2023-2024学年度高一寒假第9讲：空间点线面的位置关系(讲义+课后巩固+课后测+答案）

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模块1：平面的概念及表示
模块2：基本事实与三个推论及点、线、面位置关系
模块3：异面直线
【重要考点讲解】
模块1：平面的概念及表示
【知识精讲】
1．平面的概念：
①直观理解：课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的直观感觉,几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的；
②抽象理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面无厚薄．
2．平面的画法：
①我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向（如图1）;当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向（如图2）；
②在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画（如图3）．
3．平面的表示：
①平面通常用一个希腊字母表示，如：平面、平面、平面等；
②用代表平面的平行四边形的四个顶点表示,或用相对的两个顶点的大写英文字母来表示,如图1中的平面可以表示为平面或平面或平面．
【典例精讲】
题型1：对平面概念的理解
例题1．（1）有关平面的说法错误的是
A．平面一般用希腊字母、、来命名，如平面
B．平面是处处平直的面
C．平面是有边界的面
D．平面是无限延展的
（2）如图所示的是平行四边形所在的平面，有下列表示方法：
①平面；②平面；③平面；④平面；⑤；⑥平面．
其中不正确的是
A．④⑤B．③⑤C．③④⑤D．②③④⑤
（3）（多选）当三个平面都平行时，三个平面可将空间分成4个部分，那么三个平面还可将空间分成 部分．
A．5B．6C．7D．8
模块2：基本事实与三个推论及点、线、面位置关系
【知识精讲】
1．基本事实
2．三个推论
3．点与直线、平面的关系
4．直线与直线、平面的关系
5．平面与平面的关系
【典例精讲】
题型2：四点共面、三点共线与三线共点问题
例题2．（1）有下列四个命题：
①过三点确定一个平面；
②矩形是平面图形；
③三条直线两两相交，则确定一个平面；
④一条直线和该直线外一个点确定一个平面．
其中错误命题的序号是
A．①②B．①③C．②④D．②③
（2）如图，在下列四个正方体中，，，，分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，，，，四点共面的是
A． B．C．D．
（3）（多选）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是
A．，，三点共线B．，，，四点共面
C．，，，四点共面D．，，，四点共面
（4）如图，平面平面，、，，，直线，过、、三点确定的平面为，则平面、的交线必过
A．点B．点C．点但不过点D．点和点
例题3．如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：
（1），，，四点共面；
（2）与的交点在直线上．
例题4．已知在平面外，，，，如图．求证：，，三点共线．
【能力提升】
题型3：截面问题
例题4．（1）在正三棱柱中，，，，，平面截三棱柱所得截面的周长是
A．B．C．D．
（2）正方体的棱长为2，点，，分别是棱，，中点，则过点，，三点的截面面积是
A．B．C．D．
（3）正方体棱长为4，，，分别是棱，，的中点，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 ．
模块3：异面直线
【知识精讲】
1．定义：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
2．异面直线所成的角：
①定义：是两条异面直线，经过空间任意一点作直线，，我们把和所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角．
②范围：．
【典例精讲】
题型4：异面直线的判断
例题5．（1）下列各个图形中，异面直线的画法不妥的是
A． B．C．D．
（2）已知平面，且，，则直线，的关系为
A．一定平行B．一定异面
C．不可能相交D．相交、平行或异面都有可能
（3）正方体上的点，，，是其所在棱的中点，则下列各图中直线与直线是异面直线的图形是
A．B．C．D．
（4）（多选）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是
A．B．与所成的角为
C．与是异面直线D．
（5）如图，两个正方形，不在同一个平面内，点，分别为线段，的中点，则直线与的关系是
A．相交B．平行C．异面D．不确定
题型5：异面直线所成的角
例题6．（1）在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是
A．0B．C．D．
（2）如图所示，已知在正方体中，、分别是正方形和的中心，则直线和直线所成的角是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
（3）在直三棱柱中，，，，是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是
A．B．C．D．
（4）如图，在棱长都相等的正三棱柱中，为棱的中点，则直线与直线所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【能力提升】
例题7．（1）如图，正四面体中，点，分别是，的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是 ．
（2）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则
A．，，，四点共面
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．平面截正方体所得截面为等腰梯形
D．三棱锥的体积为
【高考真题体验】
1．（2019•新课标Ⅲ）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则
A．，且直线，是相交直线
B．，且直线，是相交直线
C．，且直线，是异面直线
D．，且直线，是异面直线
2．（2021•乙卷）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为
A．B．C．D．
第9讲：空间点线面的位置关系课后巩固
1．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是
A． B．C． D．
2．空间不重合的三个平面可以把空间分成
A．4或6或7个部分B．4或6或7或8个部分
C．4或7或8个部分D．6或7或8个部分
3．下列命题中，正确的命题是
A．空间不同三点确定一个平面
B．若一直线与两条平行线都相交，则这三条直线在同一平面内
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．有三条直线两两相交，则三条直线一定共面
4．如图所示，用符号语言可表达为
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
5．在空间四边形的各边，，，上依次取点，，，，若、所在直线相交于点，则
A．点必在直线上B．点必在直线上
C．点必在平面外D．点必在平面内
6．如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且．则下面几个说法中正确的个数是
①，，，四点共面；
②；
③若直线与直线交于点，则，，三点共线．
A．0B．1C．2D．3
7．已知四个选项中的图形棱长都相等，且，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是
A．B．C．D．
8．如图，在正方体，对角线与平面交于点．、交于点、为的中点，为的中点，
求证：（1）、、三点共线
（2）、、、四点共面
（3）、、三线共点．
9．如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 ．
11．在长方体中，、，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
12．如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为
A．B．C．D．
13．空间四边形的对角线，，、分别为、的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
14．在直三棱柱中，，，为四边形的中心，则异面直线与夹角的余弦值为
A．B．C．D．
【思维拓展训练】
1．如图，在棱长为6的正方体中，为的中点，为的一个三等分点（靠近．
（1）经过，两点作平面，平面截正方体所得截面可能是边形，请根据的不同取值分别作出截面图形（每种情况作一个代表类型，例如只需要画一一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；
（2）若为的中点，求过点，，的截面的面积．
基本事实
内容
图形表示
符号表示
基本事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面
、、三点不共线存在唯一的平面，使
基本事实2
如果一条直线上的两个点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内
，且，
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
，且
推论
内容
图形表示
符号表示
推论1
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
点有且只有一个平面，使，
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
有且只有一个平面，使，
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
有且只有一个平面，使，
文字语言
图形语言
符号语言
点在直线上
点在直线外
点在平面内
直线在平面内
文字语言
符号语言
图形语言
公共点个数
直线与直线异面
没有公共点
直线与直线共面
相交
有且只有一个公共点
平行
没有公共点
直线在平面内
有无数个公共点
直线在平面外
相交
有且只有一个公共点
平行
没有公共点
文字语言
符号语言
图形语言
公共点个数
两个平面平行
没有公共点
两个平面相交
有无数个公共点