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2023-2024学年浙江省杭州市临平区八年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年浙江省杭州市临平区八年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中是轴对称图形的为( )
A. 角B. 三角形C. 四边形D. 六边形
2.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是( )
A. 13,14,15B. 6，8，10C. 2，3，4D. 1， 3，4
3.不等式组x+3>0x−2≤0的解集是( )
A. x≥−3B. x≤2C. x<2D. −34.如图，△ABC≌△DEF，若∠A=100°，∠F=47°，则∠E的度数为( )
A. 100°
B. 53°
C. 47°
D. 33°
5.点P(3,−4)关于x轴的对称的点的坐标是( )
A. (−3,−4)B. (3,4)C. (−3,4)D. (4,−3)
6.不等式ax>−3(a<0)的解为( )
A. x>3aB. x<3aC. x>−3aD. x<−3a
7.如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是( )
A. 20°B. 40°C. 50°D. 60°
8.一次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分.小滨有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则( )
A. 95−7x>80B. 5(19−x)−2x≥80
C. 100−7x>80D. 5(20−x)−2x≥80
9.如图，x轴、y轴上分别有两点A(3,0)、B(0,2)，以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为( )
A. (−1,0)
B. (2− 5,0)
C. (1− 132,0)
D. (3− 13,0)
10.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的是( )
A. ①②B. ①②③④C. ①②④D. ①③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.写出命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题： ．
12.已知点P(1,−2)，则P到x轴的距离是______ ．
13.用一根小木棒与两根长分别为5cm，6cm的小木棒围成三角形，则这根小木棒的长度可以为______ cm(写出一个即可)．
14.若关于x的一元一次方程x−n+3=0的解是负数，则n的取值范围是______ ．
15.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为______．
16.如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入x=3，则该程序需要运行______ 次才停止；若该程序只运行了2次就停止了，则x的取值范围是______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
17.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(−4,4−5a)位于第二象限，点B(−4,−a−1)位于第三象限，且a为整数．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)若点C(m,0)为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，求m的值．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
解下列不等式或不等式组：
(1)9x−2≤7x+2；
(2)x+23−x−12>13(4x+2)≥2(2x−5)．
19.(本小题6分)
如图，在由边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，用(−1,0)表示A点的位置，用(3,1)表示B点的位置．
(1)请画出平面直角坐标系，并写出C点的坐标．
(2)请画出△CDE向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的△C1D1E1．
20.(本小题6分)
如图，已知在△ABC和△DBE中，AB=DB，∠1=∠2，∠A=∠D.求证：BC=BE．
21.(本小题8分)
已知点P(2m+4,m−1)，试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
(1)点P在y轴上；
(2)点P到x轴的距离为2，且在第四象限．
22.(本小题8分)
笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B、其中AB=AC，由于周边施工，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点H(A,H,B在同一直线上)，并新修一条路CH，测得BC=10千米，CH=8千米，BH=6千米．
(1)判断△BCH的形状，并说明理由；
(2)求原路线AC的长．
23.(本小题10分)
某班计划购买A、B两款文具盒作为期末奖品．若购买3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．
(1)每盒A款的文具盒和每盒B款的文具盒各多少元．
(2)某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，那么该班最多可以购买多少盒A款的文具盒？
24.(本小题12分)
如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．
(1)如图1，求证：∠CAE=∠CBD；
(2)如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；
(3)如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2 2，CE=1，求△CGF的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、角是轴对称图形，它有两条对称轴，故A符合题意；
B、三角形不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、四边形不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、六边形不是轴对称图形，故D不符合题意；
故选：A．
根据轴对称图形的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了多边形，轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、(13)2+(14)2=19+116=25144，(15)2=125，
∵25144≠125，
∴以13，14，15为边长的线段不能构成直角三角形，本选项不符合题意；
B、62+82=36+64=100，102=100，
∵100=100，
∴以6，8，10为边长的线段能构成直角三角形，本选项符合题意；
C、22+32=4+9=13，42=16，
∵13≠16，
∴以2，3，4为边长的线段不能构成直角三角形，本选项不符合题意；
D、12+( 3)2=1+3=4，42=16，
∵4≠16，
∴以1， 3，4为边长的线段不能构成直角三角形，本选项不符合题意；
故选：B．
根据勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3.【答案】D
【解析】解：x+3>0 ①x−2≤0 ②
∵解不等式①得：x>−3，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为：−3故选：D．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵△ABC≅△DEF，∠A=100°，
∴∠D=∠A=100°，
在△DEF中，∠F=47°，
∴∠E=180°−∠D−∠E=33°，
故选：D．
根据全等三角形的性质得出∠D=∠A=100°，再根据三角形内角和定理即可得出∠E的度数
本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：点P(3,−4)关于x轴的对称的点的坐标是：(3,4)．
故选：B．
根据关于x轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变可直接得到答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6.【答案】D
【解析】解：∵a<0，
∴不等式系数化1，得
x<−3a；
故选：D．
原不等式为，ax>−3，下一步是两边都除以x的系数a，因为a<0，所以不等号的方向要改变，即可解得不等式的解集．
当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向．同理，当不等号的方向改变后，也可以知道不等式两边除以的是一个负数．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质；要熟练掌握垂线段直平分线的性质，能够求解一些简单的计算问题．
由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由线段垂直平分线，可得∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，进而可得∠PAQ的大小．
【解答】
解：∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=70°，
又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，
∴∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，
∴∠BAP+∠CAQ=70°，
∴∠PAQ=∠BAC−∠BAP−∠CAQ=110°−70°=40°．
故选B．
8.【答案】B
【解析】解：设小聪答错了x道题，则答对了20−1−x=(19−x)道题，
依题意得：5(19−x)−2x≥80．
故选：B．
设小聪答错了x道题，则答对了20−1−x=(19−x)道题，根据总分=5×答对题目数−2×答错题目数，结合小聪竞赛成绩不低于80分，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图，∵A(3,0)、B(0,2)，
∴欧啊，瓯北，
∴在直角△AOB中，由勾股定理得AB= 32+22= 13．
又∵以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，
∴AC=AB，
∴OC=AC−OA= 13−3．
又∵点C在x轴的负半轴上，
∴C(3− 13,0)．
故选：D．
根据勾股定理求得AB= 13，然后根据图形推知AC=AB，则OC=AC−OA，所以由点C位于x轴的负半轴来求点C的坐标．
本题考查了勾股定理，坐标与图形性质．解题时，注意点C位于x轴的负半轴，所以点C的横坐标为负数．
10.【答案】C
【解析】解：∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OCA=∠ODB，∠OAC=∠OBD，AC=BD，
故①正确，符合题意；
∵∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40°，
故②正确，符合题意；
如图2所示，作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，
则∠OGC=∠OHD=90°，
在△OCG和△ODH中，
∠OCG=∠ODH∠OGC=∠OHDOC=OD,
∴△OCG≌△ODH(AAS)，
∴OG=OH，
∴MO平分∠BMC，
故④正确，符合题意；
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM，
∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，
∠COM=∠BOMOM=OM∠CMO=∠BMO，
∴△COM≌△BOM(ASA)，
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC，
与题意不符，
故③错误，不符合题意；
综上，符合题意的有①②④；
故选：C．
由SAS证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，据此得出∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH(AAS)，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；
由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，则∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC，而OA>OC，故③错误；即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
11.【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】
本题考查学生对逆命题的定义的理解及运用．
将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
【解答】
解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等
∴其逆命题为：内错角相等，两直线平行．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
12.【答案】2
【解析】解：P到x轴的距离是|−2|=2．
故答案为：2．
根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
13.【答案】3(答案不唯一)
【解析】解：设这根小木棒的长度为x cm，
由三角形的三边关系可知：6−5则这根小木棒的长度可以为3cm，
故答案为：3(答案不唯一)．
根据三角形的三边关系求出这根小木棒的长度的范围，解答即可．
本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边．
14.【答案】n<3
【解析】解：∵关于x的一元一次方程x−n+3=0的解是负数，
∴x=n−3<0，
解得n<3，
故答案为：n<3．
根据方程的解为负数得出n−3<0，解之即可得．
本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式的能力，根据题意列出不等式是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】
解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b，
∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8=4，
∴4×12ab+(a−b)2=25，
∴(a−b)2=25−16=9，
∴a−b=3，
故答案是：3．
16.【答案】3 4≤x<7
【解析】解：3×3−5=4<16，
4×3−5=7<16，
7×3−5=16，
∴若x=3，该程序需要运行3次才停止，
依题意得：3x−5<163(3x−5)−5≥16，
解得：4≤x<7．
x的取值范围为4≤x<7，
故答案为：3；4≤x<7．
分别求出程序运行1次、2次、3次得出的结果，将其与16比较后即可得出结论，根据该程序只运行了2次就停止了，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：代入x=3，找出程序运行的次数和根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
17.【答案】解：(1)∵点A(−4,4−5a)位于第二象限，点B(−4,−a−1)位于第三象限，且a为整数，
∴4−5a>0−a−1<0，
∴−1∵a为整数，
∴a=0，
∴A(−4,4)，B(−4,−1)；
(2)∵A(−4,4)，B(−4,−1)，
∴AB=5，
∵点C(m,0)为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，
∴AC=AB=5，
∵AC= (m+4)2+42，
∴(m+4)2+16=25，
解得m1=−1，m2=−7．
∴m的值为−1或−7．
【解析】(1)根据坐标系的特点得出不等式组解答即可；
(2)根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查了等腰三角形的性质、坐标与图形的性质、两点距离公式，掌握这几个知识点的熟练应用是解题关键．
18.【答案】解：(1)9x−2≤7x+2，
移项，的9x−7x≤2+2，
合并同类项，得2x≤4，
系数化为1，得x≤2；
(2)x+23−x−12>1①3(4x+2)≥2(2x−5)②，
由①得：x<1，
由②得：x≥−2，
故不等式组的解集为−2≤x<1．
【解析】(1)不等式移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可；
(2)分别解不等式组中的两个不等式，再取两个解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组以及解一元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)平面直角坐标系如图所示，C(1,2)；
(2)如图，△C1D1E1即为所求．
【解析】(1)根据A，B两点坐标，确定平面直角坐标系即可；
(2)利用平移变换的性质分拨中心C，D，E的对应点C1，D1，E1即可．
本题考查作图−平移变换，坐标确定位置等知识，解题的关键是理解题意，掌握平移变换的性质．
20.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ABE=∠2+∠ABE，
即∠DBE=∠ABC，
在△DBE和△ABC中，
∠D=∠ADB=AB∠DBE=∠ABC，
∴△DBE≌△ABC(ASA)，
∴BC=BE．
【解析】利用ASA证明△DBE≌△ABC，即可证明结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵点P(2m+4,m−1)在y轴上，
∴2m+4=0，
解得m=−2，
所以，m−1=−2−1=−3，
所以，点P的坐标为(0,−3)；
(2)∵点P到x轴的距离为2，
∴|m−1|=2，
解得m=−1或m=3，
当m=−1时，2m+4=2×(−1)+4=2，
m−1=−1−1=−2，
此时，点P(2,−2)，
当m=3时，2m+4=2×3+4=10，
m−1=3−1=2，
此时，点P(10,2)，
∵点P在第四象限，
∴点P的坐标为(2,−2)．
【解析】(1)根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可；
(2)根据点P到x轴的距离列出绝对值方程求解m的值，再根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数求解．
本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键，(2)要注意点在第四象限．
22.【答案】解：(1)△BCH是直角三角形，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=82+62=100，
BC2=100，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°；
(2)设AC=AB=x千米，则AH=AB−BH=(x−6)千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x−6，CH=8，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，
∴x2=(x−6)2+82
解这个方程，得x=813，
答：原来的路线AC的长为813千米．
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理解答即可；
(2)根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理．
23.【答案】解：(1)设每盒A款的文具盒为x元，每盒B款的文具盒为y元，
由题意得：3x+y=222x+3y=24，
解得：x=6y=4，
答：每盒A款的文具盒为6元，每盒B款的文具盒为4元；
(2)设该班购买m盒A款的文具盒，
由题意得：6m+4(40−m)≤210，
解得：m≤25，
答：该班最多可以购买25盒A款的文具盒．
【解析】(1)设每盒A款的文具盒为x元，每盒B款的文具盒为y元，由题意：若购买3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设该班购买m盒A款的文具盒，由题意：某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：(1)在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACB=∠ACB=90°CE=CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD；
(2)如图2，记AE与CF的交点为M，
在Rt△BCD中，点F是BD的中点，
∴CF=BF，
∴∠BCF=∠CBF，
由(1)知，∠CAE=∠CBD，
∴∠BCF=∠CAE，
∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠AMC=90°，
∴AE⊥CF；
(3)如图3，记AE与CF的交点为M，
∵AC=2 2，
∴BC=AC=2 2，
∵CE=1，
∴CD=CE=1，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD= CD2+BC2=3，
∵点F是BD中点，
∴CF=DF=12BD=32，
同理：EG=12AE=32，
连接EF，过点F作FH⊥BC，
∵∠ACB=90°，点F是BD的中点，
∴FH=12CD=12，
∴S△CEF=12CE⋅FH=12×1×12=14，
由(2)知，AE⊥CF，
∴S△CEF=12CF⋅ME=12×32ME=34ME，
∴34ME=14，
∴ME=13，
∴GM=EG−ME=32−13=76，
∴S△CFG=12CF⋅GM=12×32×76=78．
【解析】(1)直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；
(2)先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；
(3)先求出BD=3，进而求出CF=32，同理：EG=32，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出△CFG的边CF上的是解本题的关键．
1.下列图形中是轴对称图形的为( )
A. 角B. 三角形C. 四边形D. 六边形
2.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是( )
A. 13,14,15B. 6，8，10C. 2，3，4D. 1， 3，4
3.不等式组x+3>0x−2≤0的解集是( )
A. x≥−3B. x≤2C. x<2D. −3
A. 100°
B. 53°
C. 47°
D. 33°
5.点P(3,−4)关于x轴的对称的点的坐标是( )
A. (−3,−4)B. (3,4)C. (−3,4)D. (4,−3)
6.不等式ax>−3(a<0)的解为( )
A. x>3aB. x<3aC. x>−3aD. x<−3a
7.如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是( )
A. 20°B. 40°C. 50°D. 60°
8.一次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分.小滨有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则( )
A. 95−7x>80B. 5(19−x)−2x≥80
C. 100−7x>80D. 5(20−x)−2x≥80
9.如图，x轴、y轴上分别有两点A(3,0)、B(0,2)，以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为( )
A. (−1,0)
B. (2− 5,0)
C. (1− 132,0)
D. (3− 13,0)
10.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的是( )
A. ①②B. ①②③④C. ①②④D. ①③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.写出命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题： ．
12.已知点P(1,−2)，则P到x轴的距离是______ ．
13.用一根小木棒与两根长分别为5cm，6cm的小木棒围成三角形，则这根小木棒的长度可以为______ cm(写出一个即可)．
14.若关于x的一元一次方程x−n+3=0的解是负数，则n的取值范围是______ ．
15.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为______．
16.如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入x=3，则该程序需要运行______ 次才停止；若该程序只运行了2次就停止了，则x的取值范围是______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
17.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(−4,4−5a)位于第二象限，点B(−4,−a−1)位于第三象限，且a为整数．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)若点C(m,0)为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，求m的值．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
解下列不等式或不等式组：
(1)9x−2≤7x+2；
(2)x+23−x−12>13(4x+2)≥2(2x−5)．
19.(本小题6分)
如图，在由边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，用(−1,0)表示A点的位置，用(3,1)表示B点的位置．
(1)请画出平面直角坐标系，并写出C点的坐标．
(2)请画出△CDE向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的△C1D1E1．
20.(本小题6分)
如图，已知在△ABC和△DBE中，AB=DB，∠1=∠2，∠A=∠D.求证：BC=BE．
21.(本小题8分)
已知点P(2m+4,m−1)，试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
(1)点P在y轴上；
(2)点P到x轴的距离为2，且在第四象限．
22.(本小题8分)
笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B、其中AB=AC，由于周边施工，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点H(A,H,B在同一直线上)，并新修一条路CH，测得BC=10千米，CH=8千米，BH=6千米．
(1)判断△BCH的形状，并说明理由；
(2)求原路线AC的长．
23.(本小题10分)
某班计划购买A、B两款文具盒作为期末奖品．若购买3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．
(1)每盒A款的文具盒和每盒B款的文具盒各多少元．
(2)某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，那么该班最多可以购买多少盒A款的文具盒？
24.(本小题12分)
如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．
(1)如图1，求证：∠CAE=∠CBD；
(2)如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；
(3)如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2 2，CE=1，求△CGF的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、角是轴对称图形，它有两条对称轴，故A符合题意；
B、三角形不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、四边形不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、六边形不是轴对称图形，故D不符合题意；
故选：A．
根据轴对称图形的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了多边形，轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、(13)2+(14)2=19+116=25144，(15)2=125，
∵25144≠125，
∴以13，14，15为边长的线段不能构成直角三角形，本选项不符合题意；
B、62+82=36+64=100，102=100，
∵100=100，
∴以6，8，10为边长的线段能构成直角三角形，本选项符合题意；
C、22+32=4+9=13，42=16，
∵13≠16，
∴以2，3，4为边长的线段不能构成直角三角形，本选项不符合题意；
D、12+( 3)2=1+3=4，42=16，
∵4≠16，
∴以1， 3，4为边长的线段不能构成直角三角形，本选项不符合题意；
故选：B．
根据勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3.【答案】D
【解析】解：x+3>0 ①x−2≤0 ②
∵解不等式①得：x>−3，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为：−3
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵△ABC≅△DEF，∠A=100°，
∴∠D=∠A=100°，
在△DEF中，∠F=47°，
∴∠E=180°−∠D−∠E=33°，
故选：D．
根据全等三角形的性质得出∠D=∠A=100°，再根据三角形内角和定理即可得出∠E的度数
本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：点P(3,−4)关于x轴的对称的点的坐标是：(3,4)．
故选：B．
根据关于x轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变可直接得到答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6.【答案】D
【解析】解：∵a<0，
∴不等式系数化1，得
x<−3a；
故选：D．
原不等式为，ax>−3，下一步是两边都除以x的系数a，因为a<0，所以不等号的方向要改变，即可解得不等式的解集．
当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向．同理，当不等号的方向改变后，也可以知道不等式两边除以的是一个负数．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质；要熟练掌握垂线段直平分线的性质，能够求解一些简单的计算问题．
由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由线段垂直平分线，可得∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，进而可得∠PAQ的大小．
【解答】
解：∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=70°，
又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，
∴∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，
∴∠BAP+∠CAQ=70°，
∴∠PAQ=∠BAC−∠BAP−∠CAQ=110°−70°=40°．
故选B．
8.【答案】B
【解析】解：设小聪答错了x道题，则答对了20−1−x=(19−x)道题，
依题意得：5(19−x)−2x≥80．
故选：B．
设小聪答错了x道题，则答对了20−1−x=(19−x)道题，根据总分=5×答对题目数−2×答错题目数，结合小聪竞赛成绩不低于80分，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图，∵A(3,0)、B(0,2)，
∴欧啊，瓯北，
∴在直角△AOB中，由勾股定理得AB= 32+22= 13．
又∵以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，
∴AC=AB，
∴OC=AC−OA= 13−3．
又∵点C在x轴的负半轴上，
∴C(3− 13,0)．
故选：D．
根据勾股定理求得AB= 13，然后根据图形推知AC=AB，则OC=AC−OA，所以由点C位于x轴的负半轴来求点C的坐标．
本题考查了勾股定理，坐标与图形性质．解题时，注意点C位于x轴的负半轴，所以点C的横坐标为负数．
10.【答案】C
【解析】解：∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OCA=∠ODB，∠OAC=∠OBD，AC=BD，
故①正确，符合题意；
∵∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40°，
故②正确，符合题意；
如图2所示，作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，
则∠OGC=∠OHD=90°，
在△OCG和△ODH中，
∠OCG=∠ODH∠OGC=∠OHDOC=OD,
∴△OCG≌△ODH(AAS)，
∴OG=OH，
∴MO平分∠BMC，
故④正确，符合题意；
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM，
∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，
∠COM=∠BOMOM=OM∠CMO=∠BMO，
∴△COM≌△BOM(ASA)，
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC，
与题意不符，
故③错误，不符合题意；
综上，符合题意的有①②④；
故选：C．
由SAS证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，据此得出∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH(AAS)，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；
由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，则∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC，而OA>OC，故③错误；即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
11.【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】
本题考查学生对逆命题的定义的理解及运用．
将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
【解答】
解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等
∴其逆命题为：内错角相等，两直线平行．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
12.【答案】2
【解析】解：P到x轴的距离是|−2|=2．
故答案为：2．
根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
13.【答案】3(答案不唯一)
【解析】解：设这根小木棒的长度为x cm，
由三角形的三边关系可知：6−5
故答案为：3(答案不唯一)．
根据三角形的三边关系求出这根小木棒的长度的范围，解答即可．
本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边．
14.【答案】n<3
【解析】解：∵关于x的一元一次方程x−n+3=0的解是负数，
∴x=n−3<0，
解得n<3，
故答案为：n<3．
根据方程的解为负数得出n−3<0，解之即可得．
本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式的能力，根据题意列出不等式是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】
解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b，
∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8=4，
∴4×12ab+(a−b)2=25，
∴(a−b)2=25−16=9，
∴a−b=3，
故答案是：3．
16.【答案】3 4≤x<7
【解析】解：3×3−5=4<16，
4×3−5=7<16，
7×3−5=16，
∴若x=3，该程序需要运行3次才停止，
依题意得：3x−5<163(3x−5)−5≥16，
解得：4≤x<7．
x的取值范围为4≤x<7，
故答案为：3；4≤x<7．
分别求出程序运行1次、2次、3次得出的结果，将其与16比较后即可得出结论，根据该程序只运行了2次就停止了，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：代入x=3，找出程序运行的次数和根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
17.【答案】解：(1)∵点A(−4,4−5a)位于第二象限，点B(−4,−a−1)位于第三象限，且a为整数，
∴4−5a>0−a−1<0，
∴−1
∴a=0，
∴A(−4,4)，B(−4,−1)；
(2)∵A(−4,4)，B(−4,−1)，
∴AB=5，
∵点C(m,0)为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，
∴AC=AB=5，
∵AC= (m+4)2+42，
∴(m+4)2+16=25，
解得m1=−1，m2=−7．
∴m的值为−1或−7．
【解析】(1)根据坐标系的特点得出不等式组解答即可；
(2)根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查了等腰三角形的性质、坐标与图形的性质、两点距离公式，掌握这几个知识点的熟练应用是解题关键．
18.【答案】解：(1)9x−2≤7x+2，
移项，的9x−7x≤2+2，
合并同类项，得2x≤4，
系数化为1，得x≤2；
(2)x+23−x−12>1①3(4x+2)≥2(2x−5)②，
由①得：x<1，
由②得：x≥−2，
故不等式组的解集为−2≤x<1．
【解析】(1)不等式移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可；
(2)分别解不等式组中的两个不等式，再取两个解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组以及解一元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)平面直角坐标系如图所示，C(1,2)；
(2)如图，△C1D1E1即为所求．
【解析】(1)根据A，B两点坐标，确定平面直角坐标系即可；
(2)利用平移变换的性质分拨中心C，D，E的对应点C1，D1，E1即可．
本题考查作图−平移变换，坐标确定位置等知识，解题的关键是理解题意，掌握平移变换的性质．
20.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ABE=∠2+∠ABE，
即∠DBE=∠ABC，
在△DBE和△ABC中，
∠D=∠ADB=AB∠DBE=∠ABC，
∴△DBE≌△ABC(ASA)，
∴BC=BE．
【解析】利用ASA证明△DBE≌△ABC，即可证明结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵点P(2m+4,m−1)在y轴上，
∴2m+4=0，
解得m=−2，
所以，m−1=−2−1=−3，
所以，点P的坐标为(0,−3)；
(2)∵点P到x轴的距离为2，
∴|m−1|=2，
解得m=−1或m=3，
当m=−1时，2m+4=2×(−1)+4=2，
m−1=−1−1=−2，
此时，点P(2,−2)，
当m=3时，2m+4=2×3+4=10，
m−1=3−1=2，
此时，点P(10,2)，
∵点P在第四象限，
∴点P的坐标为(2,−2)．
【解析】(1)根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可；
(2)根据点P到x轴的距离列出绝对值方程求解m的值，再根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数求解．
本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键，(2)要注意点在第四象限．
22.【答案】解：(1)△BCH是直角三角形，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=82+62=100，
BC2=100，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°；
(2)设AC=AB=x千米，则AH=AB−BH=(x−6)千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x−6，CH=8，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，
∴x2=(x−6)2+82
解这个方程，得x=813，
答：原来的路线AC的长为813千米．
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理解答即可；
(2)根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理．
23.【答案】解：(1)设每盒A款的文具盒为x元，每盒B款的文具盒为y元，
由题意得：3x+y=222x+3y=24，
解得：x=6y=4，
答：每盒A款的文具盒为6元，每盒B款的文具盒为4元；
(2)设该班购买m盒A款的文具盒，
由题意得：6m+4(40−m)≤210，
解得：m≤25，
答：该班最多可以购买25盒A款的文具盒．
【解析】(1)设每盒A款的文具盒为x元，每盒B款的文具盒为y元，由题意：若购买3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设该班购买m盒A款的文具盒，由题意：某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：(1)在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACB=∠ACB=90°CE=CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD；
(2)如图2，记AE与CF的交点为M，
在Rt△BCD中，点F是BD的中点，
∴CF=BF，
∴∠BCF=∠CBF，
由(1)知，∠CAE=∠CBD，
∴∠BCF=∠CAE，
∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠AMC=90°，
∴AE⊥CF；
(3)如图3，记AE与CF的交点为M，
∵AC=2 2，
∴BC=AC=2 2，
∵CE=1，
∴CD=CE=1，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD= CD2+BC2=3，
∵点F是BD中点，
∴CF=DF=12BD=32，
同理：EG=12AE=32，
连接EF，过点F作FH⊥BC，
∵∠ACB=90°，点F是BD的中点，
∴FH=12CD=12，
∴S△CEF=12CE⋅FH=12×1×12=14，
由(2)知，AE⊥CF，
∴S△CEF=12CF⋅ME=12×32ME=34ME，
∴34ME=14，
∴ME=13，
∴GM=EG−ME=32−13=76，
∴S△CFG=12CF⋅GM=12×32×76=78．
【解析】(1)直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；
(2)先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；
(3)先求出BD=3，进而求出CF=32，同理：EG=32，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出△CFG的边CF上的是解本题的关键．
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