【寒假作业】高中数学 高一寒假巩固提升训练 专题02+平面向量的运算（八大考点）-练习

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思维导图
核心考点聚焦
考点一、向量的加法运算
考点二、向量的减法运算
考点三、与向量的模有关的问题
考点四、向量的数乘运算
考点五、共线向量与三点共线问题
考点六、平面向量数量积的运算
考点七、平面向量模的问题
考点八、向量垂直（或夹角）问题
知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则
1、向量加法的概念及三角形法则
已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图
本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．
2、向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量，我们规定．
知识点诠释：
两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点．
知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律
1、向量求和的多边形法则的概念
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有
2、向量加法的运算律
（1）交换律：；
（2）结合律：
知识点三：向量的减法
1、向量的减法
（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．
相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．
（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．
知识点诠释：
（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．
（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．
（3）两个向量的差仍是一个向量．
2、向量减法的作图方法
（1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．
（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
知识点四：数乘向量
1、向量数乘的定义
实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：
（1）；
（2）①当时，的方向与的方向相同；
②当时．的方向与的方向相反；
③当时，．
2、向量数乘的几何意义
由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．
3、向量数乘的运算律
设为实数
结合律：；
分配律：，
知识点五：向量共线的条件
1、向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．
2、向量共线的判定定理
是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3、向量共线的性质定理
若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
知识点诠释：
（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；
（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；
（3）有且只有一个实数，使．
（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一．
知识点六： 平面向量的数量积
1、平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0．
2、如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
如图（2），在平面内任取一点O，作．过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量．
知识点诠释：
1、两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定．
（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
（3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0．
2、投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为．
3、投影向量是一个向量，当对于任意的，都有．
知识点七：向量数量积的性质
设与为两个非零向量，是与同向的单位向量．
1、
2、
3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或
4、
5、
知识点八：向量数量积的运算律
1、交换律：
2、数乘结合律：
3、分配律：
知识点诠释：
1、已知实数、、，则．但是；
2、在实数中，有，但是
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线．
1、向量的三角形不等式
由向量的三角形法则，可以得到
（1）当不共线时，；
（2）当同向且共线时，同向，则；
（3） 当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．
2、平面向量数量积的几何意义
数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即．
事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以．
考点剖析
考点一：向量的加法运算
例1．（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量．
(1)
(2)
【解析】（1）作，，以、为邻边作，，
则即为所求作的向量.
（2）作，，以、为邻边作，，
则即为所求作的向量.
例2．（2024·新疆·高一校考期末）化简下列各式:
(1)
(2)
【解析】（1）原式.
（2）原式
例3．（2024·全国·高一专题练习）如图，已知向量
(1)求作
(2)设，为单位向量，试探索的最大值．
【解析】（1）（1）在平面内任取一点O，作，，，，则
（2）由向量三角不等式知，当且仅当同向时等号成立
故的最大值为3
考点二：向量的减法运算
例4．（2024·全国·高一随堂练习）化简：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
故答案为：；；；.
例5．（2024·全国·高一随堂练习）填空：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）.
例6．（2024·高一单元测试）任给两个向量和，则下列式子恒成立的有 ．
① ②
③ ④
【答案】②③
【解析】①根据向量加法的平行四边形法则，得，则①不恒成立；
②根据向量减法的三角形法则，得，则②恒成立；
③根据向量减法的三角形法则，得，则③恒成立；
④根据向量减法的三角形法则，得，则④不恒成立.
故答案为：②③.
变式1．（2024·安徽六安·高一六安一中校考）化简： .
【答案】
【解析】.
故答案为：.
考点三：与向量的模有关的问题
例7．（2024·高一课时练习）已知向量，满足，，则的最大值为 ．
【答案】7
【解析】因为，当且仅当，反向时，等号成立，
所以的最大值为7.
故答案为：7.
例8．（2024·高一课时练习）若向量满足，则的最小值为 ，的最大值为 ．
【答案】 1 5
【解析】当反向时，有最小值；
当反向时，有最大值.
故答案为：
例9．（2024·高一课时练习）已知非零向量满足，且，则 .
【答案】4
【解析】如图所示，设，，
则，
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则，
由于，
故，
所以是直角三角形，，
从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形，
根据矩形的对角线相等得，即.
故答案为：4
变式2．（2024·高一课时练习）已知向量，，的模分别为3，4，5，则的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】 12 0
【解析】向量，，的模分别为3，4，5，则向量可共线，又，则以为边长可构成直角三角形，
则当，，同向时，的模最大，
所以；
当，，和为时，的模最小，由于以为边长可构成直角三角形，
设，，，所以此时，故.
故答案为：12；0.
变式3．（2024·高一课时练习）已知非零向量，满足，则 .
【答案】
【解析】如图，设，，则，以OA，OB为边作平行四边形OACB，则.
因为，所以△OAB是等边三角形，四边形OACB是一个菱形，，所以，
所以.
故答案为：．
考点四：向量的数乘运算
例10．（2024·全国·高一随堂练习）求下列未知向.
(1)；
(2)；
(3).
【解析】（1）由得，
所以.
（2）由得，
所以.
（3）由得，
所以.
例11．（2024·全国·高一课堂例题）计算：
(1)；
(2)．
【解析】（1）原式．
（2）原式.
例12．（2024·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)；
(3).
【解析】（1）.
（2）.
（3）.
变式4．（2024·高一课时练习）计算：
(1)；
(2)．
【解析】（1）原式
．
（2）原式
考点五：共线向量与三点共线问题
例13．（2024·全国·高一随堂练习）判断三点是否共线.
(1)已知两个非零向量和不共线，，，.求证：A，B，D三点共线.
(2)已知任意两个非零向量，，求作，，.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由.
【解析】（1），
所以，
又因为有公共起点，故A，B，D三点共线.
（2） ，
所以，
又因为有公共起点，故A，B，C三点共线.
例14．（2024·宁夏银川·高一校考阶段练习）设，是不共线的两个非零向量.
(1)若，求证：A，B，C三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值.
【解析】（1）因为，
而
所以，所以与共线，且有公共点，
所以三点共线；
（2）因为与共线，
所以存在实数，使得，
因为与不共线，所以，解得，所以.
例15．（2024·陕西西安·高一西安市铁一中学校考）如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值．
【解析】∵是的重心，∴是边上的中线，，
∴，
∴，
又∵，（，），∴，，
∴，
又∵，，三点共线，
∴.
又∵，，∴由基本不等式，有
，
当且仅当，即，时，等号成立，
∴的最小值为.
变式5．（2024·高一课时练习）已知G是的重心，M是的中点，过点G作一条直线与边交于点P､与边交于点Q，设，求的值.
【解析】由题意可得，
又，即，，
所以，
因为三点共线，
则，即.
变式6．（2024·全国·高一假期作业）已知向量与的夹角为，且，求：
(1)；
(2)．
【解析】（1）由已知得
（2）．
考点六：平面向量数量积的运算
例16．（2024·湖北黄冈·高一校考阶段练习）如图，在底角为的等腰梯形中，，，分别为，的中点．设

(1)用，表示，；
(2)若，求．
【解析】（1），
；
（2）由题意可得,过作的垂线，则由,
，
.
例17．（2024·四川遂宁·高一射洪中学校考）已知向量，，与的夹角为.
(1)求；
(2)求.
【解析】（1）因为，，与的夹角为，
所以
（2）
.
例18．（2024·甘肃天水·高一天水市第一中学校考阶段练习）已知，，且，则向量在向量上的投影数量为 .
【答案】
【解析】因为，所以，
又因为，，所以，
所以向量在向量上的投影数量为，
故答案为：.
考点七：平面向量模的问题
例19．（2024·河南·高一校联考期末）向量，满足，，，则 .
【答案】
【解析】由题意，，，
，，
，
.
故答案为：.
例20．（2024·江苏南通·校联考一模）已知向量与向量满足：，，且与的夹角为，则 ．
【答案】2
【解析】由题意，，
所以 .
故答案为：2.
例21．（2024·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）已知向量，满足，，，则 ．
【答案】
【解析】由可知，
所以.
故答案为：.
变式7．（2024·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知向量的夹角为，，则 .
【答案】
【解析】由题意可得：，
所以.
故答案为：.
考点八：向量垂直（或夹角）问题
例22．（2024·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考）已知向量与的夹角为，且，．向量与共线，
(1)求实数的值；
(2)求向量与的夹角．
【解析】（1）若向量与共线，
则存在实数，使得，
则，则；
（2）由（1）知，，
，
，
，
，
所以，且，
所以.
例23．（2024·广东东莞·高一校考阶段练习）已知，，．
(1)求；
(2)当为何值时，与垂直？
(3)求向量与的夹角的余弦值．
【解析】（1）依题意，，
所以.
（2）若与垂直，
则，
解得.
（3），
设向量与的夹角为，
则.
例24．（2024·辽宁锦州·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）已知平面向量与满足，向量是与向量同向的单位向量，向量在向量上的投影向量为.
(1)若与垂直，求的大小；
(2)若与的夹角为，求向量与夹角的余弦值.
【解析】（1）设的夹角为，由题意得，则.
因为与垂直，所以，
化简为，即，所以.
（2）由题意得，所以，且.
所以，
，
设向量与的夹角为，所以.
变式8．（2024·广东云浮·高一校考阶段练习）已知向量，满足，，且．
(1)若，求实数k的值；
(2)求与的夹角．
【解析】（1）因为，，
即，解得：
，
解得：
（2），
，
∴
∵，∴
过关检测
一、单选题
1．（2024·江苏·高一校联考阶段练习）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ）
A．若且，则B．
C．若，且，则D．
【答案】B
【解析】对于A，若，则且，不能得到，故A错误，
对于B，，B正确，
对于C，若，且，则，则，无法得出，所以C错误，
对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误，
故选：B
2．（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）设非零向量，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，平方得，
即，则.
故选：B.
3．（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在边长为2的等边中，的值是（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】D
【解析】∵，向量与的夹角为120°，
∴.
故选：D
4．（2024·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）在平面四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，不符合题意.
，符合题意.
，不符合题意.
，不符合题意.
故选：B
5．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知，向量且向量与的夹角为，
所以向量在上的投影为，
又因为，所以向量在上的投影向量为.
故选：A.
6．（2024·北京朝阳·高三统考）已知平面内四个不同的点满足，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】,
,
即,
.
故选：D.
7．（2024·山东济南·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知平面向量，满足，且，，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【解析】由可得，
又可得，所以；
即，所以.
故选：D
8．（2024·天津和平·高一统考期末）已知平面向量，且与的夹角为，则（ ）
A．12B．16C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知：，
所以.
故选：C.
二、多选题
9．（2024·四川成都·高二成都七中校考）下列说法正确的是（ ）
A．对任意向量，都有
B．若且，则
C．对任意向量，都有
D．对任意向量，都有
【答案】AD
【解析】，，
可得，故选项A正确；
由可得，
又，可得或，
故选项B错误；
,
所以不一定成立，
故选项C错误；
由向量数量积运算的分配律可知选项D正确；
故选：AD.
10．（2024·河北石家庄·高一校考）若向量满足，，则（ ）
A．B．与的夹角为
C．D．在上的投影向量为
【答案】BC
【解析】对于A：因为，，
所以，所以，故A错误；
对于B：设与的夹角为，则，又，所以，故B正确；
对于C：因为，所以，故C正确；
对于D：因为，且，
所以在上的投影向量为，故D错误；
故选：BC
11．（2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．
B．λ、μ为非零实数，若，则与共线
C．若，则
D．若平面内有四个点A、B、C、D，则必有
【答案】BD
【解析】对选项A，，故A错误，
对选项B，因为λ、μ为非零实数，，
所以，所以与共线，故B正确.
对选项C，若，，满足，故C错误.
对选项D，平面内有四个点A、B、C、D，
，，
所以，即，即，故D正确.
故选：BD
12．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考）如图在中，AD､BE､CF分别是边BC､CA､AB上的中线，且相交于点G，则下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】由条件可知为的重心，
对于A，由重心的性质可得，所以，故A错误；
对于B，由重心的性质可得，所以，故B正确；
对于D，故D错误；
对于C，，，
，故C正确.
故选：BC.
三、填空题
13．（2024·北京·高一北京市第一六一中学校考阶段练习）化简： .
【答案】
【解析】，
故答案为：
14．（2024·河南·高三长垣市第一中学校联考阶段练习）已知向量、满足，，与的夹角为，若，则 .
【答案】/
【解析】因为，，与的夹角为，
所以.
由，
得，
解得.
故答案为：.
15．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量满足，则实数的值为 ．
【答案】1或
【解析】将两边平方，得，
得，即，解得或．
故答案为：或.
16．（2024·山东菏泽·高一校考阶段练习）已知向量，满足，， 则 ．
【答案】
【解析】由，
得，
又，
两式相加得，
则，则.
故答案为：.
四、解答题
17．（2024·全国·高一随堂练习）已知，，当，满足下列条件时，分别求的值．
(1)；
(2)；
(3)与的夹角为．
【解析】（1）因为，所以与的夹角为或，又，，
当与的夹角为时，
当与的夹角为时.
（2）因为，所以与的夹角为，
所以.
（3）因为与的夹角为，
所以.
18．（2024·全国·高一随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线：
(1)，；
(2)，（其中两个非零向量和不共线）；
(3)，.
【解析】（1），，所以，
所以，共线.
（2），,
所以，所以，共线.
（3）因为，，
所以，
所以.
所以，共线.
19．（2024·全国·高一随堂练习）已知，，与的夹角为，计算下列各式：
(1)；
(2)．
【解析】（1）因为，，
所以.
（2）因为，，与的夹角为，
所以，
所以.
20．（2024·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，点E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，，，与所成角是.
(1)若，求实数x，y的值；
(2)求线段EF的长度.
【解析】（1）由题意，可得．
∵E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，
∴，，
∴①+②得，，
∴，又，
∴，．
（2）∵，，，所成角为，
∴，
∴，
∴线段EF的长度为.
21．（2024·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考）如图，在中，是的中点，点在上，且与交于点，设.

(1)求的值；
(2)当时，求的值.
【解析】（1）依题意，
由于三点共线，所以.
（2）由（1）得，
所以
.