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2024年中考数学尖子生高分突破：第13章 轴对称（教师版）
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这是一份2024年中考数学尖子生高分突破：第13章 轴对称（教师版），共46页。试卷主要包含了1轴对称，阅读材料等内容，欢迎下载使用。
第十三章轴对称
13．1轴对称
海选初战
一、选择题
1.下图中的图形，不是轴对称图形的是（ ）
答案：C.
2.将一张等边三角形纸片按图13－1－1所示的方式对折，再按图13－1－2所示的虚线剪去一个小三角形，将余下纸片展开得到的图案是( )
答案：A.
3.如图13－1－3，△ABC与△A'B'C'关于直线对称，且∠A＝78°，∠C'＝48°，则∠B的度数为 ( )
A.48° B.54° C.74° D.78°
答案：B.
4.如图13－1－4，垂直平分，若，则四边形的周长为( )
A.3.9cm B.7.8cm C.3.2cm D.4.6cm
答案：B.
5.如图13－1－5，OP平分∠A0B，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，下列结论不一定成立的是（ ）
A.PC＝PD B.PO平分∠CPD C.OC＝0D D.CD垂直平分OP
答案：D.
6．如图13－1－6，在△ABC中，分別以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（ ）
A.7 B.14 C.17 D.20
答案：C.
二、填空题
7. 在图13－l－7中找出它们所蕴含的内在规律，在横线上的空白处填上恰当的图形.
答案：.
8.等腰三角形、等边三角形、正方形、长方形的对称轴的条数分别为_____________.
答案：1,3,4,2.
9.如图13－1－8，△ABC中，垂直平分边，且△ABC的周长为24，则_________；又若，则______________.
答案：12；30°.
10.如图13－1－9，△ABC中，EF垂直平分AB，GH垂直平分AC，设EF与GH相交于O，则点O与边BC的关系如何？请用一句话表示：_________________________________.
答案：点O到BC两端的距离相等.
11.在A,N,H,U这五个英文字母中近似成轴对称的是__________________.
答案：A,H,U.
三、解答题
12.从轴对称的角度看，你觉得图13－1－10中哪两个图形比较独特？简单说明你的理由.
答案：（5）比较独特，因为（5）不是轴对称图形，面其余四个都是轴对称图形。（3）也比较独特，尽管它是轴对称图形，但它有无数条对称轴.而（l）（2）（4）都只有两条对称轴.（答案不唯一，合理即可）
精优演练
1.下列图形是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（ ）
答案：A.
2.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
答案：D.
3.图13－1－11中任意一个阴影正方形与哪些正方形成轴对称?整个图形是轴对称图形吗?它有几条对称轴?
答案：图中任意一个正方形与其他三个阴影正方形成轴对称，整个图形是轴对称图形，有4条对称轴。
4.如图13－1－12，△ABC与△DEF关于直线对称，若，则_____________．_______________.
答案：2cm ；55°.【解析】如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。它可以用来证明线段相等。
5.如图13－1－13、其中一定是轴对称图形的有个____________．
答案：2.【解析】有的同学易把平行四边形看成是轴对称图形，以为对称轴是对边中点连线所在直线，忽略了折轮后要重合的特征.
6．如图13－1－14，在△ABC中．是的垂直平分线，且有21，则△BCN的周长为________.
答案：53【解析】由MN是AB的垂直平分线可知M＝NB，所以△BCN的周长＝BC＋CN＋BN＝BC＋CN＋AN＝BC＋AC.所以答案为53.
7.作出五角星的一条对称轴，和同学比较一下，所作出的对称轴一样吗?
答案：五角星有5条对称轴，作轴对称图形的对称轴的方法是：找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.（作图略）
8.为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点，使到该镇所属村、村、村的村委会所在地的距离都相等不在同一直线上，地理位置如图13－1－16)，请你用尺规作图的方法确定点的位置．
要求：不写作法，保留作图痕迹．
答案：连接直线AB，BC，作AB，BC的垂直平分线交点即为所求.作图略.
9.如图13－1－17，为△ABC的角平分线，的垂直平分线分别交于两点，求证：．
答案：证明：∵MN垂直平分AD，∴AN＝DN.∠NDA＝∠NAD.又∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠NAD，∴∠NDA＝∠DAC，∴ND//AC.
10.如图13－1－18，在△ABC中，边的垂直平分线交于点，交于点．若．
求：(1) △ABD的周长；(2) △ABC的面积．
答案：（1）∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC，AD＋BD＝AD＋DC＝AC＝8（cm）.∴△ABD的周长＝AD＋BD＋AB＝8＋6＝14（cm）.（2）S△ABC＝24 cm2.
11.如图13－1－19所示，有一矩形ABCD，现将其对折，折痕为PO，再把B点折在折痕线上，得到△ABE，沿着BA线折叠，得到△EAF，△EAF是什么样的三角形呢？为什么？
答案：△EAF是等边三角形（如图答13－1－1）∵把点B折在折痕线PQ上得到B’，∴△ABE≌△AB'E，∴∠BAE＝∠EAB'∵△AEB'沿AB'折叠得到△AFB'，∴△AEB'≌△AFB'，∴∠FAB'＝∠EAB'.而∠BAF＝90°，∴∠EAB'＝∠B'AF＝∠EAB＝30°，∴∠EAF＝60°，∴∠AEB'＝∠BEA＝∠B'FA＝60°，∴AE＝EF＝AF，∴△AEF是等边三角形。
12.如图13－1－20，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过D作DE/∥AB，DF∥AC，分别交BC于E，F.若BC＝6cm，求△DEF的周长.
答案：∵BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABD＝∠DBE，∠ACD＝∠DCF.又∵DE//AB，DF/AC，∴∠BDE＝∠D8A＝∠DBE，∠FDC＝∠ACD＝∠DCF，∴BE＝DE，DF＝CF.∴△DEF的周长为DE＋EF＋FD＝BE＋EF＋FC＝BC＝6（cm）.
13.2画轴对称图形
海选初战
一、选择题
1.如图13－2－1，把一个正方形纸片按以下方向对折后，沿虚线剪下，再展开，则所得的图形是( )
答案：C.
2.下列说法正确的是( ）
A．任何一个图形都有对称轴
B．两个全等：角形一定关于某直线对称
C．若△ABC与△ADE成轴对称，则△ABC≌△ADE
D．点，点在直线两旁，且与直线交于点，若，则点与点关于直线对称
答案：C.
3.点P（－2，1）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A.（－2，－1） B.（2，1） C.（2，－1） D.（－2，1）
答案：B.
4.已知点A（3x－6，4y＋l5），点B（5y，x）关于x轴对称，则x＋y的值是（ ）
A.0 B.9 C.－6 D.－12
答案：C.
5.已知两点的坐标分别是（－2，3）和（2.3），则下列情况正确的有（ ）
①两点关于x轴对称②两点关于y轴对称③两点之间距离为4
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
答案：B.
6.△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（－4，6），B（－6，2），F（2.1），则点D的坐标为（ ）
A.（－4，6） B.（4，6） C.（－2，1） D.（6，2）
答案：B.
二、填空题
7.如图13－2－2，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝l30°，∠B＝110°，那么∠BCD的度数等于____________.
答案：60°.
8.点A（2，－3）向l上平移6个单位后的点关于x轴对称的点的坐标是__________.
答案：（2，－3）.
9.点P（3，4）关于y轴对称的点的坐标是P（a，b），则a－b＝_________.
答案：－7.
10.由（－1.3）→（－1.－3）关于________轴做轴对称变换；由（－5，－6）→（－5，－2）是关于直线____做轴对称变换.
答案：x，y＝－4.
三、解答题
11.已知点A（－3，2），且点A与点B，点C与点D关于x轴对称，点B与点C关于y轴对称。（1）写出B，C，D的坐标；
（2）问四边形ABCD是什么四边形？
（3）试求四边形ABCD的面积。
答案：（1）B（－3.－2），C（3，－2），D（3，2）；（2）四边形ABCD是长方形：（3）S长方形ABCD＝BC×AB＝4×6＝24.
精优演练
1.如图13－2－3，已知△ABC和直线l，画出△ABC关于直线l对称的图形。
答案：如图答13－2－1【点拨】几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
2.点P（－5，6）关于x轴对称点为Q，则点Q的坐标为；点P（－5，6）关于y轴对称点为M，则点M的坐标为____________.
答案：（－5，－6）（5，6）【解析】在平面直角体系中，关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变。点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，y），点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（－x，y）.
3.若点M（a，－5）与点N（－2，b）关于x轴对称，则a＝_____，b＝______；若这两点关于y轴对称，则a＝_______，b＝________.
答案：－2 5 2 －5
4.如图13－2－4，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别画出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形.
答案：点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y），因此四边形ABCD的顶点A，B.C，D关于y轴对称的点分别为A'（5，1），B（2，1），C（2，5），D'（5，4）.依次连接A'8”，B'C'，CD'，0A’，就可得到与四边形ABCD关于）轴对称的四边形A'B'CD'，画关于x轴对称的图形同理.如图答13－2－2.
5.如图13－2－5，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是（－1，5），（－5，3），（－3，－1），作出△ABC关于x轴，y轴的对称图形。
答案：如图答13－2－3所示.
6.在图13－2－6的方格纸中：（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；
（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？
答案：（1）△A1B1C1如图答13－2－4所示；（2）将△A1B1C1向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）。
7.在图13－2－7的方格纸中：
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'（其中A'，B’，C'分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A'，B'，C“三点的坐标：A’（______），B’（_______），C’（______）；
（3）求△ABC的面积是多少？
答案：（1）作图略（2）A'（2，3），B′（3，1），C'（－1，－2）（3）S△ABC＝5.5.
8．图13－2－8的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点．
（1）作△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（2）在x轴上找出点P，使PA＋PC最小，并直接写出点P的坐标.
答案：（1）作图略（2）连接AC'交x轴于点P，P（－3，0）.
9.如图13－2－9，在平面直角坐标系中，．
(1)两出关于轴的对称图形，并写出点的坐标；
(2)直接写出的面积；
(3)在轴负半轴上求一点，使得的面积等于的面积．
答案：（1）作图略B1（3，－3），C1（5，－1）（2）S△ABC＝5.（2）设P(0,m),
10.在平面直角坐标系中的位置如图13－2－10，其中，先将向右平移3个单位，再向下平移1个单位到和关于轴对称．
(1)画出和，并写出的坐标；
(2)在轴上确定一点，使的值最小，请在图中画出点；
(3)点在轴上且满足为等腰三角形，则这样的点有___________个．
答案：（1）作图见图答13－2－5，A（3，－3），B（l，－1），C2（2，0）（2）见图答13－2－5中点P位置（3）7.
13.3等腰三角形
海选初战
一、选择题
1.等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（ ）
A.17cm B.22cm C.17cm或22cm D.18 cm
答案：B.
2.等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A.40° B.50° C.60° D.30°
答案：A.
3.如图13－3－1，已知OC平分∠A0B，CD∥0B，若0D＝3cm，则CD等于（ ）
A.3cm B.4cm C.1.5cm D.2cm
答案：A.
4.设表示直角三角形，表示等腰三角形，表示等边三角形，表示等腰直角三角形，则下列四个图中能表示它们之间关系的是（ ）
答案：A.
5.如图13－3－2，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D.若ED＝5，则CE的长为（ ）
A.10 B.8 C.5 D.2.5
答案：A.
6.如图13－3－3，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7
答案：D.
7.等腰三角形中，若一个内角是40°，则另两个内角的度数是_________.
答案：40°，100°或70°，70°
8.如图13－3－4，AB＝AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝145°，则∠BDF＝______.
答案：55°.
9.若等腰三角形一腰的高等于腰长的一半，则这个三角形的底角等于________.
答案：75°或15°.
10.如图13－3－5是某超市一层到二层滚梯示意图.其中AB.CD分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长约为12米，则乘滚梯从点B到点C上升的高度h约为_____________米.
答案：6.
三、解答题
11.如图13－3－6，在△ABC中，的垂直平分线交于点．
求证：．
答案：证明：连接BD，∵BA＝BC，∠B＝l20°，∴∠A＝∠C＝30°，∵DE是AB的垂直平分线，DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠CBD＝∠ABC－∠A8D＝120°－30＝90°，又∠C＝30°，∴DB＝CD，∴AD＝CD.
12.如图13－3－7，在△ABC中，是延长线上的一点，是上一点，且有．求证：．
答案：证明：延长DC至F，使CF＝BD，连接AF，∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACF，由SAS可证△ABD≌△ACF，∴AD＝AF.又∠ADB＝60°，∴△ADF是等边三角形，∵AD＝DF,∵DE＝DB、∠ADB＝60°，∴△DEB是等边三角形，∴DE＝BE＝DB＝CF.∵AD＝AF＋DE，DF＝DB＋BC＋CF，AE＋DE＝BE＋BC＋DE，∴AE＝BE＋BC.
13.如图13－3－8，等腰△ABC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且∠BAC＝∠ADE＝∠ADF＝60°.
(1)在图中找出与相等的角，并加以证明；
(2)若，求的长．(用含的式子表示)
答案：（1）∠EDB＝∠DAC 证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∠ADE＋∠EDB＝∠ADB＝∠DAC＋∠C.∴60°＋∠EDB＝∠DAC＋ 60°∴∠EDB＝∠DAC.
（2）证明：在DE上截取点G，使DG＝DF，∠ADE＝∠ADF，如图答 13－3－1，∴△ADG≌△ADF.∴AG＝AF.∴∠AGD＝∠AFD.∴∠AGE＝∠CFD.∴∠CFD＝60°＋∠CAD，∠AEG＝60°＋∠EAD.∴∠AEG＝∠AGE.∴AE＝AG∴AF－AE＝6－m.其他证法见图答13－3－2、图答13－3－3、图答13－3－4.
14.等腰Rt△ABC中，，点在第三象限，直角边交轴于点，斜边交轴于点．画出图形并求点的坐标．
答案：作图如图答13－3－5.C（－1，－1）过点C作CF⊥y轴于点F，如图答13－3－6.∵∠AFC＝90°，∴∠CAF＋∠ACF＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AC＝AB，∠CAF＋∠BAO＝90°，∠AFC＝∠BAC，∴∠ACF＝∠BA0.∴△ACF≌△AB0（AAS）.∴CF＝0A＝1，AF＝0B＝2.∴0F＝l.∴C（－1，－1）.
精优演练
1.如图13－3－9，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，0为AB的中点，现将一个三角板EGF的直角顶点G放在点O处，把三角板EGF绕点O旋转，EG交边AC于点K，FG交边BC于点H.
（1）请判断△OHK的形状；（2）求证：BH＋AK＝AC.
答案：（1）△OHK是等腰直角三角形.证明：连接OC.∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，O为AB的中点，∴∠A＝∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，∠A0C＝∠BOC＝90°，∴A0＝CO＝B0，又∠KOH＝90°，∴∠KOH－∠COH＝∠BOC－∠COH，即∠COK＝∠BOH，在△COK和△BOH中，∴△COK≌△BOH(ASA),∴OK＝OH,∵∠KOH＝90°,∴△OHK是等腰直角三角形. （2）证明：∵△COK≌△BOH，∴CK＝BH，CK＋AK＝AC.∴BH＋AK＝AC.
2.如图13－3－10，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN.B，D分别在射线AN，AM上.
（1）在图13－3－10中，当∠ABC＝∠ADC＝90时，求证：AD＋AB＝AC；
（2）若把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC＋∠ADC＝180°，其他条件不变，如图13－3－11所示.则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
答案：
（1）证明：∵∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∴∠DAC＝∠BAC＝60°.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠DCA＝∠BCA＝30°，在Rt△ACD中，∠DCA＝30°，Rt△ACB中，∠BCA＝30°.∴AC＝2AD，AC＝2AB，∴AD＋AB＝AC;
（2）AD＋AB＝AC成立.证明：在AN上做取AE＝AC，连接CE.∠BAC＝60°，∴△CAE为等边三角形，AC＝CE，∠AEC＝60°，∴∠DAC＝60°，∴∠DAC＝∠AEC，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠EBC＝180°，∴∠ADC＝∠EBC，∴△ADC≌△EBC，∴DC＝BC，DA＝BE，∴AD＋AB＝AB＋BE＝AE，∴AD＋AB＝AC.
3．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′．
（1）求证：△ABC≌△CDA．
（2）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；
（3）图中阴影部分的△AB′O和△CDO是否全等？若全等请给出证明；若不全等，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∠ACD＝∠BAC，
在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（ASA）；
（2）图中所有的等腰三角形有：△OAC，△ABB′，△CBB′；∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，又∵△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，
∴△AB′C≌△ABC，∴∠ACB＝∠ACB′，AB＝AB′，即△ABB′为等腰三角形，
∴∠DAC＝∠ACB′，∴OA＝OC，即△OAC为等腰三角形，∵CB＝CB′，
∴△CBB′为等腰三角形；
（3）△AB′O≌△CDO，理由为：
证明：∵△AB′C≌△ABC，且△ABC≌△CDA，∴△AB′C≌△CDA，
∴B′C＝DA，AB′＝CD，又OA＝OC，∴DA﹣OA＝B′C﹣OC，即OB′＝OD，
在△AB′O和△CDO中，，∴△AB′O≌△CDO．
4．已知如图（1）△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．
①图中有几个等腰三角形？且EF与BE、CF间有怎样的关系？（不证明）
②若AB≠AC，其他条件不变，如图（2），图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？若存在请给出证明．
③若△ABC中，AB≠AC，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图（3），这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF间的关系如何？为什么（要证明你的结论）？
【解答】解：（1）有5个等腰三角形，EF与BE、CF间有怎样的关系是：EF＝BE+CF．
理由如下：如图1，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∴∠AEF＝∠AFE，∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∵∠ABC＝∠ACB，∴∠OBC＝∠OCB，∴BE＝OE，OF＝CF，
∴△ABC，△AEF，△BOC，△BEO，△CFO是等腰三角形；
如图1，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，又∠B、∠C的平分线交于O点，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∴∠EOB＝∠OBE，∠FCO＝∠FOC，
∴OE＝BE，OF＝CF，∴EF＝OE+OF＝BE+CF．又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠EOB＝∠OBE＝∠FCO＝∠FOC，∴EF＝BE+CF＝2BE＝2CF；
（2）有2个等腰三角形，分别是：等腰△OBE和等腰△OCF；第（1）问中的关系EF＝BE+CF仍成立．
理由：如图2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，
∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝OE，CF＝OF，∴△BEO和△CFO是等腰三角形；∵BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝EO+FO＝BE+CF；
（3）有2个等腰三角形：△EBO，△OCF，EF与BE，CF的关系为：EF＝BE﹣CF，
理由如下：如图3，∵EO∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCD，
又∵OB，OC分别是∠ABC与∠ACD的角平分线，∴∠EBO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCD，
∴∠EOB＝∠EBO，∴BE＝OE，∠FCO＝∠FOC，∴CF＝FO，
又∵EO＝EF+FO，∴EF＝BE﹣CF．
5．阅读材料：如图1，△ABC中，点D，F在边AB上，点E在BC上，BD＝BE，∠ADC＝α，∠BEF＝180°﹣2α，延长CA，EF交于点G，GA＝GF，求证AD＝EF．
分析：等腰三角形是一种常见的轴对称图形，几何试题中我们常将一腰所在的三角形沿着等腰三角形的对称轴进行翻折，从而构造轴对称图形．
①小明的想法是：将BE放到△BEF中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BDH＝∠BEF交BC于H（如图2）．
②小白的想法是：将BD放到△BDC中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BEH＝∠BDC交BD的延长线于H（如图3）．
请你从上述俩种方法中一种或按照自己的方法解决问题；
经验拓展：如图4，等边△ABC中，D是AC上一点，连接BD，E为BD上一点，AE＝AD，过点C作CF⊥BD交BD的延长线于点F，∠ECF＝60°，若BE＝a，DF＝b，求DE的长（用含a，b的式子表示）．
【解答】阅读材料：证明：①小明的想法：如图2中：将BE放到△BEF中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BDH＝∠BEF交BC于H．
∵∠BDH＝∠BEF，∠B＝∠B，BD＝BE，∴△BDH≌△BEF（ASA）
∴∠BFE＝∠BHD，EF＝DH，∵∠BEF＝180°﹣2α，
∴∠BDH＝180°﹣2α，且∠BDH+∠CDH+∠ADC＝180°，∠ADC＝α，
∴∠ADC＝∠CDH，∵GA＝GF，∴∠GAF＝∠GFA，且∠GFA＝∠BFE＝∠BHD，
∴∠GAF＝∠BHD，∴∠DAC＝∠DHC，且∠ADC＝∠CDH，DC＝DC，
∴△ADC≌△HDC（AAS）∴AD＝DH，∠DCH＝∠ACD，∴AD＝EF；
②小白的想法：如图3中：将BD放到△BDC中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BEH＝∠BDC交BD的延长线于H．
∵∠BEH＝∠BDC，BE＝BD，∠B＝∠B，∴△BEH≌△BDC（ASA），
∴∠H＝∠BCD，EH＝CH，∠BEH＝∠BDC，∴∠ADC＝∠CEH＝α，∵∠BCD＝∠ACD，
∴∠H＝∠ACD，∵∠BEF＝180°﹣2α＝180°﹣∠GEC，∴∠FEH＝∠HEC＝∠ADC＝α，
∴△ADC≌△FEH（ASA），∴AD＝EF．
经验拓展：如图4中，延长AE到M，使得AM＝AC，连接DM交CE于O，作MN⊥BF于N．连接AO，BM，CM．
∵AD＝AE，AM＝AC，∴EM＝CD，∠AMC＝∠ACM，∵CM＝MC，∴△ECM≌△DMC（SAS），
∴∠ECM＝∠DMC，∴OM＝OC，∵AE＝AD，∴AO垂直平分线段EF，∠AEO＝∠DAO，
∵MN⊥BF，CF⊥BF，∴MN∥CF∥OA，∴∠NME＝∠EAO，∠DCF＝∠DAO，
∴∠NME＝∠DCF，∵∠MNE＝∠F＝90°，∴△MNE≌△CFD（AAS），∴DF＝EN＝b，MN＝CF，
∵∠FBC+∠FCB＝∠FBC+60°+∠FCD＝90°，∴∠FBC+∠FCD＝30°，∵AB＝AM＝AC，
∴∠CBM＝∠CAM＝∠FCD，∴∠FBC+∠CBM＝30°，∴MN＝BN•tan30°＝（a﹣b），
∴CF＝MN＝（a﹣b），∵∠ECF＝60°，∴EF＝CF•tan60°＝a﹣b，
∴DE＝EF﹣DF＝a﹣2b．
解法二：如图4﹣1中，延长BF到H，使得DH＝BE，连接AH，CH．
∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE，∴∠AEB＝∠ADH，∵EB＝DH，
∴△AEB≌△ADH（SAS），∴AB＝AH，
∴∠ABH＝∠AHB，设∠ABH＝∠AHB＝y，∠CHF＝x．∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠CAH＝180°﹣2y﹣60°＝120°﹣2y，∵AH＝AB＝AC，∴∠ACH＝∠AHC＝x+y，
∴120°﹣2y+2x+2y＝180°，∴∠CHF＝30°，∵CF⊥EH，∴∠FCH＝∠ECF＝60°，
∴∠CEF＝∠CHF＝30°，∴CE＝CH，∴EF＝FH＝a﹣b，∴DE＝EF﹣DF＝a﹣2b．
13．4课题学习最短路径问题
海选初战
1．如图13－4－1，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C．使CA＋CB最短，在图中画出来．
【解答】解：连接AB与直线l相交于点P，点P即为所求．
2．如图13－4－2，A，B是河流同侧的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出来．
【解答】解：如图所示，抽水站修在点P处才能使所需的管道最短．
精优演练
1．如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
（1）若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？（要求：尺规作图，保留作图痕迹．写出必要的文字说明）
（2）若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
【解答】解：（1）作出AB的中垂线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置；
（2）如图所示：作A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，点N即为所求．
A
2．如图13－4－4，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A．B的距离之差最大．
【解答】解：如图，点C即为所求．
3．某中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成如图13－4－5所示两直排（图中的AO，BO），AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短。
【解答】解：如图所示，小明所走的行走路线为：CM﹣MN﹣ND，所走的总路程最短．
4．如图13－4－6，台球桌上有一个黑球、一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到AB边反弹后再撞到黑球？
【解答】解：如图所示：应该把在点Q位置的白球打到AB边上的M点，才能反弹回来撞到黑球．
5．如图13－4－7，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的O处接游客。然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．
【解答】解：如图所示，
作点P关于BC的对称点P′，连接P′Q交BC于点M，连接MP．最短路径为：P﹣Q﹣M﹣P．
6．甲、乙两村之间隔着两条河（如图所示），为使两村之间的行程最短，应在这两条河的什么位置各架一座桥？（作图表示）
【解答】解：如图所示：在这两条河的DE和BC处各架一座桥即可．
在河的垂直方向分别截取FH等于河宽，AT等于河宽，连接HT，构造平行四边形FHDE，平行四边形ABCT，根据两点之间线段最短，可知两村之间A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的行程最短．
7．如图，一辆汽车在直线形公路由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB同侧的村庄．
（1）设汽车行驶到公路上点P的位置时，距离村庄M最近，行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，请在公路AB上分别画出P、Q的位置；
（2）在公路AB上寻找一点T，汽车行驶到该点时，与村庄M、N的距离相等（尺规作图）；
（3）在公路AB上是否存在这样一点H，汽车行驶到该点时，与村庄M、N的距离之和最短？如果存在，请在图中AB上画出此点H；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1所示，点P与点Q即为所求；
（2）如图2所示，点T即为所求；
（3）如图3所示，点H即为所求．
8．如图13－4－10所示，牧民在A处放羊，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC＝BD，A到河岸CD的中点距离为500m，问：（1）牧民从A处将羊赶到河边饮水后再回家，那么羊在何处饮水所走的路程最短？并说明理由．（2）最短的路程是多少？
【解答】解：（1）作A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于M，
∴CA′＝AC，∵AC＝DB，∴CA′＝BD，由分析可知，点M为饮水处
（2）∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD＝∠A′CD＝∠BDC＝90°，
又∵∠A′MC＝∠BMD，在△CA′M和△DBM中，，
∴△CA′M≌△DBM（AAS），∴A′M＝BM，CM＝DM，即M为CD中点，
∴AM＝BM＝A′M＝500，所以最短距离为2AM＝2×500＝1000米，故答案为：1000m．
直击中考
1．若下列选项中的图形均为正多边形，则哪一个图形恰有4条对称轴？（ ）
解：B
2．在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形。下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（ ）
解：D
3．我国传统建筑中，窗框（如图13－中考－1）的图案玲珑剔透、千变万化，窗框的一部分如图13－中考－2，它是一个轴对称图形，其对称轴有（ ）
A．l条 B．2条 C．3条 D．4条
解：B
4．下列图案属于轴对称图形的是（ ）
解：A
5．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（ ）
A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM
解：B
6．如图．∠A0B＝120°，OP平分∠A0B，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
解：D
7.已知等边三角形的边长为3.点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（ ）
A. B. C. D.不能确定
解：B
8．如图，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（ ）
A．2＋2 B．2＋ C．4 D．3
解：A
9．如图，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD＝BD，则下列结论正确的是（ ）
A．AC＞BC B．AC＝BC C．∠A＞∠ABC D．∠A＝∠ABC
解：A
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B，C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
解：C
11．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC＝6，那么线段BE的长度为（ ）
A．6 B．6 C．2 D．3
解：D
12．如图13－中考－9，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
解：B
13．如图13－中考－10，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝_____________．
解：2
14．如图是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l和l外一点P．
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图．（1）在直线l上任取两点A，B；
（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；
（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．
请回答：作图过程中使用的依据有（1）__________________________________________；
(2)_____________________________________________________________________．
解：（1）到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（A，B都在PO的垂直平分线上）：
（2）两点确定一条直线（AB垂直PO）（其他正确依据也可以）
15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC．
（1）试在图中标出点D，并面出该四边形的另两条边；
（2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A'B'C'D．
【解答】解：（1）点D以及四边形ABCD另两条边如图所示．
（2）得到的四边形A′B′C′D′如图所示．
第十三章综合能力擂台
一、选择题
1．下列图案中的两个图形成轴对称的一项是（ ）
解：B
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．一边上的高也是这边中线的三角形 B．有两个内角分别是76°和52°的三角形
C．有一个角是45°的直角三角形 D．有一个角是30°的直角三角形
解：D
3．如图13－1，在△A8C中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：D
4．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．9或7
解：A
5．如图13－2，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
解：C
6．如图13－3，直线y＝－x＋2与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO'B，则点O'的坐标是（ ）
A．（，3） B．（，） C．（2，2） D．（2，4）
解：A
7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为为坐标轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
解：C
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：如图，AB的垂直平分线与直线y＝x相交于点C1，∵A（0，2），B（0，6），
∴AB＝6﹣2＝4，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y＝x的交点为C2，C3，
∵OB＝6，∴点B到直线y＝x的距离为6×＝3，∵3＞4，
∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y＝x没有交点，所以，点C的个数是1+2＝3．
故选：B．
9．如图13－5，在中，，点在上，连接，如果只添加一个条件使，则添加的条件不能为( )
A． B． C． D．
解：C
10．在中，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是等腰三角形时，运动的时间是（ ）
A．秒 B．3秒 C．秒 D．4秒
【解答】解：设运动时间为t秒时，AP＝AQ，根据题意得：20﹣3t＝2t，
解得：t＝4．故选：D．
二、填空题
11．等腰三角形一个顶角和一个底角之和是110°，则顶角是 ．
【解答】解：依题意得：等腰三角形的顶角和一个底角的和是110°
即它的另一个底角为180°﹣110°＝70°，∵等腰三角形的底角相等
故它的一个顶角等于110°﹣70°＝40°．故答案为：40°．
12．如图，∠C＝90°，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC+BC＝ cm．
【解答】解：∵∠C＝90°，DE为AB边的垂直平分线，∴AD＝BD，
∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC，∵△ACD的周长为7cm，
∴AC+BC＝7cm．故答案为：7．
13．如图，四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴，AB＝3.1cm，CD＝2.3cm．则四边形ABCD的周长为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴，AB＝3.1cm，CD＝2.3cm，
∴AB＝BC＝3.1cm，CD＝AD＝2.3cm，
则四边形ABCD的周长为：3.1+3.1+2.3+2.3＝10.8（cm）．故答案为：10.8cm．
14．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠MEF＝（ ）
A．60° B．30° C．60° D．75°
【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，∴∠BCA＝∠A＝15°，
∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，
∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠MEF＝∠EFD+∠A＝60°+15°＝75°．故选：D．
15．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为 ．
【解答】解：作PE⊥OB于E，如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD＝6，即点P到边OB的距离为6．故答案为6．
16．在等边三角形ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，且AD＝BE．连接AE、CD交于点P，则∠APD＝ ．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠BAC＝∠B＝60°，在△ACD和△BAE中，
，∴△ACD≌△BAE（SAS），∴∠ACD＝∠BAE，∵∠BAE+∠EAC＝60°，
∴∠ACD+∠EAC＝60°，∴∠APD＝60°，故答案为：60°．
三、解答题
17．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE＝CD，请说明DB＝DE的理由．
【解答】解：∵等边三角形三线合一，∴BD为∠ABC的角平分线，
∴∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，
∵∠CDE+∠CED＝∠ACB，∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠CBD＝∠CED＝30°，∴BD＝DE．
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18．如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD＝4cm，求PE的长．
【解答】解：过P作PF⊥OB于F，∵∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝15°，∵PD∥OA，∴∠DPO＝∠AOP＝15°，∴∠BOC＝∠DPO，
∴PD＝OD＝4cm，∵∠AOB＝30°，PD∥OA，∴∠BDP＝30°，
∴在Rt△PDF中，PF＝PD＝2cm，∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF，∴PE＝PF＝2cm．
19．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求AD的长．
【解答】解：（1）∵在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD，（SAS）
（2）∵△ABE≌△CAD，∴AD＝BE，∠AEB＝∠ADC
∵∠DAC+∠ADC+∠ACB＝180°，∠DAC+∠AEB+∠APE＝180°，∴∠ACB＝∠APE＝60°，
∴∠BPQ＝60°，∴∠PBQ＝30°，∴BP＝2PQ＝6，∴AD＝BE＝BP+PE＝6+1＝7．
20．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝AC，∠ABD＝60°，过D作ED⊥AD，交AC于点E，恰有DE平分∠BDC．试判断线段CD、BD与AC之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【解答】解：AC＝BD+CD，
理由是：延长CD到F，使DF＝BD，连接AF，∵ED⊥AD，DE平分∠BDC，
∴∠ADB＝90°﹣∠BDC，∴∠ADF＝180°﹣（90°﹣∠BDC）﹣∠BDC＝90°﹣，
∴∠ADB＝∠ADF，在△ABD和△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（SAS），
∴∠F＝∠ABD＝60°，AB＝AF，∵AB＝AC，∴AF＝AC，
∴△ACF是等边三角形，∴AC＝CF＝CD+DF＝BD+CD．
21．如图，△ABC为等腰三角形，AC＝BC，△BDC和△ACE分别为等腰直角三角形，且∠ACE＝∠BCD＝90°，AE与BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G．
（1）求证：FA＝FB；
（2）求证：G为AB的中点．
【解答】证明：（1）∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE＝90°，CA＝CE，
∴∠CAE＝45°，同理可证∠CBD＝45°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，
∵∠CAB﹣45°＝∠CBA﹣45°，∴∠FAB＝∠FBA，∴FA＝FB；
（2）在△CAF和△CBF中，，∴△CAF≌△CBF（SSS），∴∠ACF＝∠BCF，
∵AC＝BC，∴AG为△ABC的中线，即G为AB的中点．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点．以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连接FC．求证：∠F＝∠A．
【解答】证明：∵AB＝AC，BE＝DE，∴∠B＝∠ACB，∴∠ACB＝∠EDB，
∴AC∥EF，∠A＝∠BED，∵点E是AB的中点，AC∥EF，∴ED是△ABC的中位线，
∴D是BC的中点，有BD＝CD，又∵ED＝DF，∠EDB＝∠FDC，
∴△EDB≌△FDC∴∠F＝∠BED，∴∠F＝∠A．
23．阅读下面材料，完成下面两题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图，已知等腰中，为边上的中线，以为边向左侧作等边，直线与直线交于点．请探究线段之间的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现的度数可以求出来．"
小强：“通过观察和度量，发现线段和之间存在某种数理关系．”
小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．"
(1)求的度数；
(2)在图中探究线段之间的数量关系，并证明．
解：（1）设∠BAD=∠CAD=α，∠AEC=∠ACE=β.在△ACE中，2α+60+2β=180°，α+β=60°，∴∠DFC=60°.
（2）EF=AF+2DF.
证明：∠CFD=60°，∠FDC=90°，则∠FCD=30°，∴CF=2DF.在EC上截取EG=CF，连接AG，
∴△AEG≌△ACF（SAS），∴∠EAG=∠CAF，AG=AF，∴∠GAF=60°，∴△AFG为等边三角形，
∴EF=EG+GF=AF+FC=AF+2DE.
24．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点轴，延长交轴于点．
(1)求证：；
(2)求点的坐标．
解：（1）∵A（0，3），B（-1，0），D（2，0），∴OB=l，OD=2，0A=3，∴A0=BD，易证△AB0≌△BED（AAS），∴BA=BE，∴∠BAE=∠BEA；
（2）易求DE=BO=1，∴E（2，1），连OE，设DF=x，S△AOE+S△EOF=S△AOF，
3×2×+（2+x）×1×=3（2+x）×，∴x=l，∴F（3，0）.
25．如图13－20所示，两主要街道交于点处为邮局，该邮局职工．小赵家住处，在内有一社区活动中心，若该活动中心到两条街道的距离相等，同时到点和点的距离也相等．
(1)在图中找出点M的位置；
(2)若小赵每天从家中去上班时必须分别经过AB和CD街道上的两个邮筒G，H处取出信件后再去邮局F处，则邮筒应分别设在两街道的何处，方能使小赵每天上班时所走的路程最短？请在图中找出G，H的位置？，并指出小赵的最理想的行走路线．
解：（1）分别作∠AOD的平分线和线段EF的垂直平分线，两线的交点即为M点.
（2）分别作点E关于AB的对称点E′及点F关于CD的对称点F′，则E′F′的连线与AB，CD的交点G，H即为所求。小赵最理想的行走路线是EGH→F.
第十三章轴对称
13．1轴对称
海选初战
一、选择题
1.下图中的图形，不是轴对称图形的是（ ）
答案：C.
2.将一张等边三角形纸片按图13－1－1所示的方式对折，再按图13－1－2所示的虚线剪去一个小三角形，将余下纸片展开得到的图案是( )
答案：A.
3.如图13－1－3，△ABC与△A'B'C'关于直线对称，且∠A＝78°，∠C'＝48°，则∠B的度数为 ( )
A.48° B.54° C.74° D.78°
答案：B.
4.如图13－1－4，垂直平分，若，则四边形的周长为( )
A.3.9cm B.7.8cm C.3.2cm D.4.6cm
答案：B.
5.如图13－1－5，OP平分∠A0B，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，下列结论不一定成立的是（ ）
A.PC＝PD B.PO平分∠CPD C.OC＝0D D.CD垂直平分OP
答案：D.
6．如图13－1－6，在△ABC中，分別以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（ ）
A.7 B.14 C.17 D.20
答案：C.
二、填空题
7. 在图13－l－7中找出它们所蕴含的内在规律，在横线上的空白处填上恰当的图形.
答案：.
8.等腰三角形、等边三角形、正方形、长方形的对称轴的条数分别为_____________.
答案：1,3,4,2.
9.如图13－1－8，△ABC中，垂直平分边，且△ABC的周长为24，则_________；又若，则______________.
答案：12；30°.
10.如图13－1－9，△ABC中，EF垂直平分AB，GH垂直平分AC，设EF与GH相交于O，则点O与边BC的关系如何？请用一句话表示：_________________________________.
答案：点O到BC两端的距离相等.
11.在A,N,H,U这五个英文字母中近似成轴对称的是__________________.
答案：A,H,U.
三、解答题
12.从轴对称的角度看，你觉得图13－1－10中哪两个图形比较独特？简单说明你的理由.
答案：（5）比较独特，因为（5）不是轴对称图形，面其余四个都是轴对称图形。（3）也比较独特，尽管它是轴对称图形，但它有无数条对称轴.而（l）（2）（4）都只有两条对称轴.（答案不唯一，合理即可）
精优演练
1.下列图形是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（ ）
答案：A.
2.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
答案：D.
3.图13－1－11中任意一个阴影正方形与哪些正方形成轴对称?整个图形是轴对称图形吗?它有几条对称轴?
答案：图中任意一个正方形与其他三个阴影正方形成轴对称，整个图形是轴对称图形，有4条对称轴。
4.如图13－1－12，△ABC与△DEF关于直线对称，若，则_____________．_______________.
答案：2cm ；55°.【解析】如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。它可以用来证明线段相等。
5.如图13－1－13、其中一定是轴对称图形的有个____________．
答案：2.【解析】有的同学易把平行四边形看成是轴对称图形，以为对称轴是对边中点连线所在直线，忽略了折轮后要重合的特征.
6．如图13－1－14，在△ABC中．是的垂直平分线，且有21，则△BCN的周长为________.
答案：53【解析】由MN是AB的垂直平分线可知M＝NB，所以△BCN的周长＝BC＋CN＋BN＝BC＋CN＋AN＝BC＋AC.所以答案为53.
7.作出五角星的一条对称轴，和同学比较一下，所作出的对称轴一样吗?
答案：五角星有5条对称轴，作轴对称图形的对称轴的方法是：找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.（作图略）
8.为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点，使到该镇所属村、村、村的村委会所在地的距离都相等不在同一直线上，地理位置如图13－1－16)，请你用尺规作图的方法确定点的位置．
要求：不写作法，保留作图痕迹．
答案：连接直线AB，BC，作AB，BC的垂直平分线交点即为所求.作图略.
9.如图13－1－17，为△ABC的角平分线，的垂直平分线分别交于两点，求证：．
答案：证明：∵MN垂直平分AD，∴AN＝DN.∠NDA＝∠NAD.又∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠NAD，∴∠NDA＝∠DAC，∴ND//AC.
10.如图13－1－18，在△ABC中，边的垂直平分线交于点，交于点．若．
求：(1) △ABD的周长；(2) △ABC的面积．
答案：（1）∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC，AD＋BD＝AD＋DC＝AC＝8（cm）.∴△ABD的周长＝AD＋BD＋AB＝8＋6＝14（cm）.（2）S△ABC＝24 cm2.
11.如图13－1－19所示，有一矩形ABCD，现将其对折，折痕为PO，再把B点折在折痕线上，得到△ABE，沿着BA线折叠，得到△EAF，△EAF是什么样的三角形呢？为什么？
答案：△EAF是等边三角形（如图答13－1－1）∵把点B折在折痕线PQ上得到B’，∴△ABE≌△AB'E，∴∠BAE＝∠EAB'∵△AEB'沿AB'折叠得到△AFB'，∴△AEB'≌△AFB'，∴∠FAB'＝∠EAB'.而∠BAF＝90°，∴∠EAB'＝∠B'AF＝∠EAB＝30°，∴∠EAF＝60°，∴∠AEB'＝∠BEA＝∠B'FA＝60°，∴AE＝EF＝AF，∴△AEF是等边三角形。
12.如图13－1－20，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过D作DE/∥AB，DF∥AC，分别交BC于E，F.若BC＝6cm，求△DEF的周长.
答案：∵BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABD＝∠DBE，∠ACD＝∠DCF.又∵DE//AB，DF/AC，∴∠BDE＝∠D8A＝∠DBE，∠FDC＝∠ACD＝∠DCF，∴BE＝DE，DF＝CF.∴△DEF的周长为DE＋EF＋FD＝BE＋EF＋FC＝BC＝6（cm）.
13.2画轴对称图形
海选初战
一、选择题
1.如图13－2－1，把一个正方形纸片按以下方向对折后，沿虚线剪下，再展开，则所得的图形是( )
答案：C.
2.下列说法正确的是( ）
A．任何一个图形都有对称轴
B．两个全等：角形一定关于某直线对称
C．若△ABC与△ADE成轴对称，则△ABC≌△ADE
D．点，点在直线两旁，且与直线交于点，若，则点与点关于直线对称
答案：C.
3.点P（－2，1）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A.（－2，－1） B.（2，1） C.（2，－1） D.（－2，1）
答案：B.
4.已知点A（3x－6，4y＋l5），点B（5y，x）关于x轴对称，则x＋y的值是（ ）
A.0 B.9 C.－6 D.－12
答案：C.
5.已知两点的坐标分别是（－2，3）和（2.3），则下列情况正确的有（ ）
①两点关于x轴对称②两点关于y轴对称③两点之间距离为4
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
答案：B.
6.△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（－4，6），B（－6，2），F（2.1），则点D的坐标为（ ）
A.（－4，6） B.（4，6） C.（－2，1） D.（6，2）
答案：B.
二、填空题
7.如图13－2－2，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝l30°，∠B＝110°，那么∠BCD的度数等于____________.
答案：60°.
8.点A（2，－3）向l上平移6个单位后的点关于x轴对称的点的坐标是__________.
答案：（2，－3）.
9.点P（3，4）关于y轴对称的点的坐标是P（a，b），则a－b＝_________.
答案：－7.
10.由（－1.3）→（－1.－3）关于________轴做轴对称变换；由（－5，－6）→（－5，－2）是关于直线____做轴对称变换.
答案：x，y＝－4.
三、解答题
11.已知点A（－3，2），且点A与点B，点C与点D关于x轴对称，点B与点C关于y轴对称。（1）写出B，C，D的坐标；
（2）问四边形ABCD是什么四边形？
（3）试求四边形ABCD的面积。
答案：（1）B（－3.－2），C（3，－2），D（3，2）；（2）四边形ABCD是长方形：（3）S长方形ABCD＝BC×AB＝4×6＝24.
精优演练
1.如图13－2－3，已知△ABC和直线l，画出△ABC关于直线l对称的图形。
答案：如图答13－2－1【点拨】几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
2.点P（－5，6）关于x轴对称点为Q，则点Q的坐标为；点P（－5，6）关于y轴对称点为M，则点M的坐标为____________.
答案：（－5，－6）（5，6）【解析】在平面直角体系中，关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变。点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，y），点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（－x，y）.
3.若点M（a，－5）与点N（－2，b）关于x轴对称，则a＝_____，b＝______；若这两点关于y轴对称，则a＝_______，b＝________.
答案：－2 5 2 －5
4.如图13－2－4，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别画出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形.
答案：点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y），因此四边形ABCD的顶点A，B.C，D关于y轴对称的点分别为A'（5，1），B（2，1），C（2，5），D'（5，4）.依次连接A'8”，B'C'，CD'，0A’，就可得到与四边形ABCD关于）轴对称的四边形A'B'CD'，画关于x轴对称的图形同理.如图答13－2－2.
5.如图13－2－5，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是（－1，5），（－5，3），（－3，－1），作出△ABC关于x轴，y轴的对称图形。
答案：如图答13－2－3所示.
6.在图13－2－6的方格纸中：（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；
（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？
答案：（1）△A1B1C1如图答13－2－4所示；（2）将△A1B1C1向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）。
7.在图13－2－7的方格纸中：
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'（其中A'，B’，C'分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A'，B'，C“三点的坐标：A’（______），B’（_______），C’（______）；
（3）求△ABC的面积是多少？
答案：（1）作图略（2）A'（2，3），B′（3，1），C'（－1，－2）（3）S△ABC＝5.5.
8．图13－2－8的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点．
（1）作△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（2）在x轴上找出点P，使PA＋PC最小，并直接写出点P的坐标.
答案：（1）作图略（2）连接AC'交x轴于点P，P（－3，0）.
9.如图13－2－9，在平面直角坐标系中，．
(1)两出关于轴的对称图形，并写出点的坐标；
(2)直接写出的面积；
(3)在轴负半轴上求一点，使得的面积等于的面积．
答案：（1）作图略B1（3，－3），C1（5，－1）（2）S△ABC＝5.（2）设P(0,m),
10.在平面直角坐标系中的位置如图13－2－10，其中，先将向右平移3个单位，再向下平移1个单位到和关于轴对称．
(1)画出和，并写出的坐标；
(2)在轴上确定一点，使的值最小，请在图中画出点；
(3)点在轴上且满足为等腰三角形，则这样的点有___________个．
答案：（1）作图见图答13－2－5，A（3，－3），B（l，－1），C2（2，0）（2）见图答13－2－5中点P位置（3）7.
13.3等腰三角形
海选初战
一、选择题
1.等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（ ）
A.17cm B.22cm C.17cm或22cm D.18 cm
答案：B.
2.等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A.40° B.50° C.60° D.30°
答案：A.
3.如图13－3－1，已知OC平分∠A0B，CD∥0B，若0D＝3cm，则CD等于（ ）
A.3cm B.4cm C.1.5cm D.2cm
答案：A.
4.设表示直角三角形，表示等腰三角形，表示等边三角形，表示等腰直角三角形，则下列四个图中能表示它们之间关系的是（ ）
答案：A.
5.如图13－3－2，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D.若ED＝5，则CE的长为（ ）
A.10 B.8 C.5 D.2.5
答案：A.
6.如图13－3－3，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7
答案：D.
7.等腰三角形中，若一个内角是40°，则另两个内角的度数是_________.
答案：40°，100°或70°，70°
8.如图13－3－4，AB＝AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝145°，则∠BDF＝______.
答案：55°.
9.若等腰三角形一腰的高等于腰长的一半，则这个三角形的底角等于________.
答案：75°或15°.
10.如图13－3－5是某超市一层到二层滚梯示意图.其中AB.CD分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长约为12米，则乘滚梯从点B到点C上升的高度h约为_____________米.
答案：6.
三、解答题
11.如图13－3－6，在△ABC中，的垂直平分线交于点．
求证：．
答案：证明：连接BD，∵BA＝BC，∠B＝l20°，∴∠A＝∠C＝30°，∵DE是AB的垂直平分线，DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠CBD＝∠ABC－∠A8D＝120°－30＝90°，又∠C＝30°，∴DB＝CD，∴AD＝CD.
12.如图13－3－7，在△ABC中，是延长线上的一点，是上一点，且有．求证：．
答案：证明：延长DC至F，使CF＝BD，连接AF，∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACF，由SAS可证△ABD≌△ACF，∴AD＝AF.又∠ADB＝60°，∴△ADF是等边三角形，∵AD＝DF,∵DE＝DB、∠ADB＝60°，∴△DEB是等边三角形，∴DE＝BE＝DB＝CF.∵AD＝AF＋DE，DF＝DB＋BC＋CF，AE＋DE＝BE＋BC＋DE，∴AE＝BE＋BC.
13.如图13－3－8，等腰△ABC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且∠BAC＝∠ADE＝∠ADF＝60°.
(1)在图中找出与相等的角，并加以证明；
(2)若，求的长．(用含的式子表示)
答案：（1）∠EDB＝∠DAC 证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∠ADE＋∠EDB＝∠ADB＝∠DAC＋∠C.∴60°＋∠EDB＝∠DAC＋ 60°∴∠EDB＝∠DAC.
（2）证明：在DE上截取点G，使DG＝DF，∠ADE＝∠ADF，如图答 13－3－1，∴△ADG≌△ADF.∴AG＝AF.∴∠AGD＝∠AFD.∴∠AGE＝∠CFD.∴∠CFD＝60°＋∠CAD，∠AEG＝60°＋∠EAD.∴∠AEG＝∠AGE.∴AE＝AG∴AF－AE＝6－m.其他证法见图答13－3－2、图答13－3－3、图答13－3－4.
14.等腰Rt△ABC中，，点在第三象限，直角边交轴于点，斜边交轴于点．画出图形并求点的坐标．
答案：作图如图答13－3－5.C（－1，－1）过点C作CF⊥y轴于点F，如图答13－3－6.∵∠AFC＝90°，∴∠CAF＋∠ACF＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AC＝AB，∠CAF＋∠BAO＝90°，∠AFC＝∠BAC，∴∠ACF＝∠BA0.∴△ACF≌△AB0（AAS）.∴CF＝0A＝1，AF＝0B＝2.∴0F＝l.∴C（－1，－1）.
精优演练
1.如图13－3－9，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，0为AB的中点，现将一个三角板EGF的直角顶点G放在点O处，把三角板EGF绕点O旋转，EG交边AC于点K，FG交边BC于点H.
（1）请判断△OHK的形状；（2）求证：BH＋AK＝AC.
答案：（1）△OHK是等腰直角三角形.证明：连接OC.∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，O为AB的中点，∴∠A＝∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，∠A0C＝∠BOC＝90°，∴A0＝CO＝B0，又∠KOH＝90°，∴∠KOH－∠COH＝∠BOC－∠COH，即∠COK＝∠BOH，在△COK和△BOH中，∴△COK≌△BOH(ASA),∴OK＝OH,∵∠KOH＝90°,∴△OHK是等腰直角三角形. （2）证明：∵△COK≌△BOH，∴CK＝BH，CK＋AK＝AC.∴BH＋AK＝AC.
2.如图13－3－10，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN.B，D分别在射线AN，AM上.
（1）在图13－3－10中，当∠ABC＝∠ADC＝90时，求证：AD＋AB＝AC；
（2）若把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC＋∠ADC＝180°，其他条件不变，如图13－3－11所示.则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
答案：
（1）证明：∵∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∴∠DAC＝∠BAC＝60°.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠DCA＝∠BCA＝30°，在Rt△ACD中，∠DCA＝30°，Rt△ACB中，∠BCA＝30°.∴AC＝2AD，AC＝2AB，∴AD＋AB＝AC;
（2）AD＋AB＝AC成立.证明：在AN上做取AE＝AC，连接CE.∠BAC＝60°，∴△CAE为等边三角形，AC＝CE，∠AEC＝60°，∴∠DAC＝60°，∴∠DAC＝∠AEC，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠EBC＝180°，∴∠ADC＝∠EBC，∴△ADC≌△EBC，∴DC＝BC，DA＝BE，∴AD＋AB＝AB＋BE＝AE，∴AD＋AB＝AC.
3．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′．
（1）求证：△ABC≌△CDA．
（2）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；
（3）图中阴影部分的△AB′O和△CDO是否全等？若全等请给出证明；若不全等，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∠ACD＝∠BAC，
在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（ASA）；
（2）图中所有的等腰三角形有：△OAC，△ABB′，△CBB′；∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，又∵△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，
∴△AB′C≌△ABC，∴∠ACB＝∠ACB′，AB＝AB′，即△ABB′为等腰三角形，
∴∠DAC＝∠ACB′，∴OA＝OC，即△OAC为等腰三角形，∵CB＝CB′，
∴△CBB′为等腰三角形；
（3）△AB′O≌△CDO，理由为：
证明：∵△AB′C≌△ABC，且△ABC≌△CDA，∴△AB′C≌△CDA，
∴B′C＝DA，AB′＝CD，又OA＝OC，∴DA﹣OA＝B′C﹣OC，即OB′＝OD，
在△AB′O和△CDO中，，∴△AB′O≌△CDO．
4．已知如图（1）△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．
①图中有几个等腰三角形？且EF与BE、CF间有怎样的关系？（不证明）
②若AB≠AC，其他条件不变，如图（2），图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？若存在请给出证明．
③若△ABC中，AB≠AC，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图（3），这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF间的关系如何？为什么（要证明你的结论）？
【解答】解：（1）有5个等腰三角形，EF与BE、CF间有怎样的关系是：EF＝BE+CF．
理由如下：如图1，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∴∠AEF＝∠AFE，∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∵∠ABC＝∠ACB，∴∠OBC＝∠OCB，∴BE＝OE，OF＝CF，
∴△ABC，△AEF，△BOC，△BEO，△CFO是等腰三角形；
如图1，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，又∠B、∠C的平分线交于O点，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∴∠EOB＝∠OBE，∠FCO＝∠FOC，
∴OE＝BE，OF＝CF，∴EF＝OE+OF＝BE+CF．又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠EOB＝∠OBE＝∠FCO＝∠FOC，∴EF＝BE+CF＝2BE＝2CF；
（2）有2个等腰三角形，分别是：等腰△OBE和等腰△OCF；第（1）问中的关系EF＝BE+CF仍成立．
理由：如图2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，
∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝OE，CF＝OF，∴△BEO和△CFO是等腰三角形；∵BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝EO+FO＝BE+CF；
（3）有2个等腰三角形：△EBO，△OCF，EF与BE，CF的关系为：EF＝BE﹣CF，
理由如下：如图3，∵EO∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCD，
又∵OB，OC分别是∠ABC与∠ACD的角平分线，∴∠EBO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCD，
∴∠EOB＝∠EBO，∴BE＝OE，∠FCO＝∠FOC，∴CF＝FO，
又∵EO＝EF+FO，∴EF＝BE﹣CF．
5．阅读材料：如图1，△ABC中，点D，F在边AB上，点E在BC上，BD＝BE，∠ADC＝α，∠BEF＝180°﹣2α，延长CA，EF交于点G，GA＝GF，求证AD＝EF．
分析：等腰三角形是一种常见的轴对称图形，几何试题中我们常将一腰所在的三角形沿着等腰三角形的对称轴进行翻折，从而构造轴对称图形．
①小明的想法是：将BE放到△BEF中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BDH＝∠BEF交BC于H（如图2）．
②小白的想法是：将BD放到△BDC中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BEH＝∠BDC交BD的延长线于H（如图3）．
请你从上述俩种方法中一种或按照自己的方法解决问题；
经验拓展：如图4，等边△ABC中，D是AC上一点，连接BD，E为BD上一点，AE＝AD，过点C作CF⊥BD交BD的延长线于点F，∠ECF＝60°，若BE＝a，DF＝b，求DE的长（用含a，b的式子表示）．
【解答】阅读材料：证明：①小明的想法：如图2中：将BE放到△BEF中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BDH＝∠BEF交BC于H．
∵∠BDH＝∠BEF，∠B＝∠B，BD＝BE，∴△BDH≌△BEF（ASA）
∴∠BFE＝∠BHD，EF＝DH，∵∠BEF＝180°﹣2α，
∴∠BDH＝180°﹣2α，且∠BDH+∠CDH+∠ADC＝180°，∠ADC＝α，
∴∠ADC＝∠CDH，∵GA＝GF，∴∠GAF＝∠GFA，且∠GFA＝∠BFE＝∠BHD，
∴∠GAF＝∠BHD，∴∠DAC＝∠DHC，且∠ADC＝∠CDH，DC＝DC，
∴△ADC≌△HDC（AAS）∴AD＝DH，∠DCH＝∠ACD，∴AD＝EF；
②小白的想法：如图3中：将BD放到△BDC中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BEH＝∠BDC交BD的延长线于H．
∵∠BEH＝∠BDC，BE＝BD，∠B＝∠B，∴△BEH≌△BDC（ASA），
∴∠H＝∠BCD，EH＝CH，∠BEH＝∠BDC，∴∠ADC＝∠CEH＝α，∵∠BCD＝∠ACD，
∴∠H＝∠ACD，∵∠BEF＝180°﹣2α＝180°﹣∠GEC，∴∠FEH＝∠HEC＝∠ADC＝α，
∴△ADC≌△FEH（ASA），∴AD＝EF．
经验拓展：如图4中，延长AE到M，使得AM＝AC，连接DM交CE于O，作MN⊥BF于N．连接AO，BM，CM．
∵AD＝AE，AM＝AC，∴EM＝CD，∠AMC＝∠ACM，∵CM＝MC，∴△ECM≌△DMC（SAS），
∴∠ECM＝∠DMC，∴OM＝OC，∵AE＝AD，∴AO垂直平分线段EF，∠AEO＝∠DAO，
∵MN⊥BF，CF⊥BF，∴MN∥CF∥OA，∴∠NME＝∠EAO，∠DCF＝∠DAO，
∴∠NME＝∠DCF，∵∠MNE＝∠F＝90°，∴△MNE≌△CFD（AAS），∴DF＝EN＝b，MN＝CF，
∵∠FBC+∠FCB＝∠FBC+60°+∠FCD＝90°，∴∠FBC+∠FCD＝30°，∵AB＝AM＝AC，
∴∠CBM＝∠CAM＝∠FCD，∴∠FBC+∠CBM＝30°，∴MN＝BN•tan30°＝（a﹣b），
∴CF＝MN＝（a﹣b），∵∠ECF＝60°，∴EF＝CF•tan60°＝a﹣b，
∴DE＝EF﹣DF＝a﹣2b．
解法二：如图4﹣1中，延长BF到H，使得DH＝BE，连接AH，CH．
∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE，∴∠AEB＝∠ADH，∵EB＝DH，
∴△AEB≌△ADH（SAS），∴AB＝AH，
∴∠ABH＝∠AHB，设∠ABH＝∠AHB＝y，∠CHF＝x．∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠CAH＝180°﹣2y﹣60°＝120°﹣2y，∵AH＝AB＝AC，∴∠ACH＝∠AHC＝x+y，
∴120°﹣2y+2x+2y＝180°，∴∠CHF＝30°，∵CF⊥EH，∴∠FCH＝∠ECF＝60°，
∴∠CEF＝∠CHF＝30°，∴CE＝CH，∴EF＝FH＝a﹣b，∴DE＝EF﹣DF＝a﹣2b．
13．4课题学习最短路径问题
海选初战
1．如图13－4－1，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C．使CA＋CB最短，在图中画出来．
【解答】解：连接AB与直线l相交于点P，点P即为所求．
2．如图13－4－2，A，B是河流同侧的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出来．
【解答】解：如图所示，抽水站修在点P处才能使所需的管道最短．
精优演练
1．如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
（1）若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？（要求：尺规作图，保留作图痕迹．写出必要的文字说明）
（2）若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
【解答】解：（1）作出AB的中垂线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置；
（2）如图所示：作A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，点N即为所求．
A
2．如图13－4－4，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A．B的距离之差最大．
【解答】解：如图，点C即为所求．
3．某中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成如图13－4－5所示两直排（图中的AO，BO），AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短。
【解答】解：如图所示，小明所走的行走路线为：CM﹣MN﹣ND，所走的总路程最短．
4．如图13－4－6，台球桌上有一个黑球、一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到AB边反弹后再撞到黑球？
【解答】解：如图所示：应该把在点Q位置的白球打到AB边上的M点，才能反弹回来撞到黑球．
5．如图13－4－7，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的O处接游客。然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．
【解答】解：如图所示，
作点P关于BC的对称点P′，连接P′Q交BC于点M，连接MP．最短路径为：P﹣Q﹣M﹣P．
6．甲、乙两村之间隔着两条河（如图所示），为使两村之间的行程最短，应在这两条河的什么位置各架一座桥？（作图表示）
【解答】解：如图所示：在这两条河的DE和BC处各架一座桥即可．
在河的垂直方向分别截取FH等于河宽，AT等于河宽，连接HT，构造平行四边形FHDE，平行四边形ABCT，根据两点之间线段最短，可知两村之间A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的行程最短．
7．如图，一辆汽车在直线形公路由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB同侧的村庄．
（1）设汽车行驶到公路上点P的位置时，距离村庄M最近，行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，请在公路AB上分别画出P、Q的位置；
（2）在公路AB上寻找一点T，汽车行驶到该点时，与村庄M、N的距离相等（尺规作图）；
（3）在公路AB上是否存在这样一点H，汽车行驶到该点时，与村庄M、N的距离之和最短？如果存在，请在图中AB上画出此点H；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1所示，点P与点Q即为所求；
（2）如图2所示，点T即为所求；
（3）如图3所示，点H即为所求．
8．如图13－4－10所示，牧民在A处放羊，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC＝BD，A到河岸CD的中点距离为500m，问：（1）牧民从A处将羊赶到河边饮水后再回家，那么羊在何处饮水所走的路程最短？并说明理由．（2）最短的路程是多少？
【解答】解：（1）作A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于M，
∴CA′＝AC，∵AC＝DB，∴CA′＝BD，由分析可知，点M为饮水处
（2）∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD＝∠A′CD＝∠BDC＝90°，
又∵∠A′MC＝∠BMD，在△CA′M和△DBM中，，
∴△CA′M≌△DBM（AAS），∴A′M＝BM，CM＝DM，即M为CD中点，
∴AM＝BM＝A′M＝500，所以最短距离为2AM＝2×500＝1000米，故答案为：1000m．
直击中考
1．若下列选项中的图形均为正多边形，则哪一个图形恰有4条对称轴？（ ）
解：B
2．在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形。下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（ ）
解：D
3．我国传统建筑中，窗框（如图13－中考－1）的图案玲珑剔透、千变万化，窗框的一部分如图13－中考－2，它是一个轴对称图形，其对称轴有（ ）
A．l条 B．2条 C．3条 D．4条
解：B
4．下列图案属于轴对称图形的是（ ）
解：A
5．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（ ）
A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM
解：B
6．如图．∠A0B＝120°，OP平分∠A0B，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
解：D
7.已知等边三角形的边长为3.点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（ ）
A. B. C. D.不能确定
解：B
8．如图，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（ ）
A．2＋2 B．2＋ C．4 D．3
解：A
9．如图，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD＝BD，则下列结论正确的是（ ）
A．AC＞BC B．AC＝BC C．∠A＞∠ABC D．∠A＝∠ABC
解：A
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B，C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
解：C
11．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC＝6，那么线段BE的长度为（ ）
A．6 B．6 C．2 D．3
解：D
12．如图13－中考－9，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
解：B
13．如图13－中考－10，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝_____________．
解：2
14．如图是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l和l外一点P．
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图．（1）在直线l上任取两点A，B；
（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；
（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．
请回答：作图过程中使用的依据有（1）__________________________________________；
(2)_____________________________________________________________________．
解：（1）到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（A，B都在PO的垂直平分线上）：
（2）两点确定一条直线（AB垂直PO）（其他正确依据也可以）
15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC．
（1）试在图中标出点D，并面出该四边形的另两条边；
（2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A'B'C'D．
【解答】解：（1）点D以及四边形ABCD另两条边如图所示．
（2）得到的四边形A′B′C′D′如图所示．
第十三章综合能力擂台
一、选择题
1．下列图案中的两个图形成轴对称的一项是（ ）
解：B
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．一边上的高也是这边中线的三角形 B．有两个内角分别是76°和52°的三角形
C．有一个角是45°的直角三角形 D．有一个角是30°的直角三角形
解：D
3．如图13－1，在△A8C中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：D
4．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．9或7
解：A
5．如图13－2，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
解：C
6．如图13－3，直线y＝－x＋2与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO'B，则点O'的坐标是（ ）
A．（，3） B．（，） C．（2，2） D．（2，4）
解：A
7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为为坐标轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
解：C
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：如图，AB的垂直平分线与直线y＝x相交于点C1，∵A（0，2），B（0，6），
∴AB＝6﹣2＝4，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y＝x的交点为C2，C3，
∵OB＝6，∴点B到直线y＝x的距离为6×＝3，∵3＞4，
∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y＝x没有交点，所以，点C的个数是1+2＝3．
故选：B．
9．如图13－5，在中，，点在上，连接，如果只添加一个条件使，则添加的条件不能为( )
A． B． C． D．
解：C
10．在中，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是等腰三角形时，运动的时间是（ ）
A．秒 B．3秒 C．秒 D．4秒
【解答】解：设运动时间为t秒时，AP＝AQ，根据题意得：20﹣3t＝2t，
解得：t＝4．故选：D．
二、填空题
11．等腰三角形一个顶角和一个底角之和是110°，则顶角是 ．
【解答】解：依题意得：等腰三角形的顶角和一个底角的和是110°
即它的另一个底角为180°﹣110°＝70°，∵等腰三角形的底角相等
故它的一个顶角等于110°﹣70°＝40°．故答案为：40°．
12．如图，∠C＝90°，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC+BC＝ cm．
【解答】解：∵∠C＝90°，DE为AB边的垂直平分线，∴AD＝BD，
∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC，∵△ACD的周长为7cm，
∴AC+BC＝7cm．故答案为：7．
13．如图，四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴，AB＝3.1cm，CD＝2.3cm．则四边形ABCD的周长为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴，AB＝3.1cm，CD＝2.3cm，
∴AB＝BC＝3.1cm，CD＝AD＝2.3cm，
则四边形ABCD的周长为：3.1+3.1+2.3+2.3＝10.8（cm）．故答案为：10.8cm．
14．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠MEF＝（ ）
A．60° B．30° C．60° D．75°
【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，∴∠BCA＝∠A＝15°，
∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，
∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠MEF＝∠EFD+∠A＝60°+15°＝75°．故选：D．
15．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为 ．
【解答】解：作PE⊥OB于E，如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD＝6，即点P到边OB的距离为6．故答案为6．
16．在等边三角形ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，且AD＝BE．连接AE、CD交于点P，则∠APD＝ ．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠BAC＝∠B＝60°，在△ACD和△BAE中，
，∴△ACD≌△BAE（SAS），∴∠ACD＝∠BAE，∵∠BAE+∠EAC＝60°，
∴∠ACD+∠EAC＝60°，∴∠APD＝60°，故答案为：60°．
三、解答题
17．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE＝CD，请说明DB＝DE的理由．
【解答】解：∵等边三角形三线合一，∴BD为∠ABC的角平分线，
∴∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，
∵∠CDE+∠CED＝∠ACB，∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠CBD＝∠CED＝30°，∴BD＝DE．
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18．如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD＝4cm，求PE的长．
【解答】解：过P作PF⊥OB于F，∵∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝15°，∵PD∥OA，∴∠DPO＝∠AOP＝15°，∴∠BOC＝∠DPO，
∴PD＝OD＝4cm，∵∠AOB＝30°，PD∥OA，∴∠BDP＝30°，
∴在Rt△PDF中，PF＝PD＝2cm，∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF，∴PE＝PF＝2cm．
19．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求AD的长．
【解答】解：（1）∵在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD，（SAS）
（2）∵△ABE≌△CAD，∴AD＝BE，∠AEB＝∠ADC
∵∠DAC+∠ADC+∠ACB＝180°，∠DAC+∠AEB+∠APE＝180°，∴∠ACB＝∠APE＝60°，
∴∠BPQ＝60°，∴∠PBQ＝30°，∴BP＝2PQ＝6，∴AD＝BE＝BP+PE＝6+1＝7．
20．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝AC，∠ABD＝60°，过D作ED⊥AD，交AC于点E，恰有DE平分∠BDC．试判断线段CD、BD与AC之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【解答】解：AC＝BD+CD，
理由是：延长CD到F，使DF＝BD，连接AF，∵ED⊥AD，DE平分∠BDC，
∴∠ADB＝90°﹣∠BDC，∴∠ADF＝180°﹣（90°﹣∠BDC）﹣∠BDC＝90°﹣，
∴∠ADB＝∠ADF，在△ABD和△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（SAS），
∴∠F＝∠ABD＝60°，AB＝AF，∵AB＝AC，∴AF＝AC，
∴△ACF是等边三角形，∴AC＝CF＝CD+DF＝BD+CD．
21．如图，△ABC为等腰三角形，AC＝BC，△BDC和△ACE分别为等腰直角三角形，且∠ACE＝∠BCD＝90°，AE与BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G．
（1）求证：FA＝FB；
（2）求证：G为AB的中点．
【解答】证明：（1）∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE＝90°，CA＝CE，
∴∠CAE＝45°，同理可证∠CBD＝45°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，
∵∠CAB﹣45°＝∠CBA﹣45°，∴∠FAB＝∠FBA，∴FA＝FB；
（2）在△CAF和△CBF中，，∴△CAF≌△CBF（SSS），∴∠ACF＝∠BCF，
∵AC＝BC，∴AG为△ABC的中线，即G为AB的中点．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点．以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连接FC．求证：∠F＝∠A．
【解答】证明：∵AB＝AC，BE＝DE，∴∠B＝∠ACB，∴∠ACB＝∠EDB，
∴AC∥EF，∠A＝∠BED，∵点E是AB的中点，AC∥EF，∴ED是△ABC的中位线，
∴D是BC的中点，有BD＝CD，又∵ED＝DF，∠EDB＝∠FDC，
∴△EDB≌△FDC∴∠F＝∠BED，∴∠F＝∠A．
23．阅读下面材料，完成下面两题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图，已知等腰中，为边上的中线，以为边向左侧作等边，直线与直线交于点．请探究线段之间的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现的度数可以求出来．"
小强：“通过观察和度量，发现线段和之间存在某种数理关系．”
小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．"
(1)求的度数；
(2)在图中探究线段之间的数量关系，并证明．
解：（1）设∠BAD=∠CAD=α，∠AEC=∠ACE=β.在△ACE中，2α+60+2β=180°，α+β=60°，∴∠DFC=60°.
（2）EF=AF+2DF.
证明：∠CFD=60°，∠FDC=90°，则∠FCD=30°，∴CF=2DF.在EC上截取EG=CF，连接AG，
∴△AEG≌△ACF（SAS），∴∠EAG=∠CAF，AG=AF，∴∠GAF=60°，∴△AFG为等边三角形，
∴EF=EG+GF=AF+FC=AF+2DE.
24．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点轴，延长交轴于点．
(1)求证：；
(2)求点的坐标．
解：（1）∵A（0，3），B（-1，0），D（2，0），∴OB=l，OD=2，0A=3，∴A0=BD，易证△AB0≌△BED（AAS），∴BA=BE，∴∠BAE=∠BEA；
（2）易求DE=BO=1，∴E（2，1），连OE，设DF=x，S△AOE+S△EOF=S△AOF，
3×2×+（2+x）×1×=3（2+x）×，∴x=l，∴F（3，0）.
25．如图13－20所示，两主要街道交于点处为邮局，该邮局职工．小赵家住处，在内有一社区活动中心，若该活动中心到两条街道的距离相等，同时到点和点的距离也相等．
(1)在图中找出点M的位置；
(2)若小赵每天从家中去上班时必须分别经过AB和CD街道上的两个邮筒G，H处取出信件后再去邮局F处，则邮筒应分别设在两街道的何处，方能使小赵每天上班时所走的路程最短？请在图中找出G，H的位置？，并指出小赵的最理想的行走路线．
解：（1）分别作∠AOD的平分线和线段EF的垂直平分线，两线的交点即为M点.
（2）分别作点E关于AB的对称点E′及点F关于CD的对称点F′，则E′F′的连线与AB，CD的交点G，H即为所求。小赵最理想的行走路线是EGH→F.
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