1a-1+4b-1的最小值为( )
A.4B.6
C.9D.16
▶ 应用演练
1.【微点1】若lg2x+lg4y=1,则x2+y的最小值为( )
A.2B.23
C.4D.22
2.【微点1】已知实数a,b满足ab>0,则aa+b-aa+2b的最大值为( )
A.2-2B.2+2
C.3-22D.3+22
3.【微点2】若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心,则9a+1b的最小值是( )
A.16B.10C.12D.14
4.【微点3】已知正数x,y满足3xy+y2-4=0,则3x+5y的最小值为( )
A.1B.4C.8D.16
探究点三 均值不等式的实际应用
例5 如图1-4-1,将宽和长分别为x,y(x(1)求y关于x的函数解析式.
(2)当x,y取何值时,该正十字形的外接圆的面积最小?并求出其最小值.
图1-4-1
[总结反思] 利用均值不等式解决实际应用题的基本思路:
(1)设变量时一般把要求的变量定义为函数;
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,再利用均值不等式求得函数的最值;
(3)求最值时注意定义域的限制.
变式题 新能源汽车环保、节能,以电代油,减少排放,既符合我国的国情,也代表了世界汽车产业发展的方向.某公司投资144万元用于新能源汽车充电桩项目,第一年该项目的维修保养费为24万元,以后每年增加8万元,该项目每年可给公司带来100万元的收入.假设第n年年底,该项目的纯利润为f(n)万元.(纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本)
(1)写出f(n)的表达式,并求该项目从第几年开始盈利?
(2)若干年后,该公司为了投资新项目,决定转让该项目,现有以下两种处理方案:
①年平均利润最大时,以72万元转让该项目;
②纯利润最大时,以8万元转让该项目.
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展?请说明理由.
同步作业
1.已知x≥1,则当x+4x取得最小值时,x的值为( )
A.1B.2
C.3D.4
2. 若正实数a,b满足1a+12b=ab,则ab的最小值为( )
A.2B.22
C.4D.8
3.函数f(x)=x+2x+2(x>-2)的最小值是( )
A.2B.22
C.22+2D.22-2
4.已知正实数x,y满足x+y=2,则1x+2y的最小值是( )
A.32+2B.22
C.3D.42
5.(多选题)已知a>0,b>0,且2a+1b=1,则( )
A.b>1B.ab≤8
C.4a2+1b2≥12D.a+2b≥8
6.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型,则这个矩形模型的最大面积为 .
7. 已知x,y为正实数,则4xx+3y+3yx的最小值为( )
A.53B.103
C.32D.3
8. 若4x+4y=1,则x+y的取值范围是( )
A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)
C.(-∞,1]D.[1,+∞)
9.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,若a3-a2=5,则a4+8a2的最小值为( )
A.40B.20
C.10D.5
10.已知xy=1,且0A.4B.92
C.22D.42
11. 若两个正实数x,y满足1x+4y=2,且不等式x+y4A.(-1,2)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-2,1)
D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
12.(多选题)下列说法正确的是( )
A.x+1x(x>0)的最小值是2
B.x2+2x2+2的最小值是2
C.x2+5x2+4的最小值是2
D.2-3x-4x的最大值是2-43
13.(多选题) 已知a>0,b>0,且a+b=1,则( )
A.a2+b2≥12
B.2a-b>12
C.lg2a+lg2b≥-2
D.a+b≤2
14.设b>0,a-b2=1,则1a+a28b的最小值为 .
15. 若对任意x≥0,k1+x≥1+x恒成立,则实数k的取值范围是( )
A.[0,+∞)B.[1,+∞)
C.[2,+∞)D.[2,+∞)
16.设x,y为正实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y6+6xy的最大值是 .