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2023-2024学年湖南省衡阳市蒸湘区船山实验中学九年级（上）期中数学试卷(含解析）
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这是一份2023-2024学年湖南省衡阳市蒸湘区船山实验中学九年级（上）期中数学试卷(含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，是一元二次方程的为( )
A. x2−3y=0B. 2x+y=3C. 1x2−x=0D. x2−4=0
2.下列根式是最简二次根式的是( )
A. 15B. 13C. 0.1D. 24
3.下列各式计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 4 3−3 3=1C. 12÷2= 6D. 2× 3= 6
4.将一元二次方程x2−2x−2=0配方后所得的方程是( )
A. (x−2)2=2B. (x−1)2=2C. (x−1)2=3D. (x−2)2=3
5.已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A=60°，∠B1=40°，则∠C1的度数为( )
A. 40°B. 60°C. 80°D. 100°
6.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE//BC，下列式子不成立的是( )
A. ADDB=AEEC
B. ABDB=ACEC
C. ABAD=ACAE
D. ABAD=AEAC
7.在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是( )
A. (60+2x)(40+2x)=2816
B. (60+x)(40+x)=2816
C. (60+2x)(40+x)=2816
D. (60+x)(40+2x)=2816
8.若1≤a≤2，则化简 a2−2a+1+|a−2|的结果是( )
A. 2a−3B. −aC. 3−2aD. 1
9.若关于x的方程x2−2x+n=0无实数根，则一次函数y=(n−1)x−n的图象不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC=3，BC=4，则EF的长为( )
A. 1
B. 12
C. 2
D. 32
11.设α，β是方程x2+3x+1=0的两根，则(α2+4α)(β2+4β)的值是( )
A. −1B. 1C. 5D. −5
12.如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数(从左往右数)为( )
A. 160
B. 1168
C. 1252
D. 1280
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.当x ______ 时，二次根式 x−2有意义．
14.方程x=3x的解是______．
15.关于x的方程3x2+2x−m=0的一个根是2，则m= ______ ．
16.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=3，x2=6(a,m,b均为常数，a≠0)，则关于a(x+m+2)2+b=0的解是______ ．
17.如图，小红把梯子AB斜靠在墙壁上，梯脚B距墙1.6米，小红上了两节梯子到D点，此D点距墙1.4米，BD长0.55米，则梯子的长为______．
18.如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是______(写出所有正确结论的序号)．
①当E为线段AB中点时，AF//CE；
②当E为线段AB中点时，AF=95；
③当A、F、C三点共线时，AE=13−2 133；
④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19.计算： 48÷ 3− 12× 12+ 24．
20.解方程：x2+2x−3=0．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
先化简，再求值：(a2−5a+2a+2+1)÷a2−4a2+4a+4，其中a=2+ 3．
22.(本小题8分)
已知关于x的方程x2−4x+2k+1=0．
(1)k取什么值时，方程有两个实数根；
(2)如果方程有两个实数根x1，x2，且x2−2x1−2x2+9=0，求k的值．
23.(本小题8分)
如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC=∠ACD．
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)当AD=2，AB=3时，求AC的长．
24.(本小题8分)
某厂工业废气年排放量为400万立方米，为改善锦州市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到256万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同．
(1)求每期减少的百分率是多少？
(2)预计第一期治理中每减少1万立方米废气需投入3万元，第二期治理中每减少1万立方米废气需投入4.5万元，问两期治理完成后需投入多少万元？
25.(本小题8分)
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”.例如一元二次方程x2−6x+8=0的两个根是x1=2，x2=4，则方程x2−6x+8=0是“倍根方程”．
(1)通过计算，判断x2−3x+2=0是否是“倍根方程”；
(2)若关于x的方程(x−2)(x−m)=0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值；
(3)已知关于x的一元二次方程x2−(m−1)x+32=0(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出m的值．
26.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=BD= 13，点M为边AB的中点．动点P从点A出发，沿折线AD−DB以每秒 13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM.作点A关于直线PM的对称点A′，连结A′P、A′M.设点P的运动时间为t秒，
(1)点D到边AB的距离为______；
(2)用含t的代数式表示线段DP的长；
(3)连结AD，当线段A′D最短时，求△DPA′的面积；
(4)当M、A′、C三点共线时，直接写出t的值．
27.(本小题8分)
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠C=∠D=90°，BC=16，CD=12，AD=21.动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t(s)，当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、是二元二次方程的定义，故选项错误；
B、是二元一次方程，故选项错误；
C、是分式方程，故选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故选项正确．
故选：D．
本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足三个条件：
(1)是整式方程；
(2)含有一个未知数，且未知数的最高次数是2；
(3)二次项系数不为0．
以上三个条件必须同时成立，据此即可作出判断．
考查了一元二次方程的定义，在做此类判断题时，要特别注意二次项系数a≠0这一条件．
2.【答案】A
【解析】解：A． 15为最简二次根式，所以A选项符合题意；
B. 13= 33，则 13不是最简二次根，所以B选项不符合题意；
C. 0.1= 1010，则 0.1不是最简二次根，所以C选项不符合题意；
D. 24=2 6，则 24不是最简二次根，所以D选项不符合题意；
故选：A．
根据最简二次根式的定义对各选项进行判断．
本题考查了最简二次根式，正确理解最简二次根式的定义是解决问题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、 2与 3不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、4 3−3 3= 3，故B不符合题意；
C、 12÷2= 3，故C不符合题意；
D、 2× 3= 6，故D符合题意；
故选：D．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】C
【解析】解：∵x2−2x−2=0，
∴x2−2x=2，
∴x2−2x+1=2+1，
∴(x−1)2=3．
故选：C．
配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握“相似三角形的对应角相等”是解题关键．根据相似三角形的性质得出对应角相等，再根据三角形内角和定理即可求出结果．
【解答】
解：∵△ABC∽△A1B1C1，
∴∠A1=∠A=60°，∠B1=40°，
则∠C1=180°−60°−40°=80°．
故选C．
6.【答案】D
【解析】解：A.∵DE//BC∴ADDB=AEEC，本选项正确，不符合题意；
B.∵DE//BC∴ABDB=ACEC，本选项正确，不符合题意；
C.∵DE//BC，ABAD=ACAE，本选项正确，不符合题意；
D.∵DE//BC，ABAD=ACAE，本选项错误，符合题意，
故选：D．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式逐项判断即可．
本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答的关键．
7.【答案】A
【解析】解：挂图长为(60+2x)cm，宽为(40+2x)cm，
所以根据矩形的面积公式可得：(60+2x)(40+2x)=2816．
故选：A．
根据题意可知：矩形挂图的长为(60+2x)cm，宽为(40+2x)cm；则运用面积公式列方程即可．
此题是一元二次方程的应用，解此类题的关键是看准题型列面积方程，矩形的面积=矩形的长×矩形的宽．
8.【答案】D
【解析】解：∵1≤a≤2，
∴ a2−2a+1+|a−2|
=|a−1|+|a−2|
=a−1+2−a
=1，
故选：D．
利用二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题时注意： a2=|a|．
9.【答案】B
【解析】解：∵关于x的方程x2−2x+n=0无实数根，
∴△=4−4n<0，解得n>1，
∴n−1>0，−n<0，
∴一次函数y=(n−1)x−n的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：B．
先根据关于x的方程x2−2x+n=0无实数根求出n的取值范围，再判断出一次函数y=(n−1)x−n的图象经过的象限即可．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象当k>0，b<0时在一、三、四象限是解答此题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= AC2+BC2=5，
∵D、E分别为CA、CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，DE=12AB=52，
∴∠DFA=∠FAB，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=AD=12AC=12×3=32，
∴EF=DE−DF=1，
故选：A．
根据勾股定理得到AB= AC2+BC2=5，根据三角形中位线定理得到DE//AB，DE=12AB=52，根据平行线的性质得到∠DFA=∠FAB，根据角平分线的定义得到∠DAF=∠BAF，求得∠DAF=∠DFA，于是得到结论．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：∵α，β是方程x2+3x+1=0的两根，
∴α2+3α+1=0，β2+3β+1=0，α+β=−3，αβ=1，
∴α2+3α=−1，β2+3β=−1．
∴(α2+4α)(β2+4β)
=(α2+3α+α)(β2+3β+β)
=(α−1)(β−1)
=αβ−(α+β)+1
=1−(−3)+1
=5．
故选：C．
由一元二次方程的解的定义得到α2+3α=−1，β2+3β=−1；然后根据根与系数的关系得到α+β=−3，αβ=1；最后将其代入整理后的代数式求值即可．
本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的解．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
12.【答案】B
【解析】解：将杨晖三角形中的每一个数Cnr都换成分数，得到莱布尼兹三角形1(n+1)Cny，
杨晖三角形中第n(n≥3)行第3个数字是Cn−12，
则“莱布尼兹调和三角形”第n(n≥3)行第3个数字是1ncn−12=2n(n−1)(n−2)，
则第8行第3个数(从左往右数)为28×7×6=1168；
故选：B．
根据“莱布尼兹调和三角形”的特征，每个数是它下一个行左右相邻两数的和，得出将杨晖三角形中的每一个数Cnr都换成分数得到莱布尼兹三角形1(n+1)Cny，得到一个莱布尼兹三角形，从而可求出第n(n≥3)行第3个数字，进而可得第8行第3个数．
本题考查了数字的变化类，解题的关键是通过观察、分析、归纳推理，得出各数的关系，找出规律．
13.【答案】≥2
【解析】解：∵二次根式 x−2有意义，
∴x−2≥0，解得x≥2．
故答案为：≥2．
根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．
14.【答案】x=0
【解析】【分析】
将原方程按照解一元一次方程的步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得方程的解．
本题主要考查解一元一次方程的基本能力，严格遵循解方程的步骤是解题关键．
【解答】
解：移项，得：x−3x=0，
合并同类项，得：−2x=0，
系数化为1，得：x=0，
故答案为：x=0．
15.【答案】16
【解析】解：把x=2代入3x2+2x−m=0，
3×22+2×2−m=0，
解得m=16．
故答案为：16．
把x=2代入方程即可求得m的值．
本题考查了方程的解的概念，将已知解代入原方程，即可求得原方程中字母的值，理解方程的解是解题的关键．
16.【答案】x1=1，x2=4
【解析】解：∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=3，x2=6(a,m,b均为常数，a≠0)，
∴方程a(x+m+2)2+b=0变形为a[(x+2)+m]2+b=0，即此方程中x+2=3或x+2=6，
解得x=1或x=4．
故方程a(x+m+2)2+b=0的解为x1=1，x2=4．
故答案为：x1=1，x2=4．
把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
此题主要考查了方程解的定义以及直接开方法求解．注意由两个方程的特点，运用整体思想进行简便计算．
17.【答案】4.40米
【解析】解：因为梯子每一条踏板均和地面平行，所以构成一组相似三角形，
即△ADE∽△ABC，则ADAB=DEBC，
设梯子长为x米，则x−0.55x=1.41.6，
解得，x=4.40．
故答案为：4.40米．
根据梯子、墙、地面三者构成的直角三角形与梯子、墙、梯上点D三者构成的直角三角相似，利用相似三角形对应边成比例解答即可．
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
18.【答案】①②③
【解析】【分析】
本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
根据翻折变换，勾股定理，相似三角形等性质逐个分析即可．
【解答】
解：如图1中，当AE=EB时，
∵AE=EB=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，
∴∠BEC=∠EAF，
∴AF//EC，故①正确；
作EM⊥AF，则AM=FM，
在Rt△ECB中，EC= 22+(32)2=52，
∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，
∴△CEB∽△EAM，
∴EBAM=ECAE，
∴32AM=5232，
∴AM=910，
∴AF=2AM=95，故②正确；
如图2中，当A、F、C共线时，设AE=x．
则EB=EF=3−x，AF= 13−2，
在Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，
∴x2=( 13−2)2+(3−x)2，
∴x=13−2 133，
∴AE=13−2 133，故③正确；
如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，
故答案为①②③．
19.【答案】解：原式= 16− 6+2 6
=4+ 6
【解析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得．
20.【答案】解：x2+2x−3=0
∴(x+3)(x−1)=0
∴x1=1，x2=−3．
【解析】观察方程x2+2x−3=0，可用因式分解法求得方程的解．
解方程有多种方法，要根据实际情况进行选择．
21.【答案】解：(a2−5a+2a+2+1)÷a2−4a2+4a+4，
=a2−5a+2+a+2a+2÷(a+2)(a−2)(a+2)2
=(a−2)2a+2×a+2a−2
=a−2．
把a=2+ 3代入，原式=2+ 3−2= 3．
【解析】通过化除法为乘法、约分进行化简，然后代入求值．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．注意分式有意义的条件．
22.【答案】解：(1)∵方程有两个实数根，
∴(−4)2−4×1×(2k+1)≥0，
16−8k−4≥0，
解得：k≤32；
(2)∵方程有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=4，
∵x2−2x1−2x2+9=0，
∴x2−2(x1+x2)+9=0，
∴x2−2×4+9=0，
∴x2=−1，
∵x1+x2=4，
∴x1=5，
∵x1⋅x2=2k+1，
∴−1×5=2k+1，
解得：k=−3．
【解析】(1)根据根的判别式大于等于0，求出k的范围即可；
(2)利用根与系数的关系化简已知等式，计算即可得到k的值．
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)证明：∵∠ABC=∠ACD，∠CAB=∠DAC，
∴△ABC∽△ACD；
(2)∵△ABC∽△ACD，
∴ABAC=ACAD，即3AC=AC2，
∴AC= 6．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质．
(1)利用∠ABC=∠ACD，加上∠CAB=∠DAC，则根据相似三角形的判定方法可得到结论；
(2)由于△ABC∽△ACD，则利用相似比可求出AC的长．
24.【答案】解：(1)设每期减少的百分率是x，
根据题意得400(1−x)2=256，
解得x1=0.2，x2=1.8(舍去)，
所以每期减少的百分率为20%．
(2)根据题意有400×0.2×3=240(万元)，
(400−400×0.2)×0.2×4.5=288(万元)，
∴240+288=528(万元)，
答：两期治理完成后需要投入528万元．
【解析】(1)本题为平均变化率问题，可按照增长率的一般规律进行解答．增长率问题的一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．根据这个关系来列出方程，求出百分率是多少．
(2)根据(1)中得出的百分率，分别求出第一期和第二期的投资，然后相加得出两期的总投资即可．
本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b(当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“−”)．
25.【答案】解：(1)x2−3x+2=0，(x−2)(x−1)=0，x−2=0或x−1=0，
所以x1=2，x2=1，
则方程x2−3x+2=0是“倍根方程”；
(2)(x−2)(x−m)=0，x−2=0或x−m=0，
解得x1=2，x2=m，
∵(x−2)(x−m)=0是“倍根方程”，
∴m=4或m=1，
当m=4时，m2+2m+2=16+8+2=26；
当m=1时，m2+2m+2=1+2+2=5，
综上所述，代数式m2+2m+2的值为26或5；
(3)根据题意，设方程的根的两根分别为α、2α，
根据根与系数的关系得α+2α=m−1，α⋅2α=32，
解得α=4，m=13或α=−4，m=−11，
∴m的值为13或−11．
【解析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了阅读理解能力．
(1)利用因式分解法解方程得到x1=2，x2=1，然后根据新定义进行判断；
(2)利用因式分解法解方程得到x1=2，x2=m，再根据新定义m=4或m=1，然后把m=4或m=1代入所求的代数式中进行分式的运算即可；
(3)设方程的根的两根分别为α、2α，根据根与系数的关系得α+2α=m−1，α⋅2α=32，然后求出α，再计算对应的m的值．
26.【答案】3
【解析】解：(1)连接DM，
∵DA=DB，点M是AB的中点，
∴DM⊥AB，AM=2，
在Rt△ADM中，由勾股定理得，
DM= AD2−AM2= 13−4=3，
故答案为：3．
(2)当点P在AD上时，即0≤t<1时，PD=AD−AP= 13− 13t，
当点P在BD上时，即1≤t≤2时，PD= 13t− 13，
∴PD= 13− 13t(0≤t<1) 13t− 13(1≤t≤2)；
(3)∵A′M=2，DM=3，
∴A′D≥1，
∴当点D、A′、M共线时，DA′最短，
∴∠AMP=∠DMP，
∴APPD=AMDM=23，
∴S△APM=22+3×S△ADM=25×12×2×3=65，
∴S△PDA′=S△ADM−2S△AMP=3−2×65=35；
(4)当点A′在CM上时，如图，作CH⊥AB，交AB的延长线于H，作MQ平分∠CMH，交CH于Q，作QG⊥MC于G，
∵AD=BC，∠DAM=∠CBH，∠DMA=∠CHB，
∴△AMD≌△BHC(AAS)，
∴BH=AM=2，CH=DM=3，
∵MQ平分∠CMB，
∴∠GMQ=∠QMH，
∵∠QGM=∠QHM，MQ=MQ，
∴△MQG≌△MQH(AAS)，
∴MG=AH=4，QH=QG，
∴CG=1，
∴tan∠MCH=QGCG=MHCH，
∴QG1=43，
∴QG=43，
∴QHMH=13，
∵AP= 13t，
∴AN=2t，PN=3t，
∵∠AMP=∠A′MP，∠CMQ=∠QMH，
∴∠PMQ=90°，
∴∠QMH=∠MPN，
∴MN=t，
∴2t+t=2，
∴t=23；
当A′在CM的延长线上时，作PT⊥AB于T，
由题意知BP=2 13− 13t，
同理得，PT=6−3t，BT=4−2t，MT=18−9t，
∴18−9t+4−2t=2，
∴t=2011，
综上：t=23或2011．
(1)连接DM，根据等腰三角形的性质得DM⊥AB，AM=2，再利用勾股定理可得DM的长；
(2)分点P在AD上或点P在BD上，分别表示PD的长；
(3)由A′M=2，DM=3，则A′D≥1，当点D、A′、M共线时，DA′最短，利用角平分线的定理得APPD=AMDM=23，求出S△APM的面积，从而得出答案；
(4)当点A′在CM上时，如图，作CH⊥AB，交AB的延长线于H，作MQ平分∠CMH，交CH于Q，作QG⊥MC于G，利用全等三角形的性质和三角函数求出QMMH=13，从而表示出MN的长，点点A′在CM的延长线上时，同理解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出tan∠QMH=13是解题的关键．
27.【答案】解：如图1，当PB=PQ时，作PE⊥BC于E，
∴EQ=12BQ，
∵CQ=t，
∴BQ=16−t，
∴EQ=8−12t，
∴EC=8−12t+t=8+12t.
∴2t=8+12t.
解得：t=163．
当PQ=BQ时，如图2，作QE⊥AD于E，
∴∠PEQ=∠DEQ=90°，
∵∠C=∠D=90°，
∴∠C=∠D=∠DEQ=90°，
∴四边形DEQC是矩形，
∴DE=QC=t，
∴PE=t，QE=CD=12．
在Rt△PEQ中，由勾股定理，得
PQ= t2+144．
16−t= t2+144，
解得：t=72；
当BP=BQ时，作PE⊥BC于E，
∴EQ=BE=12BQ，
∵CQ=t，
∴BQ=16−t，
∴BE=8−12t，
∴PB= −8t+14t2+208．
∴16−t= −8t+14t2+208．
解得：t1=16+8 3，t2=16−8 3
∵0∴t=16−8 3．
综上所述，t=163，72或16−8 3时以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形．
【解析】以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当PB=PQ时，当PQ=BQ时，当BP=BQ时，由等腰三角形的性质就可以得出结论．
本题考查了勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据根据等腰三角形的性质建立方程是关键．
1.下列方程中，是一元二次方程的为( )
A. x2−3y=0B. 2x+y=3C. 1x2−x=0D. x2−4=0
2.下列根式是最简二次根式的是( )
A. 15B. 13C. 0.1D. 24
3.下列各式计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 4 3−3 3=1C. 12÷2= 6D. 2× 3= 6
4.将一元二次方程x2−2x−2=0配方后所得的方程是( )
A. (x−2)2=2B. (x−1)2=2C. (x−1)2=3D. (x−2)2=3
5.已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A=60°，∠B1=40°，则∠C1的度数为( )
A. 40°B. 60°C. 80°D. 100°
6.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE//BC，下列式子不成立的是( )
A. ADDB=AEEC
B. ABDB=ACEC
C. ABAD=ACAE
D. ABAD=AEAC
7.在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是( )
A. (60+2x)(40+2x)=2816
B. (60+x)(40+x)=2816
C. (60+2x)(40+x)=2816
D. (60+x)(40+2x)=2816
8.若1≤a≤2，则化简 a2−2a+1+|a−2|的结果是( )
A. 2a−3B. −aC. 3−2aD. 1
9.若关于x的方程x2−2x+n=0无实数根，则一次函数y=(n−1)x−n的图象不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC=3，BC=4，则EF的长为( )
A. 1
B. 12
C. 2
D. 32
11.设α，β是方程x2+3x+1=0的两根，则(α2+4α)(β2+4β)的值是( )
A. −1B. 1C. 5D. −5
12.如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数(从左往右数)为( )
A. 160
B. 1168
C. 1252
D. 1280
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.当x ______ 时，二次根式 x−2有意义．
14.方程x=3x的解是______．
15.关于x的方程3x2+2x−m=0的一个根是2，则m= ______ ．
16.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=3，x2=6(a,m,b均为常数，a≠0)，则关于a(x+m+2)2+b=0的解是______ ．
17.如图，小红把梯子AB斜靠在墙壁上，梯脚B距墙1.6米，小红上了两节梯子到D点，此D点距墙1.4米，BD长0.55米，则梯子的长为______．
18.如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是______(写出所有正确结论的序号)．
①当E为线段AB中点时，AF//CE；
②当E为线段AB中点时，AF=95；
③当A、F、C三点共线时，AE=13−2 133；
④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19.计算： 48÷ 3− 12× 12+ 24．
20.解方程：x2+2x−3=0．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
先化简，再求值：(a2−5a+2a+2+1)÷a2−4a2+4a+4，其中a=2+ 3．
22.(本小题8分)
已知关于x的方程x2−4x+2k+1=0．
(1)k取什么值时，方程有两个实数根；
(2)如果方程有两个实数根x1，x2，且x2−2x1−2x2+9=0，求k的值．
23.(本小题8分)
如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC=∠ACD．
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)当AD=2，AB=3时，求AC的长．
24.(本小题8分)
某厂工业废气年排放量为400万立方米，为改善锦州市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到256万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同．
(1)求每期减少的百分率是多少？
(2)预计第一期治理中每减少1万立方米废气需投入3万元，第二期治理中每减少1万立方米废气需投入4.5万元，问两期治理完成后需投入多少万元？
25.(本小题8分)
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”.例如一元二次方程x2−6x+8=0的两个根是x1=2，x2=4，则方程x2−6x+8=0是“倍根方程”．
(1)通过计算，判断x2−3x+2=0是否是“倍根方程”；
(2)若关于x的方程(x−2)(x−m)=0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值；
(3)已知关于x的一元二次方程x2−(m−1)x+32=0(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出m的值．
26.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=BD= 13，点M为边AB的中点．动点P从点A出发，沿折线AD−DB以每秒 13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM.作点A关于直线PM的对称点A′，连结A′P、A′M.设点P的运动时间为t秒，
(1)点D到边AB的距离为______；
(2)用含t的代数式表示线段DP的长；
(3)连结AD，当线段A′D最短时，求△DPA′的面积；
(4)当M、A′、C三点共线时，直接写出t的值．
27.(本小题8分)
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠C=∠D=90°，BC=16，CD=12，AD=21.动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t(s)，当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、是二元二次方程的定义，故选项错误；
B、是二元一次方程，故选项错误；
C、是分式方程，故选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故选项正确．
故选：D．
本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足三个条件：
(1)是整式方程；
(2)含有一个未知数，且未知数的最高次数是2；
(3)二次项系数不为0．
以上三个条件必须同时成立，据此即可作出判断．
考查了一元二次方程的定义，在做此类判断题时，要特别注意二次项系数a≠0这一条件．
2.【答案】A
【解析】解：A． 15为最简二次根式，所以A选项符合题意；
B. 13= 33，则 13不是最简二次根，所以B选项不符合题意；
C. 0.1= 1010，则 0.1不是最简二次根，所以C选项不符合题意；
D. 24=2 6，则 24不是最简二次根，所以D选项不符合题意；
故选：A．
根据最简二次根式的定义对各选项进行判断．
本题考查了最简二次根式，正确理解最简二次根式的定义是解决问题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、 2与 3不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、4 3−3 3= 3，故B不符合题意；
C、 12÷2= 3，故C不符合题意；
D、 2× 3= 6，故D符合题意；
故选：D．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】C
【解析】解：∵x2−2x−2=0，
∴x2−2x=2，
∴x2−2x+1=2+1，
∴(x−1)2=3．
故选：C．
配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握“相似三角形的对应角相等”是解题关键．根据相似三角形的性质得出对应角相等，再根据三角形内角和定理即可求出结果．
【解答】
解：∵△ABC∽△A1B1C1，
∴∠A1=∠A=60°，∠B1=40°，
则∠C1=180°−60°−40°=80°．
故选C．
6.【答案】D
【解析】解：A.∵DE//BC∴ADDB=AEEC，本选项正确，不符合题意；
B.∵DE//BC∴ABDB=ACEC，本选项正确，不符合题意；
C.∵DE//BC，ABAD=ACAE，本选项正确，不符合题意；
D.∵DE//BC，ABAD=ACAE，本选项错误，符合题意，
故选：D．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式逐项判断即可．
本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答的关键．
7.【答案】A
【解析】解：挂图长为(60+2x)cm，宽为(40+2x)cm，
所以根据矩形的面积公式可得：(60+2x)(40+2x)=2816．
故选：A．
根据题意可知：矩形挂图的长为(60+2x)cm，宽为(40+2x)cm；则运用面积公式列方程即可．
此题是一元二次方程的应用，解此类题的关键是看准题型列面积方程，矩形的面积=矩形的长×矩形的宽．
8.【答案】D
【解析】解：∵1≤a≤2，
∴ a2−2a+1+|a−2|
=|a−1|+|a−2|
=a−1+2−a
=1，
故选：D．
利用二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题时注意： a2=|a|．
9.【答案】B
【解析】解：∵关于x的方程x2−2x+n=0无实数根，
∴△=4−4n<0，解得n>1，
∴n−1>0，−n<0，
∴一次函数y=(n−1)x−n的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：B．
先根据关于x的方程x2−2x+n=0无实数根求出n的取值范围，再判断出一次函数y=(n−1)x−n的图象经过的象限即可．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象当k>0，b<0时在一、三、四象限是解答此题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= AC2+BC2=5，
∵D、E分别为CA、CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，DE=12AB=52，
∴∠DFA=∠FAB，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=AD=12AC=12×3=32，
∴EF=DE−DF=1，
故选：A．
根据勾股定理得到AB= AC2+BC2=5，根据三角形中位线定理得到DE//AB，DE=12AB=52，根据平行线的性质得到∠DFA=∠FAB，根据角平分线的定义得到∠DAF=∠BAF，求得∠DAF=∠DFA，于是得到结论．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：∵α，β是方程x2+3x+1=0的两根，
∴α2+3α+1=0，β2+3β+1=0，α+β=−3，αβ=1，
∴α2+3α=−1，β2+3β=−1．
∴(α2+4α)(β2+4β)
=(α2+3α+α)(β2+3β+β)
=(α−1)(β−1)
=αβ−(α+β)+1
=1−(−3)+1
=5．
故选：C．
由一元二次方程的解的定义得到α2+3α=−1，β2+3β=−1；然后根据根与系数的关系得到α+β=−3，αβ=1；最后将其代入整理后的代数式求值即可．
本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的解．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
12.【答案】B
【解析】解：将杨晖三角形中的每一个数Cnr都换成分数，得到莱布尼兹三角形1(n+1)Cny，
杨晖三角形中第n(n≥3)行第3个数字是Cn−12，
则“莱布尼兹调和三角形”第n(n≥3)行第3个数字是1ncn−12=2n(n−1)(n−2)，
则第8行第3个数(从左往右数)为28×7×6=1168；
故选：B．
根据“莱布尼兹调和三角形”的特征，每个数是它下一个行左右相邻两数的和，得出将杨晖三角形中的每一个数Cnr都换成分数得到莱布尼兹三角形1(n+1)Cny，得到一个莱布尼兹三角形，从而可求出第n(n≥3)行第3个数字，进而可得第8行第3个数．
本题考查了数字的变化类，解题的关键是通过观察、分析、归纳推理，得出各数的关系，找出规律．
13.【答案】≥2
【解析】解：∵二次根式 x−2有意义，
∴x−2≥0，解得x≥2．
故答案为：≥2．
根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．
14.【答案】x=0
【解析】【分析】
将原方程按照解一元一次方程的步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得方程的解．
本题主要考查解一元一次方程的基本能力，严格遵循解方程的步骤是解题关键．
【解答】
解：移项，得：x−3x=0，
合并同类项，得：−2x=0，
系数化为1，得：x=0，
故答案为：x=0．
15.【答案】16
【解析】解：把x=2代入3x2+2x−m=0，
3×22+2×2−m=0，
解得m=16．
故答案为：16．
把x=2代入方程即可求得m的值．
本题考查了方程的解的概念，将已知解代入原方程，即可求得原方程中字母的值，理解方程的解是解题的关键．
16.【答案】x1=1，x2=4
【解析】解：∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=3，x2=6(a,m,b均为常数，a≠0)，
∴方程a(x+m+2)2+b=0变形为a[(x+2)+m]2+b=0，即此方程中x+2=3或x+2=6，
解得x=1或x=4．
故方程a(x+m+2)2+b=0的解为x1=1，x2=4．
故答案为：x1=1，x2=4．
把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
此题主要考查了方程解的定义以及直接开方法求解．注意由两个方程的特点，运用整体思想进行简便计算．
17.【答案】4.40米
【解析】解：因为梯子每一条踏板均和地面平行，所以构成一组相似三角形，
即△ADE∽△ABC，则ADAB=DEBC，
设梯子长为x米，则x−0.55x=1.41.6，
解得，x=4.40．
故答案为：4.40米．
根据梯子、墙、地面三者构成的直角三角形与梯子、墙、梯上点D三者构成的直角三角相似，利用相似三角形对应边成比例解答即可．
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
18.【答案】①②③
【解析】【分析】
本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
根据翻折变换，勾股定理，相似三角形等性质逐个分析即可．
【解答】
解：如图1中，当AE=EB时，
∵AE=EB=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，
∴∠BEC=∠EAF，
∴AF//EC，故①正确；
作EM⊥AF，则AM=FM，
在Rt△ECB中，EC= 22+(32)2=52，
∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，
∴△CEB∽△EAM，
∴EBAM=ECAE，
∴32AM=5232，
∴AM=910，
∴AF=2AM=95，故②正确；
如图2中，当A、F、C共线时，设AE=x．
则EB=EF=3−x，AF= 13−2，
在Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，
∴x2=( 13−2)2+(3−x)2，
∴x=13−2 133，
∴AE=13−2 133，故③正确；
如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，
故答案为①②③．
19.【答案】解：原式= 16− 6+2 6
=4+ 6
【解析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得．
20.【答案】解：x2+2x−3=0
∴(x+3)(x−1)=0
∴x1=1，x2=−3．
【解析】观察方程x2+2x−3=0，可用因式分解法求得方程的解．
解方程有多种方法，要根据实际情况进行选择．
21.【答案】解：(a2−5a+2a+2+1)÷a2−4a2+4a+4，
=a2−5a+2+a+2a+2÷(a+2)(a−2)(a+2)2
=(a−2)2a+2×a+2a−2
=a−2．
把a=2+ 3代入，原式=2+ 3−2= 3．
【解析】通过化除法为乘法、约分进行化简，然后代入求值．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．注意分式有意义的条件．
22.【答案】解：(1)∵方程有两个实数根，
∴(−4)2−4×1×(2k+1)≥0，
16−8k−4≥0，
解得：k≤32；
(2)∵方程有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=4，
∵x2−2x1−2x2+9=0，
∴x2−2(x1+x2)+9=0，
∴x2−2×4+9=0，
∴x2=−1，
∵x1+x2=4，
∴x1=5，
∵x1⋅x2=2k+1，
∴−1×5=2k+1，
解得：k=−3．
【解析】(1)根据根的判别式大于等于0，求出k的范围即可；
(2)利用根与系数的关系化简已知等式，计算即可得到k的值．
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)证明：∵∠ABC=∠ACD，∠CAB=∠DAC，
∴△ABC∽△ACD；
(2)∵△ABC∽△ACD，
∴ABAC=ACAD，即3AC=AC2，
∴AC= 6．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质．
(1)利用∠ABC=∠ACD，加上∠CAB=∠DAC，则根据相似三角形的判定方法可得到结论；
(2)由于△ABC∽△ACD，则利用相似比可求出AC的长．
24.【答案】解：(1)设每期减少的百分率是x，
根据题意得400(1−x)2=256，
解得x1=0.2，x2=1.8(舍去)，
所以每期减少的百分率为20%．
(2)根据题意有400×0.2×3=240(万元)，
(400−400×0.2)×0.2×4.5=288(万元)，
∴240+288=528(万元)，
答：两期治理完成后需要投入528万元．
【解析】(1)本题为平均变化率问题，可按照增长率的一般规律进行解答．增长率问题的一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．根据这个关系来列出方程，求出百分率是多少．
(2)根据(1)中得出的百分率，分别求出第一期和第二期的投资，然后相加得出两期的总投资即可．
本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b(当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“−”)．
25.【答案】解：(1)x2−3x+2=0，(x−2)(x−1)=0，x−2=0或x−1=0，
所以x1=2，x2=1，
则方程x2−3x+2=0是“倍根方程”；
(2)(x−2)(x−m)=0，x−2=0或x−m=0，
解得x1=2，x2=m，
∵(x−2)(x−m)=0是“倍根方程”，
∴m=4或m=1，
当m=4时，m2+2m+2=16+8+2=26；
当m=1时，m2+2m+2=1+2+2=5，
综上所述，代数式m2+2m+2的值为26或5；
(3)根据题意，设方程的根的两根分别为α、2α，
根据根与系数的关系得α+2α=m−1，α⋅2α=32，
解得α=4，m=13或α=−4，m=−11，
∴m的值为13或−11．
【解析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了阅读理解能力．
(1)利用因式分解法解方程得到x1=2，x2=1，然后根据新定义进行判断；
(2)利用因式分解法解方程得到x1=2，x2=m，再根据新定义m=4或m=1，然后把m=4或m=1代入所求的代数式中进行分式的运算即可；
(3)设方程的根的两根分别为α、2α，根据根与系数的关系得α+2α=m−1，α⋅2α=32，然后求出α，再计算对应的m的值．
26.【答案】3
【解析】解：(1)连接DM，
∵DA=DB，点M是AB的中点，
∴DM⊥AB，AM=2，
在Rt△ADM中，由勾股定理得，
DM= AD2−AM2= 13−4=3，
故答案为：3．
(2)当点P在AD上时，即0≤t<1时，PD=AD−AP= 13− 13t，
当点P在BD上时，即1≤t≤2时，PD= 13t− 13，
∴PD= 13− 13t(0≤t<1) 13t− 13(1≤t≤2)；
(3)∵A′M=2，DM=3，
∴A′D≥1，
∴当点D、A′、M共线时，DA′最短，
∴∠AMP=∠DMP，
∴APPD=AMDM=23，
∴S△APM=22+3×S△ADM=25×12×2×3=65，
∴S△PDA′=S△ADM−2S△AMP=3−2×65=35；
(4)当点A′在CM上时，如图，作CH⊥AB，交AB的延长线于H，作MQ平分∠CMH，交CH于Q，作QG⊥MC于G，
∵AD=BC，∠DAM=∠CBH，∠DMA=∠CHB，
∴△AMD≌△BHC(AAS)，
∴BH=AM=2，CH=DM=3，
∵MQ平分∠CMB，
∴∠GMQ=∠QMH，
∵∠QGM=∠QHM，MQ=MQ，
∴△MQG≌△MQH(AAS)，
∴MG=AH=4，QH=QG，
∴CG=1，
∴tan∠MCH=QGCG=MHCH，
∴QG1=43，
∴QG=43，
∴QHMH=13，
∵AP= 13t，
∴AN=2t，PN=3t，
∵∠AMP=∠A′MP，∠CMQ=∠QMH，
∴∠PMQ=90°，
∴∠QMH=∠MPN，
∴MN=t，
∴2t+t=2，
∴t=23；
当A′在CM的延长线上时，作PT⊥AB于T，
由题意知BP=2 13− 13t，
同理得，PT=6−3t，BT=4−2t，MT=18−9t，
∴18−9t+4−2t=2，
∴t=2011，
综上：t=23或2011．
(1)连接DM，根据等腰三角形的性质得DM⊥AB，AM=2，再利用勾股定理可得DM的长；
(2)分点P在AD上或点P在BD上，分别表示PD的长；
(3)由A′M=2，DM=3，则A′D≥1，当点D、A′、M共线时，DA′最短，利用角平分线的定理得APPD=AMDM=23，求出S△APM的面积，从而得出答案；
(4)当点A′在CM上时，如图，作CH⊥AB，交AB的延长线于H，作MQ平分∠CMH，交CH于Q，作QG⊥MC于G，利用全等三角形的性质和三角函数求出QMMH=13，从而表示出MN的长，点点A′在CM的延长线上时，同理解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出tan∠QMH=13是解题的关键．
27.【答案】解：如图1，当PB=PQ时，作PE⊥BC于E，
∴EQ=12BQ，
∵CQ=t，
∴BQ=16−t，
∴EQ=8−12t，
∴EC=8−12t+t=8+12t.
∴2t=8+12t.
解得：t=163．
当PQ=BQ时，如图2，作QE⊥AD于E，
∴∠PEQ=∠DEQ=90°，
∵∠C=∠D=90°，
∴∠C=∠D=∠DEQ=90°，
∴四边形DEQC是矩形，
∴DE=QC=t，
∴PE=t，QE=CD=12．
在Rt△PEQ中，由勾股定理，得
PQ= t2+144．
16−t= t2+144，
解得：t=72；
当BP=BQ时，作PE⊥BC于E，
∴EQ=BE=12BQ，
∵CQ=t，
∴BQ=16−t，
∴BE=8−12t，
∴PB= −8t+14t2+208．
∴16−t= −8t+14t2+208．
解得：t1=16+8 3，t2=16−8 3
∵0
综上所述，t=163，72或16−8 3时以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形．
【解析】以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当PB=PQ时，当PQ=BQ时，当BP=BQ时，由等腰三角形的性质就可以得出结论．
本题考查了勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据根据等腰三角形的性质建立方程是关键．
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