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2023-2024学年河南省平顶山实验中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年河南省平顶山实验中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图是一个由4个相同的小正方形组成的立体图形，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.有五张卡片的正面分别写有“我”“的”“中”“国”“梦”，五张卡片洗匀后将其反反面放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的概率是( )
A. 110B. 120C. 225D. 125
3.已知方程12x2−6x−8=0，则此方程( )
A. 无实数根B. 两根之和为−12
C. 两根之积为−23D. 有一根为−1+ 2
4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是( )
A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④
5.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( )
A. 560(1+x)2=315B. 560(1−x2)=315
C. 560(1−2x)=315D. 560(1−x)2=315
6.如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为( )
A. 32×20−32x−20x=540B. (32−x)(20−x)+x2=540
C. 32x+20x=540D. (32−x)(20−x)=540
7.如图，四边形ABCD为菱形，AB=2，∠DAB=60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE=13CD，CF=13CB，则S△CEF=( )
A. 32
B. 33
C. 34
D. 39
8.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=4：1，连接AE、BE，AE交BD于点F，则△BEC的面积与△BEF的面积之比为( )
A. 1：2
B. 9：16
C. 3：4
D. 9：20
9.在直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0).以原点O为位似中心，相似比为13，把线段AB缩小后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为( )
A. (2,1)B. (2,0)
C. (2,1)或(−2,−1)D. (2,1)或(−1,−2)
10.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=2，则线段ON的长为( )
A. 22
B. 32
C. 1
D. 62
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是______ ．
12.如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体有______个．
13.若菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍，且菱形的面积为16cm2，则菱形的周长为______ cm．
14.在ΔABC中，AB=9,AC=6点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上.当AN=______时，ΔAMN与原三角形相似．
15.如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，再顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2，…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6面积是______ ．
三、解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
解下列方程：
(1)2x2−3x−5=0
(2)x2−4x−32=0．
17.(本小题9分)
如图，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上．
(1)画出位似中心O；
(2)△ABC与△A′B′C′的相似比为______，面积比为______．
18.(本小题9分)
“天宫课堂”第四课于2023年9月21日15时44分在中国空间站开讲，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮进行太空科普授课，3名航天员演示了球星火焰实验、奇妙“乒乓球”实验、动量守恒实验以及又见陀螺实验.某校为了解学生对航空航天知识的掌握情况，从七年级800人随机抽取50名学生进行测试，并对成绩(百分制)进行整理，信息如下：
(Ⅰ)成绩频数分布表：
A：50≤x<60；
B：60≤x<70；
C：70≤x<80；
D：80≤x<90；
E：90≤x<100．
(Ⅱ)70≤x<80这一组的分数是：70，70，71，72，72，74，77，77，78，78，78，79，79，79．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中a= ______ ，b= ______ ，这次成绩的中位数是______ 分；
(2)这次测试成绩的平均数是76.6分，甲的测试成绩是77分.甲说：“我的成绩高于平均数，所以我的成绩高于一半学生的成绩.”你认为甲的说法正确吗？请说明理由；
(3)学校要从成绩在90≤x<100之间的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生参加市里举办的“航空航天知识”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
19.(本小题9分)
每年秋季，校园里的银杏路是学校最为靓丽的条风景线，吸引着大量的师生驻足观赏；数学兴趣小组成员决定运用数学知识测量出一棵银杏树的高度，于是他们利用镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案；把镜子放在离银杏树8米的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得点D与点E之间的距离为2米，已知观测者CD身高为1.75米，则银杏树AB高约是多少米？
20.(本小题9分)
泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副，鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．
(1)填表：
(2)如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点(不与B，C重合)，DE//AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F．
(1)△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为矩形？说明理由；
(2)当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形？说明理由；
(3)在(2)的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形？为什么？
22.(本小题10分)
如图，直线y=−2x+4与x轴、y轴分别交于点A、B.直线y=3x+b经过点A，且与y轴交于点D.(1)求点D的坐标；
(2)在直线y=−2x+4第四象限的图象上，是否存在一点E，过E作y轴的垂线，垂足为F，使得△AOB与△DEF相似，且满足∠ABO=∠DEF？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
23.(本小题10分)
【探究证明】
(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：EFGH=ADAB；
【结论应用】
(2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若EFGH=1115，则BNAM的值为______；
【联系拓展】
(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求DNAM的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握从左边看得到的图形是左视图是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的有2种情况，
∴小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的概率是220=110．
故选A．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3.【答案】C
【解析】解：对于方程12x2−6x−8=0，
∵Δ>0，
∴方程有实数根，故A错误，
两根之和为12，故B错误，
两根之积为−23，故C正确，
方程的两根为3± 10512，故D错误，
故选：C．
根据根的判别式，根与系数的关系、求根公式即可判定．
本题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4.【答案】B
【解析】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，
故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，
故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，
故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，
故本选项不符合题意；
故选：B．
要判定是正方形，则需判定它既是菱形又是矩形，据此解答．
本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
560(1−x)2=315，
故选：D．
设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格(1−降价的百分率)，则第一次降价后的价格是560(1−x)，第二次后的价格是560(1−x)2，据此即可列方程求解．
本题考查一元二次方程的应用，关键是根据题意列出方程．
6.【答案】D
【解析】解：设道路的宽x米，则余下部分可合成长为(32−x)m，宽为(20−x)m的矩形，
依题意得：(32−x)(20−x)=540．
故选：D．
设道路的宽x米，则余下部分可合成长为(32−x)m，宽为(20−x)m的矩形，根据草坪的面积为540平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，AB=2，∠DAB=60°
∴AB=BC=CD=2，∠DCB=60°
∵CE=13CD，CF=13CB
∴CE=CF=23
∴△CEF为等边三角形
∴S△CEF= 34×(23)2= 39
故选：D．
根据菱形的性质以及已知数据可证得△CEF为等边三角形且边长为23，代入等边三角形面积公式即可求解．
本题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，由已知条件证明三角形CEF是等边三角形是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵DE：EC=4：1，
∴S△BCE=14S△BED，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵DE：EC=4：1，
∴DE：CD=4：5，
∴DE：AB=4：5，
∴△DEF∽△BAF，
∴DEAB=DFBF=45，
∴S△BEF=59S△BED，
∴△BEC的面积与△BEF的面积之比=14S△BED59S△BED=920，
故选：D．
根据已知条件得到S△BCE=14S△BED，根据平行四边形的性质得到AB//CD，AB=CD，由DE：EC=4：1，得到DE：CD=4：5，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质．
9.【答案】C
【解析】解：∵平面直角坐标系中有两点A(6,3)，以原点为位似中心，相似比为13，
∴6×13=2,3×13=1或6×(−13)=−2,3×(−13)=−1，
∴A点对应点的坐标是(2,1)或(−2,−1)，
故选：C．
分两种情况进行讨论，用A点的坐标分别乘以±13，即可求解．
本题考查了位似图形的性质，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，也考查了角平分线的性质和正方形的性质．
作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH= 22AM= 2，再根据角平分线性质得BM=MH= 2，则AB=2+ 2，于是利用正方形的性质得到AC= 2AB=2 2+2，OC=12AC= 2+1，所以CH=AC−AH=2+ 2，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．
【解答】
解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH= 22AM= 22×2= 2，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH= 2，
∴AB=2+ 2，
∴AC= 2AB= 2(2+ 2)=2 2+2，
∴OC=12AC= 2+1，CH=AC−AH=2 2+2− 2=2+ 2，
∵BD⊥AC，
∴ON//MH，
∴△CON∽△CHM，
∴ONMH=OCCH，即ON 2= 2+12+ 2，
∴ON=1．
故选C．
11.【答案】4：9
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记相似三角形性质是解题的关键．
根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为4：9．
12.【答案】6
【解析】解：由主视图与左视图可以在俯视图上标注数字为：
主视图有三列，每列的方块数分别是：2，1，1，
左视图有两列，每列的方块数分别是：1，2，
俯视图有三列，每列的方块数分别是：2，1，2，
∴总个数为1+2+1+1+1=6个．
故答案为6．
根据主视图以及左视图可得出该小正方形共有两行搭成，俯视图可确定几何体中小正方形的列数．
本题主要考查了三视图的知识及从不同方向观察物体的能力，解题中用到了观察法，确定该几何体有几列以及每列方块的个数是解题关键，难度适中．
13.【答案】8 5
【解析】解：设较短对角线长x cm，则较长的为2x cm，
依题意得，x2=16，
可得x=4，2x=8，
则菱形的边长为 22+42= 20=2 5cm，
∴菱形的周长为4×2 5=8 5cm，
故答案为：8 5
较短对角线长x cm，则较长的为2x cm，根据已知列方程求得两条对角线的长，再根据勾股定理求得其边长即可，进而求出其周长．
主要考查菱形的面积公式：对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾股定理．
14.【答案】2或4.5
【解析】【分析】
分别从△AMN∽△ABC或△AMN∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
【解答】
解：由题意可知，AB=9，AC=6，AM=3，
①若△AMN∽△ABC，
则AMAB=ANAC，
即39=AN6，
解得：AN=2；
②若△AMN∽△ACB，
则AMAC=ANAB，
即36=AN9，
解得：AN=4.5；
故AN=2或4.5．
故答案为：2或4.5．
15.【答案】164
【解析】解：顺次连接正方形ABCD各边的中点得正方形A1B1C1D1，则正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即12；
顺次连接正方形A1B1C1D1各边的中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即14；
顺次连接正方形A2B2C2D2各边的中点得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即18；
顺次连接正方形A3B3C3D3各边的中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，即116．
……
第六个正方形A6B6C6D6的面积是126=164．
故答案为：164．
利用相似图形的性质并结合顺次连接正方形ABCD各边的中点得正方形A1B1C1D1，其面积为正方形ABCD面积的一半；然后依次写出A2B2C2D2，A3B3C3D3，A4B4C4D4的面积，进而求出A6B6C6D6的面积．
本题考查了关于探究规律的题目，解答本题的关键是掌握相似图形的性质．
16.【答案】解：(1)原方程可化为：(2x−5)(x+1)=0，
解得：x1=52，x2=−1；
(2)原方程可化为：(x−8)(x+4)=0，
解得：x1=8，x2=−4．
【解析】运用因式分解，继而可得出x的值．
本题考查了解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程．
17.【答案】解：(1)如图，点O为位似中心；
(2)2：1 4：1
【解析】【分析】
(1)根据位似的性质，延长AA′、BB′、CC′，则它们的交点即为位似中心O；
(2)根据位似的性质得到AB：A′B′=OA：OA′=2：1，则△ABC与△A′B′C′的相似比为2：1，然后根据相似三角形的性质得到它们面积的比．
本题考查了作图−位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)因为AB：A′B′=OA：OA′=12：6=2：1，
所以△ABC与△A′B′C′的相似比为2：1，面积比为4：1．
故答案为2：1； 4：1．
18.【答案】10 18 78.5
【解析】解：(1)a=50×20%=10，b=50−4−10−14−4=18，
将这50名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为78+792=78.5，因此中位数是78.5，
故答案为：10，18，78.5；
(2)不正确，利用中位数进行判断比较合理，由于中位数是78.5分，甲的测试成绩是77分，因此甲的成绩在一半以下；
(3)列树状图如下，
共有12种等可能性的结果，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的结果有2种，
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为212=16．
(1)根据频率=频数总数即可求出a的值，再由各组频数之和等于样本容量可求出b的值，根据中位数的定义求出中位数；
(2)根据平均数、中位数的定义进行判断即可；
(3)用树状图表示从甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出2人所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查求中位数、平均数以及列表法或树状图法求概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
19.【答案】解：根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB，
则△ABE∽△CDE，则BEDE=ABCD，即82=AB1.75，
解得：AB=7m，
答：银杏树高AB约是7m．
【解析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
本题考查相似三角形的应用，借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高(长)作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
20.【答案】解：(1)填表如下：
(2)根据题意，得
100×200+(100−x)(200+2x)+50[800−200−(200+2x)]−60×800=9200，
所以x2+50x−1400=0，
解方程得x1=20，x2=−70，
当x=20时，100−x=80>50．
答：十月份的单价应是80元．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：利润=销售额−成本．
(1)根据题意直接用含x的代数式表示即可；
(2)利用“获利9200元”，即销售额−成本=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．
21.【答案】解：(1)当△ABC是直角三角形即∠BAC是直角时，四边形AEDF为矩形，
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
当∠BAC是直角时，四边形AEDF为矩形；
(2)当AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形，
∵四边形AEDF为平行四边形，
∴AD平分∠BAC，四边形AEDF为菱形；
(3)当△ABC是直角三角形即∠BAC是直角时，四边形AEDF为正方形，
∵四边形AEDF为菱形，
∴当∠BAC是直角时，四边形AEDF为正方形．
【解析】(1)根据DE//AC，DF//AB可判断四边形AEDF为平行四边形，再根据矩形的判定定理即可求解；
(2)由四边形AEDF为菱形，能得出AD为∠BAC的平分线即可；
(3)由四边形AEDF为正方形，得∠BAC=90°，即当△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
本题考查了正方形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定以及矩形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
22.【答案】解：(1)令y=0，则−2x+4=0，
解得x=2，
∴点A的坐标为(2,0)，
把(2,0)代入y=3x+b得：6+b=0，
解：得b=−6，
∴y=3x−6，
当x=0时，y=−6，
∴点D的坐标为(0,−6)；
(2)存在一点E，过E作y轴的垂线，垂足为F，使得△AOB与△DEF相似，且满足∠ABO=∠DEF；理由如下：
当x=0时，y=4，
∴点B的坐标为(0,4)，
∴OA=2，OB=4，
设点E的坐标为(x,−2x+4)，则点F的坐标为(0,−2x+4)，
如图1，当点F在点D 的上方时，
∴DF=−2x+4−(−6)=−2x+10，EF=x，
∵△AOB∽△DFE，
∴DFOA=EFOB，即−2x+102=x4，
解得：x=4，
∴点E的坐标为(4,−4)，
如图2，当点F在点D 的下方时，
DF=(−6)−(−2x+4)=2x−10，EF=x，
∵△AOB∽△DFE，
∴DFOA=EFOB，即2x−102=x4，
解得：x=203，
∴点E的坐标为(203,−283)，
综上所述，点E的坐标为(203,−283)或(4,−4)．
【解析】(1)根据直线y=−2x+4求出点A的坐标，代入y=3x+b求出解析式然后计算点D的坐标即可；
(2)设点E的坐标为(x,−2x+4)，则点F的坐标为(0,−2x+4)，分点F在点D 的上方和点F在点D 的下方两种情况分别解题计算．
本题考查一次函数的图象和性质，相似三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例转化为解方程时解题的关键．
23.【答案】(1)过点A作AP//EF，交CD于P，过点B作BQ//GH，交AD于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB//DC，AD//BC．
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，
∴AP=EF，GH=BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，
∴∠QAT+∠AQT=90°．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，
∴∠DAP+∠DPA=90°，
∴∠AQT=∠DPA．
∴△PDA∽△QAB，
∴APBQ=ADAB，
∴EFGH=ADAB；
(2)1115
(3)过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，
则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC=90°，∴▱ABSR是矩形，
∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．
∵AM⊥DN，
∴由(1)中的结论可得DNAM=ARAB．
设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10−y，
∴在Rt△CSD中，x2+y2=25①，
在Rt△ARD中，(5+x)2+(10−y)2=100②，
由②−①得x=2y−5③，
解方程组x2+y2=25x=2y−5，得
x=−5y=0(舍去)，或x=3y=4，
∴AR=5+x=8，
∴DNAM=ARAB=810=45．
【解析】解：(1)见答案
(2)如图2，
∵EF⊥GH，AM⊥BN，
∴由(1)中的结论可得EFGH=ADAB，BNAM=ADAB，
∴BNAM=EFGH=1115．
故答案为1115；
(3)见答案
(1)过点A作AP//EF，交CD于P，过点B作BQ//GH，交AD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
(2)只需运用(1)中的结论，就可得到EFGH=ADAB=BNAM，就可解决问题；
(3)过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由(1)中的结论可得DNAM=ARAB.设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10−y，在Rt△CSD中根据勾股定理可得x2+y2=25①，在Rt△ARD中根据勾股定理可得(5+x)2+(10−y)2=100②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决．
本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用(1)中的结论是解决第(2)、(3)小题的关键．成绩x(分)
50≤x<60
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x<100
频数
4
a
14
b
4
月份
九月
十月
清仓
销售单价(元)
100
50
销售量(件)
200
时间
九月
十月
清仓
销售单价(元)
100
100−x
50
销售量(件)
200
200+2x
800−200−(200+2x)
1.如图是一个由4个相同的小正方形组成的立体图形，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.有五张卡片的正面分别写有“我”“的”“中”“国”“梦”，五张卡片洗匀后将其反反面放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的概率是( )
A. 110B. 120C. 225D. 125
3.已知方程12x2−6x−8=0，则此方程( )
A. 无实数根B. 两根之和为−12
C. 两根之积为−23D. 有一根为−1+ 2
4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是( )
A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④
5.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( )
A. 560(1+x)2=315B. 560(1−x2)=315
C. 560(1−2x)=315D. 560(1−x)2=315
6.如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为( )
A. 32×20−32x−20x=540B. (32−x)(20−x)+x2=540
C. 32x+20x=540D. (32−x)(20−x)=540
7.如图，四边形ABCD为菱形，AB=2，∠DAB=60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE=13CD，CF=13CB，则S△CEF=( )
A. 32
B. 33
C. 34
D. 39
8.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=4：1，连接AE、BE，AE交BD于点F，则△BEC的面积与△BEF的面积之比为( )
A. 1：2
B. 9：16
C. 3：4
D. 9：20
9.在直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0).以原点O为位似中心，相似比为13，把线段AB缩小后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为( )
A. (2,1)B. (2,0)
C. (2,1)或(−2,−1)D. (2,1)或(−1,−2)
10.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=2，则线段ON的长为( )
A. 22
B. 32
C. 1
D. 62
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是______ ．
12.如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体有______个．
13.若菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍，且菱形的面积为16cm2，则菱形的周长为______ cm．
14.在ΔABC中，AB=9,AC=6点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上.当AN=______时，ΔAMN与原三角形相似．
15.如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，再顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2，…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6面积是______ ．
三、解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
解下列方程：
(1)2x2−3x−5=0
(2)x2−4x−32=0．
17.(本小题9分)
如图，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上．
(1)画出位似中心O；
(2)△ABC与△A′B′C′的相似比为______，面积比为______．
18.(本小题9分)
“天宫课堂”第四课于2023年9月21日15时44分在中国空间站开讲，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮进行太空科普授课，3名航天员演示了球星火焰实验、奇妙“乒乓球”实验、动量守恒实验以及又见陀螺实验.某校为了解学生对航空航天知识的掌握情况，从七年级800人随机抽取50名学生进行测试，并对成绩(百分制)进行整理，信息如下：
(Ⅰ)成绩频数分布表：
A：50≤x<60；
B：60≤x<70；
C：70≤x<80；
D：80≤x<90；
E：90≤x<100．
(Ⅱ)70≤x<80这一组的分数是：70，70，71，72，72，74，77，77，78，78，78，79，79，79．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中a= ______ ，b= ______ ，这次成绩的中位数是______ 分；
(2)这次测试成绩的平均数是76.6分，甲的测试成绩是77分.甲说：“我的成绩高于平均数，所以我的成绩高于一半学生的成绩.”你认为甲的说法正确吗？请说明理由；
(3)学校要从成绩在90≤x<100之间的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生参加市里举办的“航空航天知识”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
19.(本小题9分)
每年秋季，校园里的银杏路是学校最为靓丽的条风景线，吸引着大量的师生驻足观赏；数学兴趣小组成员决定运用数学知识测量出一棵银杏树的高度，于是他们利用镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案；把镜子放在离银杏树8米的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得点D与点E之间的距离为2米，已知观测者CD身高为1.75米，则银杏树AB高约是多少米？
20.(本小题9分)
泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副，鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．
(1)填表：
(2)如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点(不与B，C重合)，DE//AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F．
(1)△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为矩形？说明理由；
(2)当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形？说明理由；
(3)在(2)的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形？为什么？
22.(本小题10分)
如图，直线y=−2x+4与x轴、y轴分别交于点A、B.直线y=3x+b经过点A，且与y轴交于点D.(1)求点D的坐标；
(2)在直线y=−2x+4第四象限的图象上，是否存在一点E，过E作y轴的垂线，垂足为F，使得△AOB与△DEF相似，且满足∠ABO=∠DEF？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
23.(本小题10分)
【探究证明】
(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：EFGH=ADAB；
【结论应用】
(2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若EFGH=1115，则BNAM的值为______；
【联系拓展】
(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求DNAM的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握从左边看得到的图形是左视图是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的有2种情况，
∴小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的概率是220=110．
故选A．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3.【答案】C
【解析】解：对于方程12x2−6x−8=0，
∵Δ>0，
∴方程有实数根，故A错误，
两根之和为12，故B错误，
两根之积为−23，故C正确，
方程的两根为3± 10512，故D错误，
故选：C．
根据根的判别式，根与系数的关系、求根公式即可判定．
本题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4.【答案】B
【解析】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，
故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，
故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，
故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，
故本选项不符合题意；
故选：B．
要判定是正方形，则需判定它既是菱形又是矩形，据此解答．
本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
560(1−x)2=315，
故选：D．
设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格(1−降价的百分率)，则第一次降价后的价格是560(1−x)，第二次后的价格是560(1−x)2，据此即可列方程求解．
本题考查一元二次方程的应用，关键是根据题意列出方程．
6.【答案】D
【解析】解：设道路的宽x米，则余下部分可合成长为(32−x)m，宽为(20−x)m的矩形，
依题意得：(32−x)(20−x)=540．
故选：D．
设道路的宽x米，则余下部分可合成长为(32−x)m，宽为(20−x)m的矩形，根据草坪的面积为540平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，AB=2，∠DAB=60°
∴AB=BC=CD=2，∠DCB=60°
∵CE=13CD，CF=13CB
∴CE=CF=23
∴△CEF为等边三角形
∴S△CEF= 34×(23)2= 39
故选：D．
根据菱形的性质以及已知数据可证得△CEF为等边三角形且边长为23，代入等边三角形面积公式即可求解．
本题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，由已知条件证明三角形CEF是等边三角形是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵DE：EC=4：1，
∴S△BCE=14S△BED，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵DE：EC=4：1，
∴DE：CD=4：5，
∴DE：AB=4：5，
∴△DEF∽△BAF，
∴DEAB=DFBF=45，
∴S△BEF=59S△BED，
∴△BEC的面积与△BEF的面积之比=14S△BED59S△BED=920，
故选：D．
根据已知条件得到S△BCE=14S△BED，根据平行四边形的性质得到AB//CD，AB=CD，由DE：EC=4：1，得到DE：CD=4：5，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质．
9.【答案】C
【解析】解：∵平面直角坐标系中有两点A(6,3)，以原点为位似中心，相似比为13，
∴6×13=2,3×13=1或6×(−13)=−2,3×(−13)=−1，
∴A点对应点的坐标是(2,1)或(−2,−1)，
故选：C．
分两种情况进行讨论，用A点的坐标分别乘以±13，即可求解．
本题考查了位似图形的性质，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，也考查了角平分线的性质和正方形的性质．
作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH= 22AM= 2，再根据角平分线性质得BM=MH= 2，则AB=2+ 2，于是利用正方形的性质得到AC= 2AB=2 2+2，OC=12AC= 2+1，所以CH=AC−AH=2+ 2，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．
【解答】
解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH= 22AM= 22×2= 2，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH= 2，
∴AB=2+ 2，
∴AC= 2AB= 2(2+ 2)=2 2+2，
∴OC=12AC= 2+1，CH=AC−AH=2 2+2− 2=2+ 2，
∵BD⊥AC，
∴ON//MH，
∴△CON∽△CHM，
∴ONMH=OCCH，即ON 2= 2+12+ 2，
∴ON=1．
故选C．
11.【答案】4：9
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记相似三角形性质是解题的关键．
根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为4：9．
12.【答案】6
【解析】解：由主视图与左视图可以在俯视图上标注数字为：
主视图有三列，每列的方块数分别是：2，1，1，
左视图有两列，每列的方块数分别是：1，2，
俯视图有三列，每列的方块数分别是：2，1，2，
∴总个数为1+2+1+1+1=6个．
故答案为6．
根据主视图以及左视图可得出该小正方形共有两行搭成，俯视图可确定几何体中小正方形的列数．
本题主要考查了三视图的知识及从不同方向观察物体的能力，解题中用到了观察法，确定该几何体有几列以及每列方块的个数是解题关键，难度适中．
13.【答案】8 5
【解析】解：设较短对角线长x cm，则较长的为2x cm，
依题意得，x2=16，
可得x=4，2x=8，
则菱形的边长为 22+42= 20=2 5cm，
∴菱形的周长为4×2 5=8 5cm，
故答案为：8 5
较短对角线长x cm，则较长的为2x cm，根据已知列方程求得两条对角线的长，再根据勾股定理求得其边长即可，进而求出其周长．
主要考查菱形的面积公式：对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾股定理．
14.【答案】2或4.5
【解析】【分析】
分别从△AMN∽△ABC或△AMN∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
【解答】
解：由题意可知，AB=9，AC=6，AM=3，
①若△AMN∽△ABC，
则AMAB=ANAC，
即39=AN6，
解得：AN=2；
②若△AMN∽△ACB，
则AMAC=ANAB，
即36=AN9，
解得：AN=4.5；
故AN=2或4.5．
故答案为：2或4.5．
15.【答案】164
【解析】解：顺次连接正方形ABCD各边的中点得正方形A1B1C1D1，则正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即12；
顺次连接正方形A1B1C1D1各边的中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即14；
顺次连接正方形A2B2C2D2各边的中点得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即18；
顺次连接正方形A3B3C3D3各边的中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，即116．
……
第六个正方形A6B6C6D6的面积是126=164．
故答案为：164．
利用相似图形的性质并结合顺次连接正方形ABCD各边的中点得正方形A1B1C1D1，其面积为正方形ABCD面积的一半；然后依次写出A2B2C2D2，A3B3C3D3，A4B4C4D4的面积，进而求出A6B6C6D6的面积．
本题考查了关于探究规律的题目，解答本题的关键是掌握相似图形的性质．
16.【答案】解：(1)原方程可化为：(2x−5)(x+1)=0，
解得：x1=52，x2=−1；
(2)原方程可化为：(x−8)(x+4)=0，
解得：x1=8，x2=−4．
【解析】运用因式分解，继而可得出x的值．
本题考查了解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程．
17.【答案】解：(1)如图，点O为位似中心；
(2)2：1 4：1
【解析】【分析】
(1)根据位似的性质，延长AA′、BB′、CC′，则它们的交点即为位似中心O；
(2)根据位似的性质得到AB：A′B′=OA：OA′=2：1，则△ABC与△A′B′C′的相似比为2：1，然后根据相似三角形的性质得到它们面积的比．
本题考查了作图−位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)因为AB：A′B′=OA：OA′=12：6=2：1，
所以△ABC与△A′B′C′的相似比为2：1，面积比为4：1．
故答案为2：1； 4：1．
18.【答案】10 18 78.5
【解析】解：(1)a=50×20%=10，b=50−4−10−14−4=18，
将这50名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为78+792=78.5，因此中位数是78.5，
故答案为：10，18，78.5；
(2)不正确，利用中位数进行判断比较合理，由于中位数是78.5分，甲的测试成绩是77分，因此甲的成绩在一半以下；
(3)列树状图如下，
共有12种等可能性的结果，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的结果有2种，
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为212=16．
(1)根据频率=频数总数即可求出a的值，再由各组频数之和等于样本容量可求出b的值，根据中位数的定义求出中位数；
(2)根据平均数、中位数的定义进行判断即可；
(3)用树状图表示从甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出2人所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查求中位数、平均数以及列表法或树状图法求概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
19.【答案】解：根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB，
则△ABE∽△CDE，则BEDE=ABCD，即82=AB1.75，
解得：AB=7m，
答：银杏树高AB约是7m．
【解析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
本题考查相似三角形的应用，借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高(长)作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
20.【答案】解：(1)填表如下：
(2)根据题意，得
100×200+(100−x)(200+2x)+50[800−200−(200+2x)]−60×800=9200，
所以x2+50x−1400=0，
解方程得x1=20，x2=−70，
当x=20时，100−x=80>50．
答：十月份的单价应是80元．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：利润=销售额−成本．
(1)根据题意直接用含x的代数式表示即可；
(2)利用“获利9200元”，即销售额−成本=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．
21.【答案】解：(1)当△ABC是直角三角形即∠BAC是直角时，四边形AEDF为矩形，
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
当∠BAC是直角时，四边形AEDF为矩形；
(2)当AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形，
∵四边形AEDF为平行四边形，
∴AD平分∠BAC，四边形AEDF为菱形；
(3)当△ABC是直角三角形即∠BAC是直角时，四边形AEDF为正方形，
∵四边形AEDF为菱形，
∴当∠BAC是直角时，四边形AEDF为正方形．
【解析】(1)根据DE//AC，DF//AB可判断四边形AEDF为平行四边形，再根据矩形的判定定理即可求解；
(2)由四边形AEDF为菱形，能得出AD为∠BAC的平分线即可；
(3)由四边形AEDF为正方形，得∠BAC=90°，即当△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
本题考查了正方形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定以及矩形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
22.【答案】解：(1)令y=0，则−2x+4=0，
解得x=2，
∴点A的坐标为(2,0)，
把(2,0)代入y=3x+b得：6+b=0，
解：得b=−6，
∴y=3x−6，
当x=0时，y=−6，
∴点D的坐标为(0,−6)；
(2)存在一点E，过E作y轴的垂线，垂足为F，使得△AOB与△DEF相似，且满足∠ABO=∠DEF；理由如下：
当x=0时，y=4，
∴点B的坐标为(0,4)，
∴OA=2，OB=4，
设点E的坐标为(x,−2x+4)，则点F的坐标为(0,−2x+4)，
如图1，当点F在点D 的上方时，
∴DF=−2x+4−(−6)=−2x+10，EF=x，
∵△AOB∽△DFE，
∴DFOA=EFOB，即−2x+102=x4，
解得：x=4，
∴点E的坐标为(4,−4)，
如图2，当点F在点D 的下方时，
DF=(−6)−(−2x+4)=2x−10，EF=x，
∵△AOB∽△DFE，
∴DFOA=EFOB，即2x−102=x4，
解得：x=203，
∴点E的坐标为(203,−283)，
综上所述，点E的坐标为(203,−283)或(4,−4)．
【解析】(1)根据直线y=−2x+4求出点A的坐标，代入y=3x+b求出解析式然后计算点D的坐标即可；
(2)设点E的坐标为(x,−2x+4)，则点F的坐标为(0,−2x+4)，分点F在点D 的上方和点F在点D 的下方两种情况分别解题计算．
本题考查一次函数的图象和性质，相似三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例转化为解方程时解题的关键．
23.【答案】(1)过点A作AP//EF，交CD于P，过点B作BQ//GH，交AD于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB//DC，AD//BC．
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，
∴AP=EF，GH=BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，
∴∠QAT+∠AQT=90°．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，
∴∠DAP+∠DPA=90°，
∴∠AQT=∠DPA．
∴△PDA∽△QAB，
∴APBQ=ADAB，
∴EFGH=ADAB；
(2)1115
(3)过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，
则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC=90°，∴▱ABSR是矩形，
∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．
∵AM⊥DN，
∴由(1)中的结论可得DNAM=ARAB．
设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10−y，
∴在Rt△CSD中，x2+y2=25①，
在Rt△ARD中，(5+x)2+(10−y)2=100②，
由②−①得x=2y−5③，
解方程组x2+y2=25x=2y−5，得
x=−5y=0(舍去)，或x=3y=4，
∴AR=5+x=8，
∴DNAM=ARAB=810=45．
【解析】解：(1)见答案
(2)如图2，
∵EF⊥GH，AM⊥BN，
∴由(1)中的结论可得EFGH=ADAB，BNAM=ADAB，
∴BNAM=EFGH=1115．
故答案为1115；
(3)见答案
(1)过点A作AP//EF，交CD于P，过点B作BQ//GH，交AD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
(2)只需运用(1)中的结论，就可得到EFGH=ADAB=BNAM，就可解决问题；
(3)过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由(1)中的结论可得DNAM=ARAB.设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10−y，在Rt△CSD中根据勾股定理可得x2+y2=25①，在Rt△ARD中根据勾股定理可得(5+x)2+(10−y)2=100②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决．
本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用(1)中的结论是解决第(2)、(3)小题的关键．成绩x(分)
50≤x<60
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x<100
频数
4
a
14
b
4
月份
九月
十月
清仓
销售单价(元)
100
50
销售量(件)
200
时间
九月
十月
清仓
销售单价(元)
100
100−x
50
销售量(件)
200
200+2x
800−200−(200+2x)
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