2023年初中数学8年级下册同步压轴题 专题05 平行四边形的四种几何综合问题（学生版+解析版）

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类型一、折叠问题
例．如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为( )
A．5B．7C．D．
例2．如图，在中，，，点E、F分别在上，将四边形沿折叠得四边形，恰好垂直于，若，则的值为( )
A．3B．C．D．
【变式训练1】如图，平行四边形中，＝，°，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为______．
【变式训练2】如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________．
【变式训练3】如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为 ____________
【变式训练4】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____．
类型二、平行四边形中的最值问题
例．(将军饮马模型)如图，在中，，，，点E在上，，点P是边上的一动点，连接，则的最小值是________．
【变式训练1】如图，在中，，，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．
【变式训练2】如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．
【变式训练3】如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______．
【变式训练4】如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则的最小值为______．
类型三、动点问题
例．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM=4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为_____时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【变式训练1】如图，在四边形中，，且，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由向C运动B，则_____秒后四边形成为一个平行四边形．
【变式训练2】如图，在四边形中，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使和，分别需经过多少时间？为什么？
类型四、旋转问题
例．如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，，点M，P，N分别为，，的中点．
(1)观察猜想：
图1中，线段与的数量关系是___________，位置关系是___________；
(2)探究证明：
把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：
若，，绕点A在平面内旋转过程中，请求出的面积取得最大值时的长．
【变式训练1】在中，，．在中，，．连接，M为线段的中点，连接．绕点A旋转，若，，的最大值为( )
A．5B．C．7D．
【变式训练2】如图，是等腰直角三角形，，，线段可绕点在平面内旋转，．
(1)若，在线段旋转过程中，当点，，三点在同一直线上时，直接写出的长．
(2)如图，若将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接，．
①当点的位置由外的点转到其内的点处，且，时，求的长；
②如图，若，连接，将绕点在平面内旋转，分别取，，的中点，，，连接，，，请直接写出面积的取值范围．
【变式训练3】在中，点P为边中点，直线a绕顶点A旋转，于点M．于点N，连接．
(1)如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长交于点 E．求证：；
(2)若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点在直线a的同侧，其它条件不变，此时，，求MN的长度．
(3)若过P点作于点G，试探究线段 和的数量关系．