四川省绵阳市南山中学实验学校2024届高三（补习班）上学期11月月考数学（文）试题及参考答案

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一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 在复平面内，对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘法及复数的几何意义求解即可.
【详解】，
所以复数对应的点为在第一象限.
故选：A．
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出集合，再利用交集的定义求解作答.
【详解】解不等式，得，即，解不等式，得，即，
所以.
故选：C
3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，函数为奇函数，但该函数在定义域内不单调，A选项不满足条件；
对于B选项，函数为奇函数，但该函数在定义域内不单调，B选项不满足条件；
对于C选项，函数的定义域为，
且，所以，函数为奇函数，
因为函数、均为上的增函数，故函数在上为增函数，C选项满足条件；
对于D选项，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，D选项不满足条件.
故选：C.
4. 公比的等比数列满足，，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式以及性质求得正确答案.
【详解】依题意，，
由已知，得，
所以，．
故选：C
5. 某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年4月18日—27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图.

根据组合图判断，下列结论正确的是（ ）
A. 这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增加
B. 前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差
C. 这10天学生在线学习人数在逐日增加
D. 前5天在线学习人数增长比例的极差大于后5天在线学习人数增长比例的极差
【答案】C
【解析】
【分析】根据统计图逐一判断可得选项．
【详解】对于A，由折线图很明显，23-24的增长比例在下降，故A错误；
对于B，由柱状图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故B错误；
对于C，由柱状图，可得学习人数在逐日增加，故C正确；
对于D，前5天增长比例的极差小于后5天增长比例的极差，故D错误，
故选：C．
6. 已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由数量积运算求得，再根据数量积定义求和夹角余弦，从而得夹角．
【详解】，所以，
，而，所以．
故选：C．
7. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】模拟执行如图所示的程序框图，即可求出程序运行后输出的的值.
【详解】解：当时，满足进行循环的条件，，
当时，满足进行循环的条件，，
当时，满足进行循环的条件，，
当时，满足进行循环的条件，，
当时，不满足进行循环的条件，
故输出的.
故选：B.
8. 过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝（ ）
A. B. 2C. 6D. 4
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由双曲线，可得渐近线方程为，且右焦点为，令，解得，所以，故选D.
考点：双曲线的几何性质.
9. 已知实数，任取一点，则该点满足的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据几何概型确定好所示区域面积及在区域内的面积，即可得结论.
【详解】所示区域面积为，
则圆在区域内的部分为半圆，半圆外部分的面积为
故概率为.
故选：C.
10. 已知f（x）是定义在R上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列比较大小错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件可得，所以构造函数，求导后可得，从而可得g（x）在R上单调递增，然后分析判断
【详解】由已知，可得，
设，则，
∵，因此g（x）在R上单调递增，
所以，，
即
所以，
所以ABD正确，C错误，
故选：C．
11. 设F1，F2是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面积为，则=（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用焦点三角形的面积公式及椭圆的定义可得，进一步得F1PQ为等边三角形，且轴，从而可得解.
【详解】由椭圆的定义，，
由余弦定理有：
，
化简整理得：，
又，
由以上两式可得：
由，得，∴，
又，所以F1PQ为等边三角形，由椭圆对称性可知轴，
所以.
故选：B.
12. 已知定义在上的奇函数满足，当时，．若函数在区间上有5个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A. [1，1.5)B. [1.5，2)C. [2，2.5)D. [2.5，3)
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的奇偶性，对称性及周期性及函数图象的作法分别作函数与的图象，再观察其交点即可得解.
【详解】由，，联立可得：，
即函数图象关于点对称，
由可得为周期函数，且周期为2，
的周期为2，关于点对称，
由图象知：与在,上有4个交点，其交点横坐标分别为，，，，
所以若函数在区间,上有5个零点，
则，
故选：A

二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 养殖户在某池塘随机捕捞了100条鲤鱼，做好标记后放回池塘，几天后又随机捕捞了100条鲤鱼，发现有4条鲤鱼被标记，据此估计该池塘里鲤鱼大约有________条．
【答案】2500
【解析】
【分析】样本中捕捞了100条鲤鱼，发现有4条鲤鱼被标记，即可求得有标记鲤鱼所占样本比例，用这个比例去估计整个池塘中被标记的鲤鱼占所有鲤鱼的比例，即可求解．
【详解】设该池塘里鲤鱼有条，
则由题意有，解得，
因此池塘里鲤鱼大约有2500条，
故答案为：2500．
14. 直线与直线平行，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线平行的等价条件列方程组，解方程组即可求解.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得：，
故答案为：.
15. 如图，某景区欲在两山顶、之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上处测得山顶的仰角为，山顶的仰角为，，则两山顶、之间的距离为________．
【答案】
【解析】
【分析】求出、长，利用余弦定理求出的长，然后过在平面内作，垂足为点，分析可知，四边形为矩形，求出、的长，利用勾股定理可求得的长，即为所求.
【详解】在中，，，，则，
在中，，，，则为等腰直角三角形，
所以，，
在中，，
由余弦定理可得，
过在平面内作，垂足为点，如下图所示：
因为，，，则四边形为矩形，
所以，，，
所以，.
故答案为：.
16. 在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：，动点在直线：上（），过分别作圆，的切线，切点分别为，，若满足的点有且只有一个，则实数的值为______.
【答案】.
【解析】
【分析】根据圆的切线的性质和三角形全等，得到，求得点的轨迹方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解．
【详解】由题意得：，，设，如下图所示
∵PA、PB分别是圆O，O1的切线，∴∠PBO1=∠PAO=90°，
又∵PB=2PA，BO1=2AO，∴△PBO1∽△PAO，∴，
∴，∴，整理得，
∴点P（x，y）的轨迹是以为圆心、半径等于的圆，
∵动点P在直线：上（），满足PB=2PA的点P有且只有一个，
∴该直线l与圆相切，
∴圆心到直线l的距离d满足，即，解得或，
又因为，所以．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据圆的切下的性质和三角形全等求得点的轨迹方程，再根据直线与圆相切，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按分段，并得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；
（2）若分数在区间的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率．
【答案】（1），中位数为（分）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据小矩形的面积之和为即可求出，再根据频率分布直方图求出中位数即可；
（2）分别求出和的市民人数，再根据古典概型即可得解.
【小问1详解】
由题意可得，
解得，
由，
可得此次问卷调查分数的中位数在上，设为，
则，解得，
所以此次问卷调查分数的中位数为（分）；
【小问2详解】
的市民有人，记为a，b，
的市民有人，记为1，2，3，4，
则从中抽取两人的基本事件有：共15种，其中两人来自不同的组的基本事件有8种，
则所求概率为.
18. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
（1）求角C；
（2）若点D在AB边上，且满足，当的面积最大时，求CD的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式可得，即可求出角C；
（2）由余弦定理结合均值不等式可得，可求出当的面积最大值时，再由余弦定理即可求出CD的长.
【小问1详解】
依题意，，
由正弦定理可得，
∴，
所以，
则，因为，
化简得．
∵，∴．
【小问2详解】
由余弦定理得，
∴，∴，当且仅当时，等号成立．
此时．
若的面积取到最大，则，为等边三角形，
∴，由余弦定理得，
∴．
19. 设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
20. 已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）18.
【解析】
【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；
(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.
【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.
当y=0时，解得，所以a=4，
椭圆过点M(2，3)，可得，
解得b2=12.
所以C的方程：.
(2)设与直线AM平行的直线方程为：，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程与椭圆方程，
可得：，
化简可得：，
所以，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程：，
直线AM方程为：，
点N到直线AM距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得：，
由两点之间距离公式可得.
所以△AMN的面积的最大值：.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21. 已知实数，函数，是自然对数的底数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）求证：存在极值点，并求的最小值.
【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，根据的正负判定函数的增减即可；
（2）根据导数的分母正，需要分子有变号零点，转变为双变量函数的恒成立和有解问题，利用导数再次确定新函数单调性和最值即可求解.
【小问1详解】
当时，，
则
令，得；令，得；
所以，函数的单调增区间为，单调减区间为．
【小问2详解】
令，因为，
所以方程，有两个不相等的实根，
又因为，所以，令，列表如下:
所以存在极值点.所以存在使得成立，
所以存在使得，
所以存在使得对任意的有解，
因此需要讨论等式左边的关于的函数，记，所以，
当时，单调递减；当时，单调递增．
所以当时，的最小值为．
所以需要，即需要，
即需要，即需要
因为在上单调递增，且，
所以需要，
故的最小值是．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.若多做，则按所做的第一题计分.
22. 在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，弦AB的中点为N，求的值.
【答案】（1）的参数方程为（为参数），的直角坐标方程为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直线过点及倾斜角即可写出参数方程，根据极坐标与直角坐标的转化公式写出曲线C的直角坐标方程；
（2）将直线参数方程代入圆的方程，得到关于参数t的一元二次方程，根据根与系数的关系及参数的几何意义求解即可.
【小问1详解】
的参数方程为，即（为参数），
因为曲线的极坐标方程为，即，
所以化简得，
所以的直角坐标方程为；
【小问2详解】
将的参数方程代入的直角坐标方程，得，
整理，得，
此时，
设两点对应的参数分别为，，则，，
所以，异号，，
所以.
23. 已知函数，不等式的解集为．
（1）求的值；
（2）若三个实数，，，满足．证明：
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题意可得，即可得到方程组，解得即可；
（2）由（1）可知，则，利用柯西不等式即可证明.
【小问1详解】
∵不等式的解集为，
∴，即，∴，经检验得符合题意.
小问2详解】
∵，
∴
，
由柯西不等式可知：
，
∴，
即，
当且仅当，，时等号成立.
-
0
+
减
极小值
增