【期中复习提升】沪教版 2023-2024学年高一上学期 必修1 第一章 集合与逻辑压轴题专练

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第一章 集合与逻辑（压轴题专练）
一、填空题
1. 高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有          人.
【答案】9 
【解析】【分析】
本题考查集合的实际应用，考查逻辑推理能力．属于拔高题．
【解答】
解：总人数为54人，对于物理、化学、生物这三门学科，其中8人全不选，因此至少选择1门的有46人，由题可得如下Venn图．

由题可知，选生物的人数至少有25人，
所以y+z+c+8≥25，
所以a+x+b≤46-25；
因为a≥6，b≥6，
所以a+b≥12，
所以x≤9．
故答案为：9．

2. 设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
(1)对于任意x，y∈S，若x≠y，则xy∈T;
(2)对于任意x，y∈T，若x 下列命题正确的是          .(填序号)
 ①若S有3个元素，则S∪T有4个元素;
 ②若S有3个元素，则S∪T有5个元素;
 ③若S有4个元素，则S∪T有6个元素;
 ④若S有4个元素，则S∪T有7个元素．
【答案】④ 
【解析】【分析】
本题考查集合的基本运算，利用特殊集合排除选项是解题的常用方法，属于较难题．
利用特殊集合排除选项，推出结果即可．
【解答】
解：对于①，令S={2,4,8}，T={8,16,32}，
∴S∪T={2,4,8,16,32}，有5个元素，∴①错误．
对于②，令S={1,2,4}，T={2,4,8}，
∴S∪T={1,2,4,8}，有4个元素，∴②错误;
对于③，令S={2,4,8,16}，T={8,16,32,64,128}，
∴S∪T={2,4,8,16,32,64,128}，有7个元素，∴③错误．
对于④，由题可设S={a,b,c,d}其中a 由性质(2)可知，cdab∈S且为集合S中最大的元素d，即c=ab，则S={a,b,ab,d}。
同理可知，bdba,adab,adac∈S，即da,db,dab∈S
若a=1，则 cdb=d，即c=b，显然不合题意；
若a≠1，则d>da>db>dab，S={dab,db,da,d}，a=dab，b=db即b=a2c=a3d=a4,S={a,a2,a3,a4},T={a3,a4,a5,a6,a7}，则S∪T有7个元素．
故答案为：④．
3. 已知集合A=0,1,B=a2,2a，其中a∈R，我们把集合xx=x1+x2,x1∈A,x2∈B记作A*B，若集合A*B中的最大元素是2a+1，则a的取值范围是          ．
【答案】0 【解析】【分析】
本题考查了集合和解不等式的知识，注意对新定义的理解．
根据题意可知集合A*B中元素，然后由2a+1为集合A*B中的最大元素，列出不等式即可求出．
【解答】
解：由题意可知集合A*B中的元素可能包含a2，2a，a2+1，2a+1，
显然a2+1>a2，2a+1>2a，a2≠2a，a2+1≠2a+1，
故集合A*B中的最大元素为2a+1或a2+1，且2a+1≠a2+1．
∵2a+1为集合A*B中的最大元素，
∴可列不等式2a+1>a2+1，
解不等式得0 故答案为：0 4. 设集合A={r1,r2,⋯rn}⊆1,2,3,⋯37,且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为          
【答案】17 
【解析】【分析】
本题考查了集合的并集运算并求元素个数，应用抽屉原理结合余数对集合元素作分类，进而通过不同的取数组合，讨论在任意两数之和不可被5整除的条件下使目标集合元素最多的情况，并应用集合运算求集合，并确定元素个数，属于困难题．
由已知中A⊆{1,2,3,…,37}，且A中任意两数之和不能被5整除，我们可根据1～37中各数除以5的余数将数分为5类，进而分析出集合A中元素的最多个数，得到答案
【解答】
解：根据除以5的余数，可将A集合分为5组：
A0={5,10,15,20,25,30,35}，则card(A0)=7
A1={1,6,11,16,21,26,31,36}，则card(A1)=8
A2={2,7,12,17,22,27,32,37}，则card(A2)=8
A3={3,8,13,18,23,28,33}，则card(A3)=7
A4={4,9,14,19,24,29,34}，则card(A4)=7
A中的任何两个数之和不能被5整除，故A1和A4，A2和A3中不能同时取数，且A0中最多取一个
∴最多的取法是取A1∪A2和A0中的一个元素，card(A)max=8+8+1=17
故n的最大值为17
故答案为：17
5. 已知集合M=1,2,3,4,5,6,7，对它的非空子集A，可将A中的每一个元素k都乘以-1k再求和(如A=2,3,5，可求得和为：2⋅-12+3⋅-13+5⋅-15=-6)，则对M的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是          ．
【答案】-256 
【解析】【分析】
本题考查集合中每个元素在所有非空子集中出现的次数问题．
分析每个元素在集合M的所有非空子集中分别出现的次数，再根据定义求解即可．
【解答】
解：因为集合M=1,2,3,4,5,6,7，那么每个元素在集合M的所有非空子集中分别出现26次，
则对M的所有非空子集中元素k执行乘以-1k，再求和操作，则这些和的总和是
26-11×1+-12×2+-13×3+-14×4+-15×5+-16×6+-17×7=-256，
故答案为：-256
6. 设集合，若，把所有元素的乘积称为的容量（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，则的所有奇子集的容量之和为______.
【答案】
【解析】
【分析】写出所有的奇子集，从而求出所有奇子集的容量之和.
【详解】当时，，
含有一个元素的奇子集为，
含有两个元素的奇子集为，
含有三个元素的奇子集为，
故所有奇子集的容量之和为.
故答案为：47.
7．数学中经常把集合称为集合对的差集，记作，，是自然数集，则_________________．
【答案】或5或，且
【分析】根据差集的定义即可得出结果.
【详解】记在R中的补集为，
则，
由差集的定义，可知或5或且，
故答案为：或5或且.
8．已知集合，对于集合的两个非空子集、，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则____________.
【答案】
【分析】根据互斥子集的概念分情况讨论即可.
【详解】根据互斥子集的概念可知，
当集合中有个元素时，集合中有个元素，且，，则集合有个，则共个，
当集合中有个元素时，集合中有个元素，且，，则集合有个，则共个，
集合中有个元素时，集合中有个元素，且，，则集合有个，则共个，
所以满足互斥子集的个数，
故答案为：.
9．设数集，，且集合M､N都是集合的子集，如果把称为非空集合的“长度”，那么集合的“长度”的取值范围为 .
【答案】
【解析】根据“长度”定义确定集合的“长度”，由“长度”最小时，两集合位于集合左右两端即可确定结果.
【详解】由“长度”的定义可知：集合的长度为，集合的长度为；
若集合的“长度”最小，则与分别位于集合的左右两端，
的“长度”的最小值为
若集合的“长度”最大，则与分别重合的部分最多，
的“长度”的最大值为
则集合的“长度”的取值范围为
故答案为：
【点睛】本题考查集合中的新定义运算问题的求解，解题关键是能够确定“长度”最小时，两集合的位置.
10．用表示非空集合中元素的个数，若，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则____________.
【答案】
【分析】由题意可得出或，分、、三种情况 进行分类讨论，结合题意可得出方程根的个数，由此可解得实数的值，进而可得出集合.
【详解】由于，则，由，则或.
①当时，则，此时，合乎题意；
②当时，由，可得或，且，
所以，则关于的方程有两个相等的实根，则，解得；
③当时，由，可得或，且，
所以，则关于的方程有两个相等的实根，则，解得.
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】本题考查集合的新定义，考查利用集合的元素个数求参数值，考查计算能力，属于中等题.
11．对于集合，给出如下结论，其中正确的结论的序号是__________ ．
（1）如果，那么
（2）如果，那么
（3）如果，，那么
（4）如果，，那么
【答案】（3）
【分析】根据集合满足的条件，对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于（1），，，恒有，
所以，所以，故（1）错误；
对于（2），，，若，则存在x、使得，
所以，又和同奇或同偶，
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数；
若和都是偶数，则能被4整除，而不一定能被4整除，
所以，即，故（2）错误；
对于（3），，，设，，、；
则
，那么，故（3）正确；
对于（4），，，可设，，、；
则，故（4）错误．
故正确的是（3）．
故答案为：（3）．
12. 设集合，在上定义运算为：，其中，，那么满足条件的有序数对（其中当时，为两个不同的有序数对)共有________个．
【答案】12
【分析】结合集合新定义得，去绝对值结合取值范围分类讨论即可求解.
【详解】由，，其中，，可得，即或3，即，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
故共有12个.
故答案为：12

二、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
13．某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（    ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为，，，集合，，中元素个数分别为A，B，C，根据ABC，且，，可得．
【详解】解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为，，，集合，，中元素个数分别为A．，B．，C．，
则A．，B．，C．，，
因为A．B．C．，且，，，
所以，即．
故选：．

【点睛】本题考查集合多面手问题的应用，考查学生转化问题的能力和应用不等关系解题的思想，属于中档题.
14. 设A是集合1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为(    )
A. 32 B. 56 C. 72 D. 84
【答案】B 
【解析】【分析】
本题考查了集合的子集个数，集合中元素的个数，属于困难题．
分情况讨论，分类列举出每一种可能性：①若1，3在集合A内，②若2，4在集合A内，③若3，5在集合A内，④若4，6在集合A内，⑤若5，7在集合A内，⑥若6，8，10在集合A内，计算每种情况包含的符合条件的情况总数，即可得解．
【解答】
解：若1，3在集合A内，则还有一个元素为5，6，7，8，9，10中的一个；
若1，4在集合A内，则还有一个元素为6，7，8，9，10中的一个；
⋮
若1，8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有6+5+4+3+2+1=21个．
若2，4在集合A内，则还有一个元素为6，7，8，9，10中的一个；
若2，5在集合A内，则还有一个元素为7，8，9，10中的一个；
⋮
若2，8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有5+4+3+2+1=15个．
若3，5在集合A内，则还有一个元素为7，8，9，10中的一个；
若3，6在集合A内，则还有一个元素为8，9，10中的一个；
⋮
若3，8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有4+3+2+1=10个．
若4，6在集合A内，则还有一个元素为8，9，10中的一个；
若4，7在集合A内，则还有一个元素为9，10中的一个；
若4，8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有3+2+1=6个．
若5，7在集合A内，则还有一个元素为9，10中的一个；
若5，8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有2+1=3个．
若6，8，10在集合A内，只有1个．
总共有21+15+10+6+3+1=56个
故选：B．
15. 设A1、A2、A3、⋯、A7是均含有2个元素的集合，且A1∩A7=⌀，Ai∩Ai+1=⌀i=1,2,3,⋯,6，记B=A1∪A2∪A3∪⋯∪A7，则B中元素个数的最小值是(    )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A 
【解析】【分析】
本题考查集合中元素的个数，并集运算，交集运算，
设x1、x2、⋯、xnn≥4是集合B互不相同的元素，分析可知n≥4，然后对n的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解．
本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可．
【解答】
解：设x1、x2、⋯、xnn≥4是集合B互不相同的元素，
若n=3，则A1∩A2≠⌀，不合乎题意．
①假设集合B中含有4个元素，可设A1=x1,x2，则A2=A4=A6=x3,x4，
A3=A5=A7=x1,x2，这与A1∩A7=⌀矛盾；
②假设集合B中含有5个元素，可设A1=A6=x1,x2，A2=A7=x3,x4，
A3=x5,x1，A4=x2,x3，A5=x4,x5，满足题意．
综上所述，集合B中元素个数最少为5．
故选：A．
16. 对于任意两个正整数m,n，定义某种运算，法则如下：当m,n都是正奇数时，m n=m+n ；当m,n不全为正奇数时，m n=mn，则在此定义下，集合M={a,b|ab=16,a∈N*,b∈N*}的真子集的个数是(    )
A. 27-1 B. 211-1 C. 213-1 D. 214-1
【答案】C 
【解析】
本题考查元素与集合关系的判断，结合题意正确理解所给的定义，然后运用分类讨论的思想进行列举求解即可，
【解答】
解：由题意，当m,n都是正奇数时，m n=m+n；
当m,n不全为正奇数时，m n=mn；
若a,b都是正奇数，可得a+b=16，
此时符合条件的数对为(1,15),(3,13),…(15,1)满足条件的共8个；
若a,b不全为正奇数时 ，可得ab=16，
则符合条件的数对分别为(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)共5个；
故集合M={a,b|ab=16,a∈N*,b∈N*}中的元素个数是13，
所以集合M={a,b|ab=16,a∈N*,b∈N*}的真子集的个数是213-1．
故选C．
三、解答题
17. 已知集合A=x|x=m2-n2,m,n∈Z
(1)判断8，9，10是否属于集合A；
(2)已知集合B=x|x=2k+1,k∈Z，证明：“x∈A”的充分条件是“x∈B”；但“x∈B”不是“x∈A”的必要条件；
(3)写出所有满足集合A的偶数．
【答案】解：(1)8=32-12，9=52-42，8∈A，9∈A，
假设10=m2-n2，m,n∈Z，则(|m|+|n|)(|m|-|n|)=10，且|m|+|n|>|m|-|n|>0，
∴10=1×10=2×5，则m+n=10m-n=1或m+n=5m-n=2，显然均无整数解，
∴10∉A，
综上，有：8∈A，9∈A，10∉A；
(2)集合B=x|x=2k+1,k∈Z，则恒有2k+1=k+12-k2，
∴2k+1∈A，即一切奇数都属于A，又8∈A，而8∉B
∴“x∈A”的充分条件是“x∈B”；但“x∈B”不是“x∈A”的必要条件；
(3)集合A=x|x=m2-n2,m,n∈Z，m2-n2=(m+n)(m-n)成立，
①当m，n同奇或同偶时，m+n,m-n均为偶数，(m+n)(m-n)为4的倍数；
②当m，n一奇，一偶时，m+n,m-n均为奇数，(m+n)(m-n)为奇数，
综上，所有满足集合A的偶数为4k,k∈Z．
【解析】根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集．
(1)由8=32-12，9=52-42即可证8,9∈A，若10=m2-n2=(|m|+|n|)(|m|-|n|)，而10=1×10=2×5，列方程组判断是否存在整数解，即可判断10是否属于A．
(2)由2k+1=k+12-k2，结合集合A的描述知2k+1∈A，由(1)8∈A，而8∉B，即可证结论；
(3)由集合A的描述：m2-n2=(m+n)(m-n)，讨论m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可确定(m+n)(m-n)的奇偶性，进而写出所有满足集合A的偶数．
18. 已知由实数构成的集合A满足：若x∈A，且x≠±1、0，则1+x1-x∈A．
(1)求证：当2∈A时，A中还有3个元素；
(2)设±1、0均不属于A，问：非空集合A中至少有几个元素？
【答案】解：(1)若令x=2∈A，则1+x1-x=1+21-2=-3∈A，
此时即有x=-3∈A，则1+x1-x=1+-31--3=-12∈A，
即x=-12∈A，则1+x1-x=1+-121--12=13∈A，
即x=13∈A，则1+x1-x=1+131-13=2∈A(出现重复元素2，停止计算)，
综上，当2∈A时，A中还有3个元素是：-3,-12,13．
(2)当x≠±1、0时，由x∈A，所以1+x1-x∈A，
所以1+1+x1-x1-1+x1-x=-1x∈A，
所以1+-1x1--1x=x-1x+1∈A，
所以1+x-1x+11-x-1x+1=x∈A(出现重复元素x，停止计算)，
且x,-1x,1+x1-x,x-1x+1均不相等，
所以，非空集合A中至少有4个元素．
 【解析】本题考查学生阅读信息题的能力，同时考查学生的“整体意识”，即把1+x1-x的计算结果也看成是x.在计算过程中要注意集合元素的互异性，有重复元素出现时即停止计算．
(1)令x=2，代入1+x1-x中计算，再根据x∈A，则1+x1-x∈A进行计算即可，注意集合中的元素是互异的；
(2)当x≠±1、0时，由x∈A，则1+x1-x∈A，进行计算即可，注意集合中的元素是互异的．

19. 对于正整数集合A，记A-a=xx∈A,x≠a，记集合X所有元素之和为SX，S⌀=0.若∃x∈A，存在非空集合A1、A2，满足：①A1∩A2=⌀；②A1∪A2=A-x；③SA1=SA2，则称A存在“双拆”.若∀x∈A，A均存在“双拆”，称A可以“任意双拆”．
(1)判断集合1,2,3,4和1,3,5,7,9,11是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？(不必写过程，直接写出判断结果)；
(2)A=a1,a2,a3,a4,a5，证明：A不能“任意双拆”；
(3)若A可以“任意双拆”，求A中元素个数的最小值．
【答案】(1)解：对于集合1,2,3,4，∃4∈1,2,3,4,A1=1,2,A2=3，1,2,3,4-4=1,2,3，且1+2=3，
所以，集合1,2,3,4可双拆，
若在集合中去掉元素1，因为2+3≠4，2+4≠3，3+4≠2，故集合1,2,3,4不可“任意分拆”；
若集合1,3,5,7,9,11可以“双拆”，则在集合1,3,5,7,9,11去除任意一个元素形成新集合B，
若存在集合B1、B2使得B1∩B2=⌀，B1∪B2=B，SB1=SB2，则SB=SB1+SB2=2SB1，
即集合B中所有元素之和为偶数，
事实上，集合B中的元素为5个奇数，这5个奇数的和为奇数，不合乎题意，
故集合1,3,5,7,9,11不可“双拆”．
(2)证明：不妨设a1 反证法：如果集合A可以“任意双拆”，
若去掉的元素为a1，将集合a2,a3,a4,a5分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有a2+a5=a3+a4，①，或a5=a2+a3+a4，②，
若去掉的元素为a2，将集合a1,a3,a4,a5分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有a1+a5=a3+a4，③，或a5=a1+a3+a4，④，
由①-③可得a1=a2，矛盾；
由②-③可得a1=-a2，矛盾；
由①-④可得a1=-a2，矛盾；
由②-④可得a1=a2，矛盾．
因此，当n=5时，集合A一定不能“任意双拆”．
(3)解：设集合A=a1,a2,⋯,an．
由题意可知SA-aii=1,2,⋯,n均为偶数，因此aii=1,2,⋯,n均为奇数或偶数．
如果SA为奇数，则aii=1,2,⋯,n也均为奇数，由于SA=a1+a2+⋯+an，则n为奇数；
如果SA为偶数，则aii=1,2,⋯,n也均为偶数．
此时设ai=2bi，则b1,b2,⋯,bn也是可“任意分拆”的，
重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意分拆”集，此时各项之和也为奇数，
则集合A中元素个数n为奇数，
综上所述，集合A中的元素个数为奇数，
当n=3时，显然集合A=a1,a2,a3不可“任意分拆”；
当n=5时，由(2)可知，A=a1,a2,a3,a4,a5不可“任意分拆”，故n≥7．
当n=7时，取集合A=1,3,5,7,9,11,13，
因为3+5+7+9=11+13，1+9+13=5+7+11，1+3+5+11=7+13,1+3+7+11=9+13，
1+9+11=3+5+13，3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11，
则集合A可“任意分拆”，
所以，集合A中元素个数n的最小值为7．
 【解析】本题考查集合新定义问题，属于困难题．
(1)根据题中定义判断可得出结论；
(2)不妨设a1 (3)分析可知集合A中每个元素均为奇数，且集合A中所有元素和为奇数，分析可知n≥7，当n=7时，取A=1,3,5,7,9,11,13，根据“任意分拆”的定义可判断集合A可“任意分拆”，即可得出结论．
20. 已知集合S=1,2,3,⋯,1000，设A是S的至少含有两个元素的子集，对于A中的任意两个不同的元素x,yx>y，若x-y都不能整除x+y，则称集合A是S的“好子集”．
(1)分别判断数集P=2,4,6,8与Q=1,4,7是否是集合S的“好子集”，并说明理由；
(2)证明：若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，yx>y，都有x-y≥3；
(3)求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值．
【答案】解：(1)由于4-2=2整除4+2=6，所以集合P不是集合S的“好子集”；
由于4-1=3不能整除4+1=5，7-1=6不能整除7+1=8，7-4=3不能整除7+4=11，
所以集合Q是集合S的“好子集”．
(2)(反证)首先，由于A是S“好子集”，所以x-y≠1，(因为若等于1，则必会整除x+y)
假设存在A中的任意两个不同的元素x，yx>y，使得x-y=2，
则x与y同为奇数或同为偶数，
从而x+y是偶数，
此时，x-y=2能整除x+y，与A是S“好子集”矛盾．
故若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，yx>y，都有x-y≥3；
(3)设集合A=a1,a2,a3,⋯,ana1 令：ai+1-ai=bi，(i=1,2,3,…n-1)，
由(2)知bi≥3，(i=1,2,3,…n-1)
a2-a1=b1，a3-a2=b2，⋯an-an-1=bn-1
以上各式相加得an-a1=b1+b2+⋯+bn-1≥3n-1．
从而：3n-1≤an-a1≤1000-1=999
所以：n≤334．
另一方面：取A=1,4,7,⋯,997,1000，其中任意两元素差值x-yx>y都不能整除x+y，故其是好子集，
此时集合A有334个元素，且是集合S的一个“好子集”，
故集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值为334．
 
【解析】本题是集合新定义问题，关键是充分理解其定义，利用其定义去解决问题，反证法在一些证明题有着很重要的运用，它让一些不易证明的结论变得非常简介易证，关键是要假设相反，出现矛盾，得到证明，第三问难度要求较高，首先要对集合中的元素进行一定假设，穿插着累加的方法，得到关于n的不等式，解出其范围，再找到满足最大值时集合的具体元素情况.(1)根据“好子集”定义，在P中找到4-2=2整除4+2=6，即可判断，对于Q中元素两两作差作和，发现满足“好子集”定义．
(2)采取反证法，首先排除x-y=1的情况，然后假设存在A中的任意两个不同的元素x,yx>y，使得x-y=2，从而得出与原条件相矛盾的结论．
(3)假设集合A=a1,a2,a3,⋯,ana1 21. 设集合A=xx2-3x+2=0，B=xx2+2a+1x+a2-5=0．
(1)若A∩B=2，求实数a的值；
(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围；
(3)若全集U=R，A∩(∁UB)=A，求实数a的取值范围．
【答案】解：(1)由x2-3x+2=0，
得A=1,2，因为A∩B=2，所以2∈B，
所以4+4a+1+a2-5=0，
整理得a2+4a+3=0，解得a=-1或-3，
当a=-1时，B=xx2-4=0=-2,2，满足A∩B=2；
当a=-3时，B=xx2-4x+4=0=2，满足A∩B=2；
故a的值为-1或-3；
(2)由题意，知A=1,2，
由A∪B=A，得B⊆A，
当集合B=⌀时，关于x的方程x2+2a+1x+a2-5=0没有实数根，
所以Δ=4a+12-4a2-5<0，
即a+3<0，解得a<-3；
当集合B≠⌀时，若集合B中只有一个元素，
则Δ=4a+12-4a2-5=0，
整理得a+3=0，解得a=-3，
此时B=xx2-4x+4=0=2，符合题意；
若集合B中有两个元素，则B=1,2，
所以a2+2a-2=0a2+4a+3=0，无解，
综上，可知实数a的取值范围为aa≤-3；
(3)由A∩(∁UB)=A，可知A∩B=⌀，
所以1+2(a+1)+a2-5≠04+4(a+1)+a2-5≠0,
所以a≠-1+ 3且a≠-1- 3a≠-1且a≠-3,
综上，实数a的取值范围为aa≠-1,a≠-3,a≠-1+ 3,a≠-1- 3．
 【解析】本题主要考查了交集、并集、补集的运算，在解答时需要将并集转化为子集问题来求解．
(1)根据集合交集的定义计算即可；
(2)根据并集的定义即可得出答案，解题是主要分B=⌀和B≠⌀两种情况求解;
(3)由A∩∁ UB=A，可知A∩B=⌀，所以1+2(a+1)+a2-5≠04+4(a+1)+a2-5≠0，解不等式组即可得出答案．

22. 设A是集合P={1,2,3,⋅⋅⋅,n}的一个kk⩾2,k∈N*元子集(即由k个元素组成的集合)，且A的任何两个非空子集的元素之和不相等；而集合P的包含集合A的任意k+1元子集B，则存在B的两个子集，使这两个子集的元素之和相等．
(1)当n=6时，试写出一个三元子集A；
(2)当n=16时，证明：k≤5．
【答案】解：(1)取A={1,2,4}，则B={1,2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,4,6}满足题意，
(2)假设若k≥7，则A的非空子集有2k-1个，
而其中每个子集元素和不超过17k，但2k-1>17k，必有两个子集的和相等，矛盾．
假设若k=6，考虑A的一、二、三、四元子集，共有26-1-6-1=56个不同的子集，其元素和都在区间［1，57]内
(因为任意一个这样的和≤16+15+14+13=58.且由13+16=14+15知：13，14，15，16不同时属于A).
若1∈A，则由1+15=16知，15，16不同时属于A．
由1+13=14知，13，14不同时属于A.由1+11=12知，11，12不同时属于A．
所以此时最大的和不大于16+14+12+10=52.而56>52，则必有两个子集的和相等，矛盾．
若2∈A.则由2+14=16知．14，16不同时属于A．
由2+13=15知，13，15不同时属于A.由2+10=12知，10，12不同时属于A．
所以此时最大的和不大于16+15+12+9=52.而56>52，则必有两个子集的和相等，矛盾，
若1和2都不属于A.则最小的和不小于3.于是，其和都属于区间［3，57]，最多有55个不同的和．
而56>55，则必有两个子集的和相等，矛盾．综上所述，k≤5．
 【解析】本题考查了集合的新定义，属于难题．
(1)由新定义列举;
(2)由新定义与反证法证明．

23. 数字1,2,3,⋯,n  (n≥2)的任意一个排列记作(a1,a2,⋯,an)，设Sn为所有这样的排列构成的集合．如：S2={(1,2),(2,1)}. 集合An={(a1,a2,⋯,an)∈Sn|任意整数i,j,1≤i (Ⅰ)用列举法表示集合S3；
(Ⅱ)用列举法表示集合A3，B3；
(Ⅲ)求集合An∩Bn的元素个数
【答案】解：(Ⅰ)用列举法表示集合S3={(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)}
(Ⅱ)A3={(1,2,3)}，B3={(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(3,2,1)}.  
(Ⅲ)考虑集合An中的元素(a1,a2,...,an).由已知，对任意整数i，j，1≤i 又因为当ak=k(k∈N*,1≤k≤n)时，对任意整数i，j，1≤i 【解析】本题考查集合的新定义问题，元素与集合的关系，属于较难题．
(1)直接表示即可
(2)由题中给出条件，分别列举出两个集合的元素，再用列举法表示即可．
(3)先求出集合A，再分析集合A与集合B的关系即可
24. 设全集U={1,2,⋯,n}(n∈N*)，集合A是U的真子集．设正整数t≤n，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的R(t)子集：
①t∈A；
②∀a∈A，∀b∈∁UA，若ab∈U，则ab∈A；
③∀a∈A，∀b∈∁UA，若a+b∈U，则a+b∉A．
(1)当n=6时，判断A={1,3,6}是否为U的R(3)子集，说明理由；
(2)当n≥7时，若A为U的R(7)子集，求证：2∉A；
(3)当n=23时，若A为U的R(7)子集，求集合A．
【答案】解：(1)当n=6时，U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,6}，∁UA={2,4,5}，
取a=1，b=2，则ab=2∈U，但ab=2∉A，不满足性质②，
∴A={1,3,6}不是U的R(3)子集；
(2)证明：当n≥7时，A为U的R(7)子集，则7∈A，
假设1∈A，设x∈∁UA，即x∉A，
取a=1，b=x，则ab=x∈U，但ab=x∉A，不满足性质②，
∴1∉A，1∈∁UA；
假设2∈A，
取a=2，b=1，a+b=3∈U，且a+b=3∉A，则3∈∁UA，
再取a=2，b=3，ab=6∈U，则ab=6∈A，
再取a=6，b=1，a+b=7∈U，且a+b=7∉A，
但与性质①7∈A矛盾，∴2∉A．
(3)由(2)得，当n≥7时，若A为U的R(7)子集，
1∈∁UA，2∈∁UA，7∈A，
∴当n=23时，U={1,2,···,23}，
若A为U的R(7)子集，1∈∁UA，2∈∁UA，7∈A，
若3∈A，取a=3，b=1，a+b=4∈U，则4∉A，4∈∁UA，
取a=3，b=4，a+b=7∈U，则7∉A，与7∈A矛盾，
则3∉A，3∈∁UA；
若4∈A，取a=4，b=3，a+b=7∈U，则7∉A，与7∈A矛盾，则4∉A，4∈∁UA；
若5∈A，取a=5，b=2，a+b=7∈U，则7∉A，与7∈A矛盾，则5∉A，5∈∁UA；
若6∈A，取a=6，b=1，a+b=7∈U，则7∉A，与7∈A矛盾，则6∉A，6∈∁UA；
取a=7，b=1，2，3，4，5，6，a+b=8，9，10，11，12，13∈U，
则8，9，10，11，12，∉A，8，9，10，11，12，13∈∁UA；
取a=7，b=2，ab=14∈U，则14∈A；
取a=14，b=1，2，3，4，5，6，a+b=15，16，17，18，19，20∈U，
则15，16，17，18，19，20∉A，15，16，17，18，19，20∈∁UA；
取a=7，b=3，ab=21∈U，则21∈A；
取a=21，b=1，2，∈U，则22，23∉A，22，23∈∁UA.
综上所述，集合A={7,14,21}． 
【解析】本题考查集合中元素的性质、元素与集合的关系、A为U的R(t)子集等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
(1)取a=1，b=2，由ab=2∉A，不满足性质②，可得A不是U的R(3)子集；
(2)通过反证法，分别假设1∈A，2∈A的情况，由不满足R(7)子集的性质，可证明出2∉A；
(3)由(2)得1∈∁UA，2∈∁UA，7∈A，再分别假设3∈A，4∈A，5∈A，6∈A四种情况，可得出3，4，5，6∉A，再根据性质②和性质③，依次凑出8～23每个数值是否满足条件即可求出集合A．

25. 集合U如果存在一组两两不交的(两个集合交集为空集时，称为不交)非空子集X1、X2、…、Xk，满足X1∪X2∪⋅⋅⋅∪Xk=U，则称子集组X1、X2、…、Xk构成集合U的一个k-划分．子集组A：Ai=i,i+7,i+14,i+21,i+28,i+35,i+42,i+49(1≤i≤7)，与子集组B：Bj=j,j+8,j+16,j+24,j+32,j+40,j+48(1≤j≤8)的并集都是集合S．
(1)用列举法写出集合S．
(2)判断其子集组A、B是否分别是S的7-划分与8-划分．
(3)在子集组A、B中任取7个子集，求其并集W中元素个数的最小值．
【答案】解：(1)依题意，子集组A：Ai(1≤i≤6,i∈N*)中的每个数是除以7余数是i的前8个正整数，A7是前8个整除7的正整数，
子集组B：Bj(1≤j≤7,j∈N*)中的每个数是除以8余数是i的前7个正整数，B8是前7个整除8的正整数，
所以S={1,2,3,4,5,6,⋯,51,52,53,54,55,56}．
(2)由(1)知，Ai(1≤i≤7,i∈N*)是非空集合，且A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7两两不相交，
A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6∪A7=S，所以子集组A是S的7-划分；
Bj(1≤j≤8,j∈N*)是非空集合，且B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7,B8两两不相交，
B1∪B2∪B3∪B4∪B5∪B6∪B7∪B8=S，所以子集组B是S的8-划分．
(3)A1={1,8,15,22,29,36,43,50},A2={2,9,16,23,30,37,44,51}，
A3={3,10,17,24,31,38,45,52},A4={4,11,18,25,32,39,46,53}，
A5={5,12,19,26,33,40,47,54},A6={6,13,20,27,34,41,48,55}，
A7={7,14,21,28,35,42,49,56}，
B1={1,9,17,25,33,41,49},B2={2,10,18,26,34,42,50}，
B3={3,11,19,27,35,43,51},B4={4,12,20,28,36,44,52}，
B5={5,13,21,29,37,45,53},B6={6,14,22,30,38,46,54}，
B7={7,15,23,31,39,47,55},B8={8,16,24,32,40,48,56}，
子集组A、B中任取7个子集，当7个子集来自于子集组A时，并集W中元素个数是56；
当7个子集来自于子集组B时，并集W中元素个数是49；
显然Ai(1≤i≤7,i∈N*)中任意一个集合与Bj(1≤j≤8,j∈N*)中任意一个集合有且只有1个公共元素，
当6个子集来自于子集组A，1个子集来自于子集组B时，并集W中元素个数是6×8+1×7-1×6=49；
当5个子集来自于子集组A，2个子集来自于子集组B时，并集W中元素个数是5×8+2×7-2×5=44；
当4个子集来自于子集组A，3个子集来自于子集组B时，并集W中元素个数是4×8+3×7-3×4=41；
当3个子集来自于子集组A，4个子集来自于子集组B时，并集W中元素个数是3×8+4×7-3×4=40；
当2个子集来自于子集组A，5个子集来自于子集组B时，并集W中元素个数是2×8+5×7-2×5=41；
当1个子集来自于子集组A，6个子集来自于子集组B时，并集W中元素个数是1×8+6×7-1×6=44，
所以并集W中元素个数的最小值是40，当且仅当子集组A取3个，子集组B中取4个时取得最小值．
【解析】本题考查集合的新定义问题，属困难题．
涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决．
(1)根据给定条件，直接写出集合S作答．
(2)利用给定的定义直接判断作答．
(3)按所取7个子集的来源分类求出并集W中元素个数作答．

26.已知集合Sn={1,2,3,⋯,2n}n∈N*,n≥4，对于集合Sn的非空子集A.若Sn中存在三个互不相同的元素a，b，c，使得a+b，b+c，c+a均属于A，则称集合A是集合Sn的“期待子集”．
(1)试判断集合A1=3,4,5，A2={3,5,7}是否为集合S4的“期待子集”；(直接写出答案，不必说明理由)
(2)如果一个集合中含有三个元素x，y，z，同时满足①xz，③x+y+z为偶数．那么称该集合具有性质P.对于集合Sn的非空子集A，证明：集合A是集合Sn的“期待子集”的充要条件是集合A具有性质P；
(3)若Sn(n≥4)的任意含有m个元素的子集都是集合Sn的“期待子集”，求m的最小值．
【答案】解：(1)因为S4={1,2,3,4,5,6,7,8}，
对于集合A1={3,4,5}，
令a+b=3b+c=4c+a=5，解得a=2b=1c=3，
显然1∈S4，2∈S4，3∈S4所以A1是集合S4的“期待子集”；
对于集合A2={3,5,7}，
令a1+b1=3b1+c1=5c1+a1=7，则a1+b1+c1=152，
因为a1，b1，c1∈S4，即a1+b1+c1∈N*，故矛盾，所以A2不是集合S4的“期待子集”；
(2)先证明必要性：
当集合A是集合Sn的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的a，b，c∈Sn，使a+b，b+c，c+a∈A，
不妨设a 又x+y-z=(a+b)+(c+a)-(b+c)=2a>0，
所以x+y>z，即条件P中的 ②成立;
因为x+y+z=(a+b)+(c+a)+(b+c)=2(a+b+c)，
所以x+y+z是偶数，即条件P中的 ③成立．
所以集合A满足条件P．
再证明充分性：
当集合A满足条件P时，有∃x，y，z∈A，
满足 ①x< yz ③x+y+z为偶数，
记a=x+y+z2-z，b=x+y+z2-y，c=x+y+z2-x，
由 ③得：a，b，c∈Z，由 ①得：a0，
所以a，b，c∈Sn，
因为a+b=x，a+c=y，b+c=z，所以a+b，b+c，c+a均属于A，
即集合A是集合Sn的“期待子集”．
(3)m的最小值为n+2.理由如下：
一方面，当3≤m≤n时，对于集合M={ai|ai=2i-1,i=1,2,3,⋯,m}，其中任意三个元素之和均为奇数，由(2)知，M不是Sn的“期待子集”;
当m=n+1时，对于集合M={ai|ai=2i-1,i=1,2,3,⋯,n }∪{2}.从中任取三个不同元素，若不含有2，则不满足条件P中的 ③;若三个元素中含有2，则另两数必都是奇数，因为任意两个奇数之差都不小于2，故不满足条件P中的 ②，所以M不是Sn的“期待子集”;所以m≥n+2．
另一方面，我们用数学归纳法证明集合Sn的任意含有n+2个元素的子集，都是Sn的“期待子集”:
(1)当n=4时，对于集合S4的任意含有6个元素的子集，记为B，
当4，6，8三个数中恰有1个属于B时，则{ 1,2,3,5,7}⊆B，因为数组3，4，5、3，5，6、5，7，8都满足条件P，所以此时集合B是集合S4的“期待子集”;
当4，6，8三个数恰有两个属于集合B，则3，5，7中至少有两个属于集合B，因为数组3，4，5、3，5，6、3，6，7、3，7，8、5，6，7、5，7，8都满足条件P，
当4，6，8三个数都属于集合B，因为数组4，6，8满足条件P，所以此时集合B集合S4的“期待子集”;
所以集合B必是集合S4的“期待子集”;
所以当n=4时，S4的任意含有6个元素的子集都是集合S4的“期待子集”．
(2)假设当n=k(k≥4)时，结论成立，即集合Sk的任意含有k+2个元素的子集都是Sk的“期待子集”，那么n=k+1时，对于集合Sk+1的任意含有k+3个元素的子集C，分成两类：
 ①若2k+1，2k+2，至多有1个属于C，则C中至少有k+2个元素都在集合Sk，由归纳假设知，结论成立;
 ②若2k-1∈C，2k∈C，则集合C中恰含Sk的k+1个元素，此时，当C中只有一个奇数时，则集合C中包含Sk中的所有偶数，此时数组2k-4，2k-2，2k符合条件P，结论成立;当集合C中至少有两个奇数时，则必有一个奇数c不小于3，此时数组c，2k-1，2k符合条件P，结论成立;
所以n=k+1时，结论成立
根据(1)(2)知，集合Sn的任意含有n+2个元素的子集，都是Sn的“期待子集”，所以m的最小值为n+2． 
【解析】本题考查集合新定义问题，集合的相关知识的应用，数学归纳法的应用，逻辑推理能力要求较高，化归转化思想，分类讨论思想，属难题．
(1)根据所给定义判断即可．
(2)先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质P的定义证明即可；
(3)首先利用反例说明当3≤m≤n、m=n+1时不成立，再利用数学归纳法证明集合Sn的任意含有n+2个元素的子集，都是Sn的“期待子集”，即可得解．