高中数学讲义——复数

这是一份高中数学讲义——复数，共4页。学案主要包含了基础知识，典型例题等内容，欢迎下载使用。

复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数的代数形式为，其中称为的实部，称为的虚部（而不是)，
2、几类特殊的复数：
（1）纯虚数： 例如：，等
（2）实数：
3、复数的运算：设
（1）
（2）
（3）
注：乘法运算可以把理解为字母，进行分配率的运算。只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算
（4）
注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是，所以不允许分母带有，那么利用平方差公式及的特点分子分母同时乘以的共轭复数即可。
4、共轭复数：， 对于而言，实部相同，虚部相反
5、复数的模： ()
6、两个复数相等：实部虚部对应相等
7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面。横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。
8、处理复数要注意的几点：
（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即
（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。例如：平方差公式，立方和差公式，二项式定理等
二、典型例题
例1：若复数，其中是虚数单位，则复数的模为（ ）
A. B. C. D. 2
思路：需要求复数的模，那首先要化成标准形式，进行化简，目前需要处理的就是分式，化简再求模即可
解：

答案：A
例2： 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
思路：本题可直接带入计算，也可考虑先化简再求值
解：
答案：B
例3： 设是虚数单位，且，则实数等于（ ）
A. B. C. D.
思路：等号左边，若化简等号右边则比较麻烦。所以考虑利用等式性质两边同乘,然后利用复数相等的性质求出值
解：
答案：D
小炼有话说：
（1）的指数幂呈周期性变化（周期为4)即.故可依照周期性的想法，将的较高指数幂进行降次。
（2）对于呈分式形式的复数等式，一般两种处理方法：一是对分式本身进行化简，二是利用等式性质进行“去分母”（尤其是分母形式较复杂时）
例4：复数，在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
思路：将复数化为标准形式后再进行判断。
解：在复平面上对应的点为，所以在第三象限
答案：C
例5：（2013天津河东一模，1）若是纯虚数，则实数的值是（ ）
A. B. C. D. 2
思路：涉及到纯虚数的概念，所以首先把化成标准形式，再根据纯虚数的定义即可求出
解：
由纯虚数可得
答案：C
例6： 若复数是纯虚数，则实数的值是（ ）
A. B. C. 或 D.
思路：纯虚数：实部为零且虚部不为零，所以要将满足的条件写全
解：复数是纯虚数

答案：B
例7： 已知复数，是的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
思路：想到，进而只需将化为标准形式后求模即可
解：，
答案：A
例8：设（是虚数单位），则的值是____________
思路：利用等式性质两边同时乘以，进而可对照实部虚部求出
解：


答案：
例9：设是复数，（其中表示的共轭复数），已知的实部是，则的虚部是___________
思路：要通过来确定，所以考虑用待定系数法设，再参与运算
解： 设
的虚部是1
答案：1
例10：已知复数满足（是虚数单位），复数的虚部为，且是实数，则____________
解：设，（目的：为了更加便于计算）

由于是实数，所以
答案：