还剩27页未读，
继续阅读
所属成套资源：2023年浙教版数学八年级上册 全套同步能力测试卷
成套系列资料，整套一键下载
浙教版数学 八上 一次函数 专题32一次函数的平移（含解析）
展开
这是一份浙教版数学 八上 一次函数 专题32一次函数的平移（含解析），共30页。
专题32 一次函数的平移 1．已知直线y＝2x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)平移直线使其与x轴相交于点P，且OP＝2OA，求平移后直线的解析式． 2．在探究一次函数的图像性质时我们有如下发现： ①系数决定了函数图像的坡度，越大则图像坡度越大(越靠近轴)，越小则图像坡度越小(越靠近轴)； ②常数项决定了图像与轴的交点，即函数图像与轴交点坐标始终为． 基于以上发现，我们得出结论：如果两个一次函数的值相同，那么两个一次函数的图像平行.反之，如果两直线平行，则两条直线所对应的函数表达式的值一定相等：把函数图像沿轴向上(或向下) 平移个单位， 系数保持不变， 常数变为 (或).如：函数和的图像互相平行：函数的图像向上平移2个单位后所得函数表达式为． 据此回答下列问题： (1) 把函数的图像向上平移4个单位后所得函数的表达式为____； (2)把函数的图像向 (上或下)平移 个单位可得到函数的图像； (3)若直线经过点且与直线平行，求出直线的表达式． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，且与正比例函数的图像交于点． (1)求a的值及△ABO的面积； (2)若一次函数的图像与轴交于点，且正比例函数的图像向下平移个单位长度后经过点，求的值； (3)直接写出关于的不等式的解集． 4．图象对于探究函数性质有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探究．画函数的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示： 在同一平面直角坐标系中，经历同样的过程画出函数的图象如图所示． (1)观察发现：两个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形，且图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化．所以可以将函数的图象向右平移2个单位得到的图象，则此时函数的图象的最低点A的坐标为________． (2)探索思考：将函数的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数，请在网格图中画出函数的图像，并求出当时，函数的最小值． (3)拓展应用：将函数y3的图像继续平移得到函数的图象，其最低点为点P． ①用表示最低点P的坐标为________； ②当x2时，函数有最小值为5，求此时的值． 5．已知一次函数． （1）求证：点在该函数图象上． （2）若该函数图象向上平移2个单位后过点，求的值． （3）若，点，在函数图象上，且，判断是否成立？请说明理由． 6．如图，点的坐标为，点在直线上运动． （1）若点的坐标是，把直线向上平移个单位后，与直线的交点在第一象限，求的取值范围． （2）当线段最短时，求点的坐标． 7．已知直线（k，b为常数且），经过点． （1）求直线的函数解析式； （2）若直线是由直线向上平移8个单位得到，求直线，直线和x轴围成图形的面积． 8．已知一次函数（是常数，且）的图象过与两点． （1）求一次函数的解析式； （2）若点在该一次函数图象上，求的值； （3）把的图象向下平移3个单位后得到新的一次函数图象，在图中画出新函数图象，并直接写出新函数图象对应的解析式． 9．（1）如图1，观察函数y=|x|的图象，写出它的两条的性质； （2）在图1中，画出函数y=|x-3|的图象； 根据图象判断：函数y=|x-3|的图象可以由y=|x|的图象向 平移 个单位得到； （3）①函数y=|2x+3|的图象可以由y=|2x|的图象向 平移 单位得到； ②根据从特殊到一般的研究方法，函数y=|kx+3|（k为常数，k≠0）的图象可以由函数y=|kx|（k为常数，k≠0）的图象经过怎样的平移得到． 10．有这样一个问题：探究函数的图像与性质． 小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究． (1)①函数的自变量x的取值范围是_____________； ②若点A（－7，a），B（9，b）是该函数图像上的两点，则a___________b（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)请补全下表，并在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图像： (3)函数和函数的图像如图所示，观察函数图像可发现： ①的图像向___________平移________个单位长度得到，的图像向___________平移________个单位长度得到； ②当时，x＝_____________； ③观察函数的图像，写出该图像的一条性质． 11．人教版八年级下册第19章《一次函数》中“思考”：这两个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度相同，函数的图象经过原点，函数的图象经与y轴交于点（0，5），即它可以看作直线向上平移5个单位长度而得到．比较一次函数解析式与正比例函数解析式，容易得出：一次函数的图象可由直线通过向上（或向下）平移个单位得到（当b>0时，向上平移，当b<0时，向下平移）． 【结论应用】一次函数的图象可以看作正比例函数 的图象向 平移 个单位长度得到； 【类比思考】如果将直线的图象向右平移5个单位长度，那么得到的直线的函数解析式是怎样的呢？我们可以这样思考：在直线上任意取两点A（0，0）和B（1，），将点A（0，0）和B（1，）向右平移5个单位得到点C（5，0）和D（6，），连接CD，则直线CD就是直线AB向右平移5个单位长度后得到的直线，设直线CD的解析式为:，将C（5，0）和D（6，）代入得到：解得，所以直线CD的解析式为：；①将直线向左平移5个单位长度，则平移后得到的直线解析式为 .②若先将直线向左平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，得到直线，则直线的解析式为: . 【拓展应用】已知直线：与直线关于x轴对称，求直线的解析式. 12．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数和的图象如图所示． （1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数的对称轴． （2）探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离． （3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数的图象．若点和在该函数图象上，且，比较，的大小． 13．课本P152有段文字：把函数y=2x的图象分别沿y轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数y=2x+3或y=2x﹣3的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数y=﹣2x的图象上任意取两个点A、B，分别向右平移3个单位长度，得到、，直线就是函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度后得到的图象. 请你帮助小尧解决他的困难． (1)将函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为 ． A. y=﹣2x+3； B. y=﹣2x﹣3； C. y=﹣2x+6； D. y=﹣2x﹣6 【解决问题】 (2)已知一次函数的图象与直线y=﹣2x关于x轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 (3)一次函数y=﹣2x的图象绕点（2，3）逆时针方向旋转90°后得到的图象对应的函数表达式为 ．（直接写结果） 14．【活动回顾】： 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线；结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】： (1)请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； (2)观察图象，两条直线的交点坐标为 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是 ； 【拓展延伸】： (3)已知二元一次方程的图象经过两点和，试求a＋b的值． (4)在同一平面直角坐标系中，一次函数图象和一次函数的图象，如图3所示．请根据图象，直接判断方程组的解的情况 （不需要说明理由）． 15．问题：探究函数y＝|x+1|﹣2的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数y＝|x+1|﹣2的图象与性质进行了研究．下面是小明的研究过程，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： 其中，m＝ ，n＝ ； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象，并写出该函数的两条性质； （3）在同一坐标系中直接画出函数y＝|x|的图像，并说明它是由函数y＝|x+1|﹣2如何平移得到的． 16．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数和的图象如图所示． （1）观察发现：函数图象的顶点（最高点）坐标是________，函数图象的顶点坐标是________，函数图象的对称轴是________． （2）探索思考：平移函数的图象是否可以得到函数和的图象？如果可以，分别写出平移的方向和距离．如果不行，请说明理由． （3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数的图象．若点（，）和（，）在该函数图象上，且，比较，的大小． 参考答案： 1．(1)A点坐标为（-3，0），B点坐标为（0，6） (2)y=-x+6或y=x+6 【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征确定A点和B点坐标； （2）由OA=3，OP=2OA得到OP=6，分类讨论：当点P在x轴正半轴上时，则P点坐标为（6，0）；当点P在x轴负半轴上时，则P点坐标为（-6，0），然后根据待定系数法求两种情况下的直线解析式． 【详解】（1）把x=0代入y=2x+6，得y═6， 则B点坐标为（0，6）； 把y=0代入y=2x+6，得0=2x+6， 解得x=-3， 则A点坐标为（-3，0）； （2）∵A点坐标为（-3，0），OP＝2OA， ∴OA=3， ∴OP=6， 当点P在x轴正半轴上时，则P点坐标为（6，0）， 设直线BP的解析式为：y=kx+b（）， 把P（6，0），B（0，6）代入得， 解得， ∴直线BP的解析式为：y=-x+6； 当点P在x轴负半轴上时，则P点坐标为（-6，0）， 设直线BP的解析式为y=kx+b（）， 把P（-6，0），B（0，6）代入得， 解得 ∴直线BP的解析式为：y=x+6； 综上所述，直线BP的解析式为y=-x+6或y=x+6． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．（1）；（2）下，6；（3）． 【分析】（1）根据平移的规律即可求解； （2）-4-2=-6，故向下平移6个单位； （3）根据平行求出k，再把代入求出b，问题得解． 【详解】解：（1）把函数的图像向上平移4个单位后所得函数的表达式为， 即： 故答案为： （2）-4-2=-6， 故答案为：下，6； （3）∵直线y=kx+b与直线y=-2x+1平行， ∴k=-2， 又∵直线y=kx+b经过点， ∴， 解得：b=， ∴直线表达式为． 【点睛】本题考查了一次函数的平移，为阅读理解型题目，认真阅读文本内容，理解函数平移规律是解题关键． 3．(1)，△ABO的面积为4 (2) (3) 【分析】（1）先确定的坐标，然后根据待定系数法求解析式，求出一次函数图像与轴交点，如图所示，利用间接方法得到即可得到结论； （2）先求得的坐标，然后根据题意求得平移后的直线的解析式，把的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得的值； （3）根据图像即可求得不等式的解集． 【详解】（1）解：正比例函数的图像经过点， ，解得，， ， 一次函数的图像经过点，， ，解得，， 一次函数的解析式为，如图所示： 当时，，解得，即， ； （2）解：一次函数的图像与轴交于点， ， 正比例函数的图像向下平移个单位长度后经过点， 平移后的函数的解析式为， ，解得； （3）解：， 根据图像可知的解集为：． 【点睛】本题考查了两条直线的交点问题，应用的知识点有：待定系数法，直线上点的坐标特征，直线的平移，一次函数和一元一次不等式的关系． 4．(1)（2，0） (2)见解析，最小值为8 (3)①（ m，2）；②-2或3 【分析】（1）由图象可得A（2，0）； （2）通过观察图象可得； （3）①观察图象可知最低点P的坐标；②分三种情况讨论求得即可． 【详解】（1）解：由图象可得A（2，0）， 故答案为：（2，0）； （2）解：将函数y2＝3|x﹣2|的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数y3＝3|x﹣2|+2，如图： 当x≥4时，y3取到最小值，最小值为8； （3）解：拓展应用：将函数y3的图象继续平移得到y4＝3|x﹣m|+2，其最低点为点P． ①最低点P的坐标为（m，2）， 故答案为（m，2）； ②若m＜﹣1， 当x＝﹣1时，y4有最小值5， ∴3×|﹣1﹣m|+2＝5 ∴m＝0（舍），或m＝﹣2 若﹣1≤m≤2， 当x＝m时，y4有最小值2，不符合题意，舍去． 若m＞2， 当x＝2时，y4有最小值5， ∴3×|2﹣m|+2＝5 ∴m＝-1（舍），或m＝3 综上所述，m＝﹣2或m＝3． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合以及分类讨论思想的运用是解题的关键． 5．（1）见解析；（2）-4；（3）不成立，理由见解析 【分析】（1）令x=3，得y=0即可得证； （2）一次函数y=k（x-3）图象向上平移2个单位得y=k（x-3）+2，将（4，-2）代入可得k； （3）由y1＜y2列出x1、x2的不等式，根据k＜0可得答案． 【详解】解：（1）在y=k（x-3）中令x=3，得y=0， ∴点（3，0）在y=k（x-3）图象上； （2）一次函数y=k（x-3）图象向上平移2个单位得y=k（x-3）+2， 将（4，-2）代入得：-2=k（4-3）+2， 解得k=-4； （3）x1-x2＜0不成立，理由如下： ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在y=k（x-3）图象上， ∴y1=k（x1-3），y2=k（x2-3）， ∴y1-y2=k（x1-x2）， ∵y1＜y2， ∴y1-y2＜0，即k（x1-x2）＜0， 而k＜0， ∴x1-x2＞0， ∴x1-x2＜0不成立． 【点睛】本题考查一次函数图象上的点，解题的关键是将点坐标代入变形． 6．（1）；（2）． 【分析】（1）首先利用待定系数法求出直线的解析式，再通过平移后的解析式求出交点坐标的表达式，从而建立不等式求解即可； （2）根据题意求出与直线垂直且过点的直线，再求交点即可． 【详解】（1）设直线的解析式为. 点的坐标为，点的坐标是， ， 解得， 直线的解析式为， 把直线向上平移个单位后得. 由，解得， 即交点为． 由题意，得， 解得； （2）最短时有，设此时直线的解析式为，将代入，得，解得， 即直线的解析式为， 由，解得， 点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，及平面直角坐标系中点坐标的特点，熟练掌握求解析式的方法是解决问题的关键． 7．（1）y=x+3；（2）20． 【分析】（1）把点A(-4,1)，B(2,4)代入y=kx+b，利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线向上平移8个单位得到的直线，联立直线，直线，求交点Q坐标，求出直线，直线与x轴的交点C、D坐标，以CD为底，Q点的纵坐标为高，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）把点A(-4,1)，B(2,4)代入y=kx+b， ，解得， ∴直线l1的函数解析式为：y=x+3； （2）直线是由直线向上平移8个单位得到，∴y=-2x+8， ∵y=x+3，令y=0，x=-6， ∴直线y=x+3与x轴交于C (-6，0)， ∵y=-2x+8，令y=0，x=4， ∴直线y=-2x+8与x轴交于D (4，0)， ∴CD=4-（-6）=4+6=10 联立直线y=x+3与直线y=-2x+8， ，解得， 图象如图所示： 设直线y=x+3与直线y=-2x+8的交点为Q，则Q(2，4)， ∴直线，直线和x轴围成图形的面积． 【点睛】本题考查了一次函数图象的交点问题、待定系数法求一次函数的解析式及一次函数图象的平移，解题的关键是熟记性质，数形结合． 8．（1）;（2）；（3），所画图像详见解析 【分析】（1）已知直线上的两点坐标，可用待定系数法把两点坐标代入一次函数（是常数，且），组成二元一次方程组，可求出，代入即可得该一次函数解析式； （2）点在该一次函数图象上，把该点代入（1）求得的一次函数解析式，即可求得的值； （3）根据图像平移规律，可知向下平移3个单位，应该是原解析式 -3，即，整理得；图像利用描特殊点法作出即可． 【详解】证明：（1）∵一次函数（是常数，）的图象过，两点， ∴，得， 即该一次函数的表达式是； （2）点在该一次函数的图象上， ∴， 解得，，即的值是； （3）把向下平移3个单位后可得：； 图象如下： 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式；利用点在一次函数上的性质，确定字母的值；图形平移性质及一次函数图像的画法等知识． 9．（1）答案见解析；（2）画图见解析，右，3；（3）①左， ②答案见解析. 【分析】（1）根据函数的图象得到函数的性质即可； （2）画出函数y=|x-3|的图象根据函数y=|x-3|的图象即可得到结论； （3）①根据（2）的结论即可得到结果； ②当k＞0时或k＜0时，向左或向右平移个单位长度． 【详解】解：（1）①函数y=|x|的图象关于y轴对称；②当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大； （2）函数y=|x-3|的图象如图所示： 函数y=|x-3|的图象可以由y=|x|的图象向右平移3个单位得到； （3）①函数y=|2x+3|的图象可以由y=|2x|的图象向左平移单位得到； ②当k＞0时，向左平移个单位长度； 当k＜0时，向右平移个单位长度. 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的图象，一次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键． 10．(1)①全体实数；②＞； (2)见详解； (3)①上，1，右，1；②-0.5；③当x=-1时，函数有最大值，最大值为1．（答案不唯一） 【详解】（1）解：①函数的自变量x的取值范围全体实数； 故答案为：全体实数； ②把点A（－7，a），B（9，b）代入函数解析式得 ， ， ∴； 故答案为：＞； （2）解：补全表格得 在平面直角坐标系画出函数图像如图： （3）（3）观察函数图像可发现： ①的图像向上平移1个单位长度得到，的图像向右平移1个单位长度得到； 故答案为：上，1，右，1； ②当时，x＝-0.5； 故答案为：-0.5； ③观察函数的图像，得到当x=-1时，函数有最大值，最大值为1．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了函数图像、性质的探究，熟知画函数图像的一般步骤，并能根据图像得到函数性质是解题关键． 11．【结论应用】y=x，下，3； 【类比思考】①y=-6x-30；②y=-6x-19； 【拓展应用】y=-2x-3． 【结论应用】根据题目材料中给出的结论即可求解； 【类比思考】①在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6），将点A和B向左平移5个单位得到点C、D，根据点的平移规律得到点C、D的坐标．设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式； ②在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6），将点A和B向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点C、D，根据点的平移规律得到点C、D的坐标．设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式； 【拓展应用】在直线：y=2x+3上任意取两点A（0，3）和B（1，5），作点A和B关于x轴的对称点C、D，根据关于x轴对称的点的规律得到C、D的坐标．设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式． 【详解】解：【结论应用】一次函数y=x-3的图象可以看作正比例函数y=x的图象向下平移3个单位长度而得到． 故答案为y=x，下，3； 【类比思考】①在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6）， 将点A（0，0）和B（1，-6）向左平移5个单位得到点C（-5，0）和D（-4，-6），连接CD，则直线CD就是直线AB向左平移5个单位长度后得到的直线，设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0）， 将C（-5，0）和D（-4，-6）代入得到： ， 解得 ， 所以直线CD的解析式为：y=-6x-30． 故答案为y=-6x-30； ②在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6）， 将点A（0，0）和B（1，-6）向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点C（-4，5）和D（-3，-1），连接CD，则直线CD就是直线AB向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的直线， 设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0）， 将C（-4，5）和D（-3，-1）代入得到： 解得 所以直线的解析式为：y=-6x-19． 故答案为y=-6x-19； 【拓展应用】在直线：y=2x+3上任意取两点A（0，3）和B（1，5）， 则点A和B关于x轴的对称点分别为C（0，-3）或D（1，-5），连接CD，则直线CD就是直线AB关于x轴对称的直线， 设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0）， 将C（0，-3）或D（1，-5）代入得到： 解得 所以直线关于x轴对称的直线的解析式为y=-2x-3． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与二元一次方程（组），考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力．理解阅读材料是解题的关键． 12．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【分析】（1）根据图形即可得到结论； （2）根据函数图形平移的规律即可得到结论； （3）根据函数关系式可知将函数的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数的图象．根据函数的性质即可得到结论． 【详解】解：（1），，函数的对称轴为； （2）将函数的图象向上平移2个单位得到函数的图象； 将函数的图象向左平移2个单位得到函数的图象； （3）将函数的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数的图象． 所画图象如图所示，当时，． 【点睛】本题考查了一次函数与几何变换，一次函数的图象，一次函数的性质，平移的性质，正确的作出图形是解题的关键． 13．(1)C (2)为y=2x (3)y=x﹣ 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线y=-2x取两点O(0,0)，S(-1,2)，根据旋转性质求得旋转后对应点Q（5,1)，T(3,0)，然后利用待定系数法求出直线QT的解析式即可． 【详解】（1）解：将函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为(3,0)，将(3,0)代入y=-2x+b中，得 0=-6+b，解得b=6， 所以平移后的函数表达式为y=﹣2x+6， 故选：C； （2）解：在函数y=﹣2x的图象上取两个点A(0,0)、B(1,﹣2)， 关于x轴对称的点的坐标(0,0)、(1,2)， 设直线的解析式为y=kx， 把(1,2)代入，得 k=2， ∴一次函数的表达式为y=2x； （3）解：如图，在直线y=-2x上取两点O(0,0)，S(-1,2)， ∵一次函数y=﹣2x的图象绕点(2,3)逆时针方向旋转90°， ∴点O、S绕点(2,3)逆时针方向旋转90°后对应点为点Q、T， 过点P作PM⊥x轴于M，过点Q作QK⊥x轴于K，过点Q作QN⊥PM轴于N， ∵P(2,3)， ∴OM=2，PM=3 ， 由旋转可得∠OPQ=90°，OP=PQ， ∴∠OPM+∠QPN=90°， ∵PM⊥x，QN⊥PM， ∴∠PMO=∠QNP=90°， ∴∠PQN+∠QPN=90°， ∴∠OPM=∠PQN， ∴△POM≌△QPN（AAS）， ∴PN=OM=2，QN=PM=3， ∵QK⊥x轴， ∴四边形QNMK是矩形， ∴QK=MN=PM-PN=3-2=1，MK=QN=3， ∴OK=OM+MK=5， ∴Q（5,1)， 同理可求得点T(3,0)， 设直线TQ解析式为y=kx+b， 把Q（5,1)、T(3,0)代入，得 ，解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：y=x﹣． 故答案为：y=x﹣． 【点睛】本题考查图形变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标“左减右加”；纵坐标“上加下减”．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要弄清楚平移前后的解析式有什么关系． 14．(1)见解析 (2)， (3) (4)无解 【分析】（1）首先写出每个二元一次方程的两组解，x为横坐标，y为纵坐标，两点确定一条直线，画出图像即可； （2）由图可知交点坐标，而交点横坐标即为方程组解中x的值，交点纵坐标即为方程组解中y的值； （3）将两点的坐标代入方程，列出关于a，b的二元一次方程组，即可求出a，b的值； （4）①将方程组的两个二元一次方程转化为两个一次函数，而这两个一次函数的k相等，所以两直线平行；②两直线没有交点，故方程组无解． 【详解】（1）对于的图像，任取两组解：， 即可根据画出的图像； 对于的图像，任取两组解：， 即可根据画出的图像，如图； （2）由图可知，交点坐标为，所以方程组的解为； 故答案为：，； （3）将和代入方程，得： ，解得, ∴； （4）方程无解， ∵与的k值相等， ∴两直线平行，没有交点， ∴方程组的无解． 方程组无解 故答案为：无解 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标，解题关键是掌握两个一次函数求交点与二元一次方程组的关系． 15．（1），；（2）图见解析；当时，y随x的增大而减小；当时，函数有最小值；（3）图见解析，是由函数向左平移1个单位，再向下平移2个单位平移得到的 【分析】（1）将x＝﹣1，x＝2分别代入函数y＝|x+1|﹣2即可求m、n的值； （2）根据表中的数据，描点连线即可，观察函数图像，写出函数图像的两条性质即可； （3）描点法画出函数y＝|x|的图像，然后观察图像求解即可． 【详解】解：（1）时，， 时，， 故答案为，； （2）函数图像如下图： 性质：时，y随x的增大而减小， 当时，函数有最小值 （3）函数y＝|x|的图像，如下图： 由题意可得：是由函数向左平移1个单位，再向下平移2个单位平移得到的． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的特点，解题的关键是熟练掌握一次函数的图像及性质． 16．（1）；（2）可以，上移2个单位，左移2个单位（3）画图见解析， 【分析】（1）通过图像观察顶点和对称轴即可直接写出； （2）观察图像顶点，对比可发现平移方向和距离； （3）列表、描点、连线过程作出图形，根据函数的增减性比较大小即可 【详解】（1）由图像可知顶点坐标： 图象的顶点： 图象的顶点坐标： 图象的对称轴是： （2）可以，理由如下： 由（1）可知顶点为： 图象的顶点：， 的图像的顶点：， 故的图像由函数的图像向上平移2个单位得到； 同理，的图像由函数的图像向左平移2个单位得到 （3）列表 描点，连线，如图： 通过图像观察，当时， 【点睛】本题考查了函数图像的综合应用，经历列表、描点、连线过程作图，通过图像得出结论是解题的关键． …﹣3﹣2﹣10123……9630369…x…－5－3－10135…y……x…﹣3﹣2﹣10123…y…﹣6﹣4﹣20﹣2﹣4﹣6…x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…y…210﹣1m﹣10n2…x…-3-2-10123……-6-4-20-2-5-6…x…－5－3－10135…y…-9-5-11-1-5-9………0123456…………-5-3-11-1-3-5
专题32 一次函数的平移 1．已知直线y＝2x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)平移直线使其与x轴相交于点P，且OP＝2OA，求平移后直线的解析式． 2．在探究一次函数的图像性质时我们有如下发现： ①系数决定了函数图像的坡度，越大则图像坡度越大(越靠近轴)，越小则图像坡度越小(越靠近轴)； ②常数项决定了图像与轴的交点，即函数图像与轴交点坐标始终为． 基于以上发现，我们得出结论：如果两个一次函数的值相同，那么两个一次函数的图像平行.反之，如果两直线平行，则两条直线所对应的函数表达式的值一定相等：把函数图像沿轴向上(或向下) 平移个单位， 系数保持不变， 常数变为 (或).如：函数和的图像互相平行：函数的图像向上平移2个单位后所得函数表达式为． 据此回答下列问题： (1) 把函数的图像向上平移4个单位后所得函数的表达式为____； (2)把函数的图像向 (上或下)平移 个单位可得到函数的图像； (3)若直线经过点且与直线平行，求出直线的表达式． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，且与正比例函数的图像交于点． (1)求a的值及△ABO的面积； (2)若一次函数的图像与轴交于点，且正比例函数的图像向下平移个单位长度后经过点，求的值； (3)直接写出关于的不等式的解集． 4．图象对于探究函数性质有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探究．画函数的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示： 在同一平面直角坐标系中，经历同样的过程画出函数的图象如图所示． (1)观察发现：两个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形，且图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化．所以可以将函数的图象向右平移2个单位得到的图象，则此时函数的图象的最低点A的坐标为________． (2)探索思考：将函数的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数，请在网格图中画出函数的图像，并求出当时，函数的最小值． (3)拓展应用：将函数y3的图像继续平移得到函数的图象，其最低点为点P． ①用表示最低点P的坐标为________； ②当x2时，函数有最小值为5，求此时的值． 5．已知一次函数． （1）求证：点在该函数图象上． （2）若该函数图象向上平移2个单位后过点，求的值． （3）若，点，在函数图象上，且，判断是否成立？请说明理由． 6．如图，点的坐标为，点在直线上运动． （1）若点的坐标是，把直线向上平移个单位后，与直线的交点在第一象限，求的取值范围． （2）当线段最短时，求点的坐标． 7．已知直线（k，b为常数且），经过点． （1）求直线的函数解析式； （2）若直线是由直线向上平移8个单位得到，求直线，直线和x轴围成图形的面积． 8．已知一次函数（是常数，且）的图象过与两点． （1）求一次函数的解析式； （2）若点在该一次函数图象上，求的值； （3）把的图象向下平移3个单位后得到新的一次函数图象，在图中画出新函数图象，并直接写出新函数图象对应的解析式． 9．（1）如图1，观察函数y=|x|的图象，写出它的两条的性质； （2）在图1中，画出函数y=|x-3|的图象； 根据图象判断：函数y=|x-3|的图象可以由y=|x|的图象向 平移 个单位得到； （3）①函数y=|2x+3|的图象可以由y=|2x|的图象向 平移 单位得到； ②根据从特殊到一般的研究方法，函数y=|kx+3|（k为常数，k≠0）的图象可以由函数y=|kx|（k为常数，k≠0）的图象经过怎样的平移得到． 10．有这样一个问题：探究函数的图像与性质． 小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究． (1)①函数的自变量x的取值范围是_____________； ②若点A（－7，a），B（9，b）是该函数图像上的两点，则a___________b（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)请补全下表，并在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图像： (3)函数和函数的图像如图所示，观察函数图像可发现： ①的图像向___________平移________个单位长度得到，的图像向___________平移________个单位长度得到； ②当时，x＝_____________； ③观察函数的图像，写出该图像的一条性质． 11．人教版八年级下册第19章《一次函数》中“思考”：这两个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度相同，函数的图象经过原点，函数的图象经与y轴交于点（0，5），即它可以看作直线向上平移5个单位长度而得到．比较一次函数解析式与正比例函数解析式，容易得出：一次函数的图象可由直线通过向上（或向下）平移个单位得到（当b>0时，向上平移，当b<0时，向下平移）． 【结论应用】一次函数的图象可以看作正比例函数 的图象向 平移 个单位长度得到； 【类比思考】如果将直线的图象向右平移5个单位长度，那么得到的直线的函数解析式是怎样的呢？我们可以这样思考：在直线上任意取两点A（0，0）和B（1，），将点A（0，0）和B（1，）向右平移5个单位得到点C（5，0）和D（6，），连接CD，则直线CD就是直线AB向右平移5个单位长度后得到的直线，设直线CD的解析式为:，将C（5，0）和D（6，）代入得到：解得，所以直线CD的解析式为：；①将直线向左平移5个单位长度，则平移后得到的直线解析式为 .②若先将直线向左平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，得到直线，则直线的解析式为: . 【拓展应用】已知直线：与直线关于x轴对称，求直线的解析式. 12．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数和的图象如图所示． （1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数的对称轴． （2）探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离． （3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数的图象．若点和在该函数图象上，且，比较，的大小． 13．课本P152有段文字：把函数y=2x的图象分别沿y轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数y=2x+3或y=2x﹣3的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数y=﹣2x的图象上任意取两个点A、B，分别向右平移3个单位长度，得到、，直线就是函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度后得到的图象. 请你帮助小尧解决他的困难． (1)将函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为 ． A. y=﹣2x+3； B. y=﹣2x﹣3； C. y=﹣2x+6； D. y=﹣2x﹣6 【解决问题】 (2)已知一次函数的图象与直线y=﹣2x关于x轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 (3)一次函数y=﹣2x的图象绕点（2，3）逆时针方向旋转90°后得到的图象对应的函数表达式为 ．（直接写结果） 14．【活动回顾】： 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线；结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】： (1)请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； (2)观察图象，两条直线的交点坐标为 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是 ； 【拓展延伸】： (3)已知二元一次方程的图象经过两点和，试求a＋b的值． (4)在同一平面直角坐标系中，一次函数图象和一次函数的图象，如图3所示．请根据图象，直接判断方程组的解的情况 （不需要说明理由）． 15．问题：探究函数y＝|x+1|﹣2的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数y＝|x+1|﹣2的图象与性质进行了研究．下面是小明的研究过程，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： 其中，m＝ ，n＝ ； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象，并写出该函数的两条性质； （3）在同一坐标系中直接画出函数y＝|x|的图像，并说明它是由函数y＝|x+1|﹣2如何平移得到的． 16．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数和的图象如图所示． （1）观察发现：函数图象的顶点（最高点）坐标是________，函数图象的顶点坐标是________，函数图象的对称轴是________． （2）探索思考：平移函数的图象是否可以得到函数和的图象？如果可以，分别写出平移的方向和距离．如果不行，请说明理由． （3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数的图象．若点（，）和（，）在该函数图象上，且，比较，的大小． 参考答案： 1．(1)A点坐标为（-3，0），B点坐标为（0，6） (2)y=-x+6或y=x+6 【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征确定A点和B点坐标； （2）由OA=3，OP=2OA得到OP=6，分类讨论：当点P在x轴正半轴上时，则P点坐标为（6，0）；当点P在x轴负半轴上时，则P点坐标为（-6，0），然后根据待定系数法求两种情况下的直线解析式． 【详解】（1）把x=0代入y=2x+6，得y═6， 则B点坐标为（0，6）； 把y=0代入y=2x+6，得0=2x+6， 解得x=-3， 则A点坐标为（-3，0）； （2）∵A点坐标为（-3，0），OP＝2OA， ∴OA=3， ∴OP=6， 当点P在x轴正半轴上时，则P点坐标为（6，0）， 设直线BP的解析式为：y=kx+b（）， 把P（6，0），B（0，6）代入得， 解得， ∴直线BP的解析式为：y=-x+6； 当点P在x轴负半轴上时，则P点坐标为（-6，0）， 设直线BP的解析式为y=kx+b（）， 把P（-6，0），B（0，6）代入得， 解得 ∴直线BP的解析式为：y=x+6； 综上所述，直线BP的解析式为y=-x+6或y=x+6． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．（1）；（2）下，6；（3）． 【分析】（1）根据平移的规律即可求解； （2）-4-2=-6，故向下平移6个单位； （3）根据平行求出k，再把代入求出b，问题得解． 【详解】解：（1）把函数的图像向上平移4个单位后所得函数的表达式为， 即： 故答案为： （2）-4-2=-6， 故答案为：下，6； （3）∵直线y=kx+b与直线y=-2x+1平行， ∴k=-2， 又∵直线y=kx+b经过点， ∴， 解得：b=， ∴直线表达式为． 【点睛】本题考查了一次函数的平移，为阅读理解型题目，认真阅读文本内容，理解函数平移规律是解题关键． 3．(1)，△ABO的面积为4 (2) (3) 【分析】（1）先确定的坐标，然后根据待定系数法求解析式，求出一次函数图像与轴交点，如图所示，利用间接方法得到即可得到结论； （2）先求得的坐标，然后根据题意求得平移后的直线的解析式，把的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得的值； （3）根据图像即可求得不等式的解集． 【详解】（1）解：正比例函数的图像经过点， ，解得，， ， 一次函数的图像经过点，， ，解得，， 一次函数的解析式为，如图所示： 当时，，解得，即， ； （2）解：一次函数的图像与轴交于点， ， 正比例函数的图像向下平移个单位长度后经过点， 平移后的函数的解析式为， ，解得； （3）解：， 根据图像可知的解集为：． 【点睛】本题考查了两条直线的交点问题，应用的知识点有：待定系数法，直线上点的坐标特征，直线的平移，一次函数和一元一次不等式的关系． 4．(1)（2，0） (2)见解析，最小值为8 (3)①（ m，2）；②-2或3 【分析】（1）由图象可得A（2，0）； （2）通过观察图象可得； （3）①观察图象可知最低点P的坐标；②分三种情况讨论求得即可． 【详解】（1）解：由图象可得A（2，0）， 故答案为：（2，0）； （2）解：将函数y2＝3|x﹣2|的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数y3＝3|x﹣2|+2，如图： 当x≥4时，y3取到最小值，最小值为8； （3）解：拓展应用：将函数y3的图象继续平移得到y4＝3|x﹣m|+2，其最低点为点P． ①最低点P的坐标为（m，2）， 故答案为（m，2）； ②若m＜﹣1， 当x＝﹣1时，y4有最小值5， ∴3×|﹣1﹣m|+2＝5 ∴m＝0（舍），或m＝﹣2 若﹣1≤m≤2， 当x＝m时，y4有最小值2，不符合题意，舍去． 若m＞2， 当x＝2时，y4有最小值5， ∴3×|2﹣m|+2＝5 ∴m＝-1（舍），或m＝3 综上所述，m＝﹣2或m＝3． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合以及分类讨论思想的运用是解题的关键． 5．（1）见解析；（2）-4；（3）不成立，理由见解析 【分析】（1）令x=3，得y=0即可得证； （2）一次函数y=k（x-3）图象向上平移2个单位得y=k（x-3）+2，将（4，-2）代入可得k； （3）由y1＜y2列出x1、x2的不等式，根据k＜0可得答案． 【详解】解：（1）在y=k（x-3）中令x=3，得y=0， ∴点（3，0）在y=k（x-3）图象上； （2）一次函数y=k（x-3）图象向上平移2个单位得y=k（x-3）+2， 将（4，-2）代入得：-2=k（4-3）+2， 解得k=-4； （3）x1-x2＜0不成立，理由如下： ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在y=k（x-3）图象上， ∴y1=k（x1-3），y2=k（x2-3）， ∴y1-y2=k（x1-x2）， ∵y1＜y2， ∴y1-y2＜0，即k（x1-x2）＜0， 而k＜0， ∴x1-x2＞0， ∴x1-x2＜0不成立． 【点睛】本题考查一次函数图象上的点，解题的关键是将点坐标代入变形． 6．（1）；（2）． 【分析】（1）首先利用待定系数法求出直线的解析式，再通过平移后的解析式求出交点坐标的表达式，从而建立不等式求解即可； （2）根据题意求出与直线垂直且过点的直线，再求交点即可． 【详解】（1）设直线的解析式为. 点的坐标为，点的坐标是， ， 解得， 直线的解析式为， 把直线向上平移个单位后得. 由，解得， 即交点为． 由题意，得， 解得； （2）最短时有，设此时直线的解析式为，将代入，得，解得， 即直线的解析式为， 由，解得， 点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，及平面直角坐标系中点坐标的特点，熟练掌握求解析式的方法是解决问题的关键． 7．（1）y=x+3；（2）20． 【分析】（1）把点A(-4,1)，B(2,4)代入y=kx+b，利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线向上平移8个单位得到的直线，联立直线，直线，求交点Q坐标，求出直线，直线与x轴的交点C、D坐标，以CD为底，Q点的纵坐标为高，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）把点A(-4,1)，B(2,4)代入y=kx+b， ，解得， ∴直线l1的函数解析式为：y=x+3； （2）直线是由直线向上平移8个单位得到，∴y=-2x+8， ∵y=x+3，令y=0，x=-6， ∴直线y=x+3与x轴交于C (-6，0)， ∵y=-2x+8，令y=0，x=4， ∴直线y=-2x+8与x轴交于D (4，0)， ∴CD=4-（-6）=4+6=10 联立直线y=x+3与直线y=-2x+8， ，解得， 图象如图所示： 设直线y=x+3与直线y=-2x+8的交点为Q，则Q(2，4)， ∴直线，直线和x轴围成图形的面积． 【点睛】本题考查了一次函数图象的交点问题、待定系数法求一次函数的解析式及一次函数图象的平移，解题的关键是熟记性质，数形结合． 8．（1）;（2）；（3），所画图像详见解析 【分析】（1）已知直线上的两点坐标，可用待定系数法把两点坐标代入一次函数（是常数，且），组成二元一次方程组，可求出，代入即可得该一次函数解析式； （2）点在该一次函数图象上，把该点代入（1）求得的一次函数解析式，即可求得的值； （3）根据图像平移规律，可知向下平移3个单位，应该是原解析式 -3，即，整理得；图像利用描特殊点法作出即可． 【详解】证明：（1）∵一次函数（是常数，）的图象过，两点， ∴，得， 即该一次函数的表达式是； （2）点在该一次函数的图象上， ∴， 解得，，即的值是； （3）把向下平移3个单位后可得：； 图象如下： 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式；利用点在一次函数上的性质，确定字母的值；图形平移性质及一次函数图像的画法等知识． 9．（1）答案见解析；（2）画图见解析，右，3；（3）①左， ②答案见解析. 【分析】（1）根据函数的图象得到函数的性质即可； （2）画出函数y=|x-3|的图象根据函数y=|x-3|的图象即可得到结论； （3）①根据（2）的结论即可得到结果； ②当k＞0时或k＜0时，向左或向右平移个单位长度． 【详解】解：（1）①函数y=|x|的图象关于y轴对称；②当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大； （2）函数y=|x-3|的图象如图所示： 函数y=|x-3|的图象可以由y=|x|的图象向右平移3个单位得到； （3）①函数y=|2x+3|的图象可以由y=|2x|的图象向左平移单位得到； ②当k＞0时，向左平移个单位长度； 当k＜0时，向右平移个单位长度. 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的图象，一次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键． 10．(1)①全体实数；②＞； (2)见详解； (3)①上，1，右，1；②-0.5；③当x=-1时，函数有最大值，最大值为1．（答案不唯一） 【详解】（1）解：①函数的自变量x的取值范围全体实数； 故答案为：全体实数； ②把点A（－7，a），B（9，b）代入函数解析式得 ， ， ∴； 故答案为：＞； （2）解：补全表格得 在平面直角坐标系画出函数图像如图： （3）（3）观察函数图像可发现： ①的图像向上平移1个单位长度得到，的图像向右平移1个单位长度得到； 故答案为：上，1，右，1； ②当时，x＝-0.5； 故答案为：-0.5； ③观察函数的图像，得到当x=-1时，函数有最大值，最大值为1．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了函数图像、性质的探究，熟知画函数图像的一般步骤，并能根据图像得到函数性质是解题关键． 11．【结论应用】y=x，下，3； 【类比思考】①y=-6x-30；②y=-6x-19； 【拓展应用】y=-2x-3． 【结论应用】根据题目材料中给出的结论即可求解； 【类比思考】①在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6），将点A和B向左平移5个单位得到点C、D，根据点的平移规律得到点C、D的坐标．设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式； ②在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6），将点A和B向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点C、D，根据点的平移规律得到点C、D的坐标．设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式； 【拓展应用】在直线：y=2x+3上任意取两点A（0，3）和B（1，5），作点A和B关于x轴的对称点C、D，根据关于x轴对称的点的规律得到C、D的坐标．设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式． 【详解】解：【结论应用】一次函数y=x-3的图象可以看作正比例函数y=x的图象向下平移3个单位长度而得到． 故答案为y=x，下，3； 【类比思考】①在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6）， 将点A（0，0）和B（1，-6）向左平移5个单位得到点C（-5，0）和D（-4，-6），连接CD，则直线CD就是直线AB向左平移5个单位长度后得到的直线，设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0）， 将C（-5，0）和D（-4，-6）代入得到： ， 解得 ， 所以直线CD的解析式为：y=-6x-30． 故答案为y=-6x-30； ②在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6）， 将点A（0，0）和B（1，-6）向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点C（-4，5）和D（-3，-1），连接CD，则直线CD就是直线AB向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的直线， 设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0）， 将C（-4，5）和D（-3，-1）代入得到： 解得 所以直线的解析式为：y=-6x-19． 故答案为y=-6x-19； 【拓展应用】在直线：y=2x+3上任意取两点A（0，3）和B（1，5）， 则点A和B关于x轴的对称点分别为C（0，-3）或D（1，-5），连接CD，则直线CD就是直线AB关于x轴对称的直线， 设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0）， 将C（0，-3）或D（1，-5）代入得到： 解得 所以直线关于x轴对称的直线的解析式为y=-2x-3． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与二元一次方程（组），考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力．理解阅读材料是解题的关键． 12．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【分析】（1）根据图形即可得到结论； （2）根据函数图形平移的规律即可得到结论； （3）根据函数关系式可知将函数的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数的图象．根据函数的性质即可得到结论． 【详解】解：（1），，函数的对称轴为； （2）将函数的图象向上平移2个单位得到函数的图象； 将函数的图象向左平移2个单位得到函数的图象； （3）将函数的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数的图象． 所画图象如图所示，当时，． 【点睛】本题考查了一次函数与几何变换，一次函数的图象，一次函数的性质，平移的性质，正确的作出图形是解题的关键． 13．(1)C (2)为y=2x (3)y=x﹣ 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线y=-2x取两点O(0,0)，S(-1,2)，根据旋转性质求得旋转后对应点Q（5,1)，T(3,0)，然后利用待定系数法求出直线QT的解析式即可． 【详解】（1）解：将函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为(3,0)，将(3,0)代入y=-2x+b中，得 0=-6+b，解得b=6， 所以平移后的函数表达式为y=﹣2x+6， 故选：C； （2）解：在函数y=﹣2x的图象上取两个点A(0,0)、B(1,﹣2)， 关于x轴对称的点的坐标(0,0)、(1,2)， 设直线的解析式为y=kx， 把(1,2)代入，得 k=2， ∴一次函数的表达式为y=2x； （3）解：如图，在直线y=-2x上取两点O(0,0)，S(-1,2)， ∵一次函数y=﹣2x的图象绕点(2,3)逆时针方向旋转90°， ∴点O、S绕点(2,3)逆时针方向旋转90°后对应点为点Q、T， 过点P作PM⊥x轴于M，过点Q作QK⊥x轴于K，过点Q作QN⊥PM轴于N， ∵P(2,3)， ∴OM=2，PM=3 ， 由旋转可得∠OPQ=90°，OP=PQ， ∴∠OPM+∠QPN=90°， ∵PM⊥x，QN⊥PM， ∴∠PMO=∠QNP=90°， ∴∠PQN+∠QPN=90°， ∴∠OPM=∠PQN， ∴△POM≌△QPN（AAS）， ∴PN=OM=2，QN=PM=3， ∵QK⊥x轴， ∴四边形QNMK是矩形， ∴QK=MN=PM-PN=3-2=1，MK=QN=3， ∴OK=OM+MK=5， ∴Q（5,1)， 同理可求得点T(3,0)， 设直线TQ解析式为y=kx+b， 把Q（5,1)、T(3,0)代入，得 ，解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：y=x﹣． 故答案为：y=x﹣． 【点睛】本题考查图形变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标“左减右加”；纵坐标“上加下减”．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要弄清楚平移前后的解析式有什么关系． 14．(1)见解析 (2)， (3) (4)无解 【分析】（1）首先写出每个二元一次方程的两组解，x为横坐标，y为纵坐标，两点确定一条直线，画出图像即可； （2）由图可知交点坐标，而交点横坐标即为方程组解中x的值，交点纵坐标即为方程组解中y的值； （3）将两点的坐标代入方程，列出关于a，b的二元一次方程组，即可求出a，b的值； （4）①将方程组的两个二元一次方程转化为两个一次函数，而这两个一次函数的k相等，所以两直线平行；②两直线没有交点，故方程组无解． 【详解】（1）对于的图像，任取两组解：， 即可根据画出的图像； 对于的图像，任取两组解：， 即可根据画出的图像，如图； （2）由图可知，交点坐标为，所以方程组的解为； 故答案为：，； （3）将和代入方程，得： ，解得, ∴； （4）方程无解， ∵与的k值相等， ∴两直线平行，没有交点， ∴方程组的无解． 方程组无解 故答案为：无解 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标，解题关键是掌握两个一次函数求交点与二元一次方程组的关系． 15．（1），；（2）图见解析；当时，y随x的增大而减小；当时，函数有最小值；（3）图见解析，是由函数向左平移1个单位，再向下平移2个单位平移得到的 【分析】（1）将x＝﹣1，x＝2分别代入函数y＝|x+1|﹣2即可求m、n的值； （2）根据表中的数据，描点连线即可，观察函数图像，写出函数图像的两条性质即可； （3）描点法画出函数y＝|x|的图像，然后观察图像求解即可． 【详解】解：（1）时，， 时，， 故答案为，； （2）函数图像如下图： 性质：时，y随x的增大而减小， 当时，函数有最小值 （3）函数y＝|x|的图像，如下图： 由题意可得：是由函数向左平移1个单位，再向下平移2个单位平移得到的． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的特点，解题的关键是熟练掌握一次函数的图像及性质． 16．（1）；（2）可以，上移2个单位，左移2个单位（3）画图见解析， 【分析】（1）通过图像观察顶点和对称轴即可直接写出； （2）观察图像顶点，对比可发现平移方向和距离； （3）列表、描点、连线过程作出图形，根据函数的增减性比较大小即可 【详解】（1）由图像可知顶点坐标： 图象的顶点： 图象的顶点坐标： 图象的对称轴是： （2）可以，理由如下： 由（1）可知顶点为： 图象的顶点：， 的图像的顶点：， 故的图像由函数的图像向上平移2个单位得到； 同理，的图像由函数的图像向左平移2个单位得到 （3）列表 描点，连线，如图： 通过图像观察，当时， 【点睛】本题考查了函数图像的综合应用，经历列表、描点、连线过程作图，通过图像得出结论是解题的关键． …﹣3﹣2﹣10123……9630369…x…－5－3－10135…y……x…﹣3﹣2﹣10123…y…﹣6﹣4﹣20﹣2﹣4﹣6…x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…y…210﹣1m﹣10n2…x…-3-2-10123……-6-4-20-2-5-6…x…－5－3－10135…y…-9-5-11-1-5-9………0123456…………-5-3-11-1-3-5
相关资料
更多
