【专项练习】全套专题数学八年级上册专题03 全等三角形的证明与计算（解析版）

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全等三角形的证明与计算 逻辑推理是数学核心素养之一。各地期末考试必考几何推理计算。华师版数学八年级上册期末考试，通常用“全等三角形的证明与计算”，作为解答题的第二题。该题由于是第二个解答题，难度不大。关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质。 1．如图，相交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：在与△BOC中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与△BAC中， ， ∴． 2．如图，点E在上，于点A，于点B，，． (1)说明的理由；(2)求的度数． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴DE=CE； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵DE=CE， ∴△DEC是等腰直角三角形， ∴． 3．如图，△ABC中，，两条高和交于．求证：． 【答案】见解析； 【详解】证明：由题意可得： ∴ ∴ 又∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ 4．如图，E为上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 在△ABC与， ， ∴(AAS)， ∴． 5．如图，点，，，在直线上（点，之间不能直接测量），点，在的异侧，，，测得． (1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【详解】（1）证明：， ， 在△ABC与△DEF中 ∴△ABC≌△DEF (ASA)； （2）解：∵△ABC≌△DEF， ， ， ， ． 6．如图、已知在同一条直线上，，，，相交于点． 求证：(1)；(2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF (SAS)； （2）∵， ∴，， ∴． 7．如图所示，，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ．（全等三角形的对应角相等） 8．如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【详解】解：∵, ∴即 又∵ ∴， 在和中 ， ∴, ∴． 9．如图，已知点，，，在一条直线上，，，且． (1)求证：△ABC≌；(2)若，，求的长 【答案】(1)证明见解析；(2)9 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ （2）由题意可得： 10．如图，为了测量凹槽的宽度，把一块等腰直角三角板放置在凹槽内，三个顶点分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长． 【答案】该凹槽的宽度的长为 【详解】解：是等腰直角三角形，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故该凹槽的宽度的长为． 11．如图，P为等边的边延长线上一点，，． (1)说明的理由；(2)判别是什么特殊三角形？并说明理由． 【答案】(1)见详解；(2)是等边三角形，理由见详解 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）是等边三角形，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 12．如图，，相交于点O，且，． (1)求证：；(2)若在直线上截取，求证：． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【详解】（1）∵， ∴． ∵，， ∴． ∴； （2）∵，， ∴，即． ∵，且在（1）中，有， ∴， ∴． ∴． 13．如图，为上任意一点，且，． (1)求证：△BPC≌；(2)求证：． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【详解】（1）证明：在和中， ∴() （2）∵ ∴    在和中， ∴()            14．已知：如图，△ABC中，平分交于点，且平分，联结并延长交边于点，说明的理由． 【答案】见解析 【详解】解：∵， ∴，     ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∵， ∴ 15．将两个大小不一的等腰直角三角板如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，B、C、E三点在同一直线上，连接DC． (1)请找出图②中的全等三角形，并说明理由． (2)试问：DC与BE的位置关系如何？并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析；(2)，理由见解析 【详解】（1）解：图2中． 理由如下： ∵与均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， ∴在和中， ， ； （2）． 理由如下： 由（1）知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 16．如图，在等边三角形中，点为边上任意一点，延长至点，使，连接交于点，于点，交于点． (1)求证：△AMD是等边三角形；(2)求证：； (3)若AB=a，求线段的长（结果用含a的代数式表示）． 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) 【详解】（1）在等边△ABC中，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， （2）∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ， ∵ ∴ 在 和中， ， ∴， ∴； （3）∵是等边三角形，且， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴． 17．如图，在等腰直角三角形中，，是斜边上任一点，于，交的延长线于，于，交于． 求证：(1)；(2)． 【答案】(1)见解析;(2)见解析 【详解】（1）∵等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）是等腰直角三角形，， ，． ，， ． ，， ． 在和中， ， ． ． 18．如图，在△ABC中，已知，，是的平分线，，垂足是E，和的延长线交于点F． (1)在图中找出与全等的三角形，并证明你的结论；(2)证明：． 【答案】(1)，见解析;(2)见解析 【详解】（1）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．如图，在△ABC中，是的中点，于，于点，且，求证：平分． 【答案】见解析 【详解】证明：，， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 于，于点， 平分． 20．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，与相交于点M，与相交于点N．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； ∴， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 21．如图，在△ABC中，是中线，于点E，于点E，于点F，交AD的延长线于点F，求证：． 【答案】见解析 【详解】解：，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ． 22．如图，，，，，与交于点F． (1)求证：△ACE≌△BCD．(2)求的度数． 【答案】(1)见解析;(2) 【详解】（1）∵，， ∴， ∴，即， 在和中， \ ∴； （2）∵， ∴， 设与交于点O， ∴， ∵ ∴ ∴． 23．如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为 (1)求证：;(2)写出线段的长（用含t的式子表示）， (3)连接，当线段经过点C时，求t的值 【答案】(1)见解析;(2);(3) 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）∵点P从点A出发，沿方向以的速度运动， ∴． （3）当线段经过点C时，如图： 在和中， ， ∴， ∴， ∵点Q从点D出发，沿方向以的速度运动， ∴， ∴， ∴，解得：． 24．如图，在△ABC中，，，直线l经过点A，交BC于点D，于点E，于点F． (1)求证；(2)求的度数． 【答案】(1)见解析;(2)45° 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 25．如图所示，在△ABC中，于D，于E，与交于点F，且， (1)求证；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析;(2)11 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ，， ，， ， ． 26．在等腰△ABC中，，为中线，，． (1)求证：；(2)直接写出4对相等的线段．（不包括） 【答案】(1)见解析；(2)，，，． 【详解】（1）证明：∵，为中线， ∴平分， ∵，， ∴； （2）解：由（1）可得， ∵是中线， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴4对相等的线段分别为：，，，． 27．如图，点C为线段上一点，和是等边三角形． (1)求证：．(2)求证：为等边三角形．(3)求的度数． 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴． 28．如图，，，，，垂足分别为点D，E．求证： (1) △ACD≌△CBE；(2)． 【答案】(1)见解析;(2)见解析 【详解】（1）解：∵，， ， ， ∴， ∵， ， 在△ACD和△CBE中， ∴△ACD≌△CBE； （2）∵， ∴，， ∴， ． 29．如图所示，，，，，求证： (1)；(2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∴． （2）证明：由（1）可知， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 30．如图，点A、B、C、D在同一直线上，，作于点C，于点B，且，连接，． (1)求证：且； (2)若将沿方向平移得到图2，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？说明理由． 【答案】(1)见解析;(2)成立，理由见解析 【详解】（1）∵， ，即， ∵，， ， ∵， ， ， ， ，， ； （2）成立，理由如下： ∵， ，即， ∵，， ， ∵， ， ， ， ， ．