吉林省长春108中2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷

这是一份吉林省长春108中2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．使分式 3x−3 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤3B．x≥3C．x≠3D．x＝3
2．随着自主研发能力的增强，上海微电子发布消息称已经成功研发出了0.000000028m工艺的国产沉浸式光刻机，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ）
A．0.28×10−9B．2.8×10−8C．28×10−8D．2.8×10−7
3．在平面直角坐标系中，点P(4，1)关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．(4，1)B．(−4，−1)C．(−4，1)D．(4，−1)
4．已知点(m，5)在函数y=−2x+1的图象上，则m的值为（ ）
A．−1B．1C．−2D．2
5．在日常生活中，对某些技能的训练，新手的表现通常不太稳定．以下是四名学生进行8次射击训练之后的成绩统计图，请根据图中信息估计最可能是新手的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC=76°，∠ACB=36°，则∠D的度数为（ ）
A．68°B．72°C．76°D．104°
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．10cmB．20cmC．12cmD．24cm
8．如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y=12x(x>0)的图象上，过点P作PA⊥x轴于点A，点B是OA的中点，连结PB，则△PAB的面积为（ ）
A．6B．12C．3D．4
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
9．若分式 x2−1x−1 的值为0，则x的值为 .
10．分式16ab3与29a2bc的最简公分母是 ．
11．体育课中7名同学的“一分钟跳绳”的成绩如表(单位：个/分)：
则这组数据的中位数是 ．
12．如图，在菱形ABCD中，AB=13，AC=24，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，则线段CE的长为 ．
13．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O作OE⊥BD，交CD于点E，连接BE.若∠COE=20°，则∠ABD= 度.
14．如图是函数y=k1x，y=k2x和y=k3x在同一个平面直角坐标系中的部分图象，根据图象的位置判断k1、k2和k3间的大小关系为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．计算：(−1)2024+2−2−(π−3.14)0．
16．先化简，再求值：(a2a−2−a−2)÷2a2−4，再从2，−2，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
17．解方程：x+2x−1=3x−1．
18．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F，∠AFC＝2∠D，连结AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．
19．净月潭国家森林公园是长春市市民休闲、健身的好去处，是国家级全民健身户外活动基地.公园管理单位准备对其中一段长2400米的森林步道进行翻新，翻新800米后，为了尽快完成任务，每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用26天完成翻新任务，求原计划每天翻新多少米森林步道？
20．某校为了解八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从八年一班和八年二班每班50人中各随机抽取10名学生进行测试，并对成绩(单位：分，满分100分)进行整理、描述和分析.部分信息如下：
收集数据
八年一班被抽取学生成绩：84 75 82 68 91 83 82 74 79 82
八年二班被抽取学生成绩：80 65 75 68 95 82 84 80 92 79
分析数据
根据以上信息，回答下列问题：
（1）八年一班被抽取学生成绩在80分以上(含80分)的有 人.
（2）填空：a= ，b= ，c= ．
（3）在这次测试中，八年一班学生甲与八年二班学生乙的成绩都是81分，若以上分析数据恰好与两个班级整体的平均数、中位数和众数相同，请判断两位学生在各自班级的排名谁更靠前，并说明理由．
21．图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点.△ABC的顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图．
（1）在图①中以AB为边作正方形ABCD．
（2）在图②中以AB为边作菱形ABCD(除正方形之外)．
（3）在图③中以AB为对角线作平行形ACBD，且其面积为3．
22．甲、乙两地相距330千米，一辆货车和一辆轿车同时从甲、乙两地出发，沿同一条公路相向而行，货车先以75千米/时的速度匀速行驶了150千米后与轿车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4个小时到达乙地，轿车匀速行驶至甲地，两车到达各自的目的地后停止.如图是货车和轿车两车各自距甲地的路程y(km)与行驶时间x(ℎ)之间的函数图象(或部分图象)．
（1）补全货车的函数图象．
（2）求两车相遇后，货车距甲地的路程y(km)与行驶时间x(ℎ)之间的函数关系式．
（3）直接写出当轿车到达甲地时货车距乙地的路程．
23．如图
（1）【模型感知】如图①，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点(不与点A和点C重合)，连结BE，将线段BE绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE'，连结AE'，求证：AE'=CE．
（2）【模型发展】如图②，在正方形ABCD中，点E是对角线CA的延长线上一点，连结BE.将线段BE绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE'，连结AE'，线段AE'与CE的数量关系为 ，AE'与CE所在直线的位置关系为 ．
（3）【解决问题】如图③，在正方形ABCD中，点E是对角线AC的延长线上一点，连结BE，将线段BE绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE'，连结AE'，EE'，若AC=3CE，则S△AEE'S△ABE= ．
24．在平面直角坐标系中，直线y=kx+b(其中k，b为常数，k≠0)经过点A(−1，2)和点B(−3，3)．
（1）求该直线对应的函数关系式．
（2）当点C(n，n+2)在直线AB上时，求n的值．
（3）点D是直线y=mx+2m(其中m为常数，m≠0)经过的定点，求点D的坐标．
（4）当直线y=mx+2m(其中m为常数，m≠0)与线段AB有交点时，求m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】∵分式 3x−3 有意义，
∴x﹣3≠0．
解得：x≠3．
故答案为：C．
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，从而得到x﹣3≠0．
2．【答案】B
【知识点】负整数指数幂；科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】
解：
0.000000028=2.8×10−8
故答案为：B.
【分析】按科学记数法的表示方法写出结果。a×10n，其中1≤｜a｜＜10，n为整数。
3．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：
点P（4，1）关于y轴对称的点的坐标是（ -4，1）。
故答案为：C.
【分析】两点关于y轴对称，则这两点的纵坐标相同，横坐标互为相反数。
4．【答案】C
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：
把（m，5）代入y=-2x+1得，5=-2m+1，∴m=-2
故答案为：C.
【分析】把m的坐标代入关系式，再解关于m的方程即可得到结果。
5．【答案】D
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：观察函数图象可得：选项D的成绩波动性比较大，
∴最可能是新手的是选项D，
故答案为：D.
【分析】根据方差的意义，结合函数图象判断求解即可。
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
由平行四边形ABCD可得∠D＝∠B
∵∠B＝180°-∠BAC-∠ACB＝180°-76°-36°＝68°
∴∠D＝68°
故答案为：A.
【分析】平行四边形内对角相等，根据三角形内角和定理求出∠B可得∠D。
7．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质
【解析】【解答】解：设AC与BD相交于O，
由菱形ABCD可得OA＝OC＝12AC＝3cm，OB＝OD＝12BD＝4cm，AC⊥BD，
∴AB＝OA2+OB2＝32+42＝5cm
∴菱形ABCD的周长为5×4＝20cm
故答案为：B.
【分析】菱形的对角线互相垂直平分，结合已知条件可得OA，OB，再根据勾股定理求出AB，得出周长。
8．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：
设P点坐标为（m，12m），
∵PA⊥OA，∴OA＝m， PA=12m
∴S△OAP＝12×OA×PA＝12×m×12m=6
∵B为OA的中点，
∴S△BAP＝12S△OAP＝12×6＝3
故答案为：C.
【分析】设P点坐标，结合三角形面积公式求出△OPA的面积，再根据B为OA中点得出△BAP的面积。
9．【答案】-1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意可得x2﹣1＝0且x﹣1≠0，
解得x＝﹣1.
故答案为﹣1.
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0.两个条件需同时具备，缺一不可.据此可以解答本题.
10．【答案】18a2b3c
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：
在6ab3和9a3bc中，6和9的最小公倍数是18，a的最高次数是3，b 的最高次数是3，c的最高次数为1，
所以最简公分母是18a3b3c 。
故答案为：18a3b3c.
【分析】分别确定系数和各字母的最高次数，得出最简公分母。
11．【答案】181
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：
把7个成绩按从小到大的顺序排列，排在第4位的是181，所以这组数据的中位数是181。
故答案为：181.
【分析】把7个成绩按从小到大（或从大到小）的顺序排列，排在第4位的就是中位数。
12．【答案】12013
【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质
【解析】【解答】解：
由菱形ABCD可得AC⊥BD，OA＝OC＝12AC＝12，OB＝OD＝12BD
由勾股定理可得，OB＝AB2−OA2＝132−122＝5
∴BD＝2OB＝10
∴菱形ABCD的面积是：12×AC×BD＝12×24×10＝120
∵CE⊥AB，∴菱形ABCD的面积是：AB×CE＝120
∴13×CE＝120
∴CE＝ 12013
故答案为： 12013 .
【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质可得出AC和BD垂直，用勾股定理求出OB，BD，再用菱形的面积公式求出CE。
13．【答案】35
【知识点】三角形的外角性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：
∵OE⊥BD，∴∠BOE＝90°，∴∠COB＝∠BOE-∠COE＝90°-20°＝70°，
由矩形的性质可知OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA
∴∠COB＝∠OAB+∠OBA＝2∠OBA＝70°，∴∠OBA＝35°
即∠ABD＝35°
故答案为：35 .
【分析】先求出∠COB，再根据矩形的性质和外角的性质得出∠COB＝2∠OBA，从而求出∠OBA。
14．【答案】k1【知识点】反比例函数系数k的几何意义；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由y=k1x的图像可知，k1<0
y=k3x在y=k2x的上方，则k3>k2
故答案为：k1 【分析】根据一次函数的图象确定k1为负值，根据两个反比例函数的图象的位置关系确定k3和k2的大小，从而得出结果。
15．【答案】解：原式=1+14−1
=14．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】根据0次幂，负指数幂，负数的n次幂的计算方法进行计算。
16．【答案】解：(a2a−2−a−2)÷2a2−4
=a2−(a+2)(a−2)a−2÷2(a+2)(a−2)
=4a−2⋅(a+2)(a−2)2
=2(a+2)
=2a+4，
要使分式有意义，a−2≠0且a+2≠0，
所以a不能为2和−2，
取a=3，
所以原式=2×3+4=6+4=10．
【知识点】分式有意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的运算法则进行化简，再从2，-2，3中选择使原分式有意义的一个数字代入进行计算即可。
17．【答案】解：方程两边都乘(x−1)，得
x+2=3，
解得x=1．
经检验x=1是增根．
原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母化为整式方程，再求解验根。
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】先证明四边形ABEC是平行四边形，再证明AE=BC，即可证明平行四边形ABEC是矩形。
19．【答案】解：设原计划每天翻新x米森林步道，
根据题意得：800x+2400−800(1+25%)x=26，
解得x=80，
经检验，x=80是原方程的解，
答：原计划每天翻新80米森林步道．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设原计划每天翻新x米森林步道， 根据天数和为26天列方程进行求解。
20．【答案】（1）6
（2）80；82；80
（3）解：乙学生在该年级的排名更靠前，理如下：
∵八年一班学生甲的成绩小于中位数82分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之后，
八年二班学生乙的成绩大于中位数80分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之前，
∴乙学生在该年级的排名更靠前．
【知识点】用样本估计总体；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1） 八年一班被抽取学生成绩：84 75 82 68 91 83 82 74 79 82 ，其中80分及以上的有6人。
故答案为：6
（2） 八年二班被抽取学生成绩 的平均分是：（80+65+75+68+95+82+84+80+92+79）÷10＝80（分）
八年二班被抽取学生成绩中出现次数最多的是80，所以众数是80。即a=80，c=80
把 八年一班被抽取学生成绩 按从小到大的顺序排列，排列在第5和第6位的都是82，所以中位数是82，即b=82，
故答案为：80，82，80
【分析】（1）根据八年一班被抽取学生的成绩可得出80分及以上的人数。
（2）根据平均数，中位数，众数的计算方法求出结果。
（3）把81分与两个班级成绩的平均数，中位数、众数进行比较得出结果。
21．【答案】（1）解：如图所示，四边形ABCD即为所求；
（2）解：如图所示，菱形ABCD即为所求；
（3）解：如图所示，平行四边形ACBD即为所求．
【知识点】菱形的判定；正方形的判定；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）AB为由两个小正方形组成的矩形的对角线，作图时其他三边也应为小矩形的对角线，同时使内角为90°。
（2）AB为由两个小正方形组成的矩形的对角线，作图时其他三边也应为小矩形的对角线。
（3）面积为3，那么被AB分割成的两个三角形的面积都为1.5，可先作其中的一个，从而得出所求作平行四边形。
22．【答案】（1）解：图象如图所示：
（2）解：∵货车车先以75千米/时的速度匀速行驶150千米后与轿车相遇，
∴货车行驶150千米与轿车相遇，此时的时间150÷75=2ℎ，∴点A的坐标为(2，150)，
又∵货车在与轿车车相遇后以另一速度继续匀速行驶4小时到达乙地；
∴点B的坐标为(6，330)，
设货车行驶AB段函数关系式为：y=k2x+b2，
将点A(2150)，B(6，330)代入y=k2x+b2，
2k2+b2=1506k2+b2=330，
解得：k2=45b2=60．
∴两车相遇后，货车距甲地的路程y(km)与行驶时间x(ℎ)之间的函数关系式为：y=45x+60(2≤x≤6)；
（3）解：105km
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（3）解：轿车的速度为：（330-150）÷2＝90km/h，
轿车到达甲地时所用的时间为：330÷90＝113h
由（2）可知 两车相遇后，货车距甲地的路程y(km)与行驶时间x(ℎ)之间的函数关系式为：y=45x+60(2≤x≤6)；
当x=113时，y=225，
∴轿车到达甲地时货车距乙地的路程 为：330-225＝105km
故答案为：105km
【分析】（1）根据已知条件分别确定相遇时和到达终点的x和y值，描出对应的点，画出图像。
（2）先确定A、B坐标，再根据A、B坐标用待定系数法求出AB的解析式，写出x范围。
（3）先求出轿车速度和总时间，再计算距甲地的路程和距乙地的路程。
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵将线段BE绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BE'，
∴BE=BE'，∠EBE'=90°=∠ABC，
∴∠ABE'=∠CBE，
∴△ABE'≌△CBE(SAS)，
∴AE'=CE；
（2）解：AE'=CE；EC⊥AE'
（3）23
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∠BAC=∠ACB=45°，
∵将线段BE绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BE'，
∴BE=BE'，∠EBE'=90°=∠ABC，
∴∠ABE'=∠CBE，
∴△ABE'≌△CBE(SAS)，
∴AE'=CE，∠BAE'=∠BCA=45°，
∴∠CAE'=90°，
∴EC⊥AE'，
故答案为：AE'=CE，EC⊥AE'；
（3）解：如图，过点E作EH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∠BAC=∠ACB=45°，
∵EH⊥CE，∠ECH=∠ACB=45°，
∴△ECH是等腰直角三角形，
∴EC=EH，
∵将线段BE绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BE'，
∴BE=BE'，∠EBE'=90°=∠ABC，
∴∠ABE'=∠CBE，
∴△ABE'≌△CBE(SAS)，
∴AE'=CE，∠BAE'=∠BCA=45°，
∴∠CAE'=90°，
∴EC⊥AE'，
∵AC=3CE，
∴设CE=x，则AC=3x，
∴AE=4x，AB=22AC=322x，
∵AE'=CE=x，
∴S△AEE'=12AE'⋅AE=12⋅x⋅4x=2x2，
∵∠BAC=45°，
∴AH=EH=22AE=22x，
∴S△ABE=12AB⋅EH=12×322x×22x=3x2，
∴S△AEE'S△ABE=2x23x2=23，
故答案为：23．
【分析】(1)结合正方形的性质及旋转的性质证明△ABE′和△CBE全等可得结论。
(2)结合正方形的性质、等腰直角三角形的性质及旋转的性质证明△ABE′和△CBE全等可推导出结论。
(3)可证明△ABE′和△CBE全等，推导出∠CAE′=90°， 设CE=x，表示出△ABE′和△ABE的面积，从而求出比值。
24．【答案】（1）解：∵直线y=kx+b(其中k，b为常数，k≠0)经过点A(−1，2)和点B(−3，3)，
∴−k+b=2−3k+b=3，
解得k=−12b=32，
∴该直线对应的函数关系式为y=−12x+32
（2）解：∵点C(n，n+2)在直线AB上，
∴−12n+32=n+2，
解得n=−13，
∴n的值为−13
（3）解：∵y=mx+2m=m(x+2)，m为任意数，
∴x+2=0，y=0，
解得x=−2，y=0，
∴点D的坐标为(−2，0)
（4）解：把点A(−1，2)和点B(−3，3)分别代入y=mx+2m，
得−m+2m=2，−3m+2m=3，
解得m=2或−3，
∴当直线y=mx+2m(其中m为常数，m≠0)与线段AB有交点时，m的取值范围为m≥2或m≤−3．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法可求出关系式。
（2）把C坐标代入AB解析式中可求得n
（3）经过定点说明无论m为何值定点坐标都适合解析式。可变形解析式求出定点坐标。
（4）可求出交点为A或B时的m值，从而得出m的范围。姓名
李明
王红
刘丽
王佳
张强
赵桐
周馨
成绩
178
183
180
181
183
183
178
平均数/分
中位数/分
众数/分
八年一班被抽取学生
80
b
82
八年二班被抽取学生
a
80
c