第01讲 集合-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.集合及其表示方法
(1)集合元素的性质: 、 、无序性.
(2)集合与元素的关系:①属于,记为 ;②不属于,记为 .
(3)集合的表示方法:列举法、 、 和区间法.
(4)常见数集及记法
2.集合的基本关系
3.集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)交集的运算性质:A∩B=B∩A;A∩A=A;A∩⌀=⌀∩A=⌀;A∩B=A⇔A B.
(2)并集的运算性质:A∪B= ;A∪A=A;A∪⌀=⌀∪A=A;A∪B= ⇔B⊆A.
(3)补集的运算性质:A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)= ;
∁U(∁UA)= ;∁U(A∪B)=(∁UA) (∁UB);∁U(A∩B)= ∪ .
【答案】1.(1)确定性 互异性 (2)①∈ ②∉ (3)描述法 图示法(维恩图) (4)N N*或N+ Z Q R
2.任意一个元素 B⊇A 至少 ⫋ 相同 A=B 不含
3.且 且 A∩B 或 或 A∪B 不 ∉ ∁UA
4.(1)⊆ (2)B∪A A (3)⌀ A ∩ (∁UA) (∁UB)
常用结论
(1)集合的关系
①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集.
②任何一个集合是它本身的子集.
③子集的传递性:A⊆B,B⊆C,则A⊆C(真子集也满足).
④若A⊆B,则有A=⌀和A≠⌀两种可能.
(2)子集个数和元素个数
①集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.
②集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中).
(3)集合的运算
A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB.
分类训练
探究点一 集合及其表示
例1 (1)[2020·济南章丘四中模拟] 若集合A={1,2,3},B={(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A},则集合B中的元素个数为( )
A.9B.6
C.4D.3
非空有限数集S满足:若a,b∈S,则必有a2,b2,ab∈S.则满足条件且含有两个元素的数集S= .(写出一个即可)
[思路点拨] (1)通过列举可得x,y∈A的数对(x,y)共有9对,再寻找符合题意的(x,y),从而确定集合B中的元素个数;(2)由题意,不妨设S={a,b},根据题意有a2,ab,b2∈S,所以a2,ab,b2中必有两个是相等的,分类讨论即可.
(1)D (2){0,1}(或{-1,1}) [解析] (1)通过列举,可知x,y∈A的数对(x,y)共有9对,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3).∵B={(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A},而(2,3),(3,2),(3,3)满足x+y-4>0,∴集合B中的元素个数为3.故选D.
(2)由题意,不妨设S={a,b}(a≠b),根据题意有a2,ab,b2∈S,所以a2,ab,b2中必有两个是相等的.若a2=b2,则a=-b,故ab=-a2,又a2=a或a2=b=-a,所以a=0(舍去)或a=1或a=-1,此时S={-1,1};若a2=ab,则a=0,此时b2=b,故b=1,此时S={0,1};若b2=ab,则b=0,此时a2=a,故a=1,此时S={0,1}.综上,S={0,1}或{-1,1}.
[总结反思] 解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素是什么;二是看这些元素的限制条件是什么;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.
变式题 (1)[2020·榆林模拟] 设集合A=[0,m],若1∈A且2∉A,则实数m的取值范围是 .
[2020·武汉一模] 用列举法表示集合:A=xx∈Z,且86−x∈N= .
(1)[1,2) (2){-2,2,4,5} [解析] (1)因为集合A=[0,m],1∈A且2∉A,所以1≤m<2.
(2)∵x∈Z且86−x∈N,∴1≤6-x≤8,即-2≤x≤5.当x=-2时,1∈N;当x=-1时,87∉N;当x=0时,43∉N;当x=1时,85∉N;当x=2时,2∈N;当x=3时,83∉N;当x=4时,4∈N;当x=5时,8∈N.综上可知A={-2,2,4,5}.
探究点二 集合的基本关系
例2 (1)[2020·西安模拟] 若集合M=xx=π4+k·π2,k∈Z,N=xx=π2+k·π4,k∈Z,则( )
A.M=NB.M⫋N
C.N⫋MD.M∩N=⌀
(2)[2021·新高考八省联考] 已知M,N均为R的子集,且∁RM⊆N,则M∪(∁RN)=( )
A.⌀B.MC.ND.R
[思路点拨] (1)由集合M=xx=π4+k·π2,k∈Z,N=xx=π2+k·π4,k∈Z,可得对任意x∈M,都有x∈N,而在集合N中存在元素π2,使得π2∉M,根据集合的真子集的定义,易得到答案;(2)根据题意,先求M的元素个数,再求M的真子集个数.
(1)B (2)7 [解析] (1)若x∈M,则x=π4+k·π2=π2+(2k-1)·π4,k∈Z,所以M中的元素都是N中的元素,所以M⊆N.而π2∈N,π2∉M,所以M⫋N.故选B.
(2)由题得-2≤x≤2,令x=0,得y=2;令x=±1,得y=3;令x=±2,得y=0.故M中有三个元素,则M有7个真子集.
[总结反思] (1)一般利用数轴法、维恩图法以及结构法判断两集合的关系,如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数进行分类讨论.
(2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集,空集是非空集合的真子集.
(3)根据集合的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系.
变式题 (1)[2020·大连一模] 设集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},若A=B,则a2021+b2021的值为( )
A.0B.-1
C.-2D.0或-1
(2)[2021·新高考八省联考] 已知M,N均为R的子集,且∁RM⊆N,则M∪(∁RN)=( )
A.⌀B.MC.ND.R
(1)B (2)B [解析] (1)∵集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B,∴ab=1,a2=b或ab=b,a2=1,解得a=1,b=1(舍)或a=1,b∈R(舍)或a=−1,b=0,∴a=-1,b=0,故a2021+b2021=-1.
(2)方法一:∵M⊆R,N⊆R且∁RM⊆N,∴∁RN⊆∁R(∁RM),即∁RN⊆M,∴M∪(∁RN)=M,故选B.
方法二:由题意,作出如图所示的Venn图,由图知,
∁RN⊆M,∴M∪(∁RN)=M,故选B.
探究点三 集合的基本运算
角度1 集合的运算
例3 (1)[2020·沈阳二中模拟] 已知集合M={x|y=lg2(x-5)},N=yy=x+1x,x>0,则M∪N=( )
A.(-∞,5)B.[2,+∞)
C.[2,5)D.(5,+∞)
(2)[2020·全国卷Ⅲ] 已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为( )
A.2B.3C.4D.6
(3)若全集U=R,集合A={x|y=lg(6-x)},B={x|2x>1},则图1-1-1中阴影部分表示的集合是( )
图1-1-1
A.(2,3) B.(-1,0]
C.[0,6) D.(-∞,0]
[思路点拨] (1)先求出集合M,N,然后进行并集的运算即可;(2)利用交集的定义求出A∩B={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},由此求出A∩B中元素的个数;(3)求出集合A,B,从而求出∁UB,题图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB),由此求出结果.
(1)B (2)C (3)D [解析] (1)∵M={x|x>5},N={y|y≥2},∴M∪N=[2,+∞),故选B.
(2)由8-x≥x,得x≤4,又x∈N*,∴A∩B中有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4个元素.
(3)∵全集U=R,集合A={x|y=lg(6-x)}={x|x<6},B={x|2x>1}={x|x>0},∴∁UB={x|x≤0},∴题图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)={x|x≤0}.故选D.
[总结反思] 对于已知集合的运算,可根据集合的交集、并集和补集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及维恩图求解.
角度2 利用集合运算求参数
例4 (1)[2020·全国卷Ⅰ] 设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=( )
A.-4B.-2C.2D.4
(2)[2020·开封一模] 设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a-1)x+(a2-5)=0}.
①若A∩B={2},则实数a= ;
②若A∪B=A,则实数a的取值范围是 .
[思路点拨] (1)先化简集合A,B,再由交集的定义得到关于a的方程,解方程可得a的值.(2)①先由2∈B得到关于a的一元二次方程,求出a=-5或a=1,再进行检验,从而得到符合题意的实数a的值;②先由题意求出集合B,再求出a的取值范围.
(1)B (2)①-5或1 ②(3,+∞) [解析] (1)A={x|-2≤x≤2},B=xx≤-a2,∵A∩B={x|-2≤x≤1},∴-a2=1,∴a=-2.故选B.
(2)①由题可知,A={x|x2-3x+2=0}={1,2},∵A∩B={2},∴2∈B,∴4+4(a-1)+(a2-5)=0,解得a=-5或a=1.当a=-5时,集合B={2,10},符合题意;当a=1时,集合B={2,-2},符合题意.综上所述,a=-5或a=1.
②若A∪B=A,则B⊆A,∵A={1,2},∴B=⌀或B={1}或{2}或{1,2}.若B=⌀,则Δ=4(a-1)2-4(a2-5)=24-8a<0,解得a>3;若B={1},则Δ=24−8a=0,-2(a-1)2=1,即a=3,a=0,无解;若B={2},则Δ=24−8a=0,-2(a-1)2=2,即a=3,a=−1,无解;若B={1,2},则Δ=24−8a>0,1+2=−2(a-1),1×2=a2-5,即a<3,a=−12,a=±7,无解.综上可知a>3.
[总结反思] 根据集合运算求参数,要把集合语言转换为方程或不等式,然后解方程或不等式,再利用数形结合求解.
角度3 集合语言的运用
例5 (1)[2020·全国新高考Ⅰ卷] 某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62%B.56%
C.46%D.42%
(2)(多选题)当一个非空数集F满足条件“若a,b∈F,则a+b,a-b,ab∈F,且当b≠0时,ab∈F”时,称F为一个数域.以下说法正确的是( )
A.0是任何数域的元素
B.若数域F有非零元素,则2020∈F
C.集合P={x|x=3k,k∈Z}为数域
D.有理数集为数域
[思路点拨] (1)设只喜欢足球的学生数占该校学生总数的比例为x,只喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为y,两个项目都喜欢的学生数占该校学生总数的比例为z,列方程求解即可;(2)根据数域的定义分别进行判断即可.
(1)C (2)ABD [解析] (1)设只喜欢足球的学生数占该校学生总数的比例为x,只喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为y,两个项目都喜欢的学生数占该校学生总数的比例为z,则由题意得x+z=60%,x+y+z=96%,y+z=82%,解得z=46%.∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%.故选C.
(2)对于A,当a=b时,a-b=0属于数域,故A正确;对于B,若a∈F且a≠0,则1=aa∈F,2=1+1∈F,3=1+2∈F,依次类推,可得2020∈F,故B正确;对于C,易知P中的元素是3的倍数,当a=6,b=3时,ab=63=2∉P,故C错误;对于D,若F是有理数集,则当a,b∈F时,a+b,a-b,ab∈F,且当b≠0时,ab∈F,故D正确.故选ABD.
[总结反思] 以集合语言为背景的新定义问题,需正确理解新定义(即分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚),转化成熟知的数学情境,并能够应用到具体的解题过程中,这是破解新定义集合问题的关键所在.
同步作业
1.[2020·合肥模拟] 已知集合A={-2,-1,0,1,2},集合B={x||x-1|≤2},则A∩B=( )
A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}
C.{1,2} D.{-1,0,1,3}
1.B [解析] ∵集合A={-2,-1,0,1,2},集合B={x||x-1|≤2}={x|-1≤x≤3},∴A∩B={-1,0,1,2}.故选B.
2.[2020·北京海淀区二模] 若全集U=R,A={x|x<1},B={x|x>-1},则( )
A.A⊆BB.B⊆A
C.B⊆∁UAD.∁UA⊆B
2.D [解析] ∵∁UA={x|x≥1},∴∁UA⊆B,故选D.
3.[2020·北京东城区一模] 已知集合A={x∈R|x2-2x=0},则满足A∪B={0,1,2}的集合B的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
3.C [解析] ∵集合A={x∈R|x2-2x=0}={0,2},∴满足A∪B={0,1,2}的集合B有{1},{0,1},{1,2},{0,1,2},共4个,故选C.
4.[2020·景德镇模拟] 已知集合A=x∈N1x-2>0,则集合∁NA的子集的个数为( )
A.3B.4C.7D.8
4.D [解析] ∵集合A=x∈N1x-2>0={x∈N|x>2},∴∁NA={0,1,2},则集合∁NA的子集的个数为23=8.故选D.
5.[2020·成都三诊] 已知集合A={0,x},B={0,2,4},若A⊆B,则实数x的值为( )
A.0或2B.0或4
C.2或4D.0或2或4
5.C [解析] 因为A={0,x},B={0,2,4},A⊆B,所以x=2或4.故选C.
6.[2020·辽阳期末] 若集合A={x|x>2},B={x|x≤m+1},A∪B=R,则m的取值范围为 .
6.[3,+∞) [解析] ∵A∪B=R,∴m+1≥2,解得m≥3,∴m的取值范围为[3,+∞).
7.[2020·河北衡水中学一调] 已知全集U=R,集合A={y|y=x2+2,x∈R},集合B={x|y=lg(x-1)},则图K1-1中阴影部分所表示的集合为( )
图K1-1
A.[1,2]B.(1,2)
C.(1,2]D.[1,2)
7.B [解析] ∵集合A={y|y=x2+2,x∈R}=[2,+∞),集合B={x|y=lg(x-1)}=(1,+∞),∴图中阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B=(1,2),故选B.
8.[2020·陇南模拟] 若集合A={1,m},B={m2,m+1},且A=B,则m=( )
A.0B.1C.±1D.0或1
8.A [解析] ∵集合A={1,m},B={m2,m+1},且A=B,∴m2=m,m+1=1,解得m=0.故选A.
9.[2020·长沙雅礼中学月考] 设集合A=(x,y)y=13x,B={(x,y)|y=-x2+3},则集合A∩B中元素的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
9.C [解析] 在同一坐标系中画出函数y=13x和函数y=-x2+3的图像,如图所示.
∵两函数的图像有2个交点,∴A∩B中元素的个数为2.故选C.
10.[2020·南昌二模] 设集合A={x||x-a|=1},B={-1,0,b}(b>0),若A∩B=A,则实数对(a,b)有( )
A.1对B.2对
C.3对D.4对
10.B [解析] 由题意知A={x||x-a|=1}={a-1,a+1}⊆{-1,0,b}(b>0),若a≤0,则a-1=-1,即a=0,所以b=1;若a>0,则a-1=0且a+1=b,所以a=1,b=2.故a=0,b=1或a=1,b=2,所以实数对(a,b)有2对.故选B.
11.学校举办秋季运动会时,高一(2)班共有24名同学参加比赛,有12人参加游泳比赛,有9人参加田赛,有13人参加径赛,同时参加游泳比赛和田赛的有3人,同时参加游泳比赛和径赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,则同时参加田赛和径赛的有( )
A.4人B.6人
C.8人D.9人
11.A [解析] 设同时参加田赛和径赛的有x人,只参加田赛的有y人,只参加径赛的有z人,由题意画出维恩图,如图所示:
根据题意可知12+x+y+z=24,x+y+3=9,x+z+3=13,
解得x=4,y=2,z=6,
所以同时参加田赛和径赛的有4人.
12.(多选题)已知集合A={x|ax≤2},B={2,2},若B⊆A,则实数a的值可能是( )
A.-1B.1
C.-2D.2
12.ABC [解析] 因为B⊆A,所以2∈A,2∈A,
所以2a≤2,2a≤2,解得a≤1.
故选ABC.
13.(多选题)[2020·胶州期末] 设集合A={y|y=x-2,x∈R},集合B={x|x2+x-2<0,x∈R},则( )
A.A∩B=(0,1)
B.A∪B=(-2,+∞)
C.A∩(∁RB)=(0,+∞)
D.A∪(∁RB)=R
13.AB [解析] ∵A={y|y>0},B={x|-20}≠R.故选AB.
14.设集合M={x|x=3k,k∈Z},P={x|x=3k+1,k∈Z},Q={x|x=3k-1,k∈Z},若a∈M,b∈P,c∈Q,则a+b-c∈ .(填“M”“P”或“Q”)
14.Q [解析] 设a=3k1,k1∈Z,b=3k2+1,k2∈Z,c=3k3-1,k3∈Z,则a+b-c=3k1+3k2+1-3k3+1=3(k1+k2-k3)+2=3(k1+k2-k3+1)-1,k1,k2,k3∈Z,又k1+k2-k3+1∈Z,∴a+b-c∈Q.
15. (多选题)已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“互垂点集”.给出下列四个集合:M1={(x,y)|y=x2+1};M2={(x,y)|y=x+1};M3={(x,y)|y=ex};M4={(x,y)|y=sin x+1}.其中是“互垂点集”的为( )
A.M1B.M2
C.M3D.M4
15.BD [解析] 因为对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,所以对于集合M中任意点P(x1,y1),在集合M中存在另一个点P'(x2,y2),使得OP⊥OP'(O为坐标原点).在y=x2+1的图像中,当P点坐标为(0,1)时,不存在满足题意的点P',所以M1不是“互垂点集”;在y=x+1的图像中,将两坐标轴进行任意旋转,均与函数图像有交点,所以对于M2中的任意点P(x1,y1),在M2中存在另一个点P'(x2,y2),使得OP⊥OP',所以M2是“互垂点集”;在y=ex的图像中,当P点坐标为(0,1)时,不存在满足题意的点P',所以M3不是“互垂点集”;在y=sin x+1的图像中,将两坐标轴进行任意旋转,均与函数图像有交点,所以对于M4中的任意点P(x1,y1),在M4中存在另一个点P'(x2,y2),使得OP⊥OP',所以M4是“互垂点集”.故选BD.
16.若集合M中任意两个元素经过加、减、乘、除运算的结果都在M中,则称M是封闭集合.给出下列集合:
(1)R;(2)Q;(3)∁RQ;(4){x|x=m+2n,m,n∈Z}.其中封闭集合的个数为 .
16.2 [解析] 两个实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数,故R是封闭集合;两个有理数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是有理数,故Q是封闭集合;注意到3∈∁RQ,23∈∁RQ,而233=2∉∁RQ,故∁RQ不是封闭集合;令M={x|x=m+2n,m,n∈Z},注意到3+2∈M,4-2∈M,而3+24−2=1+22∉M,故{x|x=m+2n,m,n∈Z}不是封闭集合.综上可得,封闭集合的个数为2.
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号





文字语言
符号语言
记法
基本
关系
子集
集合A的 都是集合B的元素
x∈A⇒x∈B
A⊆B或

真子集
集合A是集合B的子集,并且B中 有一个元素不属于A
A⊆B,∃x0∈
B,x0∉A
A
B或
B⫌ A
相等
集合A,B的元素完全
A⊆B,B⊆A

空集
任何元素的集合,空集是任何集合的子集
∀x,x∉⌀,
⌀⊆A
⌀
备注
若A不是B的子集,则记作A⊈B(或B⊉A),读作“A不包含于B”(或“B不包含A”)
表示
运算
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于A 属于B的元素组成的集合
{x|x∈A,
x∈B}

并集
属于A
属于B的元素组成的集合
{x|x∈A,
x∈B}

补集
全集U中 属于A的所有元素组成的集合
{x|x∈U,
x A}