高中数学第1章 导数及其应用1.1 导数概念及其意义教案及反思

这是一份高中数学第1章 导数及其应用1.1 导数概念及其意义教案及反思，共5页。教案主要包含了课程标准要求，教学目标，学情与内容分析，教学准备，难、重点，教学过程，板书设计，评价设计等内容，欢迎下载使用。

【课程标准要求】
通过实例理解函数的平均变化率。
【教学目标】
1.理解函数平均变化率的概念。
2.会求函数的平均变化率。
3.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题。
【学情与内容分析】
本节课是湘教版高中数学选择性必修第二册《第一章导数及其应用》的第1节，教材通过学生熟悉的概念平均速度出发，结合两个实例介绍函数在指定区间的平均变化率，并且总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，引导学生掌握求函数平均变化率的一般步骤.教材例题的设计，从直线运动的物体的平均速度到曲线运动的物体的平均速度，从物体的平均速度到一般函数的平均变化率，是一个逐步抽象，由特殊到一般的过程.它是从具体的实际背景出发，到舍去物理背景得到数学对象的过程，不断渗透了数学抽象的素养.新课程标准提出，通过实例分析，学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础.
【教学准备】希沃课件。
【难、重点】
重点：理解函数平均变化率的概念．
难点：1.会求函数的平均变化率；
2.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题.
【教学过程】
【板书设计】
【评价设计】
【作业设计】
完成导学案内容
2、教材P5 练习题1，2，3
【教学反思】
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
㈠情景引入
情景问题：我们都非常熟悉平均速度这个概念，如何求出一个运动物体的在一个时段的平均速度呢？
（1）物体在直线上运动，如果匀速，那么任何时段平均速度不变；
（2）物体在直线上做变速运动，如何求某事段的平均速度？
学生通过讨论，教师概括，若在某直线上运动的物体在任何时刻的位置均可用表示，则从时刻到时刻的位移为，所化的时间为，所以这段时间的平均速度为 .
教师提出如何求出一个运动物体的平均速度的问题，学生思考回答，教师概括出求平均速度的一般方法.
1．从学生熟悉的具体情境出发，复合学生认知规律.
2．学生思考探究，为后面学习中的概括抽象提供基础.
㈡新知探索
通过教材中给出的两个具体例子作为引例，进一步理解平均速度的概念，并且总结概括出一般函数的平均变化率的定义.
【引例1】（课本例1）设数轴上的动点在任何时刻的位置都能用来表示，求该点在时间段内的平均速度.
分析： 计算得到
，可见，点在任意时间段内的平均速度都为0.5，所以它做匀速直线运动.作出的图像，可以发现就是图像上两点之间的线段的斜率.
【引例2】（课本例2）某物体做自由落体运动，其运动方程为，其中t为下落的时间（单位：），为重力加速度，大小为,求它在时间段内的平均速度.
分析：所求平均速度为
引导学生发现，函数的自变量不一定是时刻，因变量不一定表示位置，因而也不一定表示平均速度，但仍然反应了随自变量的变化快慢和变化方向，因而，我们把称为函数在上的平均变化率.
1.结合两个例子，引导学生体会函数为直线或曲线时.都能够同样计算平均速度；
2.让同学们结合图形，理解平均速度的几何意义就是两点连线所得线段的斜率.
3.引导同学们理解，不一定表示位置，因而也不一定表示平均速度，从而概括平均变化率的概念.
由具体的物理情境中的平均变化速度概念，抽象
概括出一般函数的平均变化率概念.体现由特殊到一般数学抽象的过程.
㈢典例剖析
例3．在正弦曲线上取两点，求直线的的斜率．
分析：直接通过两点坐标运算斜率.
解:
例 4．充满气的气球近似为球体 在给气球充气时，我们都知道，开始充气时，气球膨胀较快，随后膨胀速度逐渐缓慢下来 气球膨胀实际上就是气球半径增大，表面积增大，体积增大．试描述气球的半径相对于体积的平均变化率．
分析：由生活事实可知，随着气球体积的增大，半径的增长越来越缓慢，引导学生通过平均变化率来描述这一事实.
解;设气球的半径为体积为，则，所以，
当时，半径的平均变化率为，
当时，半径的平均变化率为
由上面两个结果，随着气球体积的逐渐增大，气球的半径的平均变化率逐渐变小.
例 5．已知函数，分别计算它们在区间上的平均变化率．
分析：此题是平均变化率的实际应用，根据上题总结的一般步骤，可以代入求解.
解： 函数在上的平均变化率为，在上的平均变化率为，
函数在上的平均变化率为，在上的平均变化率为.
1.教师提出问题，学生之间进行充分交流、讨论、探究活动.
2.例4由教师板书过程，起到示范作用；例5由学生到黑板板书，教师点评.
3.通过例4的教学，教师总结求平均变换率的一般步骤：第一步，求函数值的变化量；第二步，求自变量的变化量；第三步，作商得出结果.
4.通过3个例子，让学生阐述总结三个例子的共同点和不同点，进一步深化对平均变化率概念的理解，让学生能够脱离实际背景，抽象得到数学概念.
例 3 的设置，再次强化平均变化率的几何意义，即线段的斜率.
例4 从生活实际问题入手,再次体会平均变化率是可以反映因变量随自变量变化快慢的一个量 ,加深对概念的直观理解，并有效地引导学生更好地分析问题和理解问题和解决问题.
例5的设置是巩固强化作用，让学生进行概念的具体应用.
以上3个例子，既有三角函数，又有二次函数和三次函数等幂函数；既有平均变化率的几何解释，又有平均变化率的实际意义，教学过程要引导学生舍去物理背景，抽象出概念，渗透数学抽象的素养.
㈣练习巩固
练习 1. 小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起时间内所经过的距离为，求小球在时间段内的平均速度.
练习 2. 已知某化学物质在溶液中反应时的浓度随时间变化而变化（温度不变），下表记录了某温度下，该化学物质在溶液中反应时不同时刻的浓度.
试根据上表求下列时间段内的平均反应速率
（1）；（2）；（3）.
1.学生自主写出练习1和练习2的解题过程.
2.依次投影展示部分学生的两个题目的解答过程，请其余学生对比纠正错误.
3.让学生回答练习2中的浓度平均变化率的实际意义，并比较说明三个时段变换率的差别.
学生自己分析问题、解决问题、处理问题，培养自主探究能力.
练习1回顾了平均速度的概念，再次巩固平均变化率产生的物理背景.
练习2通过表格数据来表示函数，结合本节课例题的不同函数表现形式，再次突出概念的本质属性，同时，以化学浓度作为问题背景，通过平均变化率去描述它发展过程中的阶段变化，体现了数学的应用性.
㈤
归纳小结
本节课学习了什么内容?
结束语：平均变化率的概念；求函数平均变化率的一般步骤.
总结整节课所学知识,升华数学思想.
1.平均速度 平均变化率；
2.函数平均变化率的概念；
3.函数平均变化率的几何意义；
4.求函数平均变化率的一般步骤.
希沃课件投影区域
例3、例4、例5讲解以及板书