苏科版九年级数学上册同步精品讲义 第01讲 一元二次方程（学生版+教师版）

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知识精讲
知识点01 一元二次方程的概念
一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
【注意】（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是
【即学即练1】关于方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则m满足的条件是（ ）
A．m＝1B．m≠1C．m＞1D．m＜2
【答案】B
【解析】解：根据题意得：m﹣1≠0
解得m≠1．
故选：B．
知识点02 一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
【即学即练2】一元二次方程x2+4x＝3的二次项系数、一次项系数及常数项之和为（ ）
A．8B．﹣1C．0D．2
【答案】D
【解析】解：方程可化为：x2+4x﹣3＝0，
二次项系数为1、一次项系数为4、常数项为﹣3．
所以二次项系数、一次项系数及常数项之和为：1+4﹣3＝2，
故选：D．
知识点03 一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
【即学即练3】若a是的一个根，则的值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】D
【解析】解：是方程的一个根，
，
即，
．
故选：D．
能力拓展
考法01 一元二次方程的定义
【典例1】若关于的方程是一元二次方程，则________．
【答案】-1
【解析】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴k−1≠0且|k|＋1＝2，
解得：k＝−1，
故答案为：−1．
考法02 一元二次方程的解
【典例2】在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值．
（1）方程的中点值是______；
（2）已知的中点值是3，其中一个根是2，则此时mn的值为______．
【答案】 4 48
【解析】解：（1）由，得，
，
该方程的中点値为．
（2）由，得，
该方程的中点值为，
，解得．
的一个根是，
，即，
解得．
符合题意．
．
故答案为：；．
分层提分
题组A 基础过关练
1．一元二次方程的常数项是（ ）
A．－1B．1C．－6D．6
【答案】A
【解析】解：原方程可化为：
．
是二次项，系数为2；-6x是一次项，-6是一次项系数；-1是常数项．
故选：A．
2．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】是一元二次方程，故A正确,符合题意；
是分式方程，故B错误，不符合题意；
是二元一次方程，故C错误，不符合题意；
是一元一次方程，故D错误，不符合题意；
故选：A．
3．已知是方程的一个解，则的值为（ ）
A．10B．－10C．2D．－40
【答案】B
【解析】∵a是方程的一个解，
∴有，即，，
∴，
故选：B．
4．已知x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的一个根，则实数a的值是（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2
【答案】B
【解析】解：根据题意，将x＝1代入x2﹣2x+a＝0，
得：1﹣2+a＝0，
解得：a＝1，
故选：B．
5．已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝________．
【答案】2
【解析】解：把代入方程得：，
去括号得：，
解得：，
故答案为：2
6．将方程（3x－1）（2x＋4）＝2化为一般形式为____________，其中二次项系数为________，一次项系数为________．
【答案】 3x2＋5x－3＝0 3 5
【解析】将，开展为一般形式为：；
则可知一次项系数为5，二次项系数为3，
故答案为：，3，5．
题组B 能力提升练
1．若是一元二次方程的其中一个解，则的值为（ ）
A．3B．-3C．D．2
【答案】A
【解析】解：将是代入方程
得
m2=9
m=±3
∵m+3≠0
∴m≠-3
∴m=3
故选：A．
2．方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠±1B．m≥-1且m≠1C．m≥-1D．m＞-1且m≠1
【答案】D
【解析】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
解得，
由有意义得，
解得：，
∴且，
故选：D．
3．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【答案】B
【解析】解：把代入一元二次方程得，
，
，
∴，
故选：B．
4．已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，则－4b+2c=（ ）
A．8B．－8C．4D．－4
【答案】A
【解析】解：∵x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个根，
∴4+2b-c =0，
∴2b-c =-4．
∴－4b+2c=-2(2b-c)=-2×(-4)=8．
故选：A．
5．若是方程的根，则____________．
【答案】1
【解析】把x=1代入方程，得1−2+a=0，
解得a=1，
故答案为：1．
6．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为____________．
【答案】14
【解析】解：把代入方程中得
，
解得．
故答案为：14．
题组C 培优拔尖练
1．如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．3B．C．D．0或
【答案】B
【解析】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得
m2-9=0，
解得m=-3或3，
当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去，
∴m=-3
故选：B．
2．下列方程中，一元二次方程共有（ ）个．
①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
②ax2+bx+c＝0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
③不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程．
综上所述，一元二次方程共有2个．故选：B．
3．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（ ）．
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】A
【解析】解：对于一元二次方程即，
设t＝x＋2，则可得，
而关于x的一元二次方程的一个根是，
所以有一个根为t＝2022，
所以x＋2＝2022，
解得x＝2020，
所以一元二次方程必有一根为x＝2020，
故选：A．
4．若一元二次方程有一个解为，则k为（ ）
A．B．1C．D．0
【答案】C
【解析】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程：k2-1=0，
解得k1=1，k2=-1，
而k-1≠0，
所以k=-1．
故选：C．
5．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一个根是0，则m＝_____．
【答案】﹣2
【解析】解：把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2，
而m﹣2≠0，
所以m＝﹣2．故答案为：﹣2．
6．关于x的方程是一元二次方程，则________．
【答案】
【解析】解： 关于x的方程是一元二次方程，

由①得：
由②得：
所以
故答案为：
7．设a为一元二次方程的一个实数根，则___________．
【答案】
【解析】∵a为一元二次方程2x2+3x-2022=0的一个实数根，
∴2a2+3a-2022=0，
∴2a2+3a=2022，
∴，故答案为：．
8．已知是关于x的一元二次方程的解，则的值为________．
【答案】1
【解析】解：∵是关于x的一元二次方程，
∴，
解得：，
即m=2，
将代入，得：m-2a=1，
即，
∴．
故答案为：1．
9．若是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】2022
【解析】解：根据题意，得，则，
即，
则
．
10．已知a是方程x2－2x－1＝0的一个根，求代数式(a－2)2＋(a＋1)(a－1)的值．
【答案】5
【解析】∵是方程的一个根，
∴．
∴．
∴
．
课程标准
课标解读
1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义。
2．会把一元二次方程化为一般形式。
1、理解并掌握一元二次方程的定义.
2、正确识别一元二次方程的二次项、一次项、常数项及各项的系数