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北师大版五年级数学上册第5单元 分数的意义_第06讲_最小公倍数(教师版) 试卷
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这是一份北师大版五年级数学上册第5单元 分数的意义_第06讲_最小公倍数(教师版)，共13页。
小学数学辅导讲义
[北师大版]
学员姓名
年 级
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学科教师
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知识图谱
最小公倍数的认识
知识精讲
一．公倍数和最小公倍数的概念
几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数．
二．求两个数的最小公倍数的方法
1．列举法：分别写出两个数各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数．
2．筛选法：先写出两个数中较大数（或较小数）的倍数，然后从这组数中按从小到大的顺序圈出较小数（或较大数）的倍数，第一个圈出的数就是它们的最小公倍数．
3．分解质因数法：分别把两个数分解质因数，公有的质因数对齐写，特有的质因数单独写，然后公有的质因数取一个，特有的质因数都取出来，把它们连乘，所得的积就是它们的最小公倍数．
4．短除法：用两个数公有的质因数按从小到大的顺序依次作为除数连续去除这两个数，一直除到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数和最后所得的商连乘，所得的积就是它们的最小公倍数．
三．两个数的公倍数与最小公倍数的关系
两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数．
典型例题 怎样求6和8的公倍数及最小公倍数？
名师学堂求6和8的公倍数及最小公倍数．
方法一：列举法．方法分析：根据公倍数的概念，先找出6的倍数，再找出8的倍数，然后找出6和8的公倍数，最后从中找出最小的一个．解答过程：6的倍数有6、12、18、24、30、36、42、48、……，8的倍数有8、16、24、32、40、48、……．6和8的公倍数有24、48、……，其中最小公倍数是24．
方法二：筛选法．方法分析：先找出两个数中较大数8的倍数，然后从8的倍数中按从小到大的顺序圈出6的倍数，第一个圈出的数就是6和8的最小公倍数．解答过程：8的倍数有8、16、24、32、40、48、……．8的倍数中是6的倍数的有24、48、……．6和8的公倍数有24、48、……，其中最小公倍数是24．
方法三：分解质因数法．方法分析：6和8的最小公倍数中既包含6的所有质因数，又包含8的所有质因数，且两个数公有的质因数只取一个．所以6和8的最小公倍数里必须包含它们全部公有的质因数（一个2）、6特有的质因数（一个3）和8特有的质因数（两个2）．解答过程：，．6和8的最小公倍数是．
方法四：短除法．方法分析：找出6和8公有的质因数2，用2分别去除6和8，看它们的商是不是只有公因数1，如果只有公因数1，就不用再除了，然后把除数2和所得的两个商连乘，所得的积就是6和8的最小公倍数．解答过程：，6和8的最小公倍数是．
明确两个数的公倍数与最小公倍数的关系．
观察发现．6和8的公倍数有24、48、72、……，6和8的最小公倍数是24．其中24、48、72、……都是24的倍数．发现：两个数的公倍数是它们最小公倍数的倍数．
举例验证．4和6的公倍数有12、24、36、48、……，4和6的最小公倍数是12．12、24、36、48、……都是12的倍数．
得出结论：两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数．
三点剖析
重点：理解公倍数和最小公倍数的概念．
难点：掌握求两个数的最小公倍数的方法．
易错点：区分公倍数和最小公倍数．
公倍数和最小公倍数的概念
例题
例题1、a是一个非0自然数，它的最小因数是（ ），最大因数是（ ），最小倍数是（ ）。
【答案】1，a（或它本身），a（或它本身）
【解析】1，a（或它本身），a（或它本身）
例题2、辨一辨．（对的画“√”，错的画“×”）
（1）一个数的最小倍数和最大因数都等于它本身．（ ）
（2）一个数的因数个数是有限的．（ ）
（3）所有的自然数不是质数，就是合数．（ ）
（4）0比负数大．（ ）
（5）0除外，相邻的两个自然数都是互质数．（ ）
【答案】（1）√（2）√（3）（4）√（5）√
【解析】（1）√（2）√（3）（4）√（5）√
例题3、选一选．（将正确答案的序号填在括号里）
（1）如果甲数＝2×3×5，乙数＝2×2×5，那么甲数和乙数的最小公倍数是（ ）．
①600 ②300 ③60 ④10
（2）甲数是乙数的5倍，甲、乙两数的最小公倍数是（ ）．
①甲数 ②乙数
③5 ④甲、乙两数之积
（3）两个数的（ ）的个数是无限的．
①公因数 ②公倍数
③最小公倍数 ④最大公因数
【答案】（1）③（2）①（3）②
【解析】（1）③（2）①（3）②
例题4、小红家的电话号码是ABCDEFGH共八个数字，其中A是最大的一位数，B是5的最大因数，C是因数只有1和3的数，D是既是质数又是偶数的数，E是最小的自然数，F是一位数中最大的质数，G是最小的奇数，H是8的最小倍数．你知道小红家的电话号码是多少吗？
【答案】95320718
【解析】95320718
例题5、一个两位数被3，5除都余2，它最小是（ ）．
A.12
B.32
C.15
D.17
【答案】 D
【解析】D
随练
随练1、想一想，填一填．
（1）几个数（ ）的倍数，叫作它们的公倍数，其中最小的一个叫作这几个数的（ ）．
（2）一个两位数，既是6的倍数，又是8的倍数，这个两位数最小是（ ），最大是（ ）．
（3）两个连续偶数的和是22，这两个数分别是（ ）和（ ），它们的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）．
【答案】（1）公有最小公倍数（2）24 96 （3）10 12 2 60
【解析】（1）公有最小公倍数（2）24 96 （3）10 12 2 60
随练2、在下表中用“△”标出4的倍数，用“○”标出7的倍数。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
哪些数上既标有“△”又标有“○”？这些数有什么特点？
【答案】4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48；7的倍数：7，14，21，28，35，42，49
28既标有“△”又标有“○”。它既是4的倍数，又是7的倍数，且是偶数（答案不唯一）
【解析】4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48；7的倍数：7，14，21，28，35，42，49
28既标有“△”又标有“○”。它既是4的倍数，又是7的倍数，且是偶数（答案不唯一）
随练3、a＝bc（a，b，c均为非零自然数），那么，a是b和c的倍数。（ ）
【答案】√
【解析】√
求两个数的最小公倍数的方法
例题
例题1、27和18的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）．
【答案】9 54
【解析】9 54
例题2、想一想，填一填。12和16的最小公倍数是多少？
【答案】填圈略；48
【解析】填圈略；48
例题3、已知a＝2×2×3×5，b＝2×5×7，a和b的最小公倍数是（ ），它们的最大公因数是（ ）。
【答案】420 10
【解析】420 10
随练
随练1、写出每组分数的两个分母的最小公倍数。
和和和
和和和
【答案】25，21，40，36，96，48
【解析】25，21，40，36，96，48
随练2、求下列每组数的最小公倍数．
16和24 18和12 30和40
【答案】48 36 120
【解析】48 36 120
随练3、每朵花只落在自己数字的倍数的枝叶上．哪束枝叶上两朵花都会落下，就将它圈出来．
【答案】12 24
【解析】12 24
最小公倍数的应用
知识精讲
一．两个数的最小公倍数的特殊情况
1．当两个数成倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数．
2．当两个数只有公因数1时，这两个数的积就是它们的最小公倍数．
二．用公倍数和最小公倍数知识解决简单的实际问题
当所求量分别与两个已知量的倍数有关时，可以用公倍数或最小公倍数知识解决．
典型例题 （1）找出下列每组数的最小公倍数，你有什么发现？
12和36，5和25；3和11，8和9
（2）如果用这种墙砖铺一个正方形（用的墙砖必须都是整块），正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？
名师学堂（1）找出每组数的最小公倍数．12和36的最小公倍数是36；5和25的最小公倍数是25．3和11的最小公倍数是33；8和9的最小公倍数是72．
观察每组数中两个数的特点．12和36、5和25每组中的两个数都成倍数关系；3和11、8和9每组中的两个数都是互质数．
探究每组中两个数的最小公倍数与这两个数的关系．12和36的最小公倍数是36，是这两个数中较大的数，5和25的最小公倍数是25也同样．3和11的最小公倍数是33，是这两个数的积，8和9的最小公倍数是72也同样．
（2）观图、读题，理解题意．已知条件：墙砖长3dm，宽2dm，用这种墙砖铺一个正方形，用的墙砖必须都是整块．所求问题：正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？
探究解题方法．用整块的墙砖铺一个正方形，说明正方形的边长既是3的倍数又是2的倍数，所以只要找出2和3的公倍数和最小公倍数，就能知道铺成的正方形的边长可以是多少分米，最小是多少分米．
解决问题．2和3的公倍数：6、12、18、……，2和3的最小公倍数是6．所以铺成的正方形的边长可以是6dm、12dm、18dm、……，最小是6dm．
用画图法验证结果的准确性．在边长为6dm的正方形上画一画，铺满这个正方形正好需要6块墙砖，如图一．在边长为12dm的正方形上画一画，铺满这个正方形正好需要24块墙砖，如图二．在边长为18dm、24dm、……的正方形上画一画，铺满这个正方形正好需要54块、96块、……墙砖．
得出结论．所铺成的正方形的边长一定是墙砖长和宽的公倍数；所铺成的最小正方形的边长是墙砖长和宽的最小公倍数．
三点剖析
重点：用公倍数和最小公倍数知识解决简单的实际问题．
难点：将实际问题转化成数学问题．
易错点：用公倍数和最小公倍数解决实际问题，明确求哪几个数的公倍数或最小公倍数．
求两个数的最小公倍数的特殊情况
例题
例题1、先找出下列各组数的最小公倍数，再写出你的发现．
（1）5和7________；15和1________；9和10________；4和9________；3和8________；9和5________．我发现：________________________________．
（2）11和22________；9和27________；15和30________；6和1________；16和8________；14和7________．我发现：________________________________．
【答案】（1）35 15 90 36 24 45
公因数只有1的两个数的最小公倍数是它们的乘积．
（2）22 27 30 6 16 14 当一个数是另一个数的倍数时，较大的数就是它们的最小公倍数
【解析】（1）35 15 90 36 24 45
公因数只有1的两个数的最小公倍数是它们的乘积．
（2）22 27 30 6 16 14 当一个数是另一个数的倍数时，较大的数就是它们的最小公倍数
例题2、甲数是乙数的3倍，甲、乙两数的和是32，求甲、乙两数的最大公因数和最小公倍数。
【答案】最大公因数：8，最小公倍数：24
【解析】最大公因数：8，最小公倍数：24
例题3、求下列每组数的最小公倍数。
20和36 48和12
9和5 10和16
3，4和6 5，8和18
2，3和6 4，5和6
【答案】180 48 45 80 12 360 6 60
【解析】180 48 45 80 12 360 6 60
例题4、m÷4＝n（m，n均是不为0的自然数），m和n的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）．
【答案】n m
【解析】n m
例题5、找出下列各组数的最小公倍数，你有什么发现？
（1）7和35（ ） 48和6（ ）
3和21（ ） 16和4（ ）
我发现：两个数，如果较大数是较小数的（ ），那么（ ）就是这两个数的最小公倍数。
（2）3和5（ ） 4和13（ ）
12和1（ ） 8和9（ ）
我发现：如果两个数是（ ），那么这两个数的（ ）就是它们的最小公倍数。
【答案】（1）35 48 21 16 倍数 较大数（2）15 52 12 72 互质数 积
【解析】（1）35 48 21 16 倍数 较大数（2）15 52 12 72 互质数 积
拓展5、选择。
（1）16和9的最小公倍数是（ ）。
A．1 B．16 C．144
（2）两个非0自然数的公倍数（ ）。
A．个数是有限的 B．有无数个 C．个数不一定
（3）两个相邻的非0自然数，它们的最小公倍数是（ ）。
A．较大的数 B．1 C．它们的积
（4）若a×b＝21，a，b是互质数，则a和b的最小公倍数是（ ）。
A．a B．b C．21
（5）a÷b＝8，a和b的最小公倍数是（ ）。
A．a B．b C．8
【答案】（1）C（2）B（3）C（4）C（5）A
【解析】（1）C（2）B（3）C（4）C（5）A
随练
随练1、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。（ ）
【答案】√
【解析】√
随练2、求出下列各组数的最小公倍数．
6和8 3和9 6和10 4和5
【答案】6和8的最小公倍数是24；3和9的最小的公倍数是9；6和10的最小公倍数是30；4和5的最小公倍数是20．
【解析】6和8的最小公倍数是24；3和9的最小的公倍数是9；6和10的最小公倍数是30；4和5的最小公倍数是20．
随练3、填表并回答问题。
1
2
3
4
3
6
7
8
9
10
3
3
6
4
4
8
30以内3和4的公倍数有________，最小公倍数是________。
【答案】填表略；12，24；12
【解析】填表略；12，24；12
用公倍数、最小公倍数知识解决实际问题
例题
例题1、五年级部分学生参加植树活动，如果分成3人一组，4人一组，6人一组，都少1人。五年级最少有多少人参加了植树活动？
【答案】11
【解析】最少为3、4、6的最小公倍数减1人，
，（人）
例题2、小羊、小鹿和小熊在同一个小水池中饮水．小羊每2天到池边饮一次水，小鹿每3天到池边饮一次水，小熊每4天到池边饮一次水．若它们7月1日都到池边饮水，它们在7月份里共有几次是同一天到池边饮水？
【答案】7月1日、7月13日、7月25日，共三次
【解析】7月1日、7月13日、7月25日，共三次
例题3、五年级有100多人参加校园集体舞表演，如果把参加表演的同学按7人或8人一列，都正好可以排成十几排，参加校园集体舞表演的同学有多少人？
【答案】7和8的最小公倍数是56 56×2=112（人）
【解析】7和8的最小公倍数是56 56×2=112（人）
例题4、
我带的钱如果都买牛奶，还剩3元；如果都买奶茶，也剩3元．
小丽
小丽至少带了多少钱？
【答案】27元
【解析】27元
例题5、某班级有学生若干人，若6人一排，则少3人，若7人一排，则多3人，这个班至少有多少人？
【答案】6人一排，则少3人，也可以看成多3人，
【解析】6人一排，则少3人，也可以看成多3人，
例题6、妈妈买了一大袋水果糖，4颗4颗地数多2颗，6颗6颗地数多4颗，9颗9颗地数多7颗，这袋糖的数量在160至200颗之间，这袋水果糖有多少颗？
【答案】4颗4颗的数多2颗，可看成少2颗；
6颗6颗的数多4颗，可看成少2颗；
9颗9颗的数多2颗，可看成少2颗.
,
4、6、9的最小公倍数是，，
【解析】4颗4颗的数多2颗，可看成少2颗；6颗6颗的数多4颗，可看成少2颗；9颗9颗的数多2颗，可看成少2颗. ,4、6、9的最小公倍数是，，
随练
随练1、有一堆萝卜，平均分给小兔子，无论分给8只小兔子还是分给12只小兔子，都正好分完．这堆萝卜至少有多少个？
【答案】这堆萝卜至少有24个
【解析】这堆萝卜至少有24个
随练2、一种瓷砖长4dm，宽3dm．如果用这种瓷砖铺一个正方形的房间（用的瓷砖必须都是整块），正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？
要用整块的长4dm、宽3dm的长方形瓷砖铺出一个正方形，正方形的边长必须既是4的________，又是3的________．只要找出4和3的________和________，就能求出正方形的边长和最小边长．
【答案】倍数 倍数 公倍数 最小公倍数 正方向的边长可以是12dm、24dm、36dm…
【解析】倍数 倍数 公倍数 最小公倍数 正方向的边长可以是12dm、24dm、36dm…
随练3、金湖县城公交车调度站早上5时40分同时发1路车和2路车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔12分钟发一辆，这两路车几时几分第二次同时发车？（先填表再回答）
1路车
5时
40分
5时
50分
2路车
5时
40分
【答案】
1路车
5时
40分
5时
50分
6时整
6时10分
6时20分
6时30分
6时40分
2路车
5时
40分
5时52分
6时4分
6时16分
6时28分
6时40分
6时52分
【解析】
1路车
5时
40分
5时
50分
6时整
6时10分
6时20分
6时30分
6时40分
2路车
5时
40分
5时52分
6时4分
6时16分
6时28分
6时40分
6时52分
拓展
拓展1、把8和10的倍数、公倍数填在相应的位置，并圈出它们的最小公倍数．
两个数（ ）（填“有”或“没有”）最大的公倍数，公倍数的个数是（ ）的．
【答案】略 没有 无线
【解析】略 没有 无线
拓展2、下面每组数的公倍数中有没有20？有没有36？有没有48？有没有64？
①8和16 ②2和5
③6和12 ④3和4
⑤32和16 ⑥9和6
（1）公倍数中有20的：________
（2）公倍数中有36的：________
（3）公倍数中有48的：________
（4）公倍数中有64的：________
【答案】（1）①（2）③④⑥（3）①③④（4）①⑤
【解析】（1）①（2）③④⑥（3）①③④（4）①⑤
拓展3、填空。
（1）50以内6的倍数有（ ）。
50以内9的倍数有（ ）。
50以内，6和9的公倍数有（ ）。
6和9的最小公倍数是（ ）。
（2）
【答案】（1）6,12,18,24,30,36,42,48 9,18,27,36,45 18,36 18
（2）
3，6，9，12，18，21，24，27，33，36，39，42，48
5，10，20，25，35，40
15,30,45
50以内3的倍数
50以内5的倍数
50以内3和5的公倍数
【解析】（1）6,12,18,24,30,36,42,48 9,18,27,36,45 18,36 18
（2）
3，6，9，12，18，21，24，27，33，36，39，42，48
5，10，20，25，35，40
15,30,45
50以内3的倍数
50以内5的倍数
50以内3和5的公倍数
拓展4、圈一圈，填一填．
（1）看图用红笔圈出6的倍数，用黑笔圈出9的倍数．
通过观察可以发现：6和9有相同的倍数，它们是________；我们把6和9公有的倍数叫做6和9的________；其中，________是最小的公倍数，叫做最小公倍数．
（2）
5和8的最小公倍数是（ ）．
【答案】略
【解析】略
拓展5、选择。
（1）16和9的最小公倍数是（ ）。
A．1 B．16 C．144
（2）两个非0自然数的公倍数（ ）。
A．个数是有限的 B．有无数个 C．个数不一定
（3）两个相邻的非0自然数，它们的最小公倍数是（ ）。
A．较大的数 B．1 C．它们的积
（4）若a×b＝21，a，b是互质数，则a和b的最小公倍数是（ ）。
A．a B．b C．21
（5）a÷b＝8，a和b的最小公倍数是（ ）。
A．a B．b C．8
【答案】（1）C（2）B（3）C（4）C（5）A
【解析】（1）C（2）B（3）C（4）C（5）A
拓展6、a＝2×3×5×7，b＝2×5×5×7，a和b的最大公因数是几，最小公倍数是几？
【答案】a和b的最大公因数是，a和b的最小公倍数是
【解析】a和b的最大公因数是，a和b的最小公倍数是
拓展7、（6）a是b的倍数，b是a的因数，则a和b的最大公因数是（），a和b的最小公倍数是（）。
【答案】b，a
【解析】b，a
拓展8、a和b的最小公倍数是a，那么这两个数的最大公因数是b。（ ）
【答案】√
【解析】√
拓展9、先填表，再作答。
a
12
7
15
6
b
4
13
10
8
a与b的乘积
a与b的最大公因数
a与b的最小公倍数
（1）观察比较a与b的乘积与最大公因数和最小公倍数的关系，你发现了什么？将你的发现写出来。
（2）根据上面的发现，如果a与b的乘积是300，a与b的最大公因数是5，那么a与b的最小公倍数是多少？
【答案】填表略。（1）我发现了：a与b的乘积=最大公因数x最小公倍数（2）则a与b的最小公倍数是60
【解析】填表略。（1）我发现了：a与b的乘积=最大公因数x最小公倍数（2）则a与b的最小公倍数是60
拓展10、春光小学开展队列比赛，学生们按12人一排，正好分成整排，按16人一排也正好分成整排．操场上至少有多少名学生？
【答案】48名
【解析】48名
拓展11、
我带的钱如果都买牛奶，还剩3元；如果都买果汁，也剩3元。
妈妈至少带了多少钱？
【答案】，
【解析】，
拓展12、早锻炼时，爸爸发现路边有一排电线杆每相邻两根间的距离是45m，现在要改成60m，如果起点的那根不动，再隔多远又有一根不必移动？
【答案】，再间隔又有一根不必移动
【解析】，再间隔又有一根不必移动
小学数学辅导讲义
[北师大版]
学员姓名
年 级
辅导科目
学科教师
上课时间
知识图谱
最小公倍数的认识
知识精讲
一．公倍数和最小公倍数的概念
几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数．
二．求两个数的最小公倍数的方法
1．列举法：分别写出两个数各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数．
2．筛选法：先写出两个数中较大数（或较小数）的倍数，然后从这组数中按从小到大的顺序圈出较小数（或较大数）的倍数，第一个圈出的数就是它们的最小公倍数．
3．分解质因数法：分别把两个数分解质因数，公有的质因数对齐写，特有的质因数单独写，然后公有的质因数取一个，特有的质因数都取出来，把它们连乘，所得的积就是它们的最小公倍数．
4．短除法：用两个数公有的质因数按从小到大的顺序依次作为除数连续去除这两个数，一直除到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数和最后所得的商连乘，所得的积就是它们的最小公倍数．
三．两个数的公倍数与最小公倍数的关系
两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数．
典型例题 怎样求6和8的公倍数及最小公倍数？
名师学堂求6和8的公倍数及最小公倍数．
方法一：列举法．方法分析：根据公倍数的概念，先找出6的倍数，再找出8的倍数，然后找出6和8的公倍数，最后从中找出最小的一个．解答过程：6的倍数有6、12、18、24、30、36、42、48、……，8的倍数有8、16、24、32、40、48、……．6和8的公倍数有24、48、……，其中最小公倍数是24．
方法二：筛选法．方法分析：先找出两个数中较大数8的倍数，然后从8的倍数中按从小到大的顺序圈出6的倍数，第一个圈出的数就是6和8的最小公倍数．解答过程：8的倍数有8、16、24、32、40、48、……．8的倍数中是6的倍数的有24、48、……．6和8的公倍数有24、48、……，其中最小公倍数是24．
方法三：分解质因数法．方法分析：6和8的最小公倍数中既包含6的所有质因数，又包含8的所有质因数，且两个数公有的质因数只取一个．所以6和8的最小公倍数里必须包含它们全部公有的质因数（一个2）、6特有的质因数（一个3）和8特有的质因数（两个2）．解答过程：，．6和8的最小公倍数是．
方法四：短除法．方法分析：找出6和8公有的质因数2，用2分别去除6和8，看它们的商是不是只有公因数1，如果只有公因数1，就不用再除了，然后把除数2和所得的两个商连乘，所得的积就是6和8的最小公倍数．解答过程：，6和8的最小公倍数是．
明确两个数的公倍数与最小公倍数的关系．
观察发现．6和8的公倍数有24、48、72、……，6和8的最小公倍数是24．其中24、48、72、……都是24的倍数．发现：两个数的公倍数是它们最小公倍数的倍数．
举例验证．4和6的公倍数有12、24、36、48、……，4和6的最小公倍数是12．12、24、36、48、……都是12的倍数．
得出结论：两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数．
三点剖析
重点：理解公倍数和最小公倍数的概念．
难点：掌握求两个数的最小公倍数的方法．
易错点：区分公倍数和最小公倍数．
公倍数和最小公倍数的概念
例题
例题1、a是一个非0自然数，它的最小因数是（ ），最大因数是（ ），最小倍数是（ ）。
【答案】1，a（或它本身），a（或它本身）
【解析】1，a（或它本身），a（或它本身）
例题2、辨一辨．（对的画“√”，错的画“×”）
（1）一个数的最小倍数和最大因数都等于它本身．（ ）
（2）一个数的因数个数是有限的．（ ）
（3）所有的自然数不是质数，就是合数．（ ）
（4）0比负数大．（ ）
（5）0除外，相邻的两个自然数都是互质数．（ ）
【答案】（1）√（2）√（3）（4）√（5）√
【解析】（1）√（2）√（3）（4）√（5）√
例题3、选一选．（将正确答案的序号填在括号里）
（1）如果甲数＝2×3×5，乙数＝2×2×5，那么甲数和乙数的最小公倍数是（ ）．
①600 ②300 ③60 ④10
（2）甲数是乙数的5倍，甲、乙两数的最小公倍数是（ ）．
①甲数 ②乙数
③5 ④甲、乙两数之积
（3）两个数的（ ）的个数是无限的．
①公因数 ②公倍数
③最小公倍数 ④最大公因数
【答案】（1）③（2）①（3）②
【解析】（1）③（2）①（3）②
例题4、小红家的电话号码是ABCDEFGH共八个数字，其中A是最大的一位数，B是5的最大因数，C是因数只有1和3的数，D是既是质数又是偶数的数，E是最小的自然数，F是一位数中最大的质数，G是最小的奇数，H是8的最小倍数．你知道小红家的电话号码是多少吗？
【答案】95320718
【解析】95320718
例题5、一个两位数被3，5除都余2，它最小是（ ）．
A.12
B.32
C.15
D.17
【答案】 D
【解析】D
随练
随练1、想一想，填一填．
（1）几个数（ ）的倍数，叫作它们的公倍数，其中最小的一个叫作这几个数的（ ）．
（2）一个两位数，既是6的倍数，又是8的倍数，这个两位数最小是（ ），最大是（ ）．
（3）两个连续偶数的和是22，这两个数分别是（ ）和（ ），它们的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）．
【答案】（1）公有最小公倍数（2）24 96 （3）10 12 2 60
【解析】（1）公有最小公倍数（2）24 96 （3）10 12 2 60
随练2、在下表中用“△”标出4的倍数，用“○”标出7的倍数。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
哪些数上既标有“△”又标有“○”？这些数有什么特点？
【答案】4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48；7的倍数：7，14，21，28，35，42，49
28既标有“△”又标有“○”。它既是4的倍数，又是7的倍数，且是偶数（答案不唯一）
【解析】4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48；7的倍数：7，14，21，28，35，42，49
28既标有“△”又标有“○”。它既是4的倍数，又是7的倍数，且是偶数（答案不唯一）
随练3、a＝bc（a，b，c均为非零自然数），那么，a是b和c的倍数。（ ）
【答案】√
【解析】√
求两个数的最小公倍数的方法
例题
例题1、27和18的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）．
【答案】9 54
【解析】9 54
例题2、想一想，填一填。12和16的最小公倍数是多少？
【答案】填圈略；48
【解析】填圈略；48
例题3、已知a＝2×2×3×5，b＝2×5×7，a和b的最小公倍数是（ ），它们的最大公因数是（ ）。
【答案】420 10
【解析】420 10
随练
随练1、写出每组分数的两个分母的最小公倍数。
和和和
和和和
【答案】25，21，40，36，96，48
【解析】25，21，40，36，96，48
随练2、求下列每组数的最小公倍数．
16和24 18和12 30和40
【答案】48 36 120
【解析】48 36 120
随练3、每朵花只落在自己数字的倍数的枝叶上．哪束枝叶上两朵花都会落下，就将它圈出来．
【答案】12 24
【解析】12 24
最小公倍数的应用
知识精讲
一．两个数的最小公倍数的特殊情况
1．当两个数成倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数．
2．当两个数只有公因数1时，这两个数的积就是它们的最小公倍数．
二．用公倍数和最小公倍数知识解决简单的实际问题
当所求量分别与两个已知量的倍数有关时，可以用公倍数或最小公倍数知识解决．
典型例题 （1）找出下列每组数的最小公倍数，你有什么发现？
12和36，5和25；3和11，8和9
（2）如果用这种墙砖铺一个正方形（用的墙砖必须都是整块），正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？
名师学堂（1）找出每组数的最小公倍数．12和36的最小公倍数是36；5和25的最小公倍数是25．3和11的最小公倍数是33；8和9的最小公倍数是72．
观察每组数中两个数的特点．12和36、5和25每组中的两个数都成倍数关系；3和11、8和9每组中的两个数都是互质数．
探究每组中两个数的最小公倍数与这两个数的关系．12和36的最小公倍数是36，是这两个数中较大的数，5和25的最小公倍数是25也同样．3和11的最小公倍数是33，是这两个数的积，8和9的最小公倍数是72也同样．
（2）观图、读题，理解题意．已知条件：墙砖长3dm，宽2dm，用这种墙砖铺一个正方形，用的墙砖必须都是整块．所求问题：正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？
探究解题方法．用整块的墙砖铺一个正方形，说明正方形的边长既是3的倍数又是2的倍数，所以只要找出2和3的公倍数和最小公倍数，就能知道铺成的正方形的边长可以是多少分米，最小是多少分米．
解决问题．2和3的公倍数：6、12、18、……，2和3的最小公倍数是6．所以铺成的正方形的边长可以是6dm、12dm、18dm、……，最小是6dm．
用画图法验证结果的准确性．在边长为6dm的正方形上画一画，铺满这个正方形正好需要6块墙砖，如图一．在边长为12dm的正方形上画一画，铺满这个正方形正好需要24块墙砖，如图二．在边长为18dm、24dm、……的正方形上画一画，铺满这个正方形正好需要54块、96块、……墙砖．
得出结论．所铺成的正方形的边长一定是墙砖长和宽的公倍数；所铺成的最小正方形的边长是墙砖长和宽的最小公倍数．
三点剖析
重点：用公倍数和最小公倍数知识解决简单的实际问题．
难点：将实际问题转化成数学问题．
易错点：用公倍数和最小公倍数解决实际问题，明确求哪几个数的公倍数或最小公倍数．
求两个数的最小公倍数的特殊情况
例题
例题1、先找出下列各组数的最小公倍数，再写出你的发现．
（1）5和7________；15和1________；9和10________；4和9________；3和8________；9和5________．我发现：________________________________．
（2）11和22________；9和27________；15和30________；6和1________；16和8________；14和7________．我发现：________________________________．
【答案】（1）35 15 90 36 24 45
公因数只有1的两个数的最小公倍数是它们的乘积．
（2）22 27 30 6 16 14 当一个数是另一个数的倍数时，较大的数就是它们的最小公倍数
【解析】（1）35 15 90 36 24 45
公因数只有1的两个数的最小公倍数是它们的乘积．
（2）22 27 30 6 16 14 当一个数是另一个数的倍数时，较大的数就是它们的最小公倍数
例题2、甲数是乙数的3倍，甲、乙两数的和是32，求甲、乙两数的最大公因数和最小公倍数。
【答案】最大公因数：8，最小公倍数：24
【解析】最大公因数：8，最小公倍数：24
例题3、求下列每组数的最小公倍数。
20和36 48和12
9和5 10和16
3，4和6 5，8和18
2，3和6 4，5和6
【答案】180 48 45 80 12 360 6 60
【解析】180 48 45 80 12 360 6 60
例题4、m÷4＝n（m，n均是不为0的自然数），m和n的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）．
【答案】n m
【解析】n m
例题5、找出下列各组数的最小公倍数，你有什么发现？
（1）7和35（ ） 48和6（ ）
3和21（ ） 16和4（ ）
我发现：两个数，如果较大数是较小数的（ ），那么（ ）就是这两个数的最小公倍数。
（2）3和5（ ） 4和13（ ）
12和1（ ） 8和9（ ）
我发现：如果两个数是（ ），那么这两个数的（ ）就是它们的最小公倍数。
【答案】（1）35 48 21 16 倍数 较大数（2）15 52 12 72 互质数 积
【解析】（1）35 48 21 16 倍数 较大数（2）15 52 12 72 互质数 积
拓展5、选择。
（1）16和9的最小公倍数是（ ）。
A．1 B．16 C．144
（2）两个非0自然数的公倍数（ ）。
A．个数是有限的 B．有无数个 C．个数不一定
（3）两个相邻的非0自然数，它们的最小公倍数是（ ）。
A．较大的数 B．1 C．它们的积
（4）若a×b＝21，a，b是互质数，则a和b的最小公倍数是（ ）。
A．a B．b C．21
（5）a÷b＝8，a和b的最小公倍数是（ ）。
A．a B．b C．8
【答案】（1）C（2）B（3）C（4）C（5）A
【解析】（1）C（2）B（3）C（4）C（5）A
随练
随练1、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。（ ）
【答案】√
【解析】√
随练2、求出下列各组数的最小公倍数．
6和8 3和9 6和10 4和5
【答案】6和8的最小公倍数是24；3和9的最小的公倍数是9；6和10的最小公倍数是30；4和5的最小公倍数是20．
【解析】6和8的最小公倍数是24；3和9的最小的公倍数是9；6和10的最小公倍数是30；4和5的最小公倍数是20．
随练3、填表并回答问题。
1
2
3
4
3
6
7
8
9
10
3
3
6
4
4
8
30以内3和4的公倍数有________，最小公倍数是________。
【答案】填表略；12，24；12
【解析】填表略；12，24；12
用公倍数、最小公倍数知识解决实际问题
例题
例题1、五年级部分学生参加植树活动，如果分成3人一组，4人一组，6人一组，都少1人。五年级最少有多少人参加了植树活动？
【答案】11
【解析】最少为3、4、6的最小公倍数减1人，
，（人）
例题2、小羊、小鹿和小熊在同一个小水池中饮水．小羊每2天到池边饮一次水，小鹿每3天到池边饮一次水，小熊每4天到池边饮一次水．若它们7月1日都到池边饮水，它们在7月份里共有几次是同一天到池边饮水？
【答案】7月1日、7月13日、7月25日，共三次
【解析】7月1日、7月13日、7月25日，共三次
例题3、五年级有100多人参加校园集体舞表演，如果把参加表演的同学按7人或8人一列，都正好可以排成十几排，参加校园集体舞表演的同学有多少人？
【答案】7和8的最小公倍数是56 56×2=112（人）
【解析】7和8的最小公倍数是56 56×2=112（人）
例题4、
我带的钱如果都买牛奶，还剩3元；如果都买奶茶，也剩3元．
小丽
小丽至少带了多少钱？
【答案】27元
【解析】27元
例题5、某班级有学生若干人，若6人一排，则少3人，若7人一排，则多3人，这个班至少有多少人？
【答案】6人一排，则少3人，也可以看成多3人，
【解析】6人一排，则少3人，也可以看成多3人，
例题6、妈妈买了一大袋水果糖，4颗4颗地数多2颗，6颗6颗地数多4颗，9颗9颗地数多7颗，这袋糖的数量在160至200颗之间，这袋水果糖有多少颗？
【答案】4颗4颗的数多2颗，可看成少2颗；
6颗6颗的数多4颗，可看成少2颗；
9颗9颗的数多2颗，可看成少2颗.
,
4、6、9的最小公倍数是，，
【解析】4颗4颗的数多2颗，可看成少2颗；6颗6颗的数多4颗，可看成少2颗；9颗9颗的数多2颗，可看成少2颗. ,4、6、9的最小公倍数是，，
随练
随练1、有一堆萝卜，平均分给小兔子，无论分给8只小兔子还是分给12只小兔子，都正好分完．这堆萝卜至少有多少个？
【答案】这堆萝卜至少有24个
【解析】这堆萝卜至少有24个
随练2、一种瓷砖长4dm，宽3dm．如果用这种瓷砖铺一个正方形的房间（用的瓷砖必须都是整块），正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？
要用整块的长4dm、宽3dm的长方形瓷砖铺出一个正方形，正方形的边长必须既是4的________，又是3的________．只要找出4和3的________和________，就能求出正方形的边长和最小边长．
【答案】倍数 倍数 公倍数 最小公倍数 正方向的边长可以是12dm、24dm、36dm…
【解析】倍数 倍数 公倍数 最小公倍数 正方向的边长可以是12dm、24dm、36dm…
随练3、金湖县城公交车调度站早上5时40分同时发1路车和2路车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔12分钟发一辆，这两路车几时几分第二次同时发车？（先填表再回答）
1路车
5时
40分
5时
50分
2路车
5时
40分
【答案】
1路车
5时
40分
5时
50分
6时整
6时10分
6时20分
6时30分
6时40分
2路车
5时
40分
5时52分
6时4分
6时16分
6时28分
6时40分
6时52分
【解析】
1路车
5时
40分
5时
50分
6时整
6时10分
6时20分
6时30分
6时40分
2路车
5时
40分
5时52分
6时4分
6时16分
6时28分
6时40分
6时52分
拓展
拓展1、把8和10的倍数、公倍数填在相应的位置，并圈出它们的最小公倍数．
两个数（ ）（填“有”或“没有”）最大的公倍数，公倍数的个数是（ ）的．
【答案】略 没有 无线
【解析】略 没有 无线
拓展2、下面每组数的公倍数中有没有20？有没有36？有没有48？有没有64？
①8和16 ②2和5
③6和12 ④3和4
⑤32和16 ⑥9和6
（1）公倍数中有20的：________
（2）公倍数中有36的：________
（3）公倍数中有48的：________
（4）公倍数中有64的：________
【答案】（1）①（2）③④⑥（3）①③④（4）①⑤
【解析】（1）①（2）③④⑥（3）①③④（4）①⑤
拓展3、填空。
（1）50以内6的倍数有（ ）。
50以内9的倍数有（ ）。
50以内，6和9的公倍数有（ ）。
6和9的最小公倍数是（ ）。
（2）
【答案】（1）6,12,18,24,30,36,42,48 9,18,27,36,45 18,36 18
（2）
3，6，9，12，18，21，24，27，33，36，39，42，48
5，10，20，25，35，40
15,30,45
50以内3的倍数
50以内5的倍数
50以内3和5的公倍数
【解析】（1）6,12,18,24,30,36,42,48 9,18,27,36,45 18,36 18
（2）
3，6，9，12，18，21，24，27，33，36，39，42，48
5，10，20，25，35，40
15,30,45
50以内3的倍数
50以内5的倍数
50以内3和5的公倍数
拓展4、圈一圈，填一填．
（1）看图用红笔圈出6的倍数，用黑笔圈出9的倍数．
通过观察可以发现：6和9有相同的倍数，它们是________；我们把6和9公有的倍数叫做6和9的________；其中，________是最小的公倍数，叫做最小公倍数．
（2）
5和8的最小公倍数是（ ）．
【答案】略
【解析】略
拓展5、选择。
（1）16和9的最小公倍数是（ ）。
A．1 B．16 C．144
（2）两个非0自然数的公倍数（ ）。
A．个数是有限的 B．有无数个 C．个数不一定
（3）两个相邻的非0自然数，它们的最小公倍数是（ ）。
A．较大的数 B．1 C．它们的积
（4）若a×b＝21，a，b是互质数，则a和b的最小公倍数是（ ）。
A．a B．b C．21
（5）a÷b＝8，a和b的最小公倍数是（ ）。
A．a B．b C．8
【答案】（1）C（2）B（3）C（4）C（5）A
【解析】（1）C（2）B（3）C（4）C（5）A
拓展6、a＝2×3×5×7，b＝2×5×5×7，a和b的最大公因数是几，最小公倍数是几？
【答案】a和b的最大公因数是，a和b的最小公倍数是
【解析】a和b的最大公因数是，a和b的最小公倍数是
拓展7、（6）a是b的倍数，b是a的因数，则a和b的最大公因数是（），a和b的最小公倍数是（）。
【答案】b，a
【解析】b，a
拓展8、a和b的最小公倍数是a，那么这两个数的最大公因数是b。（ ）
【答案】√
【解析】√
拓展9、先填表，再作答。
a
12
7
15
6
b
4
13
10
8
a与b的乘积
a与b的最大公因数
a与b的最小公倍数
（1）观察比较a与b的乘积与最大公因数和最小公倍数的关系，你发现了什么？将你的发现写出来。
（2）根据上面的发现，如果a与b的乘积是300，a与b的最大公因数是5，那么a与b的最小公倍数是多少？
【答案】填表略。（1）我发现了：a与b的乘积=最大公因数x最小公倍数（2）则a与b的最小公倍数是60
【解析】填表略。（1）我发现了：a与b的乘积=最大公因数x最小公倍数（2）则a与b的最小公倍数是60
拓展10、春光小学开展队列比赛，学生们按12人一排，正好分成整排，按16人一排也正好分成整排．操场上至少有多少名学生？
【答案】48名
【解析】48名
拓展11、
我带的钱如果都买牛奶，还剩3元；如果都买果汁，也剩3元。
妈妈至少带了多少钱？
【答案】，
【解析】，
拓展12、早锻炼时，爸爸发现路边有一排电线杆每相邻两根间的距离是45m，现在要改成60m，如果起点的那根不动，再隔多远又有一根不必移动？
【答案】，再间隔又有一根不必移动
【解析】，再间隔又有一根不必移动
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