新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 三角函数的单调性（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 三角函数的单调性（含解析），共35页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

三角函数的图象和性质
求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性“同增异减”的规律. 对于逆向的已知三角函数的单调区间求参数问题，常先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
【题型归纳】
题型一：求三角函数的单调性
1．函数和函数在内都是（ ）
A．奇函数B．增函数C．减函数D．周期函数
2．设函数，则（ ）
A．在区间上是单调递减的B．是周期为的周期函数
C．在区间上是单调递增的D．对称中心为，
3．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．

题型二：利用三角函数的单调性求参数
4．已知是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间内是单调函数，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数在区间内单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．若函数在上单调，且在上存在极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

题型三：利用三角函数单调性解抽象不等式
7．已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．满足的一个区间是（ ）
A．B．C．D．


【双基达标】
10．设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上单调递增
C．点是函数图象的一个对称中心
D．将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象
12．关于函数，有以下四个命题：
①函数是偶函数；②的图像关于直线对称；③要得到函数的图像只需将的图像向右平移个单位；④在区间内的单调递增区间是和．
其中真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．在下列函数中，同时满足：①在上单调递增；②最小正周期为的是（ ）
A．B．C．D．
14．函数的单调增区间是（ ）
A．B．
C．D．
15．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若对满足，有恒成立，且在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
16．若在是减函数，则的最大值是
A．B．C．D．
17．已知，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．a＜c＜b
18．已知函数，给出下列四个结论：①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数在区间单调递减；④若对任意，都有成立，则的最小值为；其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
19．已知函数，有下列四个结论：
①若，则有2个零点 ②最小值为
③在区间单调递减 ④是的一个周期
则上述结论中错误的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
20．若、为第二象限的角，则“”是“”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
21．函数在上的递增区间为（ ）
A．B．C．D．
22．下列区间是函数的单调递减区间的是（ ）
A．B．C．D．
23．关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
24．设函数，，则下列结论错误的是（ ）
A．的值域为B．是偶函数
C．不是周期函数D．不是单调函数
25．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【高分突破】
单选题
26．函数的单调增区间是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
27．若函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（ ）．
A．1B．C．2D．3
28．设是第二象限角，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
29．函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．，D．
30．已知函数在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为，则的值不可能是（ ）
A．B．C．1D．
31．已知函数在上是增函数，且在上仅有一个极大值点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
32．已知函数(，，)，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（ ）
A．5B．7C．9D．11
33．函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是
A．函数的图象可由的图象向左平移个单位得到
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上是单调递增的
D．函数图象的对称中心为
34．设函数，则下列结论正确的是
A．的一个周期为B．的图象关于直线对称
C．的一个零点是D．在单调递增
二、多选题
35．在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
36．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的最小正周期为，则其图象关于直线对称
B．若函数的最小正周期为，则其图象关于点对称
C．若函数在区间上单调递增，则的最大值为2
D．若函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是
37．已知函数在上是单调函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．当时，的取值范围是
B．当时，的取值范围是
C．当时，的取值范围是
D．当时，的取值范围是
38．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．在区间上单调递增
D．若，则
三、填空题
39．函数的单调递减区间为_______________.
40．已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
41．函数在区间上的单调递减区间是___________.
42．函数的严格增区间为________．
43．已知函数的图象上有一动点P，且在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是______.
44．已知函数，给出下列四个结论：
①的值域是；
②是以为最小正周期的周期函数；
③在上有个零点；
➃在区间上单调递增．
其中所有正确结论的编号是___________．
四、解答题
45．已知函数的最大值为.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若，求函数的值域.
46．函数（，）的部分图象如图所示．
(1)求的值及的增区间；
(2)若图象的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将所得图象向右平移个单位长度，最后向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若在上函数的图象与x轴恰有10个交点，求实数b的取值范围．
47．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)已知在时，求方程的所有根的和.
48．已知函数.
（1）求函数的最大值及相应的的值；
（2）求函数的单调增区间.
49．已知函数，其中.
（1）求使得的的取值范围；
（2）若函数，且对任意的，当时，均有成立，求正实数的最大值.
函数性质
y＝sinx
y＝csx
y＝tanx
定义域
R
R
{x|x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}
图象(一
个周期)
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最值
(k∈Z)
当x＝eq \f(π,2)＋2kπ时，ymax＝1；
当x＝－eq \f(π,2)＋2kπ时，ymin＝－1
当x＝2kπ时，ymax＝1；
当x＝2kπ＋π时，ymin＝－1
无
函数性质
y＝sinx
y＝csx
y＝tanx
对称性
(k∈Z)
对称轴：
x＝kπ＋eq \f(π,2)；
对称中心：
(kπ，0)
对称轴：
x＝kπ；
对称中心：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
无对称轴；
对称中心：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
最小正
周期
2π
2π
π
单调性
(k∈Z)
单调递增区间
[2kπ－eq \f(π,2)，2kπ＋eq \f(π,2)]；
单调递减区间
[2kπ＋eq \f(π,2)，2kπ＋eq \f(3π,2)]
单调递增区间
[2kπ－π，2kπ]；
单调递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
单调递增区间
(kπ－eq \f(π,2)，kπ＋eq \f(π,2))
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
由正弦函数和正切函数性质直接判断即可.
【详解】
当时，，，
和在内都是奇函数，A正确；
在内为增函数，在内是减函数；
又在内是增函数，则BC错误；
最小正周期为，最小正周期为，
和在内不具有周期性，D错误.
故选：A.
2．A
【解析】
【分析】
先当时，，又是偶函数，由此可判断命题的真假.
【详解】
当时，，在上是单调递减的，故A正确；
是偶函数，无周期性，故B错误；
是偶函数，在单调递减，故C错误；
是偶函数，无对称中心，故D错误；
故选：A
3．C
【解析】
【分析】
先用三角恒等变换化简得到，再用整体法求解单调递减区间.
【详解】
，令解得：Z，故f（x）的单调递减区间为
故选：C
4．A
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性结合的取值范围可得出的值，利用函数的对称轴可得出的表达式，结合函数的单调性可求得的取值范围，可得出的值，进而可确定的解析式，代值计算可得结果.
【详解】
因为是上的奇函数，则，
所以，，
因为的图象关于直线对称，则，可得，
当时，，
因为函数在区间内是单调函数，则，解得，
所以，，，故，因此，.
故选：A.
5．B
【解析】
【分析】
依题意可得，再根据周期公式即可求出的大致范围，再根据的取值范围，求出的取值范围，根据的范围求出左端点的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：依题意，即，又，所以，解得，
又，所以，所以，
要使函数在内单调递减，所以，解得，
即；
故选：B
6．A
【解析】
【分析】
依据函数在上单调，可知，计算出函数的对称轴，然后根据函数在所给区间存在极值点可知，最后计算可知结果.
【详解】
因为在上单调，所以，则，由此可得.
因为当，即时，
函数取得极值，要满足在上存在极值点，因为周期，
故在上有且只有一个极值，故第一个极值点，得.
又第二个极值点，
要使在上单调，必须，得.
综上可得，的取值范围是.
故选:A.
7．A
【解析】
【分析】
由对称性可得和的解集，结合的正负可求得不等式的解集.
【详解】
是定义在上的偶函数，其图象关于轴对称，
结合图象可知：当时，；当时，；
由得：或，
或或，
的解集为.
故选：A.
8．A
【解析】
【分析】
由题可得，，进而可得，，即得.
【详解】
由，得，
则，
解得．
又，
∴，
故，即．
由，得，
则，解得，
因为，
故，即，
综上所述，的取值范围为．
故选：A.
9．B
【解析】
【分析】
先将不等式变为，由三角恒等变换将化为，即求解，由正弦函数的图形性质可得答案.
【详解】
，
当时，
结合选项可知：是所求区间的一个子集.
故选：B
10．D
【解析】
【分析】
先用诱导公式化简，再根据正弦函数的单调性可得，结合条件即得.
【详解】
，
由，，可得，
根据正弦函数的单调性，可得：，又，
所以，即.
故选：D.
11．C
【解析】
【分析】
先求出，对四个选项一一验证：
对于A：利用周期公式验证；
对于B：直接讨论单调性验证；
对于C：代入法验证；
对于D：利用图像变换验证.
【详解】
∵函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，∴，即.
∵直线是其中一条对称轴，∴，解得：.
所以.
对于A：函数的最小正周期为，故A错误；
对于B：当时，，所以不单调，故B错误；
对于C：当时，，所以点是函数图象的一个对称中心，故C正确；
对于D：将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图像，再向左平移个单位长度，得到，故D错误.
故选：C
【点睛】
(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；
(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．
12．B
【解析】
【分析】
代入解析式，利用函数的奇偶性即可判断①；根据函数的对称性可判断②；根据三角函数的平移变换原则可判断③；根据单调区间可判断④.
【详解】
对于①，因为函数，
所以
，函数不是偶函数，故①不正确；
对于②，时，，
所以函数图像关于对称，故②正确；
对于③，将的图像向右平移个单位，
得到
，故③不正确；
对于④，，
由，
解得，
当时，，
当时，，
所以在区间内的单调递增区间是和，故④正确.
所以②④正确.
故选：B
【点睛】
本题考查了三角函数的图像与性质，掌握三角函数的图像与性质是解题的关键，属于中档题.
13．C
【解析】
【分析】
根据题意，结合余弦、正切函数图像性质，一一判断即可.
【详解】
对于选项AD，结合正切函数图象可知，和的最小正周期都为，故AD错误；
对于选项B，结合余弦函数图象可知，在上单调递减，故B错误；
对于选项C，结合正切函数图象可知，在上单调递增，且最小正周期，故C正确.
故选：C.
14．D
【解析】
【分析】
首先利用诱导公式将函数化简为，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为，所以，令，解得，故函数的单调递增区间为
故选：D.
15．D
【解析】
【分析】
可得，根据题意可求出最小正周期，得出，求出的单调递减区间，根据包含关系可求出.
【详解】
由题可得，
若满足，则和必然一个极大值点，一个极小值点，
又，则，即，所以，
令，可得，
即的单调递减区间为，
因为在区间上单调递减，所以，
则，解得，
因为，所以可得.
故选：D.
16．A
【解析】
【详解】
因为，
所以由得
因此，从而的最大值为，故选：A.
17．D
【解析】
【分析】
由对数的运算法则求出a,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b,c进行放缩，最后求得答案.
【详解】
由题意，，，，则.
故选：D.
18．C
【解析】
【分析】
化的解析式为可判断①，求出的解析式可判断②，由得，结合正弦函数得图象即可判断③，由
得可判断④.
【详解】
由题意，，所以，故①正确；
为偶函数，故②错误；当
时，，单调递减，故③正确；若对任意，都有
成立，则为最小值点，为最大值点，则的最小值为
，故④正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.
19．C
【解析】
【详解】
所以④正确，
，
，，则或，所以①错误，
，，，②错误，
在递减，
在递增，③正确.
故选:C.
【点睛】
本题考查三角函数的性质，涉及零点、单调性、最值和周期，等价转化为二次函数是解题的关键，属于中档题.
20．D
【解析】
【分析】
结合三角函数以及充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】
依题意、为第二象限的角，
但.
，但，
所以“”是“”的既非充分又非必要条件.
故选：D
21．B
【解析】
【分析】
根据正弦函数图象求单调区间即可
【详解】
的递增区间就是的递增区间，由三角函数图象可得在上递减，在上递增，在上递减，
故选：B．
22．D
【解析】
【分析】
取， 得到，对比选项得到答案.
【详解】
，取，，
解得，，当时，D选项满足.
故选：D.
23．C
【解析】
【分析】
化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】
为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．
【点睛】
画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．
24．C
【解析】
【分析】
求出函数的值域，判断函数的奇偶性，函数的周期性，以及函数的单调性，即可得到选项．
【详解】
解：因为函数，，所以函数的值域为，，A正确．
因为，所以函数是偶函数，B正确．
因为，所以函数是周期函数，C不正确．
因为，不具有单调性，D正确．
故选：C．
25．D
【解析】
【分析】
先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数的单调递增区间，结合集合的包含关系求出的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个的范围，两个范围取交集即可求解.
【详解】
令，解得，，
而函数在区间上单调递增，
所以，解得，
当时，，
因为在区间上有且仅有一个解，
所以，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题的核心是利用整体思想，首先根据正弦函数的单调性，以及已知单调性得的一个取值范围；然后根据取最值的个数，求得的另一个范围.这里要注意，说明，而根据题意，只有一个解，所以只能取一个值，而根据函数本身的图象可以发现只能等于1.如果能够取到，那么根据自变量的范围，此时肯定也可以取1，所以舍去.
26．C
【解析】
【分析】
的单调增区间，即函数的单调减区间，然后解出不等式即可得答案.
【详解】
的单调增区间，即函数的单调减区间.
令，求得，，
故函数函数的单调减区间为，，
故选：C
27．B
【解析】
【分析】
根据以及周期性求得.
【详解】
依题意函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则，
即，解得.
故选：B
28．B
【解析】
【分析】
根据正弦函数、余弦函数的值的正负性，正余弦函数的单调性进行判断即可.
【详解】
因为是第二象限角，所以，
因此，所以点在第二象限.
故选：B
29．C
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换得到，再计算单调区间得到答案.
【详解】
，
取，，解得，.
故选：C.
30．B
【解析】
【分析】
先根据一条对称轴方程为可得，再由单调区间的长度小于等于半周期，解不等式即可得到答案；
【详解】
由题意得：
故选：B.
31．A
【解析】
【分析】
首先根据函数的单调性列出，求出，再由在处取得极大值，列出，解不等式即可求解.
【详解】
由题，所以有，得，
又因为，所以；
又在处取得极大值，
可得，所以，则，
故选：A.
32．C
【解析】
由函数的对称性可得、，两式相减进一步化简可得，根据正弦型函数的单调性得，代入周期计算公式可得，取验证函数的单调性即可.
【详解】
由于，则关于对称，即是函数的一条对称轴，
，①
，②
①-②得，
令，，则，，
，，的最小正周期，
在上单调， ，
，解得，
当时，，则②式为，，
又，，此时，
当时，，
在上不单调，不符合题意舍去；
当时，，则②式为，，
又，当时， ，此时，
当时，，单调递增；
当时，，此时，
当时，，单调递减.
的最大值为9.
故选：C
【点睛】
解决三角函数中已知单调区间求参数范围时，首先要有已知的单调区间是函数单调区间的子集的意识，然后明确正弦、余弦函数的单调区间长度不会超过半个周期（正切函数的单调区间长度不会超过一个周期）这一事实最终准确求得参数范围，数形结合能给解题带来比较清晰地思路.
33．D
【解析】
根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项.
【详解】
由图象可知A＝2，f（0）＝1，
∵f（0）＝2sinφ＝1，且，
∴，
∴f（x）＝2sin（ωx），
∵f（）＝0且为单调递减时的零点，
∴，k∈Z，
∴，k∈Z，
由图象知，
∴ω，
又∵ω＞0，
∴ω＝2，
∴f（x）＝2sin（2x），
∵函数f（x）的图象可由y＝Asinωx的图象向左平移个单位得，
∴A错，
令2x，k∈Z，对称轴为x，则B错，
令2x,则x，则C错，
令2xkπ，k∈Z，则x＝，则D对，
故选：D．
【点睛】
本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题．
34．B
【解析】
【分析】
根据周期公式计算可知，选项A错误；根据的余弦值可知，选项B正确且选项C错误；根据区间的长度大于半个周期可知，选项D错误.
【详解】
因为，所以选项A错误；
因为，所以选项B正确；
因为，所以选项C错误；
的最小正周期为，在内不可能是单调的，选项D错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查了余弦函数的周期性，对称轴，零点和单调性，属于基础题.
35．ABC
【解析】
【分析】
根据大边对大角以及正弦定理即可判断A；根据余弦函数的单调性以及可判断B；利用正弦定理化边为角以及同角三角函数商数关系可得即可判断C；利用正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可得进而可得或即可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：因为，所以，由正弦定理可得（是外接圆的半径），所以，故选项A正确；
对于B：因为在上单调递减，且，所以，故选项B正确；
对于C：因为，由正弦定理化边为角可得，
又因为，所以，所以，故选项C正确；
对于D：利用正弦定理化边为角可得，所以，所以或，故选项D错误．
故选：ABC．
36．ACD
【解析】
【分析】
根据最小正周期可以计算出，便可求出对称轴和对称点，可判断A、B选项；根据正弦型函数的单调性可以推出的值，可判断C选项；根据零点情况可以求出的取值范围，可判断D选项.
【详解】
选项：的最小正周期为
，故正确；
B选项：的最小正周期为
，故B错误；
C选项：
又函数在上单调递增
，故C正确；
D选项：
又在有且仅有个零点，则，故D正确.
故选：ACD
37．AD
【解析】
【分析】
根据题意，结合正弦函数图像的周期性与单调性，即可求解.
【详解】
根据题意，易知，即，因此.
当时，，因为，所以，
又因为函数在上是单调函数，所以，
解得，故A正确，C错误；
当时，，因为，所以，
又因为函数在上是单调函数，所以，
解得，故B错误，D正确.
故选：AD.
38．AD
【解析】
【分析】
由图知即可求；根据且求；代入验证并结合正弦函数的单调性判断在上单调性；由代入解析式，利用诱导公式转化函数式判断是否成立.
【详解】
由图知：，而，可得，A正确；
∴，又且，有，，又，
∴，即，B错误；
综上，，
∴，则，显然在上不单调，C错误；
若，则，故，D正确.
故选：AD
39．
【解析】
【分析】
由题得，利用正切函数的单调区间列出不等式，解之即得.
【详解】
由题意可知，则要求函数的单调递减区间只需求的单调递增区间，
由得，
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：.
40．2
【解析】
【分析】
先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】
由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】
关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.
41．
【解析】
【分析】
根据题意求出函数在R上的单调区间，进而与求交集即可得到答案.
【详解】
令，解得，
所以.
故答案为：.
42．
【解析】
【分析】
利用辅助角公式将化为，然后由三角函数单调区间的求法，求得函数的单调区间.
【详解】
依题意，
由，，
解得，，
所以单调递增区间为.
故答案为：
43．
【解析】
【分析】
对给定函数求导，再借助均值不等式求出导函数的最小值即可求解作答.
【详解】
依题意，当时，，当且仅当，即时取“=”，
则有原函数图象在点P处的切线斜率不小于，即，又，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
44．①②③
【解析】
【分析】
化简函数的解析式为，利用余弦型函数的值域可判断①的正误；利用周期的定义可判断②的正误；在上解方程，可判断③的正误；利用余弦型函数的单调性可判断④的正误.
【详解】
因为.
对于①，，则，①正确；
对于②，，
作出函数的大致图象，如图所示．
由图可知，函数的最小正周期为，②正确；
对于③，当时，，
由，可得，可得，
分别令、、、，可得、、、，
所以，函数在在上有个零点，③正确；
对于④，当时，，则，
所以，函数在区间上不单调，④错误.
故答案为：①②③.
【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
45．(1)，
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用三角恒等变换化简函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，ωx＋φ整体替换进行单调区间的求解；
(2)求出ωx＋φ整体范围，根据正弦型函数图像求其值域﹒
(1)
．
由，解得．
又，
则，，
解得，，
所以函数的单调递减区间为，；
(2)
由，则，所以，
所以，
所以函数的值域为．
46．(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）由三角函数图象得，进而得，再待定系数求解得，最后整体换元求解即可；
（2）由三角函数平移变换得，进而得函数的零点或，再结合三角函数性质分析即可得答案.
(1)
解：由图易知，则，，
由题意结合图象知，又，故，
则．
令，
解得，
所以的增区间是．
(2)
解：（2）由题意知．
令，即，即或，得或．
所以在上函数的图象与x轴恰有两个交点，若在上函数的图象与x轴恰有10个交点，则b不小于第10个交点的横坐标，小于第11个交点的横坐标，
即b的取值范围为且，解得．
故实数b的取值范围为．
47．(1)， ，
(2)
【解析】
【分析】
（1）将函数变形为，由函数的周期及奇偶性可求解；
（2）解方程得或，即或，利用正弦函数的性质可求解.
(1)
图象的相邻两对称轴间的距离为，
的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，，又，，
故的解析式为，
令，得
函数的递减区间为，.
(2)
，，，
方程可化为，
解得或，即或
当时，或或
解得或或
当时，，所以
综上知，在时，方程的所有根的和为
48．（1）时，；（2）.
【解析】
（1）利用倍角公式对函数进行化简得：，进而得到函数的最大值及对应的的值;
（2）将代入的单调递增区间，即可得答案；
【详解】
解：（1），
当，即时，；
（2）由题意得：，
函数的单调增区间为.
【点睛】
本题考查三角恒等变换、正弦函数的最值和单调区间，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
49．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）化简函数的解析式，利用正弦函数的性质解不等式即可；
（2）构造函数，由单调性的定义得出在区间上为增函数，结合正弦函数的单调性，得出正实数的最大值.
【详解】
解：（1）由题意得，
令，得
即，故的取值范围为
（2）由题意得，
令
即
故在区间上为增函数
由，得出，，
则函数包含原点的单调递增区间为即
故正实数的最大值为.
【点睛】
本题主要考查了解正弦不等式以及正弦型函数单调性的应用，属于中档题.