苏科版初中数学八年级上册第三章《勾股定理》单元测试卷（较易）（含答案解析）

苏科版初中数学八年级上册第三章《勾股定理》单元测试卷

考试范围：第三章  考试时间 ：120分钟 总分 ：120分

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图通过该图形，可以验证公式
(    )

 

A.  B.
C.  D.

2.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按如图所示的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出
(    )
 

A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积
C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和

3.在中，，，边上的高，则的长为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

4.如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.满足下列条件中的一个，其中不能说明是直角三角形的是(    )

A.  B. ：：：：
C.  D. ：：：：

6.已知，，为三边，且满足，则它的形状为(    )

A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

7.已知的三边分别为，，，当三角形的边、角满足下列关系，不能判定是直角三角形的是(    )

A.  B. ：：：：
C. ：：：： D.

8.如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.如图，一个长、宽、高分别为、、的长方体盒子能容下的木棒最长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.如图，一艘轮船以海里时的速度从港口出发向东北方向航行，同时，另一艘轮船以海里时的速度从港口出发向东南方向航行离开港口小时后，两船相距(    )

 

A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里

11.如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度为(    )

 

A.  B.  C.  D.

12.如图，桌面上有一把直尺和一个透明的学具，其中，，，学具放置在直尺的一侧，边与直尺的边缘重合，点对应直尺的刻度为现将学具沿直尺边缘平移到所在位置，点对应直尺的刻度为，连接，则边扫过的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为，，则的面积为          ．
 

14.在中，，已知，，则的面积为          ．

15.在中，，，，则边上的高是________．

16.如图，将长为的橡皮筋放置在一条直线上，固定两端和，然后把中点向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了          ．
 

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

如图，将一个长为，宽为的长方形纸片折叠，使点与点重合．

求证：；

求的长．

18.本小题分

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”在中，，若，，，请你利用这个图形说明．

19.本小题分
如图，在中，，，，是边上的高求：
 

的长

的面积

的长．

20.本小题分
已知：如图，，，为上一点，，求证：．

21.本小题分

如图所示的一块地，已知，，，，，求这块地的面积

22.本小题分

如图，是上的高，，，
求的长．
求的长．
判断的形状，并说明理由．

23.本小题分
如图，在中，，点为上一点，连接，，．
试判断的形状，并说明理由；
求的长．

24.本小题分

一架云梯长，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端离墙．
这个梯子的顶端距地面有多高？
如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少？

25.本小题分

如图，小巷左右两侧是竖直的墙，巷子宽米，一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端到地面的距离为米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为米，则的长度为多少？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查的知识点是勾股定理的证明，关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形，利用面积的关系证明勾股定理．
利用两种方法表示出大正方形的面积，根据面积相等整理得出．
【解答】
解：大正方形的面积可以表示为，
也可以表示为，
，
即，
．

2.【答案】 

【解析】设直角三角形的斜边长为，较长直角边的长为，较短直角边的长为，  由勾股定理得，  阴影部分的面积，  较小两个正方形重叠部分的宽，长，  则较小两个正方形重叠部分的面积，知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积．  故选C．

3.【答案】 

【解析】略

4.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查轴对称变换和勾股定理．
根据勾股定理可将斜边的长求出，根据折叠的性质知，，已知的长，可将的长求出．
【解答】
解：在中，
根据折叠的性质可知：
，
．
即的长为
故选A．

5.【答案】 

【解析】解：、由可得：，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、由，，可得：，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、：：：：，，最大角，不能构成直角三角形，故选项符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理求出最大角，即可判断．
本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，能熟记定理的内容是解此题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：，
，或，
即或，
的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：．
由，可得：，或，进而可得或，进而判断的形状为等腰三角形或直角三角形．
此题考查了利用边判断三角形的形状，有两边相等的三角形是等腰三角形，满足的三角形是直角三角形．

7.【答案】 

【解析】解：、由，得，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意；
B、由：：：：，又，则，是直角三角形，不符合题意；
C、由：：：：，得，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意；
D、由，得，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理及三角形内角和定理进行判断即可．
本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

8.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】
解：中，，；
根据勾股定理，得：；
；
故橡皮筋被拉长了．
故选A．

9.【答案】 

【解析】略

10.【答案】 

【解析】略

11.【答案】 

【解析】略

12.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，垂足为，
在，，，
，
由平移的性质可知，，，
，，
∽，
，
即，
，
，
故选：．
求出平行四边形的高，根据平行四边形面积计算方法．
本题考查勾股定理的应用，平移的性质，掌握平移的性质是正确解答的前提．

13.【答案】 

【解析】如图，，，

  在和中，≌，，的面积的面积的面积．

14.【答案】 

【解析】在中，，  ，，，，的面积为．

15.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积，判定为直角三角形是解题的关键．先根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再利用面积公式求解．
【解答】
解：在中，，，，，
为直角三角形，且，
直角边为，，
设斜边上的高为，
根据三角形的面积公式有：，
解得．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】
解：中，，
根据勾股定理，得：，
同理：，
故檄皮筋被拉长了．

17.【答案】【小题】

证明：由折叠可知，，   
又，，，．

【小题】

由折叠可知，，，
，，  即，．

【解析】 略
 略

18.【答案】 大正方形的面积为，一个直角三角形的面积为，小正方形的面积为，，  即． 

【解析】略

19.【答案】解：在中，，，，
．
在中，，，，
．
是边上的高．
．
．
． 

【解析】本题主要考查勾股定理、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
直接利用勾股定理即可解答；
直接利用直角三角形的面积公式计算即可；
利用面积法求解即可．

20.【答案】证明：，
，
在与中，
，
≌，
，
． 

【解析】根据勾股定理的逆定理得到，推出≌，根据全等三角形的性质得到，然后由勾股定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，由勾股定理的逆定理得到是解题的关键．

21.【答案】解：连接．
，，
，，
为直角三角形
，
，
这块地的面积． 

【解析】根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，从而不难求得这块地的面积．
此题主要考查学生对勾股定理及其逆定理的理解及运用能力．

22.【答案】解：是上的高，，，
；

是上的高，，，
；

是直角三角形．理由是：
，
又，，
，
为直角三角形． 

【解析】由是上的高，得到三角形为直角三角形，由与，利用勾股定理求出的长；
由是上的高，得到三角形为直角三角形，由与，利用勾股定理求出的长；
三角形为直角三角形，理由为：由求出的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形．
此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．

23.【答案】解：是直角三角形，
理由：在中，，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
是直角三角形；
设，则，
，
，
在中，，
，
，
． 

【解析】根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，从而可得，然后利用平角定义可得，即可解答；
设，则，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出，的长，即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．

24.【答案】解：在中，，，，
．
答：这个梯子的顶端距地面．
在中，，，
，
．
答：如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了． 

【解析】在中，利用勾股定理可求出的长度，此题得解；
在中，利用勾股定理可求出的长度，用其减去的长度即可得出结论．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用勾股定理求出；利用勾股定理求出．

25.【答案】解：根据勾股定理得，，，
，
，
，
，
答：的长度为米． 

【解析】根据勾股定理列方程即可得到结论．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．