吉林省长春市第八十九中学2023-2024学年上学期八年级开学数学试卷（含答案）

2023-2024学年吉林省长春八十九中八年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  方程组的解是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  用两种正多边形组合铺满地面，其中的一种是正八边形，则另一种是(    )

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形

6.  一个三角形的周长为，若其中两边都等于第三边的倍，则最短边的长是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，将四边形去掉一个的角得到一个五边形，则与的和为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，，，是的平分线，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  若是方程的解，则______．

10.  一个正边形的内角和等于，则______ ．

11.  如图，是正方形内的一点，连结、，将绕点逆时针旋转到的位置，则它旋转了______ 度．

12.  如图，是的一条中线，若，则______．

 

13.  如图，已知≌，，则______ 度．

14.  如图，将周长为的沿射线方向平移后得到，则四边形的周长为          ．
 

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

15.  解方程组：．

四、解答题（本大题共9小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解方程：．

17.  本小题分
解不等式，并把解集在数轴上表示出来．．

18.  本小题分
解不等式组．

19.  本小题分
如图，在所给网格图每小格均为边长是的正方形中完成下列各题：用直尺画图
画出格点顶点均在格点上关于直线对称的；
再将向下平移单位，求扫过的面积；
将绕点顺时针旋转．

20.  本小题分
已知在一个十边形中，其中九个内角的和是，求这个十边形另一个内角的度数．

21.  本小题分
如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点．
填空：______度；
求的度数．

22.  本小题分
九章算术中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数，羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出元，则差元；每人出元，则差元求共同出资买羊的人数及羊的总价格．

23.  本小题分
为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过元的资金再购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为：单价和为元．
篮球和排球的单价分别是多少元？
若要求购买的篮球和排球的总数量是个，且购买的篮球数量多于个，有哪几种购买方案？

24.  本小题分
动手操作，探究：
探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图，在中，、分别平分和，试探究与的数量关系．
探究二：若将改为任意四边形呢？
已知：如图，在四边形中，、分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系．写出说理过程
探究三：若将上题中的四边形改为六边形图呢？请直接写出与的数量关系：______．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：
两边同时除以，得

故选：．
根据解方程的方法两边同时除以求解．
本题是简单的一元一次方程的解法，只用到系数化为．

2.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，本选项错误；
B、不是轴对称图形，本选项错误；
C、不是轴对称图形，本选项错误；
D、是轴对称图形，本选项正确．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解即可．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3.【答案】 

【解析】解：，
代入，可得：，
解得，
把代入，可得：，
原方程组的解是．
故选：．
应用代入消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．

4.【答案】 

【解析】解：由得，
将和表示在数轴上如下：

故选：．
根据解不等式组的方法，可得不等式组的解集，根据不等式组的解集在数轴上的表示方法，可得答案．
本题考查了在数轴上不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．

5.【答案】 

【解析】分析
正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
详解
解：正八边形的一个内角，
剩下未铺满的度数为：，
正方形的每个内角是，
另一种是正方形．
故选B．

6.【答案】 

【解析】解：设三角形的第三边为，则其它两边都是，
由题意得，，
解得，，
其它两边都是，
故最短边的长是，
故选：．
设三角形的第三边为，根据题意列方程，解方程求出，比较大小，得到答案．
本题考查的是三角形三边关系，根据题意正确列出方程是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据邻补角的性质计算即可．
本题考查的是多边形的内角与外角，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：由三角形的内角和定理可知：，
是的平分线，
，

故选：．
根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可求出答案．
本题考查三角形的内角和定理，解题的关键是熟练运用三角形的内角和定理，本题属于基础题型．

9.【答案】 

【解析】解：把代入方程，
得，
解得．
故答案为．
知道了方程的解，可以把这组解代入方程，得到一个含有未知数的一元一次方程，从而可以求出的值．
本题考查了二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数为未知数的方程．

10.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
根据边形的内角和为列出关于的方程，解方程即可求出边数的值．
【解答】
解：这个多边形的边数是，
则：，
解得，
故答案为．

11.【答案】 

【解析】解：在正方形中，，
绕点逆时针旋转到的位置，
旋转角为，度数是，
即它旋转了．
故答案为：．
根据正方形的性质可得，再根据旋转的性质，对应边、的夹角即为旋转角．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，熟记性质并确定出旋转角是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：是的一条中线，
．
故答案为：．
根据三角形的中线的定义可得；
本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记相关概念是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：≌，
，
又，
．
故答案为：．
根据全等的性质可得，结合题意即可得出答案．
本题考查全等三角形的性质，比较简单，注意全等三角形的对应边．对应角相等．

14.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行或共线且相等，对应线段平行或共线且相等，对应角相等．得到，是解题的关键．
根据平移的基本性质，得出四边形的周长即可得出答案．
【解答】
解：根据题意，将周长为的沿向右平移得到，
，，；
又，
四边形的周长．
故答案为：．

15.【答案】解：，
得：，即，
将代入得：，即，
则方程组的解为． 

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

16.【答案】解：
方程两边同时乘以，得

 

【解析】根据解方程的方法去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一求解．
本题主要考查学生解方程的能力，解方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一．

17.【答案】解：

；
 

【解析】利用不等式的基本性质：去括号，移项，系数化；分别把它们解出来，再在数轴上表示出来．
此题考查解不等式的方法，解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
在数轴上表示不等式的解集时，大于向右，小于向左，有等于号的画实心原点，没有等于号的画空心圆圈．

18.【答案】解：，
由得，，
由得，．
原不等式组的解集为． 

【解析】先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“同大取较大”来求不等式组的解集．
主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取较大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．

19.【答案】解：所作图形如图所示；

所作图形如图所示，
扫过的面积；

所作图形如图所示． 

【解析】根据网格结构，找出点、、关于的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；
根据网格结构，找出点、、向下平移单位的对应点，然后顺次连接即可，求出扫过的面积；
根据网格结构找出点、、绕点顺时针旋转的对应点的位置，然后顺次连接即可．
本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，并准确找出对应点的位置是解题的关键．

20.【答案】解：由题意得，
，
答：这个十边形另一个内角的度数为． 

【解析】本题考查的是多边形的内角，掌握多边形的内角和的计算公式：是解题的关键．
根据多边形的内角和的计算公式计算即可．

21.【答案】
，，
，
沿折叠得到，
，
． 

【解析】解：沿折叠得到，
，
，，
；
故答案为．
见答案．
【分析】
根据折叠的特点得出，再根据三角形一个外角等于它不相邻两个内角之和，即可得出答案；
根据已知求出的值，再根据沿折叠得到，得出，最后根据，即可得出答案．
此题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、翻折变换等问题，解答的关键是沟通外角和内角的关系．

22.【答案】解：设买羊为人，则羊价为元钱，
，
人，
元，
答：买羊人数为人，羊价为元． 

【解析】可设买羊人数为未知数，等量关系为：买羊人数买羊人数，把相关数值代入可求得买羊人数，代入方程的等号左边可得羊价．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

23.【答案】解：设篮球的单价为元，
篮球和排球的单价比为：，
则排球的单价为元．
依题意，得：，
解得，
．
即篮球的单价为元，排球的单价为元．

设购买的篮球数量为个，则购买的排球数量为个．
，
解，得．
而为整数，所以其取值为，，，对应的的值为，，．
所以共有三种购买方案：
方案一：购买篮球个，排球个；
方案二：购买篮球个，排球个；
方案三：购买篮球个，排球个． 

【解析】设篮球的单价为元，则排球的单价为元．根据等量关系“单价和为元”，列方程求解；
设购买的篮球数量为个，则购买的排球数量为个．
根据不等关系：买的篮球数量多于个；不超过元的资金购买一批篮球和排球．列不等式组，进行求解．
解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．

24.【答案】 

【解析】解：探究一：、分别平分和，
，，
，
，
，
，
；

探究二：、分别平分和，
，，
，
，
，
，
；

探究三：六边形的内角和为：，
、分别平分和，
，，
，
，
，
，
，
即．
探究一：根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
探究二：根据四边形的内角和定理表示出，然后同理探究二解答即可；
探究三：根据六边形的内角和公式表示出，然后同理探究二解答即可．
本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．