【寒假作业】高中数学 高一寒假巩固提升训练 第七章+复数（单元综合测试卷）-练习

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则“”是复数“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由“”为纯虚数，得，解得，
故“”是复数“为纯虚数”的充要条件.
故选：C.
2．若复数，其中，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】因为，实部为，虚部为，
因为，所以，，
所以复数在复平面内对应的点为位于第四象限.
故选：D
3．已知，，且，则（ ）
A．B．2C．D．10
【答案】A
【解析】因为，即，即，
因为，，所以，解得，
所以.
故选：A
4．已知i为虚数单位，复数z满足，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，所以的虚部是.
故选：D
5．欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，故.
故选：A.
6．下列命题中，正确的个数为（ ）
①设是坐标原点，向量、对应的复数分别为、，那么向量对应的复数是；
②复数是的根，则；
③若复数是关于的方程的一个根，则；
④已知复数满足，则复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于①，因为，则向量对应的复数是，①错；
对于②，由可得，解得，故，②对；
对于③，由题意可知，关于的方程的两个虚根分别为、，
所以，，解得，故，③对；
对于④，因为，
所以，复数对应的点的轨迹是以为圆心半径为的圆，④错.
故选：B.
7．已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】A
【解析】设复数在复平面内对应的点为，
因为复数满足，
所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，
所以在复平面内点的轨迹为，
又表示点到点的距离，
所以问题转化为上的动点到定点距离的最小值，
当为时，到定点的距离最小，最小值为1，
所以的最小值为1，
故选：A．
8．设、为复数，下列命题一定成立的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，是正实数，那么
D．如果，那么为实数
【答案】D
【解析】设，
对于A：∵，
则
，
可得，不能得到，
例如，满足，但显然，故A错误.
对于B：若，，则，显然且，故B错误；
对于C：∵，则，
且只有实数才能比较大小，对于虚数无法比较大小，故C错误；
对于D：令，则，因为，所以，
所以，则，所以为实数，故D正确；
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内复数所对应的点位于第一象限B．
C．D．
【答案】ABCD
【解析】A选项，，
故在复平面内复数所对应的点位于第一象限，A正确；
B选项，，B正确；
C选项，，C正确；
D选项，，D正确.
故选：ABCD
10．下列命题正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，，则D．若，，且，则
【答案】AC
【解析】对于A，根据数集的包含关系，正确，故A正确；
对于B，若，设，则，，，故B错误；
对于C，设，，，，则，故C正确；
对于D，若，，则，，故D错误.
故选：AC.
11．已知复数，复数所对应的向量分别为，其中O为坐标原点，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABD
【解析】对选项A：，则，即，即，故A正确；
对选项B：，则，即，
，，故B正确；
对选项C：，则，，
当时，，故C错误；
对选项D：，则且，
解得或，，故，故D正确；
故选：ABD.
12．设复数，满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A．的共轭复数为
B．
C．若是方程的根，则
D．
【答案】AD
【解析】因为，所以，故A正确；
因为，所以，故B不正确；
因为是方程的根，且，
所以，所以，所以，故C错误；
因为，所以，所以，所以，故D正确.
故选：AD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知i为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则 .
【答案】
【解析】由复数为纯虚数，可知，
，得.
故答案为：
14．如果都是实数，关于的方程有一个根，则
【答案】
【解析】因为为关于的方程的一个根，
所以为关于的方程的一个根，
所以，解得，，
所以.
故答案为：.
15．已知为虚数单位，若复数满足，则 .
【答案】/
【解析】设，则，
所以，
因为，
所以，所以，
所以，
则.
故答案为：.
16．复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①；②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为
【答案】20
【解析】设，
则.
所以点的坐标分别为
又两点连线的中点对应的复数为，
解得
.
又
的面积为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
实数取什么数值时，复数分别是：
(1)实数？
(2)纯虚数？
【解析】（1）由已知得,
其中复数的实部为，虚部为，
当时，即或时复数为实数.
（2）当，即，
即时，复数为纯虚数.
18．（12分）
计算下列各题:
(1)；
(2).
【解析】（1）
.
；
（2）
.
.
19．（12分）
已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位.
(1)求复数z和|z|；
(2)若在第四象限，求m的取值范围.
【解析】（1）设，则，
由为实数，得，则，
由为实数，得，则，
∴，则；
（2），
由在第四象限，得，解得或，
故m的取值范围为．
20．（12分）
已知复数，，为虚数单位.
(1)求及；
(2)若，求的共轭复数.
【解析】（1），，，
，
．
（2）由
所以.
21．（12分）
（1）计算：的值；
（2）在复数范围内解关于的方程：；
（3）设复数，满足，，求的值.
【解析】（1）因为，且周期为4，
原式
.
（2）由 ，得 ，
，.
（3）设，，
，，.
又，所以，，
，
，
.
22．（12分）
已知关于的方程有实数根.
(1)求实数的值；
(2)若复数满足，求当为何值时，有最小值，并求出的最小值.
【解析】（1）因为是方程的实数根，
所以，即，
所以，解得，
（2）设，由，得，
得，整理得，
所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示，
当复数对应的点在的延长线上时，取最小值，
因为，圆的半径，所以的最小值为.
此时复数对应的点与关于原点对称，则.