2024年高考数学第一轮复习精品导学案第40讲 数列的概念与简单表示（学生版）+教师版

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(1)按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．数列可以看做是定义域为N*或其非空子集的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，其图像是一群孤立的点．
注：数列是特殊的函数，应注意其定义域，不要和函数的定义域混淆．
(2)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中a1称为数列{an}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，an称为第n项．
2. 数列的分类
(1)数列按项数的多少来分：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
(2)按前后项的大小来分：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列．
3. 数列的通项公式
一般地，如果数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的通项公式．
注：并不是每一个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一．
4. 数列的表示方法
数列可以用通项公式来描述，也可以通过图像或列表来表示．
1、下列可作为数列1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是 ( )
A. an＝ eq \f(1＋(－1)n-1,2)
B. an＝ eq \f(3＋(－1)n,2)
C. an＝2－sin eq \f(nπ,2)
D. an＝2－cs [(n－1)π]
【答案】 B
【解析】 当n＝2时，A中a2＝0，D中a2＝3，故排除A，D；当n＝3时，C中a3＝3，故排除C；在B中，当n为奇数时，an＝1；当n为偶数时，an＝2.故B符合．
2.、已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3是数列{an}中的( )
A. 第2项
B. 第6项
C. 第2项或第6项
D. 第3项
【答案】 C
【解析】 令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或n＝6，故3是数列{an}中的第2项或第6项．
3、在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋ eq \f(1,an－1)(n≥2)，则a5＝________．
【答案】 eq \f(8,5)
【解析】 由题意，知a1＝1，a2＝2，a3＝ eq \f(3,2)，a4＝ eq \f(5,3)，a5＝ eq \f(8,5).
4、 (2022·南京三模)写出一个同时具有下列性质①②③的数列{an}的通项公式：an＝________．
①数列{an}是无穷等比数列；
②数列{an}不单调；
③数列{|an|}单调递减．
【答案】 an＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) eq \s\up12(n)(答案不唯一)
【解析】 由题意可得，an＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) eq \s\up12(n)满足①数列{an}是无穷等比数列；②数列{an}不单调；③数列{|an|}单调递减．
5. 若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1，2，3，…)，则此数列的通项公式为an＝________；数列{nan}中最小的项是第________项．
【答案】 2n－11 3
【解析】 因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－10n)－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也满足an＝2n－11，所以an＝2n－11，所以nan＝2n2－11n＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(11,4))) eq \s\up12(2)－ eq \f(121,8).又因为n∈N*，所以当n＝3时，nan取得最小值．
考向一 已知数列的前几项求通项
例1 根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：
(1) 4，6，8，10，…；
(2) eq \f(1,2)， eq \f(3,4)， eq \f(7,8)， eq \f(15,16)， eq \f(31,32)，…；
(3) eq \f(1,2)， eq \f(1,4)，－ eq \f(5,8)， eq \f(13,16)，－ eq \f(29,32)， eq \f(61,64)，…；
(4) 9，99，999，9 999，….
【解析】 (1) 因为各数都是偶数，且最小为4，
所以an＝2(n＋1)(n∈N*).
(2) 注意到分母分别是21，22，23，24，25，…，而分子比分母少1，所以an＝ eq \f(2n－1,2n)(n∈N*).
(3) 分母规律明显，而第2，3，4项的绝对值的分子比分母少3，因此可考虑将第1项变为－ eq \f(2－3,2)，
这样原数列可化为－ eq \f(21－3,21)， eq \f(22－3,22)，－ eq \f(23－3,23)， eq \f(24－3,24)，－ eq \f(25－3,25)， eq \f(26－3,26)，…，
所以an＝(－1)n· eq \f(2n－3,2n)(n∈N*).
(4) 原数列可化为101－1，102－1，103－1，104－1，…，
所以an＝10n－1(n∈N*
变式、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1) 1，－eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，－eq \f(1,4)，…；
(2) 2,0,2,0，….
【解答】（1） 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝eq \f(－1n＋1,n).
（2） 这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1.
方法总结：已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑：
(1) 负号用(－1)n与(－1)n＋1或(－1)n－1来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错．
(2) 公式形式的数列，分子、分母找通项，要充分借助分子、分母的关系．
(3) 对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法解决．
考向二 由an与Sn的关系求通项an
例2 (1) 已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，求它的通项公式an；
(2) 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－n，求它的通项公式an.
【解析】 (1) 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n-1－1)＝2·3n-1；
当n＝1时，a1＝S1＝2也满足an＝2·3n-1.
故数列{an}的通项公式为an＝2·3n-1.
(2) 因为a1＝S1＝12－1＝0；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n)－[(n－1)2－(n－1)]＝2n－2，
当n＝1时，也满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－2.
变式1、(1) 已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋1，求它的通项公式an；
(2) 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－n＋1，求它的通项公式an.
【解析】 (1) 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－(3n-1＋1)＝2·3n-1；
当n＝1时，a1＝S1＝4不满足an＝2·3n-1，
故数列{an}的通项公式为an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4， n＝1，,2·3n-1， n≥2.))
(2) 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n＋1)－[(n－1)2－(n－1)＋1]＝2n－2；
当n＝1时，a1＝S1＝12－1＋1＝1不满足an＝2n－2，
故数列{an}的通项公式为an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1， n＝1，,2n－2， n≥2.))
变式2、已知数列{an}的前n项和Sn，求通项an．
(1) Sn＝3n－1；
(2) Sn＝n2＋3n＋1．
【解析】：(1) n＝1时，a1＝S1＝2．
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1．
当n＝1时，an＝1符合上式．
∴ an＝2·3n－1．
n＝1时，a1＝S1＝5．
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2．
当n＝1时a1＝5不符合上式．
∴ an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5，n＝1，,2n＋2，n≥2.))
方法总结：由数列{an}的前n项和Sn，求通项an的问题，要分成两段：an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))不要遗漏n＝1的情形．因题(2)含字母b，首项是否满足，还需要对b进行分类讨论．本题侧重考查分类讨论的数学思想．
方法总结：一般地，对于形如an＋1＝an＋f(n)类的通项公式，只要f(1)＋f(2)＋…＋f(n)能进行求和，则宜采用叠加法求解；对于形如an＋1＝f(n)·an类的通项公式，当f(1)·f(2)·…·f(n)的值可以求得时，宜采用累乘法求解；对于形如an＋1＝can＋d的递推数列求通项公式，可通过适当换元，转换成等比数列或等差数列求解
1、数列{an}的前几项为eq \f(1,2)，3，eq \f(11,2)，8，eq \f(21,2)，…，则此数列的通项可能是( )
A．an＝eq \f(5n－4,2) B．an＝eq \f(3n－2,2)
C．an＝eq \f(6n－5,2) D．an＝eq \f(10n－9,2)
【答案】A
【解析】数列为eq \f(1,2)，eq \f(6,2)，eq \f(11,2)，eq \f(16,2)，eq \f(21,2)，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故通项公式为an＝eq \f(5n－4,2).
2、在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋eq \f(－1n,an－1)(n≥2)，则a5等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(5,3)
C.eq \f(8,5) D.eq \f(2,3)
【答案】D
【解析】a2＝1＋eq \f(－12,a1)＝2，a3＝1＋eq \f(－13,a2)＝eq \f(1,2)，a4＝1＋eq \f(－14,a3)＝3，a5＝1＋eq \f(－15,a4)＝eq \f(2,3).
3、（多选题）（2021·山东济南市·高三一模）年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线.如图，取一个边长为的正三角形，在每个边上以中间的为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的擦掉，得到第个图形，重复上面的步骤，得到第个图形.这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线.云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”.下列说法正确的是（ ）
A．第个图形的边长为
B．记第个图形的边数为，则
C．记第个图形的周长为，则
D．记第个图形的面积为，则对任意的，存在正实数，使得
【答案】BCD
【解析】
由题意，各个图形的边长成首项为，且的等比数列，
可得可设边长为，则，所以A错误；
由各个图形的边数也成等比数列且，所以，所以B正确；
由第个图形的周长为，可得周长为，所以C正确；
当时，图形无限接近于圆，可得，所以D正确.
故选: BCD.
4、(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________.
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(1,3)an＋eq \f(2,3)，则{an}的通项公式an＝________.
(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________.
【答案】 (1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2)) (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－1
(3)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,\f(2n－1,n)，n≥2))
【解析】 (1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1.因此an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2.))
(2)当n＝1时，a1＝S1＝eq \f(1,3)a1＋eq \f(2,3)，所以a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq \f(1,3)an－eq \f(1,3)an－1，所以eq \f(an,an－1)＝－eq \f(1,2)，所以数列{an}为首项a1＝1，公比q＝－eq \f(1,2)的等比数列，故an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－1.
(3)当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2.
∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n.①
故a1＋2a2＋3a3－…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②
由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1.∴an＝eq \f(2n－1,n).
显然当n＝1时不满足上式．
∴an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,\f(2n－1,n)，n≥2.))