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【期中真题】(人教版)2023-2024学年七年级数学上册 期中真题分类专题汇编 专题06整式的加减规律题专项训练(2类经典题型优选提升).zip
展开专题06 整式的加减规律题专项训练
代数字类规律性探索
1.对于正数x,规定,例如:,,,,计算:( )
A.199 B.200 C.201 D.202
【答案】C
【分析】通过计算,可以推出结果.
【详解】解:
…
,,,
故选:C.
【点睛】此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则,找到数字变化规律是解本题的关键.
2.我们知道,同一个平面内,1条直线将平面分成部分,2条直线将平面最多分成部分,3条直线将平面最多分成部分,4条直线将平面形多分成部分……,n条直线将平面最多分成部分,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据题意,抽象概括出相应的数字规律,n条直线将平面最多分成部分,进而得到,再进行求解即可.
【详解】解:∵1条直线将平面分成部分,
2条直线将平面最多分成部分,
3条直线将平面最多分成部分,
4条直线将平面形多分成部分……,
∴n条直线将平面最多分成部分,
∴,
∴
.
故选B.
【点睛】本题考查数字类规律探究.解题的关键是得到.
3.大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和,如,,,…若分裂后,其中有一个奇数是1005,则m的值是( )
A.31 B.32 C.33 D.34
【答案】B
【分析】观察可知,分裂成的奇数的个数与底数相同,求出到的所有奇数的个数的表达式,在求出1005是从3开始的第502个奇数,然后确定502所在范围即可得出结论.
【详解】∵底数是2的分裂成2个奇数,底数是3的分裂成3个奇数,底数是4的分裂成4个奇数,
∴分裂成个奇数,
∴到的奇数个数为:,
∵,
∴奇数1005是从3开始的第502个奇数,
∵,,
∴第1005个奇数是底数为32的数的立方分裂的奇数的其中一个,即
故选:B.
【点睛】本题考查数字的变化规律.解题的关键是观察出分裂的奇数的个数与底数的特点.
4.观察下列按一定规律排成的一组数:
,从左起第个数记,则 , .
【答案】
【分析】由题意知,为奇数时,为负,为偶数时,为正,由,可知,由题意知,则;其中;,;其中;,,;其中;,,,;其中;,记分母为,可推导一般性规律:分母相同的一组数中最后的一个的中的满足,由,可得,则,根据,计算求解即可.
【详解】解:由题意知,为奇数时,为负,为偶数时,为正,
∵,
∴,
∵,
∴;其中;
,;其中;
,,;其中;
,,,;其中;
记分母为,可推导一般性规律:分母相同的一组数中最后的一个的中的满足,
∵,
∴,
则,
∴,
故答案为:,.
【点睛】本题考查了数字变化的规律探究.解题的关键在于推导一般性规律.
5.在一次数学活动课上,李老师将一副扑克牌中的红桃共张牌挑出,打乱顺序随机发给了甲、乙、丙三名同学,每人三张牌.已知甲的三张牌数字之和是,乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同,且乙的三张牌上的数字都是奇数.写出甲的三张牌上的数字是 ,丙的三张牌上的数字是 .
【答案】
【分析】根据题意先分析出甲的可能结果,然后结合乙的三个奇数,筛选出合适的,最后再按照乙丙的三张牌数字和相同进行分配即可.
【详解】解:已知红桃有数字共计张牌
甲的三张牌数字之和为的情况有、、三种组合,
张牌中共有个奇数,乙的三张牌上的数字都是奇数,
甲最多只能有一个奇数,只有符合,
乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同,
乙的三张牌数字为,丙的三张牌数字为,
故答案为:;
【点睛】本题考查了数字类组合运算,按照题目进行逐步筛选和分析是解题关键.
6.观察下列等式,并解下列各题.
,,,
讲以上三个等式两边分别相加得:
(1)猜想并写出:__________;
(2)直接写出下列各式得计算结果:__________.
(3)探究并利用以上规律计算:.
【答案】(1);(2);(3)
【分析】(1)根据题中给出的例子即可找出规律;
(2)根据(1)中得出的规律进行计算即可;
(3)根据得出的规律进行计算即可得到答案.
【详解】(1)解:,,,
,故答案为:;
(2)解:根据题意可得:
,故答案为:;
(3)解:根据题意可得:
.
【点睛】本题主要考查规律型:数字的变化类,根据题意找出规律是解答此题的关键.
图形、图表类规律性探索
7.正整数按如图的规律排列,则2022位于哪一行,哪一列( )
A.第45行 第4列 B.第4行 第45列
C.第46行 第3列 D.第3行 第46列
【答案】B
【分析】观察图形可知这些数字排成的是一个正方形,则由,即可判断2022的位置.
【详解】解:观察图形可知这些数字排成的是一个正方形,
∵,
∴2022在第45列,
∵,
∴2022在第4行,即2022位于第4行,第45列.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律,由所给的数字得出存在的规律是解答的关键.
8.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一.如图,在杨辉三角形中,斜线l的上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列:1,3,3,4,6,5,10,…,用表示这个数列的第n个数,则 .
【答案】1327
【分析】分奇数和偶数计算.
【详解】当序号为偶数时,,
∴,
∴;
当序号为奇数时,,
∴,
∴;
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查了规律探索,正确运用分类思想分成偶数列,奇数列计算是解题的关键.
9.我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表(图①),即杨辉三角.现在将所有的奇数记“”,所有的偶数记为“”,则前行如图②,前行如图③,求前行“”的个数为 .
【答案】
【分析】先根据给出的图②和图③找出出现“”规律,然后根据规律即可得解.
【详解】观察图②和图③可知,前行中包含个前行的图形,中间三角形中的数字均为,
前行中“”的个数是前行中“”的个数的倍,
即前行中“”的个数为(个),
同理可知前行中“”的个数是前行中“”的个数的倍,即前行中“”的个数为(个),
前行中“”的个数是前行中“”的个数的倍,即前行中“”的个数为(个),
故答案为:.
【点睛】本题考查了数字规律探究计算,根据给出的图②和图③找出出现“”规律是解题关键.
10.有黑、白各6张卡片,分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后,数字朝下,如图排成两行,排列规则如下:
①左至右,按数字从小到大的顺序排列;
②黑、白卡片数字相同时,黑卡片放在左边.
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注,第二行卡片用小写英文字母按顺序标注,则白卡片数字1摆在了标注字母 的位置,标注字母e的卡片写有数字 .
【答案】 B 4
【分析】根据排列规则依次确定白1,白2,白3,白4的位置,即可得出答案.
【详解】解:第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1,若第二行中c为白1,则左边不可能有2张黑卡片,
白卡片数字1摆在了标注字母B的位置,
黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置,;
第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2,若第二行中c为白2,则a,b只能是黑1,黑2,而A为黑1,矛盾,
第一行中C为白2;
第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3,若第一行中F为白3,则D,E只能是黑2,黑3,此时黑2在白2右边,与规则②矛盾,
第二行中c为白3,
第二行中a为黑2,b为黑3;
第一行中F与第二行中e肯定有一张为白4,若第一行中F为白4,则D,E只能是黑3,黑4,与b为黑3矛盾,
第二行中e为白4.
故答案为:①B,②4.
【点睛】本题考查图形类规律探索,解题的关键是理解题意,根据所给规则依次确定出白1,白2,白3,白4的位置.
11.如图,四边形是矩形,点是边的三等分点,,点是边的中点,连接,,得到;点是的中点,连接,得到;点是的中点,连接,,得到;…按照此规律继续进行下去,若矩形的面积等于6,则的面积是 .
【答案】
【分析】由题意得:,,,
,,整理可得,,从而得解.
【详解】四边形ABCD是矩形,
,
,
,点是CB边的中点,
,
,
,
,
,
,
,
是的中点,
,,
,
整理得:,
同理可得:,
,
.
.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查三角形的面积,规律型图形的变化类,解答的关键是通过整理归纳出其规律.
12.下列图形都是由相同大小的按一定规律组成的,其中第①个图形中一共有4颗,第②个图形中一共有11颗,第③个图形中一共有21颗,……按此规律排列下去.第⑩个图形中的颗数为 .
【答案】175
【分析】根据题意将每个图形都看作两部分,一部分是上面的构成规则的矩形,另一部分是构成下面的近似金字塔的形状,然后根据递增关系即可得到答案.
【详解】第①个图形中的颗数;
第②个图形中的颗数;
第③个图形中的颗数;
第④个图形中的颗数;
……
∴第n个图形中的颗数
∴当时,,
∴第⑩个图形中的颗数为颗,
故答案为:
【点睛】本题考查了图形变化规律,正确地得到每个图形中小星星的数字变化情况是解题的关键.
13.我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做“平行四边形数”和“正六边形数”.设第n个“平行四边形数”和“正六边形数”的和为 .
【答案】
【分析】根据图形变化规律,列出“平行四边形数”和“正六边形数”前三个满足的等式,即可推出第n个满足的等式,最后求和即可.
【详解】由图可知,第1个“平行四边形数”为,
第2个“平行四边形数”为,
第3个“平行四边形数”为,
,
第n个“平行四边形数”为;
由图可知,第1个“正六边形数”为,
第2个“正六边形数”为,
第3个“正六边形数”为,
,
第n个“正六边形数”为,
其和为.
故答案为:.
【点睛】本题考查规律型:图形变化类,解题的关键是学会从一般到特殊的探究方法,找到规律后即可解决问题,属于中考常考题型.
14.(1)为了计算的值,我们构造图形(图),共行,每行依次比上一行多一个点.此图形共有个点.如图2,添出图形的另一半,此时共行列,有个点,由此可得.
用此方法,可求得 (直接写结果).
(2)观察下面的点阵图(如图3),解答问题:
填空:① ;
② .
(3)请构造一图形,求 (画出示意图,写出计算结果).
【答案】(1);(2)①,②;(3),图和过程见解析
【分析】(1)根据给定的计算方法,进行计算即可;
(2)①根据已有点阵图,得到第个点阵图中点的个数为,再进行计算即可;②根据规律进行计算即可;
(3)将一个面积为1的正方形分割为和两部分,再将正方形的分割为和两部分,,依次进行分割,再进行计算即可.
【详解】解:(1);
故答案为:;
(2)由点阵图可知:个数时和为,
个数时和为,
个数时和为,
,
个数时和为.
∵中有个数,
∴.
∵中有个数,
∴.
故答案为:;;
(3)由题意画出图形如下:假定正方形的面积为,
第次将正方形分割为和两部分,
第次将正方形的分割为和两部分,
•••,以此类推,
第次分割后,剩余的面积为,
那么除了剩余部分的面积,前面所有分割留下的面积应该是:,
∴.
【点睛】本题考查图形的规律探究,有理数的混合运算,数形结合思想.解题的关键是将代数问题转化为几何图形,利用数形结合的思想,进行简便运算.
15.(1)将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4)放置于水平桌面上,如图1,在图2中,将骰子向右翻滚90°,然后在桌面上按逆时针方向旋转90°,则完成一次变换.若骰子的初始位置为图1所示的状态,那么按上述规则连续完成10次变换后,骰子朝上一面的点数是( )
A.6 B.5 C.3 D.2
(2)如图,圆圈内分别标有0,1,2,3,4,…,11这12个数字.电子跳蚤每跳一次,可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈,现在,一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始,按逆时针方向跳了2010次后,落在一个圆圈中,该圆圈所标的数字是______.
【答案】(1)B;(2)6
【分析】(1)先向右翻滚,然后再逆时针旋转叫做一次变换,那么连续3次变换是一个循环.本题先要找出3次变换是一个循环,然后再求10被3整除后余数是1,从而确定第1次变换的第1步变换,即可得出答案;
(2)由题意知12个数一循环,然后再求2010被12整除后余数是多少来决定是哪个数即可.
【详解】解:(1)根据题意可知连续3次变换是一循环,
∵,
∴是第1次变换后的图形,即按上述规则连续完成10次变换后,骰子朝上一面的点数是5,故B正确.
故选:B.
(2)根据题意可知是0,1,2,3,4,…,11即12个数是一个循环,
∵,
∴该圆圈所标的数字是6.
故答案为:6.
【点睛】本题考查了数字变化规律和图形变换规律,是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.
16.认真阅读材料,然后回答问题:
我们初中学习了多项式的运算法则,相应的,我们可以计算出多项式的展开式,如:
...……;
下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现,当取正整数时可以单独列成表中的形式:
…………………………………………………1 1
………………………………………………1 2 1
……………………………………………1 3 3 1
…………………………………………1 4 6 4 1
………………………………………1 5 10 10 5 1
……………………………………1 6 15 20 15 6 1
……………………………………
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”;仔细观察“杨辉三角形”,用你发现的规律回答下列问题:
(1)多项式的第三项的系数______;
(2)请你预测一下多项式展开式的各项系数之和______;
(3)拓展:①写出展开式中含项的系数为______;
②展开式按的升幂排列为:,若,求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)①;②
【分析】(1)由题意可求得当时,多项式的第三项的系数是多少,找到规律,即可得出答案;
(2)求得当时,多项式展开式的各项系数之和,找到规律,即可求得答案;
(3)①首先确定是展开式中第几项,再根据杨辉三角即可解决问题;②将代入求解即可.
【详解】(1)解:当时,多项式的展开式是一次二项式,此时第三项的系数为:;
当时,多项式的展开式是二次三项式,此时第三项的系数为:;
当时,多项式的展开式是三次四项式,此时第三项的系数为:;
当时,多项式的展开式是四次五项式,此时第三项的系数为:;
……
多项式的展开式是一个次项式,第三项的系数为:;
故答案为:;
(2)解:当时,多项式的展开式的各项系数之和为:;
当时,多项式的展开式的各项系数之和为:;
当时,多项式的展开式的各项系数之和为:;
当时,多项式的展开式的各项系数之和为:;
……
多项式展开式的各项系数之和为,
故答案为:;
(3)解:①,
展开式中含项是其展开式的第二项,
,
故答案为:;
②,
当时,令,
则,
.
【点睛】本题考查了杨辉三角,数字的规律,解题的关键是根据图形中数字找出相应的规律,再表示展开式.
17.【问题提出】
在由个小正方形(边长为1)组成的矩形网格中,该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数与m,n有何关系?
【问题探究】
为探究规律,我们采用一般问题特殊化的策略,通过分类讨论,先从最简单的情形入手,再逐次递进,从中找出解决问题的方法.
探究一:
当m,n互质(m,n除1外无其他公因数)时,观察图1并完成下表:
图1
矩形横长m
2
3
3
5
4
5
…
公矩形纵长n
1
1
2
2
3
3
…
矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f
2
3
4
6
6
…
结论:当m,n互质时,在的矩形网格中,该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m,n之间的关系式是________.
探究二:
当m,n不互质时,不妨设,(a,b,k为正整数,且a,b互质),观察图2并完成下表:
图2
a
2
3
3
5
2
3
…
b
1
1
2
2
1
1
…
k
2
2
2
2
3
…
矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f
4
6
8
6
…
结论:当m,n不互质时,若,(a,b,k为正整数,且a,b互质).在的矩形网格中,该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a,b,k之间的关系式是________.
【模型应用】
一个由边长为1的小正方形组成的长为630,宽为490的矩形网格中,该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数是________个.
图3
【模型拓展】
如图3,在一个由48个棱长为1的小正方体组成的长方体中,经过顶点A,B的直线穿过的小正方体的个数是________个.
【答案】探究一:7,;探究二:12,9,; 【模型应用】1050 ;【模型拓展】6
【分析】探究一:通过观察即可得出当m、n互质时,根据m与n的值计算f,即可得到规律求解;
探究二:当m、n不互质时,根据a、b、k的值求出m、n的值,计算f的值,即可得到规律;
[模型应用]利用630与490求出a、b、k的值,根据公式计算得出f即可;
[模型拓展] 如图,连接长方体上下两个底面的对角线,得到矩形ACBD,利用勾股定理求出AC=,由每个小正方体的对角线长为,得到AC的长是4个小长方体的对角线,根据BC=3,且4与3互质,利用公式求出答案.
【详解】探究一:当m、n互质时,根据表格可得:
当m=2,n=1时,f =2+1-1=2;
当m=3,n=1时,f=3+1-1=3;
当m=3,n=2时,f=3+2-1=4,
;
∴当m=5,n=3时,f=5+3-1=7,
该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m,n之间的关系式是f=m+n-1,
故答案为:7,.
探究二:当m、n不互质时,根据图2表格可得:
当a=2,b=1,k=2,m=ka=4,n=kb=2时,f=,
当a=3,b=1,k=2,m=ka=6,n=kb=2时,f=,
当a=3,b=2,k=2,m=ka=6,n=kb=4时,f=,
;
∴当a=5,b=2,k=2,m=ka=10,n=kb=4时,f=,
当a=3,b=1,k=3,m=ka=3,n=kb=3时,f=,
∴当m,n不互质时,该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a,b,k之间的关系式是,
故答案为:12,9,;
[模型应用]∵630与490不互质,
∴ka=630=,kb=490=,
∴a=9,b=7,k=70,
∴该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数是f=,
故答案为:1050;
[模型拓展]
如图,连接长方体上下两个底面的对角线,得到矩形ACBD,
∵AE=4,CE=4,∠AEC=,
∴AC=,
∵每个小正方体的对角线长为,
∴AC的长是4个小长方体的对角线,
∵BC=3,且4与3互质,
∴经过顶点A,B的直线穿过的小正方体的个数是4+3-1=6个,
故答案为:6.
【点睛】此题考查了图形规律探究,关键是通过观察表格,总结出一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n及f与a、b、k的关系式,要注意m、n互质及不互质的条件,掌握有理数的加减计算,有理数的混合运算,列代数式,总结规律并运用解决问题是解题的关键.
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