考点05 宇宙速度（解析版）—高中物理

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1．第一宇宙速度的推导
方法一：由Geq \f(m地m,R2)＝meq \f(v2,R)，得v＝eq \r(\f(Gm地,R))＝eq \r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106)) m/s≈7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝meq \f(v2,R)得
v＝eq \r(gR)＝eq \r(9.8×6.4×106) m/s≈7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2πeq \r(\f(R,g))＝2πeq \r(\f(6.4×106,9.8)) s≈5 075 s≈85 min.正是近地卫星的周期．
2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆．
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
典例(2023·湖北省联考)中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七个多月，于2021年2月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火星的轨道飞行．已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是( )
A．若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9 km/s
B．“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，小于11.2 km/s更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 C．火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶eq \r(5)
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
答案 C
解析 卫星在行星表面附近绕行的速度为该行星的第一宇宙速度，由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，可得v＝eq \r(\f(GM,R))，故v火∶v地＝1∶eq \r(5)，所以在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要v火＝eq \f(7.9,\r(5))km/s，故A错误，C正确；“天问一号”探测器挣脱了地球引力束缚，则它的发射速度大于等于11.2 km/s，故B错误；g地＝Geq \f(M地,R地2)，g火＝Geq \f(M火,R火2)，联立可得g地>g火，故D错误．
1.(多选)(2023·贵州·期末)物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动时的速度叫作第一宇宙速度.关于第一宇宙速度，下列说法正确的是( )
A.第一宇宙速度大小约为11.2 km/s
B.第一宇宙速度是使人造卫星绕地球运动所需的最小发射速度
C.第一宇宙速度是人造卫星绕地球运动的最小运行速度
D.若已知地球的半径和地球表面的重力加速度，即可求出第一宇宙速度
答案 BD
解析 由万有引力提供向心力可知第一宇宙速度v1＝eq \r(\f(GM,R))，根据万有引力等于重力得mg＝eq \f(GMm,R2)，联立以上两式可得v1＝eq \r(gR)，将g＝9.8 m/s2，R＝6.4×106 m代入得v1≈7.9 km/s，A错误，D正确；由于第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，故B正确；由v＝eq \r(\f(GM,r))可得，当轨道半径越大时，其运行速度越小，所以第一宇宙速度是卫星能绕地球做匀速圆周运动的最大速度，C错误.
2.(多选)下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是( )
A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2
B．我国发射的火星探测器，其发射速度大于第三宇宙速度
C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度
D．第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
答案 CD
解析 根据v＝eq \r(\f(GM,r))可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的绕行速度越小，v1＝7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，D正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A错误；我国发射的火星探测器，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B错误；第二宇宙速度是在地面附近使物体挣脱地球引力束缚而成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度，选项C正确．
3.(2020·北京卷·5)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
答案 A
解析 火星探测器需要脱离地球的束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇宙速度，故A正确，B错误；由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)得，v火＝eq \r(\f(GM火,R火))＝eq \r(\f(0.1M地G,0.5R地))＝eq \f(\r(5),5)v地，故火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；由eq \f(GMm,R2)＝mg得，
g火＝Geq \f(M火,R火2)＝Geq \f(0.1M地,0.5R地2)＝0.4g地，故火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误．
4.2021年10月16日，我国在酒泉卫星发射中心成功发射神舟十三号载人飞船，约6个半小时后，飞船与天和核心舱顺利完成快速自主交会对接．飞船在近地点高度200公里，远地点高度356公里的轨道上运行．若将神舟十三号绕地球的运动视作匀速圆周运动，则下列关于神舟十三号载人飞船的分析正确的是( )
A．飞船发射速度大于11.2 km/s
B．飞船绕地球飞行速度大于7.9 km/s
C．飞船绕地球飞行周期小于24 h
D．飞船绕地飞行过程中宇航员不再受重力作用
答案 C
解析 第一宇宙速度7.9 km/s是绕地球做圆周运动的卫星的最大绕行速度，也是最小的发射速度，则飞船的发射速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/s，飞船绕地球飞行速度一定小于7.9 km/s，故A、B错误；地球同步卫星的轨道高度大约为地球半径的6倍，大于飞船的远地点高度，因为“越高越慢”，飞船绕地球飞行的周期小于24 h，故C正确；飞船飞行过程中仍受地球引力作用，宇航员仍受重力作用，故D错误．
5.某星球的半径为R，在其表面上方高度为aR的位置，以初速度v0水平抛出一个金属小球，水平位移为bR，a、b均为数值极小的常数，不计阻力，忽略星球的自转，则这个星球的第一宇宙速度为( )
A.eq \f(\r(2a),b) v0 B.eq \f(\r(b),a) v0 C.eq \f(\r(a),b) v0 D.eq \f(\r(a),2b) v0
答案 A
解析 设该星球表面的重力加速度为g，小球落地时间为t，抛出的金属小球做平抛运动，根据平抛运动规律得aR＝eq \f(1,2)gt2，bR＝v0t，联立以上两式解得g＝eq \f(2av02,b2R)，第一宇宙速度即为该星球表面卫星的线速度，在星球表面卫星的重力充当向心力，得mg＝meq \f(v2,R)，所以第一宇宙速度v＝eq \r(gR)＝eq \r(\f(2av02,b2R)R)＝eq \f(\r(2a),b) v0，故选A.
6.(2023·辽宁省模拟)火星是近些年来发现的最适宜人类居住生活的星球，我国成功地发射“天问一号”标志着我国成功地迈出了探测火星的第一步．已知火星直径约为地球直径的一半，火星质量约为地球质量的十分之一，航天器贴近地球表面飞行一周所用时间为T，地球表面的重力加速度为g，若未来在火星表面发射一颗人造卫星，最小发射速度约为( )
A.eq \f(gT,2π) B.eq \f(\r(5)gT,10π)
C.eq \f(\r(5)gT,5π) D.eq \f(2\r(5)gT,5π)
答案 B
解析 由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，得到星球的第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))，设地球的第一宇宙速度为v1，由g＝ωv1＝eq \f(2π,T)v1，得v1＝eq \f(gT,2π)，设火星的第一宇宙速度为v2，则eq \f(v2,v1)＝eq \r(\f(M2,M1))·eq \r(\f(R1,R2))，代入数据解得v2＝eq \f(\r(5),5)v1＝eq \f(\r(5)gT,10π)，B项正确．
7.金星的半径是地球半径的eq \f(4,5)，质量是地球质量的eq \f(2,5)，忽略金星、地球自转的影响，金星表面的自由落体加速度与地球表面的自由落体加速度之比，金星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比分别是( )
A．5∶8 1∶2 B．5∶8 eq \r(2)∶2
C．1∶2 eq \r(2)∶2 D．1∶2 1∶2
答案 B
解析 根据万有引力提供向心力，有eq \f(GMm,R2)＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(\f(GM,R))，得eq \f(v金,v地)＝eq \f(\r(2),2).根据在天体表面的物体的重力近似等于天体对物体的引力，有mg＝eq \f(GMm,R2)，解得g＝eq \f(GM,R2)，所以eq \f(g金,g地)＝eq \f(5,8)，故选B.
8.我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的eq \f(1,81)，月球的半径约为地球半径的eq \f(1,4)，地球的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的最大速率约为( )
A．0.4 km/s B．1.8 km/s
C．11 km/s D．36 km/s
答案 B
解析 由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)得，v＝eq \r(\f(GM,R)),又eq \f(M月,M地)＝eq \f(1,81)，eq \f(R月,R地)＝eq \f(1,4),故月球和地球的第一宇宙速度之比eq \f(v月,v地)＝eq \r(\f(M月,M地)·\f(R地,R月))＝eq \r(\f(1,81)×\f(4,1))＝eq \f(2,9),故v月＝7.9×eq \f(2,9) km/s≈1.8 km/s，即该探月卫星绕月运行的最大速率约为1.8 km/s，因此选B.
9.地球的近地卫星线速度大小约为8 km/s，已知月球质量约为地球质量的eq \f(1,81)，地球半径约为月球半径的4倍，下列说法正确的是( )
A．在月球上发射卫星的最小速度约为8 km/s
B．月球卫星的环绕速度可能达到4 km/s
C．月球的第一宇宙速度约为1.8 km/s
D．“近月卫星”的线速度比“近地卫星”的线速度大
答案 C
解析 根据第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))，月球与地球的第一宇宙速度之比为eq \f(v2,v1)＝eq \r(\f(M2R1,M1R2))＝eq \r(\f(4,81))＝eq \f(2,9)，月球的第一宇宙速度约为v2＝eq \f(2,9)v1＝eq \f(2,9)×8 km/s≈1.8 km/s，在月球上发射卫星的最小速度约为1.8 km/s，月球卫星的环绕速度小于或等于1.8 km/s，“近月卫星”的速度为1.8 km/s，小于“近地卫星”的速度，故C正确．
10.星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝eq \r(2)v1.已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的eq \f(1,6).不计其他星球的影响．则该星球的第二宇宙速度为( )
A.eq \r(\f(gr,3)) B.eq \r(\f(gr,6)) C.eq \f(gr,3) D.eq \r(gr)
答案 A
解析 该星球的第一宇宙速度满足Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v12,r)，在该星球表面处万有引力等于重力，则有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(g,6)，由以上两式得该星球的第一宇宙速度v1＝eq \r(\f(gr,6))，则该星球的第二宇宙速度v2＝eq \r(2)×eq \r(\f(gr,6))＝eq \r(\f(gr,3))，故A正确．
11.宇航员在一行星上以速度v0竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，经2t后落回手中，已知该星球半径为R.求：
(1)该星球的第一宇宙速度的大小；
(2)该星球的第二宇宙速度的大小．已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r时的引力势能Ep＝－Geq \f(mM,r).(G为引力常量)
答案 (1)eq \r(\f(v0R,t)) (2)eq \r(\f(2v0R,t))
解析 (1)由题意可知星球表面重力加速度为
g＝eq \f(v0,t)
由万有引力定律知mg＝meq \f(v12,R)
解得v1＝eq \r(gR)＝eq \r(\f(v0R,t)).
(2)由星球表面万有引力等于物体重力知
eq \f(GMm,R2)＝mg
又Ep＝－Geq \f(mM,R)
解得Ep＝－eq \f(mv0R,t)
由机械能守恒定律有eq \f(1,2)mv22－eq \f(mv0R,t)＝0
解得v2＝eq \r(\f(2v0R,t)).
12.我国科学家自主研制的“墨子号”卫星的质量为m，轨道离地面的高度为h，绕地球运行的周期为T，地球半径为R，引力常量为G.求：
(1)“墨子号”卫星所需的向心力大小；
(2)地球的质量；
(3)第一宇宙速度的大小．
答案 (1)m(R＋h)eq \f(4π2,T2) (2)eq \f(4π2R＋h3,GT2) (3)eq \f(2πR＋h,T)eq \r(\f(R＋h,R))
解析 (1)“墨子号”卫星角速度ω＝eq \f(2π,T)，
“墨子号”卫星所需的向心力Fn＝m(R＋h)ω2＝m(R＋h)eq \f(4π2,T2)
(2)根据万有引力提供“墨子号”卫星所需的向心力，
有Geq \f(Mm,R＋h2)＝Fn
解得地球的质量M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)
(3)根据万有引力提供物体绕地球表面做匀速圆周运动的向心力，有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)
解得第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \f(2πR＋h,T)eq \r(\f(R＋h,R)).
13.一个多世纪以前，爱因斯坦发表了广义相对论，而现代物理中的黑洞理论正是建立在该理论的基础上.2019年4月10日，人类首次捕捉到了黑洞的图像．物体逃逸地球的速度(第二宇宙速度)v2＝eq \r(\f(2GM,R))，其中G、M、R分别是引力常量、地球的质量、地球的半径，已知G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，光速c＝3×108 m/s.已知逃逸速度大于真空中光速的天体叫作黑洞，设某一黑洞的质量m＝5×1031 kg，则它可能的最大半径约为( )
A．7.41×102 m B．7.41×103 m
C．7.41×104 m D．7.41×105 m
答案 C
解析 由题意可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度eq \r(\f(2GM,R))，其中M、R为天体的质量和半径．设该黑洞半径为R′，对于黑洞来说，其逃逸速度大于真空中的光速，即eq \r(\f(2Gm,R′))>c，所以R′14.(2021·重庆南开中学模拟)2020年7月23日12点41分，我国火星探测器“天问一号”成功发射，开启了我国首次行星探测之旅.火星的表面积相当于地球陆地面积，火星的自转周期24.6 h，火星半径约是地球半径的0.53倍，火星质量约是地球质量的0.11倍.已知地球半径约为6.4×106 m，地球表面的重力加速度g＝10 m/s2，逃逸速度为第一宇宙速度的eq \r(2)倍.根据以上信息请你估算火星的逃逸速度约为( )
A.3.0 km/sB.4.0 km/s
C.5.0 km/sD.6.0 km/s
答案 C
解析 根据万有引力提供向心力有eq \f(GMm,R2)＝meq \f(v2,R)，解得地球的第一宇宙速度v1＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(gR)≈8.0 km/s，火星的第一宇宙速度v2＝eq \r(\f(0.11GM,0.53R))＝0.45v1≈3.6 km/s，所以火星的逃逸速度v＝eq \r(2)v2≈5.0 km/s选项C正确，A、B、D错误.
15.(多选)A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离Δr随时间变化的关系如图所示．已知地球的半径为0.8r，引力常量为G，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，不考虑A、B之间的万有引力，则下列说法正确的是( )
A．卫星A的加速度大于卫星B的加速度
B．卫星A的发射速度可能大于第二宇宙速度
C．地球的质量为eq \f(256π2r3,49GT2)
D．地球的第一宇宙速度为eq \f(8\r(5)πr,7T)
答案 ACD
解析 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设轨道半径为r，则有Geq \f(Mm,r2)＝eq \f(mv2,r)，解得v＝eq \r(\f(GM,r))，故半径越小，线速度越大，因为卫星A的线速度大于卫星B的线速度，故rAaB，A正确．第二宇宙速度是卫星摆脱地球引力束缚所必须具有的速度，故卫星发射速度大于第二宇宙速度时，卫星不能绕地球做匀速圆周运动，B错误．由题图可知rA＋rB＝5r，rB－rA＝3r，联立可得rA＝r，rB＝4r，由题图可知每隔时间T两卫星距离最近，设A、B的周期分别为TA、TB，则有(eq \f(2π,TA)－eq \f(2π,TB))T＝2π，由开普勒第三定律有eq \f(rA3,TA2)＝eq \f(rB3,TB2)，联立可得TA＝eq \f(7,8)T，TB＝7T，由Geq \f(MmB,rB2)＝mBrBeq \f(4π2,TB2)，故地球质量为M＝eq \f(256π2r3,49GT2)，C正确．第一宇宙速度是最大的运行速度，由Geq \f(Mm,0.8r2)＝eq \f(mv2,0.8r)，可得v＝eq \r(\f(GM,0.8r))＝eq \f(8\r(5)πr,7T)，D正确．第一宇宙速度
(环绕速度)
v1＝7.9 km/s，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度
第二宇宙速度
(逃逸速度)
v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度
v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度