北师大版九年级数学下册第一章 直角三角形的边角关系（A卷·知识通关练）（原卷版）

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第一章 直角三角形的边角关系（A卷·知识通关练） 班级 姓名 学号 分数 核心知识1 理解正弦、余弦、正切的概念 核心知识2 求角的正弦值、余弦值、正切值 核心知识3 在网格中求角的正弦值、余弦值、正切值 核心知识4 已知正弦值、余弦值、正切值求边长 核心知识5 求特殊角的三角函数值 核心知识6 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 核心知识7 利用三角函数解决实际问题 核心知识1 理解正弦、余弦、正切的概念 例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022·浙江·金华市南苑中学九年级阶段练习）已知在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·上海·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A． B． C． D． 3．（2021·广东·佛山市南海区金石实验中学九年级期中）在△ABC中，∠C＝90°，，则（　　） A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝ 4．（2022·湖北湖北·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（    ）． A． B． C． D． 5．（2022·上海·九年级单元测试）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中成立的是（　　） A．sinA＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．tanA＝ 6．（2022·广西贺州·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，且a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则tanA等于（    ） A． B． C． D． 核心知识2 求角的正弦值、余弦值、正切值 例题：（2022·上海·九年级专题练习）在中，．下列四个选项，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022·山东·聊城江北水城旅游度假区北大培文学校九年级阶段练习）矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，tan∠AFE等于（　　） A． B． C． D． 2．（2022·江苏淮安·九年级阶段练习）已知Rt△ABC中，∠C=90°，，则tanA=_____． 3．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，正方形中，点是边的中点，，则______． 4．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图，菱形中，、相交于点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，当，，求的值． 核心知识3 在网格中求角的正弦值、余弦值、正切值 例题：（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（     ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（    ） A．3 B．2 C．2 D． 2．（2021·河北·唐山市第九中学九年级阶段练习）如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（        ） A． B． C．2 D． 3．（2022·山东潍坊·九年级阶段练习）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么的值为 _____． 4．（2021·河南·油田十中九年级阶段练习）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正切值是______．    5．（2022·上海市罗山中学九年级期中）如图，在正方形网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上，对角线AC交BD于点E，则tan∠CED的值是 _____． 6．（2021·四川乐山·三模）如图，在3×3的正方形网格中，A、B均为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，图中的点C是该弧与网格线的交点．则sin∠BAC的值等于_____． 7．（2022·福建·莆田擢英中学九年级期末）如图所示，∠1是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠1的值是_____． 8．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，则tanB＝__________． 核心知识4 已知正弦值、余弦值、正切值求边长 考点三 已知正弦值、余弦值、正切值求边长 例题：（2022·江苏·无锡市钱桥中学九年级阶段练习）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（    ） A．6 B．7.5 C．8 D．12.5 【变式训练】 1．（2021·浙江·宁波市兴宁中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12， ，则BC＝___． 2．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）已知中，，，，则的长为___________． 3．（2022·安徽宿州·一模）如图，在中，∠B＝90°，，若AB＝10，求BC的长． 4．（2022·河北·邢台市第六中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，BC=12，tanC=，求： (1)CD的长 (2)cosB的值 5．（2023·广东·惠州市惠阳区朝晖学校九年级开学考试）如图，在平行四边形中，于点，于点，平行四边形的周长为28，面积为40，．求： (1)的长； (2)的值． 核心知识5 求特殊角的三角函数值 考点四 求特殊角的三角函数值 例题：（2022·山东·济南阳光100中学九年级阶段练习）计算： (1) (2)． 【变式训练】 1．（2022·山东·乳山市乳山寨镇中心学校九年级阶段练习）在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，的值是（         ） A． B． C．1 D． 2．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）计算：． 3．（2022·湖北·大悟县实验中学九年级阶段练习）计算： 4．（2022·湖南·李达中学九年级阶段练习）计算： 5．（2022·吉林·长春市第五十二中学九年级阶段练习）计算：． 6．（2022·广东·深圳市光明区公明中学九年级阶段练习）计算：sin45°﹣|﹣3|+（2022﹣π）0+（）﹣1． 7．（2022·广东北江实验学校三模）计算：． 核心知识6 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 例题：（2022·海南·九年级专题练习）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点、、在同一条直线上，测得，，，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆， (1)求的距离； (2)求支撑杆上的到水平地面的距离是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据，，，） 【变式训练】 1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，∠AOM=160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，） 2．（2022·重庆·模拟预测）翠湖公园中有一四边形空地，如图1，已知空地边缘，且、之间的距离为30米，经测量，，长度为42米．（参考数据：，） (1)求空地边缘的长度；（结果精确到1米） (2)为了打造更具观赏性、娱乐性、参与性的城市名片，如图2，公园管理处准备在四边形空地内修建宽度为2米的园林卵石步道，其余地面铺成颗粒塑胶，经调研每平米卵石步道成本为80元，每平米颗粒塑胶成本为45元，公园目前可用资金有75000元，请用（1）的结果计算此次修建费用是否足够？ 3．（2022·上海·九年级专题练习）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，） 4．（2022·浙江绍兴·一模）如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得，求的长度．(结果精确到)（参考数据：） 5．（2022·浙江·九年级专题练习）小甬要外出参加“建党100周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，图②分别是他上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题． (1)求DE的长度（结果保留根号）； (2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）． 6．（2022·湖南·永州市冷水滩区京华中学九年级期中）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，于点，底座米，底座与支架所成的角，点在支架上，篮板底部支架.于点，已知米，米，米. (1)求篮板底部支架与支架所成的的度数． (2)求篮板底部点到地面的距离，（精确到0.1米）（参考数据：，） 核心知识7 利用三角函数解决实际问题 例题:（2021·陕西·渭南初级中学九年级期中）李威在A处看一棵大树的顶端D处的仰角是30°，向树的方向前进30米到B处看树顶D处的仰角是60°，李威的眼睛离地面高米，已知，E、F、G在一条直线上，求树高 是多少？（结果保留根号） 【变式训练】 1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后在地面上沿CB向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．求楼房AB高度．（结果保留根式） 2．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东方向上．（参考数据：，，，．） (1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米） (2)如果轮船M沿着南偏东的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由． 3.（2022·湖南·炎陵县教研室一模）如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼A栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：3，AB=2m，AE=8m． (1)求点B距水平面AE的高度BH． (2)求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414 ,≈1.732 ） 4．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）小明家住深圳某小区一楼，家里开了一间小卖部，小明的爸爸想把囤积的商品打折促销7天，因为考虑到疫情期间的安全问题，小明爸爸把一楼朝南的窗户改造成了营业窗口，如下图1，因为天气渐渐回暖，小明的爸爸想让小明帮忙设计一个可以伸缩的遮阳棚，如图2，AB表示窗户，高度为2米，宽度为3米，BCD表示直角遮阳篷，他打算选择的支架BC的高度为0．5米．小明为了最大限度地阻挡正午最强的阳光，为了测量太阳与地面的最大夹角，小明选择一个晴朗的天气，正午12点时在地面上竖立了一个长4米的木杆，测得落在地面的影子长为2．31米．参考数据（tan60°=≈1．73） (1)正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为________度，请你帮忙估算出没有遮阳棚时，正午12点时太阳照射到室内区域面积为___________．（结果保留根号） (2)正午12点时，太阳刚好没有射入室内此时的CD，并求此时CD的长．（结果保留根号） 5．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学九年级阶段练习）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向． (1)求点P到海岸线l的距离； (2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号） 6．（2022·山东·乳山市乳山寨镇中心学校九年级阶段练习）如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为30°，背水坡AD的坡度为1：1.2，坝顶宽DC为2.5米，坝高CF为4.5米．求： (1)坝底AB的长； (2)坡BC的长； (3)迎水坡BC的坡度．