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第13讲 命题与证明举例（考点定位精讲讲练）-2022学年八年级数学上学期期末考试满分全攻略（沪教版）学生版
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这是一份第13讲 命题与证明举例（考点定位精讲讲练）-2022学年八年级数学上学期期末考试满分全攻略（沪教版）学生版，共14页。
【考点剖析】
1.命题：判断一件事情的句子；正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题；一个命题是由题设和结论两部分组成.
2.公理和定理：从长期的实践中总结出来的真命题叫公理；从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
3.证明真命题的步骤：①根据题意作出图形，并在图形上标出必要的字母和符号；②根据题设和结论，结合图形写出已知和求证；③经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程.
4.平行线的判定与性质
平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等．那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等。
5.全等三角形：全等三角形的判定：S.A.S； A.S.A； A.A.S； S.S.S；
全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等。
6.等腰三角形的判定与性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等；（简称：等边对等角）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称：等腰三角形的三线合一）
判定1：（定义法）有两条边相等的三角形；
判定2：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。(简称：等角对等边)
7.证明常见题型
证明两直线平行、两直线垂直、两条线段相等、两个角相等、线段或角的和差倍半简单的问题；
【典例分析】
【考点1】命题
例题1 （浦东南片2019期中5）下列命题中是真命题的是（ ）
A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B.两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直
C.三角形的一个外角等于两个内角的和
D.等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形
例题2（浦东四署2019期中6）下列命题中，真命题的序号为（ ）
①相等的角是对顶角；②在同一平面内，若a//b,b//c,则a//c；③同旁内角互补；④互为邻补角的两角的角平分线互相垂直.
A.①②; B.①③; C.①②④; D.②④.
例题3 （金山2018期末15）“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是 命题．（填“真”或“假”）
例题4.（川中南2019期中17）将命题“等边对等角”改写成“如果……那么……”的形式：
.
【考点2】举例证明
例题5（浦东南片2019期中15）在△ABC中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则必有一个内角等于 °.
例题6（川中南2019期中24）如图，五边形ABCDE，延长AB、DC交于点P，延长AE、CD交于点Q，且，，BC=ED，M为CD中点，求证：.
例题7 （浦东四署2017期中18）如图中，D是AC边的中点，过D作直线交AB于点E，交BC的延长线于点F，且AE＝CF.若BC＝6，CF＝5，则AB＝ .
例题8 （浦东四署2018期中23）如图，点C、E、B、F在同一直线上，CE＝BF，AC//DF，AC＝DF，求证：.
.
例题9 （黄浦卢湾中学2017期中27）已知：如图△ABC，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE
求证：AH=2BD （不必书写理由）
一、选择题
1.（2019华理附10月考4）下列命题是假命题的是（ ）
A.等角的补角相等； B.同旁内角互补；
C.在一个三角形中，等角对等边； D.全等三角形面积相等.
2.（徐汇龙华2019期中18）下列命题中是真命题的是（ ）
A. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B. 两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直
C. 三角形的一个外角等于两个内角的和
D. 等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形
3.（浦东四署2020期末5）在下列命题中，真命题有（ ）
①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等；④直角三角形只有一条高.
A.①③； B.①②③； C.①②④； D.①②③④.
4.（2019华理附10月考6）如图，在四边形ABCD中，如果AD//BC，AE//CF，BE=DF，那么下列等式中错误的是（ ）
A.； B.AB=CD； C. ； D. .
5.（2019位育10月考4）如图，已知AB=AC，BC=BD，若AD=DE=EB，则的大小是（ ）
A.； B. ； C. ； D. .
二、填空题
6.（徐教院附2019期中16）把命题“在一个三角形中，等角对等边”改写成“如果……那么……”的形式为 .
7.（2019华理附10月考15）将命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：
.
8.（2019复附10月考12）下列命题中：①等腰三角形两腰上的高相等；②在空间中，垂直于同一直线的两直线平行；③两条直线被第三条直线所载，内错角相等；④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等.其中真命题的个数有 个.
9.（2019曹杨10月考16）如图，在中，若AB=AC，CD=BF，BD=CE，，则的度数为 度.
10.（2019曹杨10月考18）如图，将绕着点A旋转，使点B恰好落在BC边上，得，如果，且AC’//BC，那么= 度.
11.（徐教院附2019期中18）如图，△ABC为等边三角形，D、E分别为BC、AC边上两动点(与点A、B、C不重合)，CD＝AE，AD与BE相交于点F.则∠BFD＝____________度.
12.（浦东南片2019期中17）如图所示，在平面内两条直线l1、l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1、l2的距离，则称（p、q）为点M的“距离坐标”.根据上述规定，“距离坐标”是（2,1）的点共有_____个.
三、解答题
13.（2019华理附10月考22）已知：如图，E、F是线段BC上的两点，AB//CD，AB=DC，CE=BF.
求证：AE=DF.
14.（2019浦东一署10月考27）已知：如图，点D、E分别在的边AB、AC上，AB=AC，DE//BC.
求证：BD=CE.
15.（浦东南片2020期末23）已知：如图，中，于，垂足分别为点，与相交于点.求证：.
16.（浦东部分校2017期中24）已知，如图：DE//BC，点A是DE上一点，AD＝AE，AB＝AC.
求证：.
17．（浦东四署2017期中23）如图D、E分别在等边边BC、CA上，且CD＝AE，联结AD、BE.
（1）求证：BE＝AD
（2）延长DA交BE于F，求的度数.
18.（浦东部分校2017期中23）求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等.
已知： .
求证： .
证明：
19.（黄浦2017期中25）已知：如图，在中，若AB＝AC，点D是BC上一动点，点E、F分别在AC、AB上，且CD＝BF，BD＝CE，则在数量上有什么关系？请证明你的猜想.（10分）
20.（松江区2020期末24）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠CAD＝∠CBD．
（1）求证：CD平分∠ACB；
（2）点E是AD延长线上一点，CE＝CA，CF∥BD交AE于点F，若∠CAD＝15°，求证：EF＝BD．
21.（浦东四署2020期末25）如图（1），已知锐角中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点.
（1）求证：；
（2）连结DM、ME，猜想与之间的关系，并证明猜想；
（3）当变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由.
22.（浦东南片2019期中26）已知：点O是△ABC内一点，射线AO、BO交BC、AC于点D、E.
（1）若射线AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC．
①如图（1），设∠ACB=x°．试用含x的代数式表示∠AOB的大小．
②如图（2），若AC=BC, ∠ACB=36°，射线BE与射线AM交于点M，且∠BAC=∠OAM=∠AOM．求证：AM=CM．
（2）联结CO，若AO=BO=CO,且△AOB中有一个内角是50°，请直接写出∠ACB的度数．
23.（浦东四署2018期中26）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F．
（1）点D在边AB上时，证明：AB＝FA+BD；
（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请画出图形并直接写出正确结论．
24.（浦东部分校2017期中25）如图，在中，，AB＝AC，AD是斜边BC上的中线，将三角尺的直角顶点置于中线AD上点P处，三角尺的两条直角边分别交AB、AC边于点E、F. 求证：PE＝PF.
25.（徐汇龙华2019期中25）已知，如图三角形ABC中，AB=AC，，MN是过点A的一条直线，分别过点B、C作，垂足分别为点D、E. 求证：DE=BD-CE.
26.（青浦实验2019期中25）如图点O是等边内一点，，∠ACD=∠BCO，OC=CD， （1）试说明：是等边三角形；（2）当时，试判断的形状，并说明理由；（3）当为多少度时，是等腰三角形
27.（黄浦卢湾中学2017期中28）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为射线BC上一动点，联接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC.
（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，请你判断线段CE、BD之间的位置和数量关系（直接写结论）
（2）当点D在线段BC的延长线上时，请你在图2画出图形，判断（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断（不必书写理由）
（3）若S△BDE=3时，且CD=1时，求△ABC的面积（直接写出答案）
【考点剖析】
1.命题：判断一件事情的句子；正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题；一个命题是由题设和结论两部分组成.
2.公理和定理：从长期的实践中总结出来的真命题叫公理；从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
3.证明真命题的步骤：①根据题意作出图形，并在图形上标出必要的字母和符号；②根据题设和结论，结合图形写出已知和求证；③经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程.
4.平行线的判定与性质
平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等．那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等。
5.全等三角形：全等三角形的判定：S.A.S； A.S.A； A.A.S； S.S.S；
全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等。
6.等腰三角形的判定与性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等；（简称：等边对等角）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称：等腰三角形的三线合一）
判定1：（定义法）有两条边相等的三角形；
判定2：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。(简称：等角对等边)
7.证明常见题型
证明两直线平行、两直线垂直、两条线段相等、两个角相等、线段或角的和差倍半简单的问题；
【典例分析】
【考点1】命题
例题1 （浦东南片2019期中5）下列命题中是真命题的是（ ）
A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B.两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直
C.三角形的一个外角等于两个内角的和
D.等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形
例题2（浦东四署2019期中6）下列命题中，真命题的序号为（ ）
①相等的角是对顶角；②在同一平面内，若a//b,b//c,则a//c；③同旁内角互补；④互为邻补角的两角的角平分线互相垂直.
A.①②; B.①③; C.①②④; D.②④.
例题3 （金山2018期末15）“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是 命题．（填“真”或“假”）
例题4.（川中南2019期中17）将命题“等边对等角”改写成“如果……那么……”的形式：
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【考点2】举例证明
例题5（浦东南片2019期中15）在△ABC中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则必有一个内角等于 °.
例题6（川中南2019期中24）如图，五边形ABCDE，延长AB、DC交于点P，延长AE、CD交于点Q，且，，BC=ED，M为CD中点，求证：.
例题7 （浦东四署2017期中18）如图中，D是AC边的中点，过D作直线交AB于点E，交BC的延长线于点F，且AE＝CF.若BC＝6，CF＝5，则AB＝ .
例题8 （浦东四署2018期中23）如图，点C、E、B、F在同一直线上，CE＝BF，AC//DF，AC＝DF，求证：.
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例题9 （黄浦卢湾中学2017期中27）已知：如图△ABC，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE
求证：AH=2BD （不必书写理由）
一、选择题
1.（2019华理附10月考4）下列命题是假命题的是（ ）
A.等角的补角相等； B.同旁内角互补；
C.在一个三角形中，等角对等边； D.全等三角形面积相等.
2.（徐汇龙华2019期中18）下列命题中是真命题的是（ ）
A. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B. 两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直
C. 三角形的一个外角等于两个内角的和
D. 等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形
3.（浦东四署2020期末5）在下列命题中，真命题有（ ）
①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等；④直角三角形只有一条高.
A.①③； B.①②③； C.①②④； D.①②③④.
4.（2019华理附10月考6）如图，在四边形ABCD中，如果AD//BC，AE//CF，BE=DF，那么下列等式中错误的是（ ）
A.； B.AB=CD； C. ； D. .
5.（2019位育10月考4）如图，已知AB=AC，BC=BD，若AD=DE=EB，则的大小是（ ）
A.； B. ； C. ； D. .
二、填空题
6.（徐教院附2019期中16）把命题“在一个三角形中，等角对等边”改写成“如果……那么……”的形式为 .
7.（2019华理附10月考15）将命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：
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8.（2019复附10月考12）下列命题中：①等腰三角形两腰上的高相等；②在空间中，垂直于同一直线的两直线平行；③两条直线被第三条直线所载，内错角相等；④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等.其中真命题的个数有 个.
9.（2019曹杨10月考16）如图，在中，若AB=AC，CD=BF，BD=CE，，则的度数为 度.
10.（2019曹杨10月考18）如图，将绕着点A旋转，使点B恰好落在BC边上，得，如果，且AC’//BC，那么= 度.
11.（徐教院附2019期中18）如图，△ABC为等边三角形，D、E分别为BC、AC边上两动点(与点A、B、C不重合)，CD＝AE，AD与BE相交于点F.则∠BFD＝____________度.
12.（浦东南片2019期中17）如图所示，在平面内两条直线l1、l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1、l2的距离，则称（p、q）为点M的“距离坐标”.根据上述规定，“距离坐标”是（2,1）的点共有_____个.
三、解答题
13.（2019华理附10月考22）已知：如图，E、F是线段BC上的两点，AB//CD，AB=DC，CE=BF.
求证：AE=DF.
14.（2019浦东一署10月考27）已知：如图，点D、E分别在的边AB、AC上，AB=AC，DE//BC.
求证：BD=CE.
15.（浦东南片2020期末23）已知：如图，中，于，垂足分别为点，与相交于点.求证：.
16.（浦东部分校2017期中24）已知，如图：DE//BC，点A是DE上一点，AD＝AE，AB＝AC.
求证：.
17．（浦东四署2017期中23）如图D、E分别在等边边BC、CA上，且CD＝AE，联结AD、BE.
（1）求证：BE＝AD
（2）延长DA交BE于F，求的度数.
18.（浦东部分校2017期中23）求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等.
已知： .
求证： .
证明：
19.（黄浦2017期中25）已知：如图，在中，若AB＝AC，点D是BC上一动点，点E、F分别在AC、AB上，且CD＝BF，BD＝CE，则在数量上有什么关系？请证明你的猜想.（10分）
20.（松江区2020期末24）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠CAD＝∠CBD．
（1）求证：CD平分∠ACB；
（2）点E是AD延长线上一点，CE＝CA，CF∥BD交AE于点F，若∠CAD＝15°，求证：EF＝BD．
21.（浦东四署2020期末25）如图（1），已知锐角中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点.
（1）求证：；
（2）连结DM、ME，猜想与之间的关系，并证明猜想；
（3）当变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由.
22.（浦东南片2019期中26）已知：点O是△ABC内一点，射线AO、BO交BC、AC于点D、E.
（1）若射线AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC．
①如图（1），设∠ACB=x°．试用含x的代数式表示∠AOB的大小．
②如图（2），若AC=BC, ∠ACB=36°，射线BE与射线AM交于点M，且∠BAC=∠OAM=∠AOM．求证：AM=CM．
（2）联结CO，若AO=BO=CO,且△AOB中有一个内角是50°，请直接写出∠ACB的度数．
23.（浦东四署2018期中26）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F．
（1）点D在边AB上时，证明：AB＝FA+BD；
（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请画出图形并直接写出正确结论．
24.（浦东部分校2017期中25）如图，在中，，AB＝AC，AD是斜边BC上的中线，将三角尺的直角顶点置于中线AD上点P处，三角尺的两条直角边分别交AB、AC边于点E、F. 求证：PE＝PF.
25.（徐汇龙华2019期中25）已知，如图三角形ABC中，AB=AC，，MN是过点A的一条直线，分别过点B、C作，垂足分别为点D、E. 求证：DE=BD-CE.
26.（青浦实验2019期中25）如图点O是等边内一点，，∠ACD=∠BCO，OC=CD， （1）试说明：是等边三角形；（2）当时，试判断的形状，并说明理由；（3）当为多少度时，是等腰三角形
27.（黄浦卢湾中学2017期中28）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为射线BC上一动点，联接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC.
（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，请你判断线段CE、BD之间的位置和数量关系（直接写结论）
（2）当点D在线段BC的延长线上时，请你在图2画出图形，判断（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断（不必书写理由）
（3）若S△BDE=3时，且CD=1时，求△ABC的面积（直接写出答案）
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