08直线与方程、圆与方程-上海市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（沪教版2020）

这是一份08直线与方程、圆与方程-上海市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（沪教版2020），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2023上·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）若直线l的参数方程是，则的法向量可以是（ ）
A．B．C．D．
2．（2015上·上海宝山·高三统考期末）圆过点的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2018上·上海松江·高三统考期末）过点且与直线垂直的直线方程是
A．B．C．D．
4．（2015上·上海嘉定·高三统考期末）已知圆过定点，圆心在抛物线上运动，若轴截圆所得的弦为，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2015上·上海虹口·高三统考期末）关于曲线：，给出下列四个命题：
①曲线关于原点对称； ②曲线关于直线对称；
③曲线围成的面积大于； ④曲线围成的面积小于；
则其中真命题是（ ）
A．①③B．①④C．①②③D．①②④
6．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
7．（2018上·上海虹口·高三统考期末）已知中，，，．在三角形所在的平面内有两个动点和，满足，，则的取值范围是
A．B．
C．D．
二、填空题
8．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）已知直线的倾斜角为，请写出直线的一个法向量 .
9．（2023上·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）直线与直线所成夹角的余弦值等于
10．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）抛物线的焦点到直线的距离为 .
11．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）已知实数x，y满足，则的取值范围为 .
12．（2023上·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）已知集合，若集合中有2个元素，则实数的取值范围是
13．（2018上·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考期末）已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为 （其坐标与无关）
14．（2019上·上海浦东新·高三统考期末）若函数存在零点，则实数的取值范围是
15．（2018上·上海虹口·高三统考期末）双曲线 = 1的右焦点F到其中一条渐近线的距离为 .
三、解答题
16．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）已知椭圆的左右焦点分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为.设是第一象限内上的一点，的延长线分别交于点.
(1)求椭圆的方程.
(2)求面积的取值范围.
(3)设分别为的内切圆半径，求的最大值.
17．（2012·上海奉贤·高三统考期末）函数
定义的第k阶阶梯函数其中 ，
的各阶梯函数图像的最高点 ，
（1）直接写出不等式 的解；
（2）求证：所有的点在某条直线上．
18．（2021上·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）已知点为双曲线的左右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且的面积为.圆的方程是.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，求的值；
(3)过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于两点，中点为，若恒成立，试确定圆半径.
19．（2023上·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）在平面直角坐标系中，曲线上的动点到点的距离是到点的距离的倍．
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)若，求过点且与曲线相切的直线的方程．
参考答案：
1．A
【分析】直接求出直线的普通方程，然后求出的法向量．
【详解】解：直线的参数方程是，
它的普通方程为：，
所以直线的法向量可以是．
故选：A．
2．D
【分析】先求圆心与切点连线的斜率，再利用切线与连线垂直求得切线的斜率结合点斜式即可求方程.
【详解】由题意知，圆：，圆心在圆上，
，
所以切线的斜率为 ，
所以在点处的切线方程为 ，
即.
故选：D.
3．A
【分析】根据两直线垂直的性质求得所求直线的斜率等于-2，再由所求直线过点（0，1），利用点斜式求得所求直线的方程，并化为一般式．
【详解】∵直线的斜率等于，故所求直线的斜率等于﹣2，再由所求直线过点（0，1），利用点斜式求得所求直线的方程为y﹣1（x﹣0），即2x+y-1=0，
故选A．
【点睛】本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于﹣1，用点斜式求直线方程，属于基础题．
4．A
【分析】假设圆心坐标，利用两点间距离公式得到半径；根据垂径定理可化简求得结果.
【详解】设圆心 半径
故选：
【点睛】本题考查直线被圆截得弦长的求解问题，涉及到两点间距离公式的应用；关键是明确直线被圆截得的弦长为.
5．A
【分析】根据对称性的判断方法，判断①②的正确性.判断曲线上任意一点都在单位圆外，由此判断③④的正确性.
【详解】对于①，将方程中的换为，换为，方程不变，所以曲线关于原点对称.所以①正确.
对于② ，将方程中的换为，换为，方程变为与原方程不相同，所以曲线不关于直线对称.所以②错误.
在曲线上任取一点，则，因为，所以，所以在单位圆外，所以③正确，④错误.
综上所述，正确的为①③.
故选：A
【点睛】本小题主要考查曲线的对称性判断，考查点和圆的位置关系，属于中档题.
6．B
【分析】根据题意,建立平面直角坐标系.令， .为中点.由即可求得点的轨迹方程.将变形,结合及平面向量基本定理可知三点共线.由圆切线的性质可知的最小值即为到直线的距离最小值,且当与圆相切时,有最大值.利用圆的切线性质及平行线段，比例关系，求得的最大值.
【详解】根据题意,设,
则
由代入可得
即点的轨迹方程为
又因为,变形可得,即,且
所以由平面向量基本定理可知三点共线,如下图所示:
以的最小值即为到直线的距离最小值
根据圆的切线性质可知,当与圆相切时,有最大，
此时，，，所以，
，即此时.
即的最大值为
故选:B
【点睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.
7．B
【详解】以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则B（4，0），C（0，6），
∵=2，∴M的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆．
∵，∴N是MC的中点．
设M（2csα，2sinα），则N（csα，sinα+3），
∴=（csα﹣4，sinα+3），
∴||2=（csα﹣4）2+（sinα+3）2=6sinα﹣8csα+26=10sin（α﹣φ）+26，
∴当sin（α﹣φ）=﹣1时，||取得最小值4，
当sin（α﹣φ）=1时，|取得最大值6．
故选B．
点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.
8．（答案不唯一）
【分析】先求出直线的斜率，再根据垂直关系写出法向量即可.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，
所以直线的一个方向向量为，
所以直线的一个法向量为，（答案不唯一，只要满足与向量垂直即可）.
故答案为：（答案不唯一）
9．
【分析】先根据题意得到两直线的斜率，进而得到直线的倾斜角为，设直线的倾斜角为，则两直线的夹角为，再由同角三角函数的基本关系及两角和差公式计算可得.
【详解】直线，即，则其斜率为，倾斜角为；
直线，即，则其斜率，
设直线的倾斜角为，则，
又，所以，
所以，，而，
所以两直线的夹角为，
又因为，
则
所以，
故所求夹角的余弦值为.
故答案为：.
10．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式即可求得答案.
【详解】由题意可得抛物线的焦点为，
则焦点到直线的距离为 ，
故答案为：.
11．
【分析】设，问题化为直线与圆有公共点，结合点线距离公式求参数范围.
【详解】设，则，
由题意知，直线与圆有公共点，
故，解得，故的取值范围为.
故答案为：
12．
【分析】根据与的交集仅有2个元素，得到与中两解析式只有两个交点，确定出的范围即可．
【详解】因为集合，
由可得，其图象是以原点为圆心，以5为半径的右半圆，图下图，
若中有2个元素，则与半圆有2个公共点，
当直线经过点时，，
当直线与半圆相切时，可得，
解得或（舍，
故．
故答案为：．
13．和
【分析】设出的图象与坐标轴的三个交点坐标，再设出圆的一般方程，把三点坐标代入圆方程，求出系数，得圆的方程（含有），分析此方程可得圆所过定点．
【详解】二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为，易知，满足，，，，设圆方程为，则
，
①－②得，，∴，从而，
代入③得，
∴圆方程为，
整理得，
由得或．
∴圆过定点和．
【点睛】本题考查圆的一般方程，考查韦达定理，圆过定点问题，想办法求出含有参数的圆的方程，然后按参数整理后得，只要让此关于的多项式中各项系数（包括常数项）均为0，就可解得定点．
14．
【分析】将函数存在零点转化为图像有交点，作出图像，观察图像得出实数的取值范围.
【详解】解：设，
则函数存在零点等价于图像有交点，
如图：
函数的图像恒过点，当其和函数的图像相切时，
，
所以的图像有交点时，
故答案为：
【点睛】本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考核作图能力和数形结合的思想，是中档题.
15．
【分析】利用点到直线的距离公式直接求解即可.
【详解】由题意可知：，
所以右焦点F的坐标为，
该双曲线的一条渐近线的方程为：，
所以F到一条渐近线的距离为：，
故答案为：.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据点到直线距离公式以及椭圆的焦点即可求解；
（2）根据三角形的面积求法和直线与双曲线联立并结合换元法和二次函数即可求解;
（3）根据齐次化和均值不等式即可求解.
【详解】（1）由题可知：的上顶点，双曲线的渐近线方程为：
由点到直线距离公式得，故，
结合得.
（2）设，，
联立，
消得，.
因，
而，
令，则
故的取值范围为.
（3），
由（2）可知，则有
，
又，所以
同理得，因此
，当且仅当，取等号；
则，则当为时可取等.
所以的最大值为
17．（1）（2）见解析
【分析】（1）利用分段函数的性质直接求解即可（2）先求出的解析式，研究其单调性，从而得到的第k阶阶梯函数图像的最高点的坐标，然后求出的坐标进而求得过 两点和过两点的直线的斜率都为，进而证得所有点在一条直线上
【详解】（1）
（2）由题可得
是增函数； ，x∈是减函数
∴的第k阶阶梯函数图像的最高点为
第k+1阶阶梯函数图像的最高点为
所以过 这两点的直线的斜率为．同理可得过这两点的直线的斜率也为 所以的各阶阶梯函数图像的最高点共线，直线方程为 即，故所有点在定直线上
【点睛】本题考查分段函数的解析式及单调性，分段函数的最大值，归纳推理的思想，考查直线方程，注意计算的准确性，是中档题
18．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由面积可求，再根据双曲线的定义可求，从而可求双曲线的方程；
（2）求出双曲线的渐近线方程，设两渐近线的夹角为，根据到角公式可求与，根据点到直线的距离公式可求，根据平面向量的数量积运算结合在双曲线上即可求解；
（3）由题意可得，设，，当的斜率存在时，设直线，与双曲线方程联立，根据韦达定理及可得，根据点到直线的距离公式可求，当的斜率不存在时亦可求得.
【详解】（1）因为的面积为，所以，
所以，解得，此时，
所以，
故双曲线的方程为.
（2）由题意得两条渐近线分别为，
设双曲线上的点，设两渐近线的夹角为，则，
得．
则点到两条渐近线的距离分别为，
因为在双曲线上，所以，又，
所以.
（3）中点为，若，则．
设，，
当的斜率存在时，设直线，
由得，
所以，
所以
，
所以，
所以，
所以，所以,
所以圆心到直线的距离.
当的斜率不存在时，直线，得，也满足，
综上，圆半径．
【点睛】解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；
(2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
19．(1)
(2)或.
【分析】（1）设，根据已知条件列方程，化简求得曲线的轨迹方程；
（2）设出直线的方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程，求得直线的斜率，进而求得直线的方程.
【详解】（1）设，由题意得，两边平方并整理得，
故曲线的轨迹方程为；
（2）曲线：是以为圆心，半径为的圆.
显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
即，所以，解得，
所以直线的方程为或，
即或.