2024年高考数学第一轮复习精品导学案第42讲 等比数列（学生版）+教师版

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1、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母__q__表示．
2、 等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1qn－1，这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．第二通项公式为：an＝amqn－m．
3、等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的前n项和公式：Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)(q≠1)或Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)(q≠1)．
注意：(1)当q＝1时，该数列是各项不为零的常数列，Sn＝na1；
(2)有关等比数列的求和问题，当q不能确定时，应分q＝1，q≠1来讨论．
4、等比数列的性质
(1)若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，则G2＝ab.
(2)等比数列{an}中，若m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有am·an＝ak·al，特别地，当m＋n＝2p时，am·an＝aeq \\al(2,p).
(3)设Sm是等比数列{an}的前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m满足关系式(S2m－Sm)2＝Sm·(S3m－S2m)．
(4)等比数列的单调性，若首项a1＞0，公比q>1或首项a1＜0，公比0(5)若{an}和{bn}均为等比数列，则{λan}(λ≠0)、{|an|}、eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))、{aeq \\al(2,n)}、eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))、{manbn}(m≠0)仍为等比数列．
1、（2022•乙卷（文））已知等比数列的前3项和为168，，则
A．14B．12C．6D．3
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，，由题意，．
前3项和为，，
，，
则，
故选：．
2、（2021•甲卷（文））记为等比数列的前项和．若，，则
A．7B．8C．9D．10
【答案】
【解析】为等比数列的前项和，，，
由等比数列的性质，可知，，成等比数列，
，2，成等比数列，
，解得．
故选：．
3、（2023•甲卷（文））记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】．
【解析】等比数列中，，
则，
所以，
解得．
故答案为：．
4、（2021•上海）已知为无穷等比数列，，的各项和为9，，则数列的各项和为 ．
【答案】．
【解析】设的公比为，
由，的各项和为9，可得，
解得，
所以，
，
可得数列是首项为2，公比为的等比数列，
则数列的各项和为．
故答案为：．
5、（2023•乙卷（理））已知为等比数列，，，则 ．
【答案】．
【解析】等比数列，
，解得，
而，可得，
即，
．
故答案为：．
6、（2021•甲卷（理））等比数列的公比为，前项和为．设甲：，乙：是递增数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】
【解析】若，，则，则是递减数列，不满足充分性；
，
则，
，
若是递增数列，
，
则，，
满足必要性，
故甲是乙的必要条件但不是充分条件，
故选：．
7、（2023•天津）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为
A．3B．18C．54D．152
【答案】
【解析】因为为等比数列，，
所以，，
由等比数列的性质可得，，
即，
所以或（舍，
所以，，
则．
故选：．
8、（2023•甲卷（理））已知等比数列中，，为前项和，，则
A．7B．9C．15D．30
【答案】
【解析】等比数列中，设公比为，
，为前项和，，显然，
（如果，可得矛盾，如果，可得矛盾），
可得，
解得，即或，
所以当时，．
当时，．没有选项．
故选：．
9、（2022•上海）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是
A．若，则数列是递增数列
B．若，则数列是递增数列
C．若数列是递增数列，则
D．若数列是递增数列，则
【答案】
【解析】如果数列，公比为，满足，但是数列不是递增数列，所以不正确；
如果数列，公比为，满足，但是数列不是递增数列，所以不正确；
如果数列，公比为，，数列是递增数列，但是，所以不正确；
数列是递增数列，可知，可得，所以，可得正确，所以正确；
故选：．
10、（2023•新高考Ⅱ）记为等比数列的前项和，若，，则
A．120B．85C．D．
【答案】
【解析】等比数列中，，，显然公比，
设首项为，则①，②，
化简②得，解得或（不合题意，舍去），
代入①得，
所以．
故选：．
1、若等比数列{an}的各项均为正数，a2＝3,4aeq \\al(2,3)＝a1a7，则a5等于( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(3,8) C．12 D．24
【答案】： D
【解析】： 数列{an}是等比数列，各项均为正数，
4aeq \\al(2,3)＝a1a7＝aeq \\al(2,4)，所以q2＝eq \f(a\\al(2,4),a\\al(2,3))＝4，
所以q＝2.
所以a5＝a2·q3＝3×23＝24，
故选D.
2、等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为( )
A. eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C. eq \f(1,9) D．－eq \f(1,9)
【答案】：B
【解析】：当n＝1时，a1＝S1＝3＋r，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3
＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1
＝eq \f(8,3)·9n－1，
所以3＋r＝eq \f(8,3)，即r＝－eq \f(1,3)，故选B.
3、已知递增的等比数列{an}中，a2＝6，a1＋1，a2＋2，a3成等差数列，则该数列的前6项和S6等
于( )
A．93 B．189 C.eq \f(189,16) D．378
【答案】：B
【解析】：设数列{an}的公比为q，由题意可知，q>1，
且2(a2＋2)＝a1＋1＋a3，
即2×(6＋2)＝eq \f(6,q)＋1＋6q，
整理可得2q2－5q＋2＝0，
则q＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(q＝\f(1,2)舍去))，则a1＝eq \f(6,2)＝3，
∴数列{an}的前6项和S6＝eq \f(3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－26)),1－2)＝189.
4、（2022年广州附属中学高三模拟试卷）已知等比数列的前n项和为，若，，则______．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，因为，，
所以，则，，
所以，解得，所以；
故答案为：
5、（2023·云南红河·统考一模）在数列中，，，若为等比数列，则____________．
【答案】127
【详解】设等比数列的公比为q，则，
所以，故．
故答案为：127.
考向一 等比数列的基本运算
例1、（1）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于( )
A．5 B．4 C．3 D．2
（2）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于( )
A．16 B．8 C．4 D．2
（3）（2021·吉林延边朝鲜族自治州·高三月考（文））已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】．（1）D（2）C（3）C
【解析】（1）：因为S2＝3，S4＝15，S4－S2＝12，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＝3，,a3＋a4＝12，))
两个方程左右两边分别相除，得q2＝4，因为数列是正项等比数列，所以q＝2，故选D.
：设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，
因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，
所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.
（3）【解析】：由，，成等差数列，
得：，
设的公比为，则，
解得：或，又单调递减， ，
，
解得：，数列的通项公式为：，
.
故选：C．
方法总结：(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解；
（2）等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q)。
考向二 等比数列的性质
例2、(1)已知等比数列{an}的各项为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10＝( )
A．12 B．10
C．8 D．2＋lg35
(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( )
A.eq \f(1,8) B．－eq \f(1,8)
C.eq \f(57,8) D.eq \f(55,8)
(3)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
【答案】(1)B (2)A (3)2
【解析】(1)由a5a6＋a4a7＝18，得a5a6＝9，
所以lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10＝lg3(a1a2…a10)
＝lg3(a5a6)5＝5lg39＝10.
(2)因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，
所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝eq \f(1,8)，
所以a7＋a8＋a9＝eq \f(1,8).
(3)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S奇＋S偶＝－240，,S奇－S偶＝80，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S奇＝－80，,S偶＝－160，))所以q＝eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(－160,－80)＝2.
变式1、 (1) 在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________；
【答案】 1 024
【解析】 由等比数列的性质可知，依次4项的积为等比数列，设其公比为q，T1＝a1a2a3a4＝1，T4＝a13a14a15a16＝8，所以T4＝T1q3＝1·q3＝8，即q＝2，所以T11＝a41a42a43a44＝T1·q10＝210＝1 024.
(2) 已知数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，n∈N*，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，则S12＝________；
【答案】 45
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，则 eq \f(a4＋a5＋a6,a1＋a2＋a3)＝q3＝ eq \f(6,3)＝2.因为S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝9，S12－S6＝a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12，所以 eq \f(S12－S6,S6)＝ eq \f(a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12,a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)＝q6＝4，所以S12＝5S6＝45.
(3) 已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝ eq \f(1,4)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________．
【答案】 eq \f(32,3)(1－4－n)
【解析】 因为a2＝2，a5＝ eq \f(1,4)，所以a1＝4，q＝ eq \f(1,2)，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝ eq \f(8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))\s\up12(n))),1－\f(1,4))
＝ eq \f(32,3)(1－4－n).
方法总结：(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用
考向三 等比数列的判定与证明
例3、（1）设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是( )
A．数列{anan＋1}是公比为q的等比数列
B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
D．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是公比为eq \f(1,q)的等比数列
【答案】：D
【解析】：对于A，由eq \f(anan＋1,an－1an)＝q2(n≥2)知其是公比为q2的等比数列；对于B，若q＝－1，则{an＋an＋1}项中有0，不是等比数列；对于C，若q＝1，则数列{an－an＋1}项中有0，不是等比数列；对于D，eq \f(\f(1,an＋1),\f(1,an))＝eq \f(an,an＋1)＝eq \f(1,q)，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是公比为eq \f(1,q)的等比数列，故选D.
（2）（2023·安徽蚌埠·统考三模）（多选）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则下列结论正确的是( )
A．数列是等差数列B．数列是等差数列
C．数列是等比数列D．数列是等差数列
【答案】ABC
【详解】设等差数列的公差为，则，∴．
对于A选项，，∴为等差数列，A正确；
对于B选项，令，
∴，
故数列是等差数列，B正确；
设等比数列的公比为，
对于C选项，令，则，故数列是等比数列，C正确；
对于D选项，∵不一定为常数，故数列不一定是等差数列，故D错误；
故选：ABC．
变式1、(1) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.若数列 {bn}满足b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，求证：数列{bn}是等比数列；
(2) 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝ eq \f(an＋an＋1,2)，n∈N*.
①令bn＝an＋1－an，求证：{bn}是等比数列；
②求数列{an}的通项公式．
【解析】 (1) 因为由例3(2)知an＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(n)，
所以当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(n)－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(n－1)))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(n－1)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(n)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(n).
又b1＝a1＝ eq \f(1,2)也符合上式，所以bn＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(n).
因为 eq \f(bn＋1,bn)＝ eq \f(1,2)，所以数列{bn}是等比数列．
(2) ①由题意，得b1＝a2－a1＝1.
当n≥2时，bn＝an＋1－an＝ eq \f(an－1＋an,2)－an＝－ eq \f(1,2)(an－an－1)＝－ eq \f(1,2)bn－1，则 eq \f(bn,bn－1)＝－ eq \f(1,2).
故{bn}是以1为首项，－ eq \f(1,2)为公比的等比数列．
②由①知bn＝an＋1－an＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) eq \s\up12(n－1)，
当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋…＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) eq \s\up12(n－2)＝1＋ eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))\s\up12(n－1),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝1＋ eq \f(2,3)[1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) eq \s\up12(n－1)]＝ eq \f(5,3)－ eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) eq \s\up12(n－1).
当n＝1时， eq \f(5,3)－ eq \f(2,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) eq \s\up12(1－1)＝1＝a1，
故an＝ eq \f(5,3)－ eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) eq \s\up12(n－1)(n∈N*).
变式2、（2022年河北省高三大联考模拟试卷）已知数列，满足，，且，
（1）求，的值，并证明数列是等比数列；
（2）求数列，的通项公式．
【解析】
（1）∵
∴，.
∵，∴＝
∴
∴是为首项，为公比的等比数列
（2）由（1）知是为首项，为公比的等比数列.
∴，∴
∵，∴
∴当时，
.
当时，也适合上式
所以数列的通项公式为
数列的通项公式为.
方法总结：证明一个数列为等差数列或者等比数列常用定义法与等差、等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等差或等比数列，则只要证明存在连续三项不成等差或等比数列即可．而研究数列中的取值范围问题，一般都是通过研究数列的单调性来进行求解
1、（2022年河北省张家口高三模拟试卷）已知等比数列各项均为正数，且，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【详解】根据等比数列的通项公式可知，，
所以，解得：或（舍），
故选：A
2、（2022年河北省衡水中学高三模拟试卷）等比数列{an}中，每项均为正数，且a3a8＝81，则lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10等于（ ）
A. 5B. 10C. 20D. 40
【答案】C
【解析】
【详解】是等比数列，则，
所以lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10．
故选：C．
3、（2023·吉林长春·统考三模）已知等比数列的公比为（且），若，则的值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【详解】已知等比数列的公比为（且），若，
则，所以，解得.
故选：C.
4、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）（多选题）已知是等比数列的前项和，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据与的关系以及是等比数列，可求得，.进而判断数列是以8为首项，4为公比的等比数列，根据等比数列前项和公式即可判断C、D项.
【详解】当时，，
当时，.
因为是等比数列，所以需满足，所以，.
所以，A项正确，B项错误；
因为，，
所以数列是以8为首项，4为公比的等比数列.
所以，所以C项错误，D项正确.
故选：AD.
5、（2023·湖南永州·统考三模）已知等比数列，其前项和为，若，，则________.
【答案】4或16
【详解】设等比数列的首项为，公比为，由题意可知，
，解得：或，
所以或
故答案为：4或16
6、（2023·江苏南通·统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式__________.
①；②
【答案】（答案不唯一）
【分析】可构造等比数列，设公比为，由条件，可知公比为负数且，再取符合的值即可得解.
【详解】可构造等比数列，设公比为，
由，可知公比为负数，
因为，所以，
所以可取设，
则.
故答案为：.
7、（2023·江苏泰州·统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{}的通项公式＝___．
①；②
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题目所给条件以及等比数列的知识求得正确答案.
【详解】依题意，是等比数列，设其公比为，
由于①，所以，
由于②，所以，
所以符合题意.
故答案为：（答案不唯一）