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2023-2024学年辽宁省朝阳市建平县实验中学高一上学期12月月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年辽宁省朝阳市建平县实验中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误.
【详解】，，故A错误；
，故B错误；
∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误；
成立，故D正确.
故选：D.
2．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，函数是由和复合而成，根据复合函数单调性同增异减的性质，即可求出函数的单调递减区间.
【详解】解：由题意知，解得或，
原函数的定义域为，
原函数是由和复合而成，且为减函数，
当时，单调递增，
原函数在上单调递减，
即原函数的单调减区间为，
故选：D.
3．若；，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据指数幂与对数的运算性质，分别求得命题为真命题时，的取值范围，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得，解得，构成集合
又由，可得，解得，构成集合，
因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件.
故选：B.
4．已知函数为R上的单调递增函数，，任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】B
【分析】根据题意利用赋值法可得，将不等式化为，结合函数单调性运算求解.
【详解】因为，则有：
令，可得；
令，可得；
且不等式可化为：，
又因为函数为R上的单调递增函数，则，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B.
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意可得，令，利用判断的单调性，从而得到，即可判断C，利用特殊值判断A、B，利用指数函数的性质判断D.
【详解】因为，所以，令，
因为和在上单调递增，所以在上单调递增，
所以由，得，所以C错误；
当、时，满足，而，所以A错误；
当、时，满足，而，所以B错误；
因为在上单调递减，所以，所以D正确.
故选：D
6．已知奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先计算出，，结合函数奇偶性得到答案.
【详解】因为，
所以，，
故，
因为为奇函数，所以.
故选：B
7．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由复合函数的单调性分析可知，内层函数在上为增函数，结合二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减，
所以，函数在上为增函数，所以，，解得.
故选：A.
8．核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．16小时B．11小时C．9小时D．7小时
【答案】C
【分析】先由题意得到，再由第16天检测过程平均耗时为16小时，求出的值，由第64天检测过程平均耗时为8小时求出的值，从而可求出第49天检测过程平均耗时
【详解】因为第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，
所以，
因为第16天检测过程平均耗时为16小时，所以，得，
因为第64天检测过程平均耗时为8小时，所以，解得，
所以，
所以当时，，
故选：C
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，构造函数并作出函数图象，求出a与b的关系式，再逐项分析判断作答.
【详解】因，即，则分别为函数与图象交点的横坐标，
而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，
在同一坐标系中画出的图象，如图，
由图知，点与关于直线对称，于是得，
，A正确；
，则，B正确；
，C错误；
，D正确.
故选：ABD
10．给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数的最小值为2；
B．已知函数（a＞0且）在上是减函数，则实数a的取值范围是；
C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线y＝x对称；
D．若x，y，z为正数，且，则．
【答案】BCD
【分析】根据指数型复合函数判断单调性得最值，即可判断A；由对数复合函数的单调性分类讨论即可得实数a的取值范围，来判断B；根据互为反函数的图象性质即可判断C；由指对互化即对数函数的运算性质、换底公式的计算，即可判断D.
【详解】解：对于A，函数的定义域为，由复合函数单调性可得该函数在上单调递增，
在上单调递减，所以函数有最大值，故A不正确；
对于B，已知函数且在上是减函数，
所以，解得，当时，成立，实数的取值范围是，故B正确；
对于C，同一平面直角坐标系中，由于函数与互为反函数，所以他们的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，若x，y，z为正数，设，则，
所以，故D正确.
故选：BCD.
11．下列说法正确的为（ ）
A．对任意实数，函数的图象必过定点B．
C．与关于原点对称D．函数在上单调递增
【答案】BC
【分析】代入验证A错误，根据指数函数幂函数的单调性得到B正确，考虑，，三种情况计算得到C正确，根据复合函数的单调性知D错误，得到答案.
【详解】对选项A：函数过定点，则，即，，错误；
对选项B：，，故，正确；
对选项C：令，则，，所以，
同理，当时，也成立，当时，，
综上所述：与关于原点对称，正确；
对选项D：令，则在上单调递减，
而单调递增，所以在上单调递减，错误.
故选：BC.
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中不正确的是（ ）
A．是上的增函数B．
C．的值域是D．的值域是
【答案】ABC
【分析】举反例得到ABC错误，变换，确定，得到答案.
【详解】对选项A：，，
，错误；
对选项B：，错误；
对选项C：，错误；
对选项D：，，，
的值域是，正确；
故选：ABC.
三、填空题
13．不等式的解集是 ；不等式的解集是 .
【答案】
【分析】将化简成，再利用指数函数性质解不等式；同理对于化简成，但要注意，再进行求解即可
【详解】，所以不等式的解集是
不等式的解集是
【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的求解，化成同底数再根据函数的增减性求解是常规方法，同时还需注意定义域必须符合对数函数性质
14．点(2,4)在函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)的反函数的图象上，则＝ ．
【答案】
【分析】根据反函数的概念以及性质即可求解.
【详解】因为点(2,4)在函数f(x)＝lgax(a>0，a≠1)的反函数的图象上，
所以点(4,2)在函数f(x)＝lgax(a>0，a≠1)的图象上，
因此lga4＝2，即a2＝4，
又a>0，
所以a＝2，
所以f(x)＝lg2x，
故＝lg2＝－1.
故答案为：－1.
15．若，且，则实数 ．
【答案】9
【分析】先指对互化可得，再结合换底公式以及对数的运算性质求解.
【详解】因为，可知，
又因为，即，
由换底公式得，则，
即，解得．
故答案为：9．
16．已知奇函数在上是增函数，.若，，，则、、的大小关系为 .（用连接）
【答案】
【分析】分析出函数为偶函数且在上为增函数，比较、、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.
【详解】因为奇函数在上是增函数，则当时，，
且，故函数为偶函数，
任取、且，则，
由不等式的性质可得，即，
所以，函数在上为增函数，
因为，，，
又因为，即，故.
故答案为：.
四、解答题
17．已知函数的定义域为集合，集合.
(1)求集合；
(2)求，.
【答案】(1)
(2)，或
【分析】（1）根据函数的解析式有意义可求得集合；
（2）求出集合，利用交集的定义可求得集合，利用补集和并集的定义可求得集合.
【详解】（1）解：因为函数的定义域为集合，
则.
（2）解：因为或，，
所以，，或，
则或.
18．已知函数的定义域为的奇函数，若当时，
(1)求解析式；
(2)若不等式对任意实数都成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质可得出，当时，可得出，综合可得出函数的解析式；
（2）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，利用二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为函数的定义域为的奇函数，则，
当时，.
综上所述，.
（2）解：由可得对任意的恒成立，
当时，则有，解得，不合乎题意；
当时，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
19．（1）化简求值：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）8；（2）7
【分析】（1）根据对数的运算性质，化简求解即可得出答案；
（2）平方根据指数幂的运算性质可得出，再次平方即可得出答案.
【详解】（1）原式
；
（2）由两边平方得，
，
所以，
所以，，
所以，．
20．若，求的最值.
【答案】的最大值为2，最小值为.
【分析】由结合换底公式求出的范围，再用对数运算法则化简函数，然后借助二次函数即可计算作答.
【详解】因，则，即，
，
因此，当，即时，，当，即时，，
所以的最大值为2，最小值为.
21．已知函数且．
(1)求的定义域，判断的奇偶性并给出证明；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)定义域为，奇函数，证明见解析；
(2)答案见解析；
【分析】（1）根据真数大于零求定义域，利用奇偶性定义判断并证明是奇函数即可；
（2）利用奇函数和单调性求解不等式即可.
【详解】（1）要使有意义，需满足，解得，故定义域为；
是奇函数；
证明：定义域为，关于原点对称；
又，
所以为奇函数；
（2）由，得．
由（1）知为奇函数，所以，所以.
因为，
令，则在上单调递增，
当时，在上单调递减，则，解得；
当时，在上单调递增，则，解得．
综上，当时，实数的取值范围是；当时，实数的取值范围是．
22．已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性及其单调性（不需写出判断单调性的过程）；
(2)若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)偶函数；的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
【分析】（1）根据偶函数的定义可以判断为偶函数，根据复合函数可判断的单调性；
（2）先求利用基本不等式求的最小值为，故在恒成立，
再转化为恒成立，构造求其最小值即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
，，故为偶函数；
设，则在上单调递增，且，
设，根据对勾函数的单调性，
在上单调递减，在上单调递增，
当，即，
当，即，
故根据复合函数的单调性可知：
的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），
当时，，
当且仅当即时等号成立，
故由题意对任意的，恒成立，
得即，
即，
由（1）可知的单调递减区间为，单调递增区间为，
又，，
所以当时， ，
设，则单调递增，
所以，故，
所以实数的取值范围为
一、单选题
1．下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误.
【详解】，，故A错误；
，故B错误；
∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误；
成立，故D正确.
故选：D.
2．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，函数是由和复合而成，根据复合函数单调性同增异减的性质，即可求出函数的单调递减区间.
【详解】解：由题意知，解得或，
原函数的定义域为，
原函数是由和复合而成，且为减函数，
当时，单调递增，
原函数在上单调递减，
即原函数的单调减区间为，
故选：D.
3．若；，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据指数幂与对数的运算性质，分别求得命题为真命题时，的取值范围，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得，解得，构成集合
又由，可得，解得，构成集合，
因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件.
故选：B.
4．已知函数为R上的单调递增函数，，任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】B
【分析】根据题意利用赋值法可得，将不等式化为，结合函数单调性运算求解.
【详解】因为，则有：
令，可得；
令，可得；
且不等式可化为：，
又因为函数为R上的单调递增函数，则，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B.
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意可得，令，利用判断的单调性，从而得到，即可判断C，利用特殊值判断A、B，利用指数函数的性质判断D.
【详解】因为，所以，令，
因为和在上单调递增，所以在上单调递增，
所以由，得，所以C错误；
当、时，满足，而，所以A错误；
当、时，满足，而，所以B错误；
因为在上单调递减，所以，所以D正确.
故选：D
6．已知奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先计算出，，结合函数奇偶性得到答案.
【详解】因为，
所以，，
故，
因为为奇函数，所以.
故选：B
7．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由复合函数的单调性分析可知，内层函数在上为增函数，结合二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减，
所以，函数在上为增函数，所以，，解得.
故选：A.
8．核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．16小时B．11小时C．9小时D．7小时
【答案】C
【分析】先由题意得到，再由第16天检测过程平均耗时为16小时，求出的值，由第64天检测过程平均耗时为8小时求出的值，从而可求出第49天检测过程平均耗时
【详解】因为第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，
所以，
因为第16天检测过程平均耗时为16小时，所以，得，
因为第64天检测过程平均耗时为8小时，所以，解得，
所以，
所以当时，，
故选：C
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，构造函数并作出函数图象，求出a与b的关系式，再逐项分析判断作答.
【详解】因，即，则分别为函数与图象交点的横坐标，
而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，
在同一坐标系中画出的图象，如图，
由图知，点与关于直线对称，于是得，
，A正确；
，则，B正确；
，C错误；
，D正确.
故选：ABD
10．给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数的最小值为2；
B．已知函数（a＞0且）在上是减函数，则实数a的取值范围是；
C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线y＝x对称；
D．若x，y，z为正数，且，则．
【答案】BCD
【分析】根据指数型复合函数判断单调性得最值，即可判断A；由对数复合函数的单调性分类讨论即可得实数a的取值范围，来判断B；根据互为反函数的图象性质即可判断C；由指对互化即对数函数的运算性质、换底公式的计算，即可判断D.
【详解】解：对于A，函数的定义域为，由复合函数单调性可得该函数在上单调递增，
在上单调递减，所以函数有最大值，故A不正确；
对于B，已知函数且在上是减函数，
所以，解得，当时，成立，实数的取值范围是，故B正确；
对于C，同一平面直角坐标系中，由于函数与互为反函数，所以他们的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，若x，y，z为正数，设，则，
所以，故D正确.
故选：BCD.
11．下列说法正确的为（ ）
A．对任意实数，函数的图象必过定点B．
C．与关于原点对称D．函数在上单调递增
【答案】BC
【分析】代入验证A错误，根据指数函数幂函数的单调性得到B正确，考虑，，三种情况计算得到C正确，根据复合函数的单调性知D错误，得到答案.
【详解】对选项A：函数过定点，则，即，，错误；
对选项B：，，故，正确；
对选项C：令，则，，所以，
同理，当时，也成立，当时，，
综上所述：与关于原点对称，正确；
对选项D：令，则在上单调递减，
而单调递增，所以在上单调递减，错误.
故选：BC.
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中不正确的是（ ）
A．是上的增函数B．
C．的值域是D．的值域是
【答案】ABC
【分析】举反例得到ABC错误，变换，确定，得到答案.
【详解】对选项A：，，
，错误；
对选项B：，错误；
对选项C：，错误；
对选项D：，，，
的值域是，正确；
故选：ABC.
三、填空题
13．不等式的解集是 ；不等式的解集是 .
【答案】
【分析】将化简成，再利用指数函数性质解不等式；同理对于化简成，但要注意，再进行求解即可
【详解】，所以不等式的解集是
不等式的解集是
【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的求解，化成同底数再根据函数的增减性求解是常规方法，同时还需注意定义域必须符合对数函数性质
14．点(2,4)在函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)的反函数的图象上，则＝ ．
【答案】
【分析】根据反函数的概念以及性质即可求解.
【详解】因为点(2,4)在函数f(x)＝lgax(a>0，a≠1)的反函数的图象上，
所以点(4,2)在函数f(x)＝lgax(a>0，a≠1)的图象上，
因此lga4＝2，即a2＝4，
又a>0，
所以a＝2，
所以f(x)＝lg2x，
故＝lg2＝－1.
故答案为：－1.
15．若，且，则实数 ．
【答案】9
【分析】先指对互化可得，再结合换底公式以及对数的运算性质求解.
【详解】因为，可知，
又因为，即，
由换底公式得，则，
即，解得．
故答案为：9．
16．已知奇函数在上是增函数，.若，，，则、、的大小关系为 .（用连接）
【答案】
【分析】分析出函数为偶函数且在上为增函数，比较、、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.
【详解】因为奇函数在上是增函数，则当时，，
且，故函数为偶函数，
任取、且，则，
由不等式的性质可得，即，
所以，函数在上为增函数，
因为，，，
又因为，即，故.
故答案为：.
四、解答题
17．已知函数的定义域为集合，集合.
(1)求集合；
(2)求，.
【答案】(1)
(2)，或
【分析】（1）根据函数的解析式有意义可求得集合；
（2）求出集合，利用交集的定义可求得集合，利用补集和并集的定义可求得集合.
【详解】（1）解：因为函数的定义域为集合，
则.
（2）解：因为或，，
所以，，或，
则或.
18．已知函数的定义域为的奇函数，若当时，
(1)求解析式；
(2)若不等式对任意实数都成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质可得出，当时，可得出，综合可得出函数的解析式；
（2）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，利用二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为函数的定义域为的奇函数，则，
当时，.
综上所述，.
（2）解：由可得对任意的恒成立，
当时，则有，解得，不合乎题意；
当时，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
19．（1）化简求值：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）8；（2）7
【分析】（1）根据对数的运算性质，化简求解即可得出答案；
（2）平方根据指数幂的运算性质可得出，再次平方即可得出答案.
【详解】（1）原式
；
（2）由两边平方得，
，
所以，
所以，，
所以，．
20．若，求的最值.
【答案】的最大值为2，最小值为.
【分析】由结合换底公式求出的范围，再用对数运算法则化简函数，然后借助二次函数即可计算作答.
【详解】因，则，即，
，
因此，当，即时，，当，即时，，
所以的最大值为2，最小值为.
21．已知函数且．
(1)求的定义域，判断的奇偶性并给出证明；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)定义域为，奇函数，证明见解析；
(2)答案见解析；
【分析】（1）根据真数大于零求定义域，利用奇偶性定义判断并证明是奇函数即可；
（2）利用奇函数和单调性求解不等式即可.
【详解】（1）要使有意义，需满足，解得，故定义域为；
是奇函数；
证明：定义域为，关于原点对称；
又，
所以为奇函数；
（2）由，得．
由（1）知为奇函数，所以，所以.
因为，
令，则在上单调递增，
当时，在上单调递减，则，解得；
当时，在上单调递增，则，解得．
综上，当时，实数的取值范围是；当时，实数的取值范围是．
22．已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性及其单调性（不需写出判断单调性的过程）；
(2)若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)偶函数；的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
【分析】（1）根据偶函数的定义可以判断为偶函数，根据复合函数可判断的单调性；
（2）先求利用基本不等式求的最小值为，故在恒成立，
再转化为恒成立，构造求其最小值即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
，，故为偶函数；
设，则在上单调递增，且，
设，根据对勾函数的单调性，
在上单调递减，在上单调递增，
当，即，
当，即，
故根据复合函数的单调性可知：
的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），
当时，，
当且仅当即时等号成立，
故由题意对任意的，恒成立，
得即，
即，
由（1）可知的单调递减区间为，单调递增区间为，
又，，
所以当时， ，
设，则单调递增，
所以，故，
所以实数的取值范围为
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