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2024年中考数学尖子生高分突破：0001 中考集训（教师版）
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这是一份2024年中考数学尖子生高分突破：0001 中考集训（教师版），共68页。试卷主要包含了选择䞠，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
中考集训
（一） 数与代数
一、选择䞠
1. 2的倒数是（ B ）
A.2 B. C. D.
2. 第六次人口普查显示,湛江市常住人口数约为6990000人,数据6990000用科学记数法表示为（ C ）
A. B. C. D.
3. 点在数轴上的位置如图（一）-1所示,点表示的数互为相反数,若点所表示的数为2,则点所表示的数为（ A ）
A. B. C. D.
4. 计算的结果是（ B ）
A. B. C. D.
5. 下列各对等式,是根据等式的性质进行变形的,其中错误的是（ B ）
A.
B.
C.
D.
6. 如图所示,点是反比例函数与的一个交点,阴影部分的面积为,则反比例函数的解析式为（ D ）
A. B.
C. D.
7. 如图（一）,点在数轴上表示的数分别为,且,则下列结论中:
（1）;（2）;（3）;（4）.
其中正确的个数有（ B ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8. 如图（一）,一个寻宝游戏的寻宝通道如图（1）所示,通道由在同一平面内AB,BC,CA ,OA,OB,OC组成.为记录寻宝者的行进路线,在的中点处放置了一台定位仪器,设寻宝者行进的时间为,寻宝者与定位仪器之间的距离为,若寻宝者匀速行进,且表示与的函数关系的图象大致如图（2）所示,则寻宝者的行进路线可能为( C )
A.
B.
C.
D.
9. 如图,直线与轴轴分别交于点和点,点分别为线段的中点,点为上一动点,值最小时点的坐标为（ C ）
A. B.
C. D.
10. 若关于的不等式组,有且只有三个整数解,且关于的分式方程有整数解,则满足条件的整数的值为（ C ）
A.15 B.3 C. D.
C【解析】不等式组整理,得解得.
由不等式组有且只有三个整数解,得到,即.
分式方程去分母,得,解得;由分
式方程有整数解,得.
,故选C.
11.如图,动点从収发,沿轴以每秒1个单位长度的速度向下移动,同时动点从出发,沿轴以每秒2个单位长度的速度向右移动,当点移动到点时,点同时停止移动.点在第一象限内,在移动过程中,始终有,且.则在整个移动过程中,点移动的路径长为（ A ）
A. B. C. D.
A【解析】由题意,过点作交于点,作交于点,如图答（一）
,
.
（AAS）,即,点在的角平分线上.
点坐标为;
当与原点重合,与重合,这时,设此时即有,解得,即此时点坐标为,;
由图答可知点移动的路径为一条线段,则点移动的路径长为,故选A.
12. 如图,直角坐标系巾,是反比例函数图象上一点,是轴正半轴上一点,以为邻边作,若点及中点都在反比例函数图象上,则的值为( C )
A. B. C. D.
【解析】连接,交于点.设,,则：设点的坐标是,则,,解得.同理,解得,,故选C.
13.对于一个函数,自变量取时,函数值等于0,则称为这个函数的零点.若关于的二次函数有两个不相等的零点,关于的方程有两个不相等的非零实数根,则下列关系式一定正确的是（ A )
A. B. C. D.
A【解析】有两个不相等的零点,
抛物线与轴的交点为.
关于的方程有两个不相等的非零实数根,
抛物线与相交于两点且.
当时，这时选项A，D都正确；当时，只有选项是正确的;当时,选项和
是正确的.
综上,一定正确的只有选项，故选.
14.在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点,已知直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点,则的取值范围是
A. B. C. D.且
D【解析】该直线一定经过点,2）.这样经过该点的直线与坐标轴禺城的区域内一窉有,
根据题意该直线与坐标轴围成的区域内有四个整数点,因此第四个点应该是或.
当第四个点为,该直线与的交点位于和之间;与的交点位于利之间,因此有解得.
当第四个点为,该直线与的交点位于和之间;与的交点位于和之间,因此有解得.
综上,,且,故选D.
二、填空题
15. 分解因式:_____.
16. 若与的和为单项式,则__8___.
17. 图是一个运算程序的示意图,若开始输人的值为625,则第2020次输出的结果为__1___.
18. 若关于的方程有解,则的取值范围是__________
19. 已知,则代数式的值是____4______
20. 不等式组,的解集为是__________
21. 二次函数的最大值和最小值分別是是___5和1_______
【解析】,当时，有最小值时,的值最大,最大值为5;当时，有最小值1.
22. 二次函数为常数）的图象上有三点:,）,其中,则的大小关系是__________
【解析】抛物线的对称轴为直线,,且开口苘上,离对称轴越远函数越大.点离对称轴较远,点离对称轴较近,.
23.如图（一）,在平面直角坐标系上有点,点第一次跳动至点,,第二次跳动至点,第三次跳动至点,第四次向右跳动5个单位至点,点第100次跳动至点的坐标是__________
（51，50）【解析】根据冬形观察发现,第偶数次跳动后点的坐标中,横坐标是次数的一半加上1,纵坐标是次数的一半.第次跳动后点的坐标是第100次跳动至点的坐标是.
24. 如图（一）,在平面直角坐标系的第一象限内,直线与直线的内部作等腰Rt,且,边轴,轴,点在直线上,点在直线上:的延长线交直线于点,作等腰Rt,且轴,轴,点在直线上,,按此规律,则等腰的腰长为__________
【解析】设直线与直线的内部件:等腰Rt,且,边轴,轴,点在直线.
点在直线上,,解得,等腰Rt的腰长为的坐标为.
设,则点在直线上,,解得等腰Rt的腰长为
设,则点在直线上,,解得等腰Rt的䁏长为.以此类推,,即等腰Rt的腰长为,即等腰Rt的腰长为,,等腰的腰长为,故答案为.
三、解答题
25. 计算:
解:原式.
26.若,且,求的值.
解:,且,解得.
,解得或.
当时,;当时,.
27. 计算:
（1）;
（2）
解：（1）原式;
（2）原式
28.化简求值:,其中.
解:原式.
,代人上式,得.
29. 先化简,再求值:,其中.
当时,原式.
30. 已知函数,其中,且满足.
（1）求;
（2）求的值.
解:（1）将代人整理得
,解得或或,当时,
取
（2）由（1）得,即原式.
31. 今年生姜的价格较往年有一定的波动.某超市对近日来的销售情况进行了统计,如下表:（销售单价高于进货单价用正数表示,低于进货单价用负数表示）
（1）如果不考虑其他的因素,该超市卖出的这批生姜是盈利了还是亏损了?
（2）如果考虑货物的其他成本为元/千克,那么超市是盈利还是亏损了?盈利或亏损了多少?
解:（1）（元）,如果不考芘其他的因系,该超市卖出的这批生姜是盈利的,盈利了8元.
（2）（元）,超市是亏损的,互㑔了8元。
32.甲、乙两站相距1200千米,货车与客车同时从甲站出发开往乙站,已知客车的速度是货车速度的倍,结果客车比货车早6小时到达乙站,求客车与货车的速度分别是多少?
解：设货车速度为千米/小时,则客车速度为千米/小时,根据题意,得,解得
33 经检验：是原方程的解且符合买际.
（千米/小时）.
答：货伡速度为米/小时,客车速度为300千米/小时.
33. 某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况,下面是调查后小张与其他两位成员交流的情况.
小张:“该商品的进价为24元/件."
成员甲：“当定价为40元/件时,每天可售出480件.”
成员乙:“若单价每涨1元,则每天少售出20件;若单价每降1元,则每天多售出40件."根据他们的对话,请你求出要使该商品每天获利7680元,应该怎样合理定价?
解:设每件商品定价为元.
（1）当时,,解得;
（2）当村,,解得（舍去）,.
答：要使该商品每天犾利7680元,应定价为36元件、40元/件或48元/件.
34. 某学校的教学楼、校门口和公园恰好依次分布在一条笔直的公路上,周五下午,八年级组织学生从校门口出发匀速步行到公园野餐,学生队伍（学生队伍长度忽略不计）出发的同时林林发现末带餐垫,便立即匀速跑向教学楼,到教学楼后用6分钟找到了餐垫,他即刻将速度提高至原速度的倍匀速向公园跑去,最后林林比学生队伍提前分钟到达公园.在整个过程中,林林和学生队伍到教学楼的距离（米）与学生队伍的步行时间（分钟）之间的关系如图（一）-11所示.根据图象解决下列问题:（1）林林最初从校门口跑向教学楼为_____米/分钟,学生队伍的速度为_____米/分钟;
（2）学生队伍出发多少分钟后与林林相距360米?
解：（1）由冬象可得：校门口与教学楼栮距360
米,林林花了3分钟时间,（米/分钟）.
速度提离后为（米/分钟）,
由图象可得学生全程化了25分钟,设学生的速度为米/分钟,则林林从出发到公层花了（分钟）,所以校门口到公芫的距离为2000（米）,（米/分钟）.
（2） 设队伍屾发分钟后,与林林相距360米,
或或.
（分针）,学生队伹术发分钟时,林林已到达公层,舍去.
所以学生队傇付发15分钟后与林林相距360米
32. “互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐.某网店专售一种商品,其成本为每件60元,已知销售过程中,销售单价不低于成本单价,且物价部门规定这种商品的获利不得高于.据市场调查发现,月销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系如表:
（1）请根据表格中所给数据,求出关于的函数关系式;
（2）设该网店每月获得的利润为元,当销售单价为多少元时,每月获得的利润最大,最大利润是多少?
（3）该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中拚出300元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于7700元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定该商品的销售单价?
解：（1）根据衾柊中的数据猜想与的函数昊系是一次函数,设,将450代入,得解得800.经验证，都满足上述函数关系式.与的函数关系式为.
（2）由题意,得
销贷单价不低于戊本曾价,且物价部门规定这种商品的获利不得高于.
抛物线开口向下,对称轴为直线.
此忖函数图象在对称轴的左侧,随的增大洏增大,时,取得敀大值,.
答:当销售靼价为90元时,烸月获得的利沺最大,最大利润是10500元.
（3）根据题意得,解得.
抛物线开口向下,当时,每月利润不低于7700元.
当时,每月利润不低于7700元.
要让消费者得到最大的实䓌,.
答:该商品的销售单价定为80元时,符合该网扂要求且让消稩者得到最大的实恵.
33. 二次函数的图象经过点和.
（1）求的值,并用含的式子表示;
（2）求证:此抛物线与轴有两个不同交点;
（3）当时,若二次函数满足随的增大而减小,求的取值范围;
（4）直线上有一点,将点向右平移4个单位长度,得到点,若抛物线与线段只有一个公共点,求的取值范围.
（1）解：把点和分别代人帄，得.
（2）证明:由（1）得,
,
对于任意的,都有此抛物线与轴有俩个不同交点.
（3）解:当时,依题意抛物线的对称轴需满足
当时,依题意抛物线的对称轴需满足,
解得的取值范围是或.（4）解:设表达式为,把点,-4）和代人得紩得直线的表达式为,把代入得,,由平移得.
（1）如图答,当时,若抛物线与线段只有一个公共点,则拋物线上的点在点的下方,,解得;
（2）如图答（一）,当时,若抛物线的顶点在线段上,则抛物线与线段只有一个公共点..即,解得（舍去）或.
综上,的取值范用是或
图形与几何
一、选择题
1. 下列四个标志中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ C ）
2. 有一种正方体如图（二）-1所示,下列图形是该正方体的展开图的是（ C )
3. 如图（二）,Rt中,,根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ D ）
A.
B.
C.
D.
4. 如图（二）是线段上两点,分别是线段的中点,下列结论:（1）若,则;（2）若,则;（3）;（4）.其中正确的结论是（ D ）
A.（1）（2）（3）
B.（3）（4）
C.（1）（2）（4）
D.（1）（2）（3）（4）
5. 如图（二）,点为上方一点,分别为的角平分线,若,则的度数为( C )
A.
B.
C.
D.
6. 中,,中线,则边的取值范围是（ A ）
A. B.
C. D.
7. 如图（二）,将沿着翻折,使点与点重合,若,则的度数为（ C ）
A.
B.
C.
D.
8. 如图（二）-6,在扇形中,已知,过的中点作,垂足分别为,则图中阴影部分的而积为（ B ）
A. B. C. D.
9. 已知的两条高线所在直线交于点,若,则的度数为（ D ）
A. B. C.或 D.或
D【解析】分两种情况,如图答（二）,当是锐角三角形时,连接并延长交于.
,
如图答（二）,当是钝角三角形时,连接并交于.,又,,,故选D.
10. 如图（二）为的直径,点是的中点,过点作于点,交于点,若,则利半径长是（ A ）
A.5 B. C. D.8
11. 如图（二）,矩形中,相交于点,过点作交于点,交于点,过点作交于点,交于点,连接.则下列结论:
（1）;（2）;（3）;（4）当时,四边形是菱形. 其中,正确结论的个数是（ D ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12. 如图（二）是等腰直角三角形,,以斜边上的点为圆心的圆分别与相切于点,与分別相交于点,且的延长线与的延长线交于点,分析下列三个结论:（1）;（2）;（3）.其中正确的结论个数有（ C ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
13. 如图（二）,四个全等的直角三角形拼成“赵炇弦图”,得到j方形与正方形.连接相交于点与相交于：P.若,则的值是（ B ）
A. B. C. D.
14.如图,在四边形中,把Rt沿着翻折得到Rt,若,则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
15.如图,在正方形中,是等边三角形,,的延长线分别交于点,连接与相交于点,给出下列结论:（1）;（2）;（3）;（4）.其中正确的有（）
A.（1）（2）（3）（4） B.（2）（3） C.（1）（2）（4） D.（1）（3）
答案：C
二、填空题
16.等腰三角形的周长是,其中一边长是,则腰长为 。
答案：10cm或7cm
17.如图,已知为三边垂直平分线的交点,,则的度数为 度.
答案：100
18.如图,以的边为直径的恰好过的中点,过点作于,连接,则下列结论中:（1）;（2）;（3）;（4）是的切线;（5）.正确的序号是 。
答案：①②④⑤
19.如图所示,均为等边三角形,边长分别为,三点在同一条直线上,则下列结论正确的 （填序号）。（1）;（2）;（3）为等边三角形;（4）;（5）平分.
答案：①②③⑤
20.如图△ABC中,,点在边上运动（不与点重合）,以为边作正方形,使点在正方形内,连接,则下列结论:
（1）;（2）当时,;
（3）点到直线的距离为;（4）面积的最大值是.其中正确的结论是
（填写所有正确结论的序号）
答案：②③④
21.如图，平行四边形ABCD的顶点在等边的边上,点在的延长线上,为的中点,连接.若,则的长为 。
答案：
22.如图,在等腰三角形中,,点为的中点,点为边上一个动点,连接,将沿直线折叠,点落在点处.当直线与直线垂直时,则的长为 。
答案：
三、解答题
23.（1）如图,点在线段上,点分别是线段的中点.（1）若AC=8cm，CB=6cm，求线段的长;
（2）若,直接写出线段的值;
（2）若在线段的延长线上,且满足分别为线段的中点,直接写出线段MN= cm.
答案：（1）①因为点分别是线段的中点.
∴，，∵AC=8cm，CB=6cm，
∴MC=4cm，CN=3cm，∴MN=7cm。
（2）。理由：如图由分别是线段的中点，
得，。由线段的和差，
得
24.如图,已知,分别探究下面两个图形中和的关系,请从你所得两个关系中选出任意一个,说明你探究的结论的正确性.
结论:（1） ；选择结论: ,说明理由.
答案：答案不唯一。
解：（1）
理由：如图，过点P作。
∵，∴，∴，。
∵，∴。
（2）.
理由：如图，过点P作。
∵，∴，∴，。
∵，∴。
25.定义:从一个角的顶点出发,把这个角分成的两个角的射线,叫作这个角的三分线,显然,一个角的三分线有两条.例如:如图,若,则是的一条三分线.
（1）已知:如图OC是的一条三分线,且,若,求的度数;
（2）已知:,如图,若是的两条三分线.
①求的度数;
②现以为中心,将顺时针旋转度得到,当恰好是的三分线时,求的值.
解：（1）∵OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC,
∴.
（2）①∵∠AOB=90°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，
∴，
∴。
②当OA是的三分线，且时，
如图，，∴，∴。
当OA是的三分线，且时，
如图，，∴，
∴。
综上，n等于40或50.
26.小明在学习了《展开与折叠》这一课后,明白了很多几何体都能展开成平面图形,于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒,可是一不小心多剪了一条棱,把纸盒剪成了两部分,即图中的（1）和（2）.根据你所学的知识,问答下列问题:
（1）小明总共剪开了 条棱;
（2）现在小明想将剪断的（2）重新粘贴到（1）上去,而且经过折叠以后,仍然可以还原成一个长方体纸盒,你认为他应该将剪断的纸条粘贴到（1）中的什么位置?请你帮助小朋在（1）上补全;
（3）小明说:他所剪的所有棱中,最长的一条棱是最短的一条棱的5倍.现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形,并且这个长方体纸盒所有棱长的和是,求这个长方体纸盒的体积.
答案：（1）小明共剪了8条棱；（2）如图，四种情况。
（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴设最短的棱长高为a cm，则长与宽相等为5a cm。
∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，
∴，解得a=20cm,
∴这个长方体纸盒的体积为20×100×100=20000（立方厘米）
27.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,的顶点均落在拐点上,点在网格线上,且.
（1）线段的长等于 ；
（2）以为直径的半圆与边相交于点,若分别为边,上的动点,当取得最小值时,请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出点,并简要说明点的位置是如何找到的 （不要求证明）。
答案：（1）
（2）如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B′；连接B′C，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B′C，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求。
28.已知关于的方程.若等腰三角形一边长为4,另两边恰好是此方程的根,求此三角形的另两边长.
答案：解：若腰长为4，将 x =4代入原方程，得16-4(m+1)+2(m-1)=0，解得 m=5,
∴原方程为，解得，，组成三角形的三边长度为2,4,4；
若底边长为4，则此方程有两个相等实数根， ∴，
解得 m=3，此时方程为，解得，由于2+2=4，不能构成三角形，舍去，所以三角形另外两边长度为4和2.
29.如图，△ABC中,,点分别在的延长线上,且与相交于点.求证:.
证明：过点 D 作 DG∥AE 交BC 于 G 点，如图, ∴∠l=∠2，∠4=∠3。∵AB = AC ,
∴∠B =∠2,∴∠B = ∠1，∴ DB = DC .而 BD = CE ,∴DG = CE ,
∴△DFG≌△EFC ,∴DF = EF 。
30.如图,正方形的边长为上各有一点,如果的周长为2,求的度数.
解：如图，延长 AB 至 M ，使 BM = DQ ，连接 CM .
∵四边形 ABCD 是正方形，∴ CD = BC , ∠D = ∠ABC=90°, ∴△CBM ≌△CDQ ,
∴QC = CM , ∠DCQ = ∠BCM .
∵△APQ的周长为2，即 AP + AQ + PQ =2①，正方形ABCD 的边长是1，即 AQ + QD = l , AP + PB =1,∴AP + AQ +QD + PB =2②.
①-②得， PQ - QD - PB =0, ∴PQ = PB + QD = PM .
∵CP = CP , PQ= PM , CQ = CM ,∴△CPQ≌△CPM ,
∴∠PCQ = ∠PCM ,∴∠PCQ = ∠DCQ + ∠PCB .
∵∠PCQ + ∠DCQ + ∠PCB =90°,∴∠PCQ =∠QCM =45°.
31.如图,是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货柤的示意图.已知汽车货相高度米,货厢底面距地面的高度米,坡面与地面的夹角,木箱的长为2米,高和宽都是米.通过计算判断:当,木箱底部顶点与坡面底部点重合时,木箱上部顶点会不会触碰到汽车货相顶部.
解：∵BH =0.6米， ，∴米，∴ AH =0.8米．
∵ AF = FC =2米，∴BF =1米，如图 ，作FJ⊥BG 于点 J ，作EK⊥FJ于点 K .
∵ FB = AB =1米， ∠EKF = ∠FJB =∠AHB =90°, ∠EFK = ∠FBJ = ∠ABH ,
∴△EFK∽△FBJ∽△ABH , △FBJ≌△ABH，∴，BJ=BH=0.6米，
即，解得EK=1.28.
∴BJ + EK =0.6+1.28=1.88＜2.∴木箱上部顶点 E 不会触碰到汽车货箱顶部。
32.在中,弦与直径相交于点.
（1）如图,若,求和的大小;
（2）如图,若,过点作的切线,与的延长线相交于点,求的大小.
解：(1) ∵∠APC 是△ PBC 的一个外角， ∠ABC =63°, ∠APC =100°,
∴∠C = ∠APC -∠ PBC =37°.
∵在⊙0中， ∠BAD = ∠C , ∠BAD =37°.
∵AB 为⊙0的直径，∴∠ADB =90°.
∵在⊙0中， ∠ADC = ∠ABC =63°.
又 ∠CDB = ∠ADB - ∠ADC ,∴∠CDB =27°.
(2）如图，连接0D,∵CD⊥AB, ∴∠CPB =90°, ∴∠PCB =90°- ∠PBC =27°。
在⊙0中，由同弧所对的周角等于圆心角的一半，可知∠B0D=2∠BCD,∴∠B0D=2×27°=54°。
∵ DE 是⊙0的切线，∴0D⊥DE．即∠0DE=90°.∠E=90°- ∠BOD =90°-54°=36°,
∴E =36°.
33.（盘锦）如图（二）,四边形是正方形,点是射线上的动点,连接,以为对角线作正方形按逆时针排列）,连接.
（1）当点在线段上时.
①求证:;
②求证:.
（2）设正方形的面积为,正方形的面积为,以为顶点的四边形的面积为,当时,请直接写出的值.
(1）证明：①四边形 ABCD 和四边形 CGFE 都是正方形， ∴∠BCD =∠ECG =90°,
BC = DC , EC = GC ,∴∠BCD -∠ECD = ∠ECG - ∠ECD，即 ∠BCE = ∠DCG ,
∴△BCE≌ △DCG ( SAS ),∴BE = DG .
②方法一：如图,在线段 CD 上截 CH = FD ，连接 HG ,设 FG 与 CD 相交于点 M .
∵四边形 ABCD 和四边形CGFE 都是正方形， ∴∠ADC = ∠CGF =90°, GC = GF ,
∴∠MFD + ∠FMD =90°, ∠MCG + ∠CMG =90°.
∵∠FMD = ∠CMG ,∴MFD = ∠MCG ,∴△FDG≌△CHG ( SAS ),∴DG = HG , ∠DGF = ∠HGC ,
∴∠DGF +∠FGH = ∠HGC + ∠FCH =90°，即 ∠DCH =90°.
在 Rt△DGH 中，∵,∴.
∵CD - FD = CD - HC = DH ,∴CD - FD =BE .
方法二：如图，连接 AC .
∵四边形 ABCD 和四边形 CGFE 都是正方形， ∠ADC = ∠FCG =90°,
AD = DC , FC = CG , ∠ACD = ∠FCG =45°, ∠ACD - ∠FCD = ∠FCG - ∠FCD ，
即 ∠ACF = ∠DCG .
在 Rt△ADC 和 Rt△FCG 中，∵，∴，∴，，∴.
∵∠ACF=∠DCG,∴△ACF∽△DCG, ∴,,
∴CD - FD =BE .
(2)解:①当点F在线段AD上时，如图.∵，∴可以假设，，
∴，，∴，在 Rt ΔCDF 中，
，∴，，
∴，∴，
∴。
②当点F在 AD 的延长线上时，如图，
同法可得，
∴，
综上所述，的值为或.
34.如图,正方形的边长为为的中点,为等边三角形,过点作的垂线,分别与边相交于点,点分别在线段上运动,且满足,连接.
（1）求证:.
（2）当点在线段上时,试判断的值是否变化?如果不变,求出这个值;如果变化,请说明理由.
（3）设,点关于的对称点为,若点落在的内部,试写出的范围,并说明理由.
解:(1)∵ΔMBE为等边三角形，∴MB=ME ∠BME=60°，∴∠BME=∠PMQ=60°,
∴∠BME-∠QME=∠PMQ-∠QME，即有∠BMQ=∠EMP.
∵四边形 ABCD是正方形，ME⊥FG，∴∠MBQ=∠MEP=90°，∴ΔMBQ≌ΔMEP.
(2)PF+GQ的值不变.
理由:如图，连接MG，过点F作FH⊥BC于H。
∵ME=MB,MG=MG,∴RtΔMBG≌RtΔMEG(HL)，∴BG=GE，∠BMG=∠EMG=30°，
∠BGM=∠EGM， ∴ ,∠BGM = ∠EGM =60° , ∴GE= ,∠FGH=60°.
∵FH⊥BC，∠C=∠D=90°,∴四边形 DCHF是矩形，∴FH=CD=6.
∵,∴s
∵ΔMBQ≌ ΔMEP，∴BQ=PE，∴PE=BQ=BG+GQ.
∵FG =EG +PE +FP=EG +BG +GQ +PF=+GQ +PF,
∴GQ+PF=.
(3)当点B′落在PQ上时，如图∵ΔMBQ ≌ ΔMEP,∴MQ =MP,∵∠QMP=60°，
∴△MPQ是等边三角形。
当点B′落在PQ上时，点B关于QM的对称点为B′，
∴ΔMBQ≌ΔMB′Q，∴∠MBQ=∠MB′Q=90°，∠QME=30° ，
∴点B与点E重合，点Q与点G重合，∴∠QMB=∠QMB′= α=30°。
当点B′落在MP上时，如图.
同理可得∠QMB=2QMB′=α=60°.
综上，当30°＜α＜60°时，点B′落在△MPQ的内部。
（三）统计与概率
一、选择题
1.（扬州）某班级组织活动,为了解同学们喜爱的体育运动项目,设计了如下尚不完整的调查问卷:
调查问卷 年 月 日
你平时最喜欢的一种体育运动项目是（ ）（单选）
准备在“（1）室外体育运动;（2）篮球;（3）足球;（4）游泳;（5）球类运动”中选取三个作为该调查问卷问题的备选项目,选取合理的是（ ）
A.（1）（2）（3）
B.（1）（3）（5）
C.（2）（3）（4）
D.（2）（4）（5）
答案：C
2.（安顺）2020年,为阻击新冠疫情,某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况,以便有针对性进行防疫.一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下:62,63，75,79,68,85,82,69,70.获得这组数据的方法是（ ）
A.直接观察 B.实验 C.调查 D.测量
答案：C
3.（云南）下列说法正确的是（ ）
A.为了解三名学生的视力情况,采用抽样调查
B.任意画一个三角形,其内角和是是必然事件
C.甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位:环）的平均数分别为方差分别为.若,则甲的成绩比乙的稳定
D.一个抽奖活动中,中奖概率为,表示抽奖20次就有1次中奖
答案：C
4.（河南）要调查下列问题,适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A.中央电视台《开学第一课》的收视率 B.某城市居民6月份人均网上购物的次数
C.即将发射的气象卫星的零部件质量 D.某品牌新能源汽车的最大续航里程
答案：C
5.（上海）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示.下列能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（ ）
A.条形图 B.扇形图 C.折线图 D.频数分布直方图
答案：B
6.（玉林）在对一组样本数据进行分析时,小华列出了方差的计算公式:,由公式提供的信息,则下列说法错误的是（ ）
A.样本的容量是4 B.样本的中位数是3
C.样本的众数是3 D.样本的平均数是
答案：D
7.（徐州）小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）:.关于这组数据下列说法正确的是（ ）
A.中位数是 B.众数是
C.平均数是 D.极差是
答案：B
8.（盘锦）在市运动会射击比赛选拔赛中,某校射击队甲、乙、丙、丁四名队员的10次射击成绩如图所示.他们的平均成绩均是环,若选一名射击成绩稳定的队员参加比赛,最合适的人选是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
答案：D
9.（鄂尔多斯）下列说法正确的是（ ）
（1）的值大于;（2）正六边形的内角和是,它的边长等于半径;（3）从一副扑克牌中随机抽取一张,它是黑桃的概率是;（4）甲、乙两人各进行了10次射击测试,他们的平均成绩相同,方差分别是,则乙的射击成绩比甲稳定.
A.（1）（2）（3）（4） B.（1）（2）（4）
C.（1）（4） D.（2）（3）
答案：B
10.（泰州）如图,电路图上有4个开关和1个小灯泡,同时闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发光.下列操作中,“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A.只闭合1个开关 B.只闭合2个开关 C.只闭合3个开关 D.闭合4个开关
答案：B
11.（沈阳）下列事件中,是必然事件的是（ ）
A.从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B.任意买一张电影票,座位号是3的倍数
C.掷一枚质地均匀的硬币,正面向上
D.汽车走过一个红绿灯路口时,前方正好是绿灯
答案：A
12.（常德）下列说法正确的是（ ）
A.明天的降水概率为,则明天的时间下雨,的时间不下雨
B.抛掷一枚质地均匀的硬币两次,必有一次正面朝上
C.了解一批花炮的燃放质量,应采用抽样调查方式
D.一组数据的众数一定只有一个
答案：C
13.（金华）一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球,除颜色外其他都相同,搅匀后任意摸出一个球,是白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
14.（川西）如图是一张矩形纸板,顺次连接各边中点得到菱形,再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形.将一个飞镖随机投郑到大矩形纸板上,则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
15.（盘锦）为了解某地区九年级男生的身高情况,随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据,统计结果如下.
根据以上统计结果,随机抽取该地区一名九年级男生,估计他的身高不低于的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
16.（徐州）在一个不透朋的袋子里装有红球、黄球共20个,这些球除颜色外都相同.小明通过多次实验发现,摸出红球的频率稳定在左右,则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A.5 B.10 C.12 D.15
答案：A
二、填空题
17.（上海）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数,随机调查了其中400名学生,结果有150名学生会游泳,那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 。
答案：3150名
18.（永州）永州市教育部门为了了解全市巾小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试.从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制）,整理样本数据,得到下表:
成绩
人数
25
15
5
4
1
根据抽样调查结果,估计该校七年级600名学生中,80分（含80分）以上的学生有 人.
答案：480
19.（上海）小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况,他随机调查了该小区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量,统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克,并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示）,根据以上信息,估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约 千克.
答案：90
20.（泰州）今年6月6日是第25个全国爱眼月,某校从八年级随机抽取50名学生进行了视力调查,并根据视力值绘制成统计图[如图],这50名学生视力的中位数所在范用是 。
答案：4.65～4.95
21.（山西）某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会,组织了6次预选赛,其中甲、乙两名运动员较为突出.他们在6次预选赛中的成绩（单位:秒）如下表所示:
由于甲、乙两名运动员的成绩的平均数相同,学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔,那么被选中的运动员是 。
答案：甲
22.（青岛）已知甲、乙两组数据的折线图如图,设甲、乙两组数据的方差分别为,则
（填“>"“=”或“"”）.
答案：＞
23.（呼和浩特）公司以3元的成本价购进10000kg柑橘,并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润,在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时,需要先进行“柑橘损坏率”统计,再大约确定每千克相橘的售价,下面是销售部通过随机取样,得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分,由此可估计柑橘完好的概率为 .（精确到0.1）;从而可知大约每千克柑橘的实际售价为 元时（精确到0.1）,可获得12000元利润.
答案：0.9 4.7
24.（镇江）如图,有两个转盘,在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1,2,分别转动转盘,当转盘停止转动时,若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内"的概率是,则转盘中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 。
答案：80
三、解答题
25.（重庆B）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日.某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛,并从七、八年级学生中各抽取20名学生,统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数,满分10分,6分及以上为合格）.相关数据统计、整埋如下:
八年级抽取的学生的竞赛成绩:
根据以上信息,解答下列问题:
（1）填空：a= ，b= ，c= ；
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数;
（3）根据以上数据分析,从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异.
解:(1)7.5 8 8 由图表可得，,c=8.
(2)该校七、八年级共800 名学生中竞赛成绩达到9 分及以上的人数=(人).
答:该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9 分及以上的人数为200 人.
(3)∵八年级的合格率高于七年级的合格率，
∴八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异。
26.（湘潭）“停课不停学”.突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景.隔离的是身体,温暖的是人心.“幸得有你,山河无恙”.在钟南山、白衣天使等人众志成城下,战胜了疫情.在春暖花开,万物复苏之际,某校为了了解九年级学生居家网络学习情况,以便进行有针对性的教学安排,特对他们的网络学习时长（单位:小时）进行统计.现随机抽取20名学生的数据进行分析:
收集数据:,.
整理数据:
分析数据:
应用数据:
（1）填空:a= ，b= ；
（2）补全图中的频数直方图;
（3）若九年级共有1000人参与了网络学习,请估计学习时长在小时的人数.
解:(1)6 6.5
(2)由(1)得a=6 可作图，如图.
(3)由图可知，学习时长在小时的人数的概率=.
∴（人），∴学习时长在5＜x≤7 小时的人数是 700 人.
27.（大连）某校根据《教育部基础教育课程教材发展中心中小学生阅读2指导目录（2020版）》公布的初中段阅读书目,开展了读书活动.六月末,学校对八年级学生在此次活动中的读书量进行了抽样调查,图中是根据调查结果绘制的统计图表的一部分。
根据以上信息,解答下列问题:
（1）被调查学生中,读书量为1本的学生数为 人,读书量达到4本及以上的学生数占被调查学生总人数的百分比为 ;
（2）被调查学生的总人数为 人,其中读书量为2本的学生数为 人;
（3）若该校八年级共有550名学生,根据调查结果,估计该校八年级学生读书量为3本的学生人数.
解：(1)4 20
(2)50 15【解析】10÷20%=50,50×0.3=15，∴被调查学生的总人数为50人，其中读书量为2本的学生数为15人。
(3）读书量达到3本的学生数为：50-4-15-10=21（人）,∴该校八年级学生读书量为3本的学生数为（人），答：八年级学生读书量为3本的约有231人．
28.（桂林）阅读下列材料,完成解答:
材料1:国家统计局2月28日发布了2019年国民经济和社会发展统计公报,该公报中发布了全国“2015-2019年快递业务量及其增长速度”统计图[如图].
材料2:6月28日,国家邮政局发布的数据显示:受新冠疫情影响,快递业务量快速增长,5月份快递业务量同比增长41%（如图）.某快递业务部门负责人据此估计,2020年全国快递业务量将比2019年增长.
（1）2018年,全国快递业务量是 亿件,比2017年增长了 ;
（2）2015-2019年,全国快递业务量增长速度的中位数是 ;
（3）统计公报发布后,有人认为,图中表示2016-2019年增长速度的折线逐年下降,说明2016-2019年全国快递业务量增长速度逐年放缓,所以快递业务量也逐年减少.你赞同这种说法吗?为什么?
（4）若2020年全国快递业务量比2019年增长50%,请列式计算2020年的快递业务量.
28．解：(1)507.1 26.6
(2)28
(3）不赞同．理由：由题中的信息可得，2016-2019年全国快递业务量增长速度逐年放缓，但是快递业务量却逐年增加．
(4)635.2×(1+50%)=952.8（亿件）.
答：2020年的快递业务量为952.8亿件．
29.（温州）两家酒店规模相当,去年下半年的月盈利折线统计图如图所示;
（1）要评价这两家酒店7~12月的月盈利的平均水平,你选择什么统计量?求出这个统计量;
（2）已知两家酒店月的月盈利的方差分别为（平方万元）,（平方万元）.根据所给的方差和你在（1）中所求的统计量,结合折线统计图,你认为去年下半年哪家酒店经营状况较好?请简述理由.
解：(1）选择两家酒店月盈利的平均值．
（万元）,
（万元）.
(2）平均数，方差反映酒店的经营业绩， A 酒店的经营状况较好。
理由： A 酒店盈利的平均数为2.5, B 酒店盈利的平均数为2.3.A酒店盈利的方差为1.073, B 酒店盈利的方差为0.54，无论是盈利的平均数还是盈利的方差，都是 A 酒店比较大，故 A 酒店的经营状况较好．
30.（长春）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别,分别为:一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染.级別越高,污染的情况越严重,对人体的健康危害越大.空气质量达到一级或二级的天气为达标天气.下面是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计表.
2014-2019年长春市空气质量级别天数统计表
根据以上统计图表回答下列问题:
（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是 年；
（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为 天,平均数为 天;
（3）长春市从2015年到2019年,和前一年相比,空气质量为“优”的天数增加最多的是 年,这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为 （精确到1%），空气质量为“优”的增长率（今年空气质量为优的天数-去年空气质量为优的天数）÷去年空气质量为优的天数]
（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好?请说明理由.
答案：(1)2018 (2)7 8 (3)2018 89%
(4)2018年空气质量好，2018年达标天气天数最多
31.（徐州）某市为了解市民每天的阅读时间,随机抽取部分市民进行调查.根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图表:
根据以上信息解答下列问题:
（1）该调查的样本容量为 , ；
（2）在扇形统计图中,“”对应扇形的圆心角等于 。
（3）将每天阅读时间不低于的市民称为“阅读爱好者”.若该市约有600万人,请估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有多少万人.
解；(1)1000 100 (2)144°
(3）估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有（万人）。
答：估计该市能称为“阅读爱好者”的市民约为90万人。
32.（泰州）2020年6月1日起,公安部在全国开展“一盔一带”安全守护行动.某校小交警社团在交警带领下,从5月29日起连续6天,在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查,并将数据绘制成图表如下:
（1）根据以上信息,小明认为6月3日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率约为.你是否同意他的观点?请说明理由.
（2）相比较而言,你认为需要对哪类人员加大宣传引导力度?为什么?
（3）求统计表中的值.
解：(1）不同意，由题目可知，本次调査是从5月29日起连续6天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员戴头盔情况进行了调查，数据代表比较单一，没有普遍性，故不能代表6月3日该地区全天摩托车骑乘人员头盔戴率；
(2）由折线统计图可知。骑电动自行车骑乘人员戴头盔率比摩托车骑乘人员头盔戴率要低很多，故应该对骑电动自行车骑乘人员加大宜传引导力度；
(3）由折线统计图可知，2020年6月2日骑电动自行车骑乘人员戴头盔率为45%，则骑电动自行车骑乘人员不戴头盔率为：1-45%=55%,∴，∴ m=88.
33.（大庆）为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数,从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数,且最高次数不超过150次）,整理后绘制成如图的频数直方图,图中的满足关系式.后由于保存不当,部分原始数据模糊不清,如图,但已知缺失数据都大于120.请结合所给条件,回答下列问题:
（1）求问题中的总体和样本容量;
（2）求的值（请写出必要的计算过程）;
（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀,那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人?（注:该年级共1000名学生）
33.解：(1）总体是某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，样本容量是40.
(2）设2a=3b= m ，则 ,．根据题意可得一分钟跳绳次数在100次以上的人数有20人，即a+b=20，，解得 m =24, ∴a =12, b =8.
(3)×1000=200（人），答：该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．
34.（徐州）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作.根据社区的安排,志愿者被随机分到组（体温检测）,组（便民代购组（环境消杀）.
（1）小红的爸爸被分到组的概率是 ；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍,他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少?（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
解:(1)
(2）用列表法表示所有可能出现的结果如下表：
共有9种可能出现的结果。其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种，
∴
35.（赤峰）如图,一枚质地均匀的正四面体骰子,它有四个面,并分别标有四个数字;如图等边三角形的三个顶点处各有一个圆圈.和甲甲想玩跳圈游戏,游戏的规则为:游戏者从圈起跳,每投掷一次骰子,骰子着地的一面点数是几,就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长.如:若第一次郑得点数为2,就逆时针连续跳2个边长,落到圈;若第二次郑得点数为4,就从圈继续逆时针连续跳4个边长,落到圈.
（1）YY随机掷一次骰子,她跳跃后落回到圈的概率为 ；
（2）和甲甲一起玩跳圈游戏:,都以最终落回到圈为胜者.这个游戏规则公平时?请说明理由.
35．解：(1)
(2）这个游戏规则不公平、理由：画树状图如图，共有16种等可能的结果，其中甲随机投掷两次骰子，两次数字和为3或6时，最终可落回圈 A ．这样最终落回到圈 A 的结果为5，所以甲随机投掷两次般子，最终落回到圈 A 的概率＝，因为，所以这个游戏规则不公平．
36.（泰州）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同,某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球,记下颜色后放回、搅匀,不断重复这个过程,获得数据如下:
（1）该学习小组发现,摸到白球的频率在一个常数附近摆动,这个常数是 （精确到）,由此估出红球有 个;
（2）现从该袋中摸出2个球,请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果,并求恰好摸到1个白球、1个红球的概率.
解：(1)0.33 2
(2）画树状图如图，共有6种等可能的结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况，∴摸到一个白球一个红球的概率为。
（四）综合与实践
一、选择题
1.（长春）如图（四）,数轴上被墨水遮盖的数可能为 ( )
A. B. C. D.
答案：C
2.（绵阳）下列四个图形中,不能作为正方体的展开图的是 ( )
答案：D
3.（呼和浩特）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是; 则在一定时间段内,由该元件组成的如图（四）-2的电路之间,电流能够正常通过 的概率( )
A. B. C. D.
答案：A
4.（柳州）如图（四）是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的折线统计图,根据折线图判断下列说法正确的是( )
A.甲的成绩更稳定
B.乙的成绩更稳定
C.甲、乙的成绩一样稳定
D.无法判断谁的成绩更稳定
答案：B
5.（孝感）某公司有10名员工,每人年收人数据如下表:
则他们年收人数据的众数与中位数分别为( )
A.4，6 B.6，6 C.4，5 D.6，5
答案：B
6.（大连）如图（四）,小明在一条东西走向公路的处,测得图书馆在他的北偏东方向,且与他相距,则图书馆到公路的距离为( )
A. B. C. D.
答案：A
7.（上海）我们经常将调查，收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示.下列统计图中,能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是( )
A.条形图 B.扇形图 C.折线图 D.频数分布直方图
答案：B
8.（长春）比萨斜塔是意大利的著名建筑,其示意图如图（四）5所示,设塔顶中心点为点,塔身中心线与垂直中心线的夹角为,过点向垂直中心线引垂线,垂足为点.通过测量可得的长度,利用测量所得的数据计算的三角函数值,进而可求的大小.下列关系式正确的是( )
A. B. C. D.
答案:A
9.（西宁）全民健身的今天,散步是大众喜欢的运动.甲、乙两人在绿道上同时从同一起点以各自的速度匀速同向而行,步行一段时间后,甲因有事按原速度原路返回,此时乙仍按原速度继续前行.甲乙两人之间的距离（米）与他们出发后的时间（分）的函数关系如图（四）所示,已知甲步行速度比乙快.由图象可知,甲、乙的速度分别是( )
A.60米/分,40米/分 B.80米/分,60米/分
C.80米/分,40米/分 D.120米/分,80米/分
答案：A
10.（巴中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个“折竹抵地”问题:“今有竹高丈,末折抵地,问折者高几何?"意思是：一根竹子,原来高一丈（一丈为十尺，虫仿有病,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离原竹子根部三八远,问:原处还有多高的竹子?[如图（四）-7]( )
A.4尺 B.尺
C.5尺 D.尺
答案：B
11.（广西）如图（四）-8,要测量一条河两岸相对的两点之间的距离,我们可以在岸边取点和,便点共线,且直线与垂直,测得,则的长约为( )
（参考数据sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5，sin45°≈0.7，cos45°≈0.7， tan45°=1）
A. B. C. D.
答案：B
12. （青岛）如图（四）,将矩形折叠,使点和点重合,折痕为与交于点.若,则的长为( )
A. B.
C. D.
答案：B
13.（南通）如图（四）为矩形的边上一点,点从点出发沿折线运动到点停止,点从点出发沿运动到点停止,它们的运动速度都是.现两点同吋出发,设运动时间为的面积为,若与的对应关系如图（四）-11所示,则矩形的面积是( )
A. B. C. D.
答案：C
14.（锦州）如图（四）,在四边形中,, .动点同时从点出发,点以的速度沿向终点运动,点以的速度沿折线向终点运动.设点的运动时间为的面积为,则下列图象能大致反映与之间函数关系的是( )
二、填空题
15.（西宁）2020年5月22日召开了第十三届全国人民代表大会第三次会议,在《政府工作报告》中指出:我国经济运行总体平稳，2019年国内生产总值达到99100000000000元.将99100000000000用科学记数法表示为 .
答案：
16.（日照）《孙子算经》记载:今有3人共车,二车空;二人共车,九人步,问人与车各几何?译文:今有若干人乘车,若每三人共乘一辆车,最终剩余2辆车;若每2人共乘一辆车,最终剩余9人无车可乘.问共有多少人?多少辆车?若设有人,辆车,则可列方程组为 .
答案：
17.（广西）观察下列一行数:,则第19个数与第20个数的和为 .
答案：-2047
18.（济南）如图（四）-13,在一块长、宽的矩形空地上,修建两条同样宽的相互垂直的道路,剩余部分栽种花草,要使绿化面积为,则修建的路宽应为米 .
答案：1
19.（巴中）如图（四）-14是中国象棋残局图的一部分,请用线段将图中棋子所在的格点按指定方向顺次连接,组成一个多边形.连接顺序为:将象炮兵马车将,则组成的多边形的内角和为度 .
答案：720
20.（西宁）如图（四）-15,将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放,三角板的一直角边与量角器的零刻度线所在直线重合,斜边与半圆相切,对应的圆心角为长为3,则图中扇形的面积是 .
答案：12π
21.（荆州）“健康荆州,你我同行”,市民小张积极响应“全民健身动起来”号召,坚持在某环形步道上跑步.已知此步道外形近似于如图（四）所示的Rt,其中与间另有步道相连,地在正中位置,地与地相距.若,,小张某天沿路线跑一圈,则他跑了 .
答案：24
22.（巴中）现有一“祥云”零件剖面图,如图（四）所示,它由一个半圆和左右两支拋物线的一部分组成,且关于轴对称.其中半圆交轴于点,直径;两支抛物线的顶点分别为点、点,与轴分别交于点;直线的解析式为:.则零件中这段曲线的解析式为 .
答案：
23.（重庆）为刺激顾客到实体店消费,某商场决定在.星期六开展促销活动.活动方案如下:在商场收银台旁放置一个不透明的箱子,箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同）,顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会,摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元.商场分三个时段统计摸球次数和返现金额,汇总统计结果为:第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍,摸到黄球次数为第一时段的2倍,摸到绿球次数为第一时段的4倍;第三时段摸到红球次数与第一时段相同,摸到黄球次数为第一时段的4倍,摸到绿球次数为第一时段的2倍,三个时段返现总金额为2510元,第三时段返现金额比第一时段多420元,则第二时段返现金额为 元.
答案：1230
三、解答题
24.（内江）我们知道,任意一个正整数都可以进行这样的分解:是正整数,且）,在的所有这种分解中,如果两因数之差的绝对值最小,我们就称是的最佳分解.并规定:.
例如:18可以分解成或,因为18-1>9-2>6-3,所以是18的最佳分解,所以.
（1）填空:
（2）一个两位正整数t（t=10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数）,交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54,求出所有的两位正整数;并求的最大值;
（3）填空:
①;②
③;④
答案：（1）
（2）设交换的个位上数与十位上的数得到的新数为,则,根据题意,得
为正整数,满足条件的为:
（3）（1）（2）（3）（4）.
25.（黔西南州）“分块计数法”:对有规律的图形进行计数时,有些题可以采用“分块计数”的方法,如图（四）-18.
例如:图1有6个点,图2有12个点,图3有18个点,,按此规律,求图10、图有多少个点?
我们将每个图形分成完全相同的6块,每块黑点的个数相同,这样图1中黑点个数是个;图2中黑点个数是个;图3中黑点个数是个;;所以容易求出图10、图中黑点的个数分别是请你参考以上“分块计数法”,先将下面的点阵进行分块,再完成以下问题:
（1）第5个点阵中有 圆圈;第n个点阵中有 圆圈；
（2）小圆圈的个数会等于271吗?如果会,请求出是第几个点阵.
答案:（1）61个个.如图答（四）,第1个点阵中存1个圆圈；第2个点阵中有个圆圈：第3个点阵的有个员雨：第,4个点阵中有个圆圈;第5个点阵中侑个圆图;;第个点阵化有个圆圈.
（2）,（舍）,小圆圈的个数会等于271,它是第10个点阵.
26.（黔南州）在2020年新冠肺炎疫情期间,某中学响应政府有“停课不停学”的号召,充分利用网络资源进行网上学习,儿（1）班的全体同学在自主完成学习任务的同时,彼此关怀,全班每两个同学都通过一次电话,互相勉励,共同提高,如果该班共有48名同学,若每两名同学之间仅通过一次电话,那么全班同学共通过多少次电话呢?我们可以用下面的方式来解决问题.
用点分别表示第1名同学、第2名同学、第3名同学,,第48名同学,把该班级人数与通电话次数之间的关系用如图模型表示:
（1）填写上图中第四个图中的值为 ,第五个图中的值为 .
（2）通过探索发现,通电话次数与该班级人数之间的关系式为 ,当48时,对应的 .
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次,问该班共有多少名女生.
答案：（1）1015
（2）,.当时，.
（3）依题意,得,化简,得,解得（不合题意,舍去）.答：该班共有20名女生.
27.（贵港）在今年新冠肺炎防疫工作中,某公司购买了两种不同型号的口罩,已知型口罩的单价比型口罩的单价多元,且用8000元购买型口罩的数量与用5000元购买型口罩的数量相同.
（1）两种型号口罩的单价各是多少元?
（2）根据疫情发展情况,该公司还需要增加购买一些口罟,增加购买型口罩数量是型口罟数量的2倍,若总费用不超过3800元,则增加购买型口罩的数量最多是多少个?
答案:（1）设型口罩的单价为元,则型口罩的单价为元,根据题意,得解得.经检捡,是原方程的根,且符合题意.所以2.5.答:型口罩的单价为4元,则型口罩的单价为元；
（2）设增加购买型口罣的数量是个,根据题意,得：2.5×2m+4m≤3800解得.m≤422因为为正整数,所以正整数的最大值为422.答:增加购买型口唱的数量最多是422个.
28.（兰州）为培养学生正确的劳动价值观和良好劳动品质,加强新时代中学生劳动教育,某校八（1）班对本班35名学生进行了劳动能力量化评估和近一周家务劳动总时间调查,并对相关数据进行了收集、整理和分析,研究过程中的部分数据如下:
信息一:劳动能力量化评估的成绩采用十分制,得分均为整数;
信息二:
信息三:
下面是近一周家务劳动时间分布表:
信息四:
下面是劳动能力量化成绩与近一周家务劳动总时间统计表:
根据以上信息,解决下列问题:
（1）直接从信息二的图（四）中“读”出八（1）班劳动能力量化成绩的平均分为 分;
（2）请你判断下列说法合理吗?（请在横线上填写“合理”或“不合理”）
①规定劳动能力量化成绩8分及以上为合格,八（1）班超过半数的学生达到了合格要求:
②班主任对近一周家务劳动总时间在4小时以上,且劳动能力量化成绩取得10分的学生进行表彰奖励,恰有3人获奖:
③小颖推断劳动能力量化成绩为8分的同学近一周家务劳动总时间主要分布在2＜t≤3的时间段:
（3） 结合以上信息,你认为普遍情况下参加家务劳动的时间与劳动能力之间具有怎样的关系?
答案:（1）平均成绩（分）.
（2）（1）合理（2）不合理（3）合理
①规定劳动能力䍏化成结8分及以上为合柊,八（1）班超过半数的学生达到了合柺要求,合理.
②班主任对近一周家务劳动总时间在4小时以上,且荣动能力量化成雸取得10分的学生进行表彰奖励,恰有3人获桨,不合理.
③小颖推断劳动能成旦化成绩为8分的同学近一周家务劳动总时间主要分布在2＜t≤3的时间段,合理.
（3）参加家务劳动的时间越长,劳动能力的成绩得分越大.
29.（包头）如图（四）是的直径,半径,垂足为,直线为的切线,是切点,是上一点,的延长线交直线于点是上一点,的延长线交于点,连接,已知的半径为.
（1）求的长;
（2）求的值及的长.
答案：(1)2
(2)
30.如图（四）-22①,在平面直角坐标系中,点的坐标是,在轴上任取一点,连接,分别以点和点为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于,两点,作直线,过点作轴的垂线交直线于点.根据以上操作,完成下列问题.
探究:
（1）线段与的数量关系为 ,其理由为 :
（2）在轴上多次改变点的位置,按上述作图方法得到相应点的坐标,并完成下列表格:
猜想:
（3）请根据上述表格中点的坐标,把这些点用平滑的曲线在图（四）-22①中连接起来;观察画出的曲线,猜想曲线的形状是
验证:
（4）设点的坐标是,根据图（四）-22中线段与的关系,求出关于的函数解析式.
应用:
(5)如图（四）,点,点为曲线上任意一点,且,求点的纵坐标的取值范围.
解：（1）.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
【解析】分别以点和点为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于两点,是的垂直平分线,点是上一点,（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）;
（2）【解析】当点）时,设点
,
点,当点时,设,
,
点;
（3）依照题意,得出图象,猜想曲线的形状为拋物线,故答案为:拔物线;
（4）,点的坐标是,
（5）点,,,是等边三角形,,
㛊图答（四）,以为圆心,为半径作,交抛物线与点,连接,设点,
点在抛物线上,,
,
（舍去）,
如图箭（四）,可知当点在点下方怕,点的纵坐标的取值范围为.
31.（盐城）木门常常需要雕刻美丽的图案.
（1）图（四）为某矩形木门示意图,其中长为200厘米,长为100厘野,阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具,刻刀的位置在模具的中心点处,在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边,所刻图案如虚线所示,求图案的周长；
（2）如图（四）,对于（1）中的木门,当模具换成边长为厘米的等边三角形时,刻刀的位置仍在模具的中心点处,雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边,使模具进行滑动雕刻.但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时,需将模具绕着重合点进行旋转雕刻,直到模具的另一边与木门的另一边重合.再滑动模具进行雕刻,如此雕刻一周,请在图（四）中画出雕刻所得图案的草图,并求其周长.
答案:（1）如图答（四）,过点作于.
点是边长为30厘米的正方形雕刻模具的中心,.
同理,与之间的距离为与之间的距离为与之间的距离为周长为.
（2）连接,过点作于点,如图答（四）.
点是边长为的等辽三角形模具的中心,.
.
当向上平移至点与点重合时,由题意可得,绕点顺时针旋转,使得与边重合,绕点㭊时针旋转到.
同理可得,其余三个角均为弧长为的圆弧,.
答:髉刻所得图案的周长为
32.（长春）【教材呈现】把一张矩形纸片如图（四）那样折一下,就可以裁出正方形纸片.为什么?
【问题解决】如图（四）-26,已知矩形纸片,将矩形纸片沿过点的直线折叠,使点A落在边DC上,点A的对应点为,折痕为DE,点E在AB上.求证:四边形是正方形.
【规律探索】由【问题解决】可知,图（四）中的为等腰三角形.现将图（四）-26中的点沿向右平移至点处（点在点的左侧）,如图（四）,折痕为,点在上,点在上,那么还是等腰三角形吗?请说明理由.
【结论应用】在图（四）-27中,当时,将矩形纸片继续折叠如图（四）,使点与点重合,折痕为,点在上.要使四边形为菱形,则 ,
答案：（1）证明:如图答（四）四边形是矩形,.
由翻折可知,四边形是矩形.四边形是正方形.
（2）结论:是等腰三角形.
理由:如图答（四）四边形是矩形,.
由翻折可知,是等媎三角形.
（3）解：如图答（四）四边形是菱形,者是等边三角形.
设.
由翻折可知,,
.
33.（吉林）能够完全重合的平行四边形纸片和按图（四）-29方式摆放,
其中.点分别在边上,与相交于点H.
【探究】求证:四边形是菱形;
【操作一】固定图（四）中的平行四边形纸片,将平行四边形纸片绕着点顺时针旋转一定的角度,使点与点重合,如图（四）-30.则这两张平行四边形纸片末重叠部分图形的周长和为 ,
答案：56
【操作二】将图（四）-30中的平行四边形纸片绕着点继续顺时针旋转一定的角度,使点与点重合,连接,如图（四）,若,则四边形的面积为 ,
答案：72
答案：【探究】∵四边形和都是平行四边形,四边形是平行四边形.四边形是菱形.
34.（昆明）如图（四）-32,在矩形中,,点分别为的中点.
（1）求证:四边形是矩形;
（2）如图（四）-33,点是边上一点,交于点,点关于的对称点为点,当点落在线段上时,则有.请说明理由;
（3）如图（四）-34,若点是射线上一个动点,点关于的对称点为点,连接,当是等腰三角形时,求的长.
答案：（1）证明：四边形是矩形，,四边形是平行四边形,目边形是矩形.
（2）证明：如冏答（四）中,连接四边形是矩形,,.由翻折可知,.
（3）解:如图答（四）,当时,连接,过点作于,交于,四边形是矩形
.
如图答（四）,当时,连接,设交于4,,.
如图答（四）,当时,此时点与手合,.
如图答（四）,当时,连接,过点仦:于,交于,.It,可得,
.综上所述,满足条件的的值为或20或8或10.
35.（无锡）如图（四）是一个三棱柱包装盒,它的底面是边长为的正三角形,三个侧面都是矩形.现将宽为的彩色矩形纸带裁剪成一个平行四边形（如图（四）-36）,然后用这条平行四边形纸带按如图（四）-37的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分）,纸带在侧面缠绕三圈,正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.
（1）请在图（四）中,计算裁剪的角度;
（2）计算按图（四）方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度.
答案：（1）的长等于三棱柱利底边周长,.纸带的宽为
（2）在将三棱柱沿过点的侧棱屰开,得如图答（四）的側面展开图.将图答（四）的向左平移向有平移,拼成如图答（四）中的平行四边形,此平行四边形即为所求的平行四边形.由题意,得原图中的图答（四）中的,故所需的矩形纸带的长度为
36.（山西）综合与实践,问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图（1）,在中,,垂足为为的中点,连接,试猜想与的数量关系,并加以证明:
独立思考:（1）请解答老师提出的问题;
实践探究:（2）希望小组受此问题的启发,将沿着为的中点）所在直线折叠,如图（2）,点的对应点为,连接并延长交于点,请判断与的数量关系,并加以证明;
问题解决:（3）智慧小组突发奇想,将沿过点的直线折叠,如图（3）,点的对应点为,使于点,折痕交于点,连接,交于点.该小组提出一个问题:若此的面积为20,边长,求图中阴影部分（四边形）的面积.请你思考问题,直接写出结果.
答案:（1）,
如图答（四）,分别延长相交于点,
四边形是平行四辽形,,
.
为的巾点,,
,即为的巾点,,
.
（2）如图答（四）所示：
将四边形ABCD沿着所在直线折㸚,点的对应点为
为的中点,,
,
,
四达形为平行四边形,,
.
（3）如图答（四）,辻点作于点,
四边形ABCD的面积为20,边长于点,
,由于,
,将四边形ABCD沿辻点的直线翻折,点的对应点为,
于点,
是等腰直角三角形,
四边形是平行四边形,
,
,
,
,
,
解得,
37.（兰州）如图（四）,二次函数的图象过点,交轴于点.直线与抛物线相交于另一点,连接,点是线段上的一动点,过点作交于点.
（1）求二次函数的表达式;
（2）判断的形状,并说明理由;
（3）在点的运动过程中,直线上存在一点,使得四边形为矩形,请判断此时与的数量关系,并求出点的坐标;
（4）点是抛物线的顶点,在（3）的条件下,点是平面内使得的点,在抛物线的对称轴上,是否存在点,使得是以为直角的等腰直角三角形,若存在,直接写出符合条件的所有点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案：（1）二次函数的图象过点,点,
解得
二次函数的解析式为.
（2）是直角三角形.理由:在直线的解析式为.
圸解得或.
,,是直角三角形.
（3）结论.理由：如图答（『）,连接,交于.
四边形是矩形,.
,.（4）存在.或,如图答（四）-29,设的中点为,连接.
点在以为直径的上运动.
是等腰直角三角形,
抛物线的顶点直线的絑析式为
,解得或,-4）或.
中考集训
（一） 数与代数
一、选择䞠
1. 2的倒数是（ B ）
A.2 B. C. D.
2. 第六次人口普查显示,湛江市常住人口数约为6990000人,数据6990000用科学记数法表示为（ C ）
A. B. C. D.
3. 点在数轴上的位置如图（一）-1所示,点表示的数互为相反数,若点所表示的数为2,则点所表示的数为（ A ）
A. B. C. D.
4. 计算的结果是（ B ）
A. B. C. D.
5. 下列各对等式,是根据等式的性质进行变形的,其中错误的是（ B ）
A.
B.
C.
D.
6. 如图所示,点是反比例函数与的一个交点,阴影部分的面积为,则反比例函数的解析式为（ D ）
A. B.
C. D.
7. 如图（一）,点在数轴上表示的数分别为,且,则下列结论中:
（1）;（2）;（3）;（4）.
其中正确的个数有（ B ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8. 如图（一）,一个寻宝游戏的寻宝通道如图（1）所示,通道由在同一平面内AB,BC,CA ,OA,OB,OC组成.为记录寻宝者的行进路线,在的中点处放置了一台定位仪器,设寻宝者行进的时间为,寻宝者与定位仪器之间的距离为,若寻宝者匀速行进,且表示与的函数关系的图象大致如图（2）所示,则寻宝者的行进路线可能为( C )
A.
B.
C.
D.
9. 如图,直线与轴轴分别交于点和点,点分别为线段的中点,点为上一动点,值最小时点的坐标为（ C ）
A. B.
C. D.
10. 若关于的不等式组,有且只有三个整数解,且关于的分式方程有整数解,则满足条件的整数的值为（ C ）
A.15 B.3 C. D.
C【解析】不等式组整理,得解得.
由不等式组有且只有三个整数解,得到,即.
分式方程去分母,得,解得;由分
式方程有整数解,得.
,故选C.
11.如图,动点从収发,沿轴以每秒1个单位长度的速度向下移动,同时动点从出发,沿轴以每秒2个单位长度的速度向右移动,当点移动到点时,点同时停止移动.点在第一象限内,在移动过程中,始终有,且.则在整个移动过程中,点移动的路径长为（ A ）
A. B. C. D.
A【解析】由题意,过点作交于点,作交于点,如图答（一）
,
.
（AAS）,即,点在的角平分线上.
点坐标为;
当与原点重合,与重合,这时,设此时即有,解得,即此时点坐标为,;
由图答可知点移动的路径为一条线段,则点移动的路径长为,故选A.
12. 如图,直角坐标系巾,是反比例函数图象上一点,是轴正半轴上一点,以为邻边作,若点及中点都在反比例函数图象上,则的值为( C )
A. B. C. D.
【解析】连接,交于点.设,,则：设点的坐标是,则,,解得.同理,解得,,故选C.
13.对于一个函数,自变量取时,函数值等于0,则称为这个函数的零点.若关于的二次函数有两个不相等的零点,关于的方程有两个不相等的非零实数根,则下列关系式一定正确的是（ A )
A. B. C. D.
A【解析】有两个不相等的零点,
抛物线与轴的交点为.
关于的方程有两个不相等的非零实数根,
抛物线与相交于两点且.
当时，这时选项A，D都正确；当时，只有选项是正确的;当时,选项和
是正确的.
综上,一定正确的只有选项，故选.
14.在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点,已知直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点,则的取值范围是
A. B. C. D.且
D【解析】该直线一定经过点,2）.这样经过该点的直线与坐标轴禺城的区域内一窉有,
根据题意该直线与坐标轴围成的区域内有四个整数点,因此第四个点应该是或.
当第四个点为,该直线与的交点位于和之间;与的交点位于利之间,因此有解得.
当第四个点为,该直线与的交点位于和之间;与的交点位于和之间,因此有解得.
综上,,且,故选D.
二、填空题
15. 分解因式:_____.
16. 若与的和为单项式,则__8___.
17. 图是一个运算程序的示意图,若开始输人的值为625,则第2020次输出的结果为__1___.
18. 若关于的方程有解,则的取值范围是__________
19. 已知,则代数式的值是____4______
20. 不等式组,的解集为是__________
21. 二次函数的最大值和最小值分別是是___5和1_______
【解析】,当时，有最小值时,的值最大,最大值为5;当时，有最小值1.
22. 二次函数为常数）的图象上有三点:,）,其中,则的大小关系是__________
【解析】抛物线的对称轴为直线,,且开口苘上,离对称轴越远函数越大.点离对称轴较远,点离对称轴较近,.
23.如图（一）,在平面直角坐标系上有点,点第一次跳动至点,,第二次跳动至点,第三次跳动至点,第四次向右跳动5个单位至点,点第100次跳动至点的坐标是__________
（51，50）【解析】根据冬形观察发现,第偶数次跳动后点的坐标中,横坐标是次数的一半加上1,纵坐标是次数的一半.第次跳动后点的坐标是第100次跳动至点的坐标是.
24. 如图（一）,在平面直角坐标系的第一象限内,直线与直线的内部作等腰Rt,且,边轴,轴,点在直线上,点在直线上:的延长线交直线于点,作等腰Rt,且轴,轴,点在直线上,,按此规律,则等腰的腰长为__________
【解析】设直线与直线的内部件:等腰Rt,且,边轴,轴,点在直线.
点在直线上,,解得,等腰Rt的腰长为的坐标为.
设,则点在直线上,,解得等腰Rt的腰长为
设,则点在直线上,,解得等腰Rt的䁏长为.以此类推,,即等腰Rt的腰长为,即等腰Rt的腰长为,,等腰的腰长为,故答案为.
三、解答题
25. 计算:
解:原式.
26.若,且,求的值.
解:,且,解得.
,解得或.
当时,;当时,.
27. 计算:
（1）;
（2）
解：（1）原式;
（2）原式
28.化简求值:,其中.
解:原式.
,代人上式,得.
29. 先化简,再求值:,其中.
当时,原式.
30. 已知函数,其中,且满足.
（1）求;
（2）求的值.
解:（1）将代人整理得
,解得或或,当时,
取
（2）由（1）得,即原式.
31. 今年生姜的价格较往年有一定的波动.某超市对近日来的销售情况进行了统计,如下表:（销售单价高于进货单价用正数表示,低于进货单价用负数表示）
（1）如果不考虑其他的因素,该超市卖出的这批生姜是盈利了还是亏损了?
（2）如果考虑货物的其他成本为元/千克,那么超市是盈利还是亏损了?盈利或亏损了多少?
解:（1）（元）,如果不考芘其他的因系,该超市卖出的这批生姜是盈利的,盈利了8元.
（2）（元）,超市是亏损的,互㑔了8元。
32.甲、乙两站相距1200千米,货车与客车同时从甲站出发开往乙站,已知客车的速度是货车速度的倍,结果客车比货车早6小时到达乙站,求客车与货车的速度分别是多少?
解：设货车速度为千米/小时,则客车速度为千米/小时,根据题意,得,解得
33 经检验：是原方程的解且符合买际.
（千米/小时）.
答：货伡速度为米/小时,客车速度为300千米/小时.
33. 某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况,下面是调查后小张与其他两位成员交流的情况.
小张:“该商品的进价为24元/件."
成员甲：“当定价为40元/件时,每天可售出480件.”
成员乙:“若单价每涨1元,则每天少售出20件;若单价每降1元,则每天多售出40件."根据他们的对话,请你求出要使该商品每天获利7680元,应该怎样合理定价?
解:设每件商品定价为元.
（1）当时,,解得;
（2）当村,,解得（舍去）,.
答：要使该商品每天犾利7680元,应定价为36元件、40元/件或48元/件.
34. 某学校的教学楼、校门口和公园恰好依次分布在一条笔直的公路上,周五下午,八年级组织学生从校门口出发匀速步行到公园野餐,学生队伍（学生队伍长度忽略不计）出发的同时林林发现末带餐垫,便立即匀速跑向教学楼,到教学楼后用6分钟找到了餐垫,他即刻将速度提高至原速度的倍匀速向公园跑去,最后林林比学生队伍提前分钟到达公园.在整个过程中,林林和学生队伍到教学楼的距离（米）与学生队伍的步行时间（分钟）之间的关系如图（一）-11所示.根据图象解决下列问题:（1）林林最初从校门口跑向教学楼为_____米/分钟,学生队伍的速度为_____米/分钟;
（2）学生队伍出发多少分钟后与林林相距360米?
解：（1）由冬象可得：校门口与教学楼栮距360
米,林林花了3分钟时间,（米/分钟）.
速度提离后为（米/分钟）,
由图象可得学生全程化了25分钟,设学生的速度为米/分钟,则林林从出发到公层花了（分钟）,所以校门口到公芫的距离为2000（米）,（米/分钟）.
（2） 设队伍屾发分钟后,与林林相距360米,
或或.
（分针）,学生队伹术发分钟时,林林已到达公层,舍去.
所以学生队傇付发15分钟后与林林相距360米
32. “互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐.某网店专售一种商品,其成本为每件60元,已知销售过程中,销售单价不低于成本单价,且物价部门规定这种商品的获利不得高于.据市场调查发现,月销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系如表:
（1）请根据表格中所给数据,求出关于的函数关系式;
（2）设该网店每月获得的利润为元,当销售单价为多少元时,每月获得的利润最大,最大利润是多少?
（3）该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中拚出300元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于7700元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定该商品的销售单价?
解：（1）根据衾柊中的数据猜想与的函数昊系是一次函数,设,将450代入,得解得800.经验证，都满足上述函数关系式.与的函数关系式为.
（2）由题意,得
销贷单价不低于戊本曾价,且物价部门规定这种商品的获利不得高于.
抛物线开口向下,对称轴为直线.
此忖函数图象在对称轴的左侧,随的增大洏增大,时,取得敀大值,.
答:当销售靼价为90元时,烸月获得的利沺最大,最大利润是10500元.
（3）根据题意得,解得.
抛物线开口向下,当时,每月利润不低于7700元.
当时,每月利润不低于7700元.
要让消费者得到最大的实䓌,.
答:该商品的销售单价定为80元时,符合该网扂要求且让消稩者得到最大的实恵.
33. 二次函数的图象经过点和.
（1）求的值,并用含的式子表示;
（2）求证:此抛物线与轴有两个不同交点;
（3）当时,若二次函数满足随的增大而减小,求的取值范围;
（4）直线上有一点,将点向右平移4个单位长度,得到点,若抛物线与线段只有一个公共点,求的取值范围.
（1）解：把点和分别代人帄，得.
（2）证明:由（1）得,
,
对于任意的,都有此抛物线与轴有俩个不同交点.
（3）解:当时,依题意抛物线的对称轴需满足
当时,依题意抛物线的对称轴需满足,
解得的取值范围是或.（4）解:设表达式为,把点,-4）和代人得紩得直线的表达式为,把代入得,,由平移得.
（1）如图答,当时,若抛物线与线段只有一个公共点,则拋物线上的点在点的下方,,解得;
（2）如图答（一）,当时,若抛物线的顶点在线段上,则抛物线与线段只有一个公共点..即,解得（舍去）或.
综上,的取值范用是或
图形与几何
一、选择题
1. 下列四个标志中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ C ）
2. 有一种正方体如图（二）-1所示,下列图形是该正方体的展开图的是（ C )
3. 如图（二）,Rt中,,根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ D ）
A.
B.
C.
D.
4. 如图（二）是线段上两点,分别是线段的中点,下列结论:（1）若,则;（2）若,则;（3）;（4）.其中正确的结论是（ D ）
A.（1）（2）（3）
B.（3）（4）
C.（1）（2）（4）
D.（1）（2）（3）（4）
5. 如图（二）,点为上方一点,分别为的角平分线,若,则的度数为( C )
A.
B.
C.
D.
6. 中,,中线,则边的取值范围是（ A ）
A. B.
C. D.
7. 如图（二）,将沿着翻折,使点与点重合,若,则的度数为（ C ）
A.
B.
C.
D.
8. 如图（二）-6,在扇形中,已知,过的中点作,垂足分别为,则图中阴影部分的而积为（ B ）
A. B. C. D.
9. 已知的两条高线所在直线交于点,若,则的度数为（ D ）
A. B. C.或 D.或
D【解析】分两种情况,如图答（二）,当是锐角三角形时,连接并延长交于.
,
如图答（二）,当是钝角三角形时,连接并交于.,又,,,故选D.
10. 如图（二）为的直径,点是的中点,过点作于点,交于点,若,则利半径长是（ A ）
A.5 B. C. D.8
11. 如图（二）,矩形中,相交于点,过点作交于点,交于点,过点作交于点,交于点,连接.则下列结论:
（1）;（2）;（3）;（4）当时,四边形是菱形. 其中,正确结论的个数是（ D ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12. 如图（二）是等腰直角三角形,,以斜边上的点为圆心的圆分别与相切于点,与分別相交于点,且的延长线与的延长线交于点,分析下列三个结论:（1）;（2）;（3）.其中正确的结论个数有（ C ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
13. 如图（二）,四个全等的直角三角形拼成“赵炇弦图”,得到j方形与正方形.连接相交于点与相交于：P.若,则的值是（ B ）
A. B. C. D.
14.如图,在四边形中,把Rt沿着翻折得到Rt,若,则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
15.如图,在正方形中,是等边三角形,,的延长线分别交于点,连接与相交于点,给出下列结论:（1）;（2）;（3）;（4）.其中正确的有（）
A.（1）（2）（3）（4） B.（2）（3） C.（1）（2）（4） D.（1）（3）
答案：C
二、填空题
16.等腰三角形的周长是,其中一边长是,则腰长为 。
答案：10cm或7cm
17.如图,已知为三边垂直平分线的交点,,则的度数为 度.
答案：100
18.如图,以的边为直径的恰好过的中点,过点作于,连接,则下列结论中:（1）;（2）;（3）;（4）是的切线;（5）.正确的序号是 。
答案：①②④⑤
19.如图所示,均为等边三角形,边长分别为,三点在同一条直线上,则下列结论正确的 （填序号）。（1）;（2）;（3）为等边三角形;（4）;（5）平分.
答案：①②③⑤
20.如图△ABC中,,点在边上运动（不与点重合）,以为边作正方形,使点在正方形内,连接,则下列结论:
（1）;（2）当时,;
（3）点到直线的距离为;（4）面积的最大值是.其中正确的结论是
（填写所有正确结论的序号）
答案：②③④
21.如图，平行四边形ABCD的顶点在等边的边上,点在的延长线上,为的中点,连接.若,则的长为 。
答案：
22.如图,在等腰三角形中,,点为的中点,点为边上一个动点,连接,将沿直线折叠,点落在点处.当直线与直线垂直时,则的长为 。
答案：
三、解答题
23.（1）如图,点在线段上,点分别是线段的中点.（1）若AC=8cm，CB=6cm，求线段的长;
（2）若,直接写出线段的值;
（2）若在线段的延长线上,且满足分别为线段的中点,直接写出线段MN= cm.
答案：（1）①因为点分别是线段的中点.
∴，，∵AC=8cm，CB=6cm，
∴MC=4cm，CN=3cm，∴MN=7cm。
（2）。理由：如图由分别是线段的中点，
得，。由线段的和差，
得
24.如图,已知,分别探究下面两个图形中和的关系,请从你所得两个关系中选出任意一个,说明你探究的结论的正确性.
结论:（1） ；选择结论: ,说明理由.
答案：答案不唯一。
解：（1）
理由：如图，过点P作。
∵，∴，∴，。
∵，∴。
（2）.
理由：如图，过点P作。
∵，∴，∴，。
∵，∴。
25.定义:从一个角的顶点出发,把这个角分成的两个角的射线,叫作这个角的三分线,显然,一个角的三分线有两条.例如:如图,若,则是的一条三分线.
（1）已知:如图OC是的一条三分线,且,若,求的度数;
（2）已知:,如图,若是的两条三分线.
①求的度数;
②现以为中心,将顺时针旋转度得到,当恰好是的三分线时,求的值.
解：（1）∵OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC,
∴.
（2）①∵∠AOB=90°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，
∴，
∴。
②当OA是的三分线，且时，
如图，，∴，∴。
当OA是的三分线，且时，
如图，，∴，
∴。
综上，n等于40或50.
26.小明在学习了《展开与折叠》这一课后,明白了很多几何体都能展开成平面图形,于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒,可是一不小心多剪了一条棱,把纸盒剪成了两部分,即图中的（1）和（2）.根据你所学的知识,问答下列问题:
（1）小明总共剪开了 条棱;
（2）现在小明想将剪断的（2）重新粘贴到（1）上去,而且经过折叠以后,仍然可以还原成一个长方体纸盒,你认为他应该将剪断的纸条粘贴到（1）中的什么位置?请你帮助小朋在（1）上补全;
（3）小明说:他所剪的所有棱中,最长的一条棱是最短的一条棱的5倍.现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形,并且这个长方体纸盒所有棱长的和是,求这个长方体纸盒的体积.
答案：（1）小明共剪了8条棱；（2）如图，四种情况。
（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴设最短的棱长高为a cm，则长与宽相等为5a cm。
∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，
∴，解得a=20cm,
∴这个长方体纸盒的体积为20×100×100=20000（立方厘米）
27.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,的顶点均落在拐点上,点在网格线上,且.
（1）线段的长等于 ；
（2）以为直径的半圆与边相交于点,若分别为边,上的动点,当取得最小值时,请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出点,并简要说明点的位置是如何找到的 （不要求证明）。
答案：（1）
（2）如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B′；连接B′C，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B′C，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求。
28.已知关于的方程.若等腰三角形一边长为4,另两边恰好是此方程的根,求此三角形的另两边长.
答案：解：若腰长为4，将 x =4代入原方程，得16-4(m+1)+2(m-1)=0，解得 m=5,
∴原方程为，解得，，组成三角形的三边长度为2,4,4；
若底边长为4，则此方程有两个相等实数根， ∴，
解得 m=3，此时方程为，解得，由于2+2=4，不能构成三角形，舍去，所以三角形另外两边长度为4和2.
29.如图，△ABC中,,点分别在的延长线上,且与相交于点.求证:.
证明：过点 D 作 DG∥AE 交BC 于 G 点，如图, ∴∠l=∠2，∠4=∠3。∵AB = AC ,
∴∠B =∠2,∴∠B = ∠1，∴ DB = DC .而 BD = CE ,∴DG = CE ,
∴△DFG≌△EFC ,∴DF = EF 。
30.如图,正方形的边长为上各有一点,如果的周长为2,求的度数.
解：如图，延长 AB 至 M ，使 BM = DQ ，连接 CM .
∵四边形 ABCD 是正方形，∴ CD = BC , ∠D = ∠ABC=90°, ∴△CBM ≌△CDQ ,
∴QC = CM , ∠DCQ = ∠BCM .
∵△APQ的周长为2，即 AP + AQ + PQ =2①，正方形ABCD 的边长是1，即 AQ + QD = l , AP + PB =1,∴AP + AQ +QD + PB =2②.
①-②得， PQ - QD - PB =0, ∴PQ = PB + QD = PM .
∵CP = CP , PQ= PM , CQ = CM ,∴△CPQ≌△CPM ,
∴∠PCQ = ∠PCM ,∴∠PCQ = ∠DCQ + ∠PCB .
∵∠PCQ + ∠DCQ + ∠PCB =90°,∴∠PCQ =∠QCM =45°.
31.如图,是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货柤的示意图.已知汽车货相高度米,货厢底面距地面的高度米,坡面与地面的夹角,木箱的长为2米,高和宽都是米.通过计算判断:当,木箱底部顶点与坡面底部点重合时,木箱上部顶点会不会触碰到汽车货相顶部.
解：∵BH =0.6米， ，∴米，∴ AH =0.8米．
∵ AF = FC =2米，∴BF =1米，如图 ，作FJ⊥BG 于点 J ，作EK⊥FJ于点 K .
∵ FB = AB =1米， ∠EKF = ∠FJB =∠AHB =90°, ∠EFK = ∠FBJ = ∠ABH ,
∴△EFK∽△FBJ∽△ABH , △FBJ≌△ABH，∴，BJ=BH=0.6米，
即，解得EK=1.28.
∴BJ + EK =0.6+1.28=1.88＜2.∴木箱上部顶点 E 不会触碰到汽车货箱顶部。
32.在中,弦与直径相交于点.
（1）如图,若,求和的大小;
（2）如图,若,过点作的切线,与的延长线相交于点,求的大小.
解：(1) ∵∠APC 是△ PBC 的一个外角， ∠ABC =63°, ∠APC =100°,
∴∠C = ∠APC -∠ PBC =37°.
∵在⊙0中， ∠BAD = ∠C , ∠BAD =37°.
∵AB 为⊙0的直径，∴∠ADB =90°.
∵在⊙0中， ∠ADC = ∠ABC =63°.
又 ∠CDB = ∠ADB - ∠ADC ,∴∠CDB =27°.
(2）如图，连接0D,∵CD⊥AB, ∴∠CPB =90°, ∴∠PCB =90°- ∠PBC =27°。
在⊙0中，由同弧所对的周角等于圆心角的一半，可知∠B0D=2∠BCD,∴∠B0D=2×27°=54°。
∵ DE 是⊙0的切线，∴0D⊥DE．即∠0DE=90°.∠E=90°- ∠BOD =90°-54°=36°,
∴E =36°.
33.（盘锦）如图（二）,四边形是正方形,点是射线上的动点,连接,以为对角线作正方形按逆时针排列）,连接.
（1）当点在线段上时.
①求证:;
②求证:.
（2）设正方形的面积为,正方形的面积为,以为顶点的四边形的面积为,当时,请直接写出的值.
(1）证明：①四边形 ABCD 和四边形 CGFE 都是正方形， ∴∠BCD =∠ECG =90°,
BC = DC , EC = GC ,∴∠BCD -∠ECD = ∠ECG - ∠ECD，即 ∠BCE = ∠DCG ,
∴△BCE≌ △DCG ( SAS ),∴BE = DG .
②方法一：如图,在线段 CD 上截 CH = FD ，连接 HG ,设 FG 与 CD 相交于点 M .
∵四边形 ABCD 和四边形CGFE 都是正方形， ∴∠ADC = ∠CGF =90°, GC = GF ,
∴∠MFD + ∠FMD =90°, ∠MCG + ∠CMG =90°.
∵∠FMD = ∠CMG ,∴MFD = ∠MCG ,∴△FDG≌△CHG ( SAS ),∴DG = HG , ∠DGF = ∠HGC ,
∴∠DGF +∠FGH = ∠HGC + ∠FCH =90°，即 ∠DCH =90°.
在 Rt△DGH 中，∵,∴.
∵CD - FD = CD - HC = DH ,∴CD - FD =BE .
方法二：如图，连接 AC .
∵四边形 ABCD 和四边形 CGFE 都是正方形， ∠ADC = ∠FCG =90°,
AD = DC , FC = CG , ∠ACD = ∠FCG =45°, ∠ACD - ∠FCD = ∠FCG - ∠FCD ，
即 ∠ACF = ∠DCG .
在 Rt△ADC 和 Rt△FCG 中，∵，∴，∴，，∴.
∵∠ACF=∠DCG,∴△ACF∽△DCG, ∴,,
∴CD - FD =BE .
(2)解:①当点F在线段AD上时，如图.∵，∴可以假设，，
∴，，∴，在 Rt ΔCDF 中，
，∴，，
∴，∴，
∴。
②当点F在 AD 的延长线上时，如图，
同法可得，
∴，
综上所述，的值为或.
34.如图,正方形的边长为为的中点,为等边三角形,过点作的垂线,分别与边相交于点,点分别在线段上运动,且满足,连接.
（1）求证:.
（2）当点在线段上时,试判断的值是否变化?如果不变,求出这个值;如果变化,请说明理由.
（3）设,点关于的对称点为,若点落在的内部,试写出的范围,并说明理由.
解:(1)∵ΔMBE为等边三角形，∴MB=ME ∠BME=60°，∴∠BME=∠PMQ=60°,
∴∠BME-∠QME=∠PMQ-∠QME，即有∠BMQ=∠EMP.
∵四边形 ABCD是正方形，ME⊥FG，∴∠MBQ=∠MEP=90°，∴ΔMBQ≌ΔMEP.
(2)PF+GQ的值不变.
理由:如图，连接MG，过点F作FH⊥BC于H。
∵ME=MB,MG=MG,∴RtΔMBG≌RtΔMEG(HL)，∴BG=GE，∠BMG=∠EMG=30°，
∠BGM=∠EGM， ∴ ,∠BGM = ∠EGM =60° , ∴GE= ,∠FGH=60°.
∵FH⊥BC，∠C=∠D=90°,∴四边形 DCHF是矩形，∴FH=CD=6.
∵,∴s
∵ΔMBQ≌ ΔMEP，∴BQ=PE，∴PE=BQ=BG+GQ.
∵FG =EG +PE +FP=EG +BG +GQ +PF=+GQ +PF,
∴GQ+PF=.
(3)当点B′落在PQ上时，如图∵ΔMBQ ≌ ΔMEP,∴MQ =MP,∵∠QMP=60°，
∴△MPQ是等边三角形。
当点B′落在PQ上时，点B关于QM的对称点为B′，
∴ΔMBQ≌ΔMB′Q，∴∠MBQ=∠MB′Q=90°，∠QME=30° ，
∴点B与点E重合，点Q与点G重合，∴∠QMB=∠QMB′= α=30°。
当点B′落在MP上时，如图.
同理可得∠QMB=2QMB′=α=60°.
综上，当30°＜α＜60°时，点B′落在△MPQ的内部。
（三）统计与概率
一、选择题
1.（扬州）某班级组织活动,为了解同学们喜爱的体育运动项目,设计了如下尚不完整的调查问卷:
调查问卷 年 月 日
你平时最喜欢的一种体育运动项目是（ ）（单选）
准备在“（1）室外体育运动;（2）篮球;（3）足球;（4）游泳;（5）球类运动”中选取三个作为该调查问卷问题的备选项目,选取合理的是（ ）
A.（1）（2）（3）
B.（1）（3）（5）
C.（2）（3）（4）
D.（2）（4）（5）
答案：C
2.（安顺）2020年,为阻击新冠疫情,某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况,以便有针对性进行防疫.一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下:62,63，75,79,68,85,82,69,70.获得这组数据的方法是（ ）
A.直接观察 B.实验 C.调查 D.测量
答案：C
3.（云南）下列说法正确的是（ ）
A.为了解三名学生的视力情况,采用抽样调查
B.任意画一个三角形,其内角和是是必然事件
C.甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位:环）的平均数分别为方差分别为.若,则甲的成绩比乙的稳定
D.一个抽奖活动中,中奖概率为,表示抽奖20次就有1次中奖
答案：C
4.（河南）要调查下列问题,适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A.中央电视台《开学第一课》的收视率 B.某城市居民6月份人均网上购物的次数
C.即将发射的气象卫星的零部件质量 D.某品牌新能源汽车的最大续航里程
答案：C
5.（上海）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示.下列能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（ ）
A.条形图 B.扇形图 C.折线图 D.频数分布直方图
答案：B
6.（玉林）在对一组样本数据进行分析时,小华列出了方差的计算公式:,由公式提供的信息,则下列说法错误的是（ ）
A.样本的容量是4 B.样本的中位数是3
C.样本的众数是3 D.样本的平均数是
答案：D
7.（徐州）小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）:.关于这组数据下列说法正确的是（ ）
A.中位数是 B.众数是
C.平均数是 D.极差是
答案：B
8.（盘锦）在市运动会射击比赛选拔赛中,某校射击队甲、乙、丙、丁四名队员的10次射击成绩如图所示.他们的平均成绩均是环,若选一名射击成绩稳定的队员参加比赛,最合适的人选是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
答案：D
9.（鄂尔多斯）下列说法正确的是（ ）
（1）的值大于;（2）正六边形的内角和是,它的边长等于半径;（3）从一副扑克牌中随机抽取一张,它是黑桃的概率是;（4）甲、乙两人各进行了10次射击测试,他们的平均成绩相同,方差分别是,则乙的射击成绩比甲稳定.
A.（1）（2）（3）（4） B.（1）（2）（4）
C.（1）（4） D.（2）（3）
答案：B
10.（泰州）如图,电路图上有4个开关和1个小灯泡,同时闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发光.下列操作中,“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A.只闭合1个开关 B.只闭合2个开关 C.只闭合3个开关 D.闭合4个开关
答案：B
11.（沈阳）下列事件中,是必然事件的是（ ）
A.从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B.任意买一张电影票,座位号是3的倍数
C.掷一枚质地均匀的硬币,正面向上
D.汽车走过一个红绿灯路口时,前方正好是绿灯
答案：A
12.（常德）下列说法正确的是（ ）
A.明天的降水概率为,则明天的时间下雨,的时间不下雨
B.抛掷一枚质地均匀的硬币两次,必有一次正面朝上
C.了解一批花炮的燃放质量,应采用抽样调查方式
D.一组数据的众数一定只有一个
答案：C
13.（金华）一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球,除颜色外其他都相同,搅匀后任意摸出一个球,是白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
14.（川西）如图是一张矩形纸板,顺次连接各边中点得到菱形,再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形.将一个飞镖随机投郑到大矩形纸板上,则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
15.（盘锦）为了解某地区九年级男生的身高情况,随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据,统计结果如下.
根据以上统计结果,随机抽取该地区一名九年级男生,估计他的身高不低于的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
16.（徐州）在一个不透朋的袋子里装有红球、黄球共20个,这些球除颜色外都相同.小明通过多次实验发现,摸出红球的频率稳定在左右,则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A.5 B.10 C.12 D.15
答案：A
二、填空题
17.（上海）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数,随机调查了其中400名学生,结果有150名学生会游泳,那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 。
答案：3150名
18.（永州）永州市教育部门为了了解全市巾小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试.从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制）,整理样本数据,得到下表:
成绩
人数
25
15
5
4
1
根据抽样调查结果,估计该校七年级600名学生中,80分（含80分）以上的学生有 人.
答案：480
19.（上海）小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况,他随机调查了该小区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量,统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克,并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示）,根据以上信息,估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约 千克.
答案：90
20.（泰州）今年6月6日是第25个全国爱眼月,某校从八年级随机抽取50名学生进行了视力调查,并根据视力值绘制成统计图[如图],这50名学生视力的中位数所在范用是 。
答案：4.65～4.95
21.（山西）某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会,组织了6次预选赛,其中甲、乙两名运动员较为突出.他们在6次预选赛中的成绩（单位:秒）如下表所示:
由于甲、乙两名运动员的成绩的平均数相同,学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔,那么被选中的运动员是 。
答案：甲
22.（青岛）已知甲、乙两组数据的折线图如图,设甲、乙两组数据的方差分别为,则
（填“>"“=”或“"”）.
答案：＞
23.（呼和浩特）公司以3元的成本价购进10000kg柑橘,并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润,在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时,需要先进行“柑橘损坏率”统计,再大约确定每千克相橘的售价,下面是销售部通过随机取样,得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分,由此可估计柑橘完好的概率为 .（精确到0.1）;从而可知大约每千克柑橘的实际售价为 元时（精确到0.1）,可获得12000元利润.
答案：0.9 4.7
24.（镇江）如图,有两个转盘,在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1,2,分别转动转盘,当转盘停止转动时,若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内"的概率是,则转盘中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 。
答案：80
三、解答题
25.（重庆B）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日.某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛,并从七、八年级学生中各抽取20名学生,统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数,满分10分,6分及以上为合格）.相关数据统计、整埋如下:
八年级抽取的学生的竞赛成绩:
根据以上信息,解答下列问题:
（1）填空：a= ，b= ，c= ；
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数;
（3）根据以上数据分析,从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异.
解:(1)7.5 8 8 由图表可得，,c=8.
(2)该校七、八年级共800 名学生中竞赛成绩达到9 分及以上的人数=(人).
答:该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9 分及以上的人数为200 人.
(3)∵八年级的合格率高于七年级的合格率，
∴八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异。
26.（湘潭）“停课不停学”.突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景.隔离的是身体,温暖的是人心.“幸得有你,山河无恙”.在钟南山、白衣天使等人众志成城下,战胜了疫情.在春暖花开,万物复苏之际,某校为了了解九年级学生居家网络学习情况,以便进行有针对性的教学安排,特对他们的网络学习时长（单位:小时）进行统计.现随机抽取20名学生的数据进行分析:
收集数据:,.
整理数据:
分析数据:
应用数据:
（1）填空:a= ，b= ；
（2）补全图中的频数直方图;
（3）若九年级共有1000人参与了网络学习,请估计学习时长在小时的人数.
解:(1)6 6.5
(2)由(1)得a=6 可作图，如图.
(3)由图可知，学习时长在小时的人数的概率=.
∴（人），∴学习时长在5＜x≤7 小时的人数是 700 人.
27.（大连）某校根据《教育部基础教育课程教材发展中心中小学生阅读2指导目录（2020版）》公布的初中段阅读书目,开展了读书活动.六月末,学校对八年级学生在此次活动中的读书量进行了抽样调查,图中是根据调查结果绘制的统计图表的一部分。
根据以上信息,解答下列问题:
（1）被调查学生中,读书量为1本的学生数为 人,读书量达到4本及以上的学生数占被调查学生总人数的百分比为 ;
（2）被调查学生的总人数为 人,其中读书量为2本的学生数为 人;
（3）若该校八年级共有550名学生,根据调查结果,估计该校八年级学生读书量为3本的学生人数.
解：(1)4 20
(2)50 15【解析】10÷20%=50,50×0.3=15，∴被调查学生的总人数为50人，其中读书量为2本的学生数为15人。
(3）读书量达到3本的学生数为：50-4-15-10=21（人）,∴该校八年级学生读书量为3本的学生数为（人），答：八年级学生读书量为3本的约有231人．
28.（桂林）阅读下列材料,完成解答:
材料1:国家统计局2月28日发布了2019年国民经济和社会发展统计公报,该公报中发布了全国“2015-2019年快递业务量及其增长速度”统计图[如图].
材料2:6月28日,国家邮政局发布的数据显示:受新冠疫情影响,快递业务量快速增长,5月份快递业务量同比增长41%（如图）.某快递业务部门负责人据此估计,2020年全国快递业务量将比2019年增长.
（1）2018年,全国快递业务量是 亿件,比2017年增长了 ;
（2）2015-2019年,全国快递业务量增长速度的中位数是 ;
（3）统计公报发布后,有人认为,图中表示2016-2019年增长速度的折线逐年下降,说明2016-2019年全国快递业务量增长速度逐年放缓,所以快递业务量也逐年减少.你赞同这种说法吗?为什么?
（4）若2020年全国快递业务量比2019年增长50%,请列式计算2020年的快递业务量.
28．解：(1)507.1 26.6
(2)28
(3）不赞同．理由：由题中的信息可得，2016-2019年全国快递业务量增长速度逐年放缓，但是快递业务量却逐年增加．
(4)635.2×(1+50%)=952.8（亿件）.
答：2020年的快递业务量为952.8亿件．
29.（温州）两家酒店规模相当,去年下半年的月盈利折线统计图如图所示;
（1）要评价这两家酒店7~12月的月盈利的平均水平,你选择什么统计量?求出这个统计量;
（2）已知两家酒店月的月盈利的方差分别为（平方万元）,（平方万元）.根据所给的方差和你在（1）中所求的统计量,结合折线统计图,你认为去年下半年哪家酒店经营状况较好?请简述理由.
解：(1）选择两家酒店月盈利的平均值．
（万元）,
（万元）.
(2）平均数，方差反映酒店的经营业绩， A 酒店的经营状况较好。
理由： A 酒店盈利的平均数为2.5, B 酒店盈利的平均数为2.3.A酒店盈利的方差为1.073, B 酒店盈利的方差为0.54，无论是盈利的平均数还是盈利的方差，都是 A 酒店比较大，故 A 酒店的经营状况较好．
30.（长春）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别,分别为:一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染.级別越高,污染的情况越严重,对人体的健康危害越大.空气质量达到一级或二级的天气为达标天气.下面是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计表.
2014-2019年长春市空气质量级别天数统计表
根据以上统计图表回答下列问题:
（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是 年；
（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为 天,平均数为 天;
（3）长春市从2015年到2019年,和前一年相比,空气质量为“优”的天数增加最多的是 年,这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为 （精确到1%），空气质量为“优”的增长率（今年空气质量为优的天数-去年空气质量为优的天数）÷去年空气质量为优的天数]
（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好?请说明理由.
答案：(1)2018 (2)7 8 (3)2018 89%
(4)2018年空气质量好，2018年达标天气天数最多
31.（徐州）某市为了解市民每天的阅读时间,随机抽取部分市民进行调查.根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图表:
根据以上信息解答下列问题:
（1）该调查的样本容量为 , ；
（2）在扇形统计图中,“”对应扇形的圆心角等于 。
（3）将每天阅读时间不低于的市民称为“阅读爱好者”.若该市约有600万人,请估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有多少万人.
解；(1)1000 100 (2)144°
(3）估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有（万人）。
答：估计该市能称为“阅读爱好者”的市民约为90万人。
32.（泰州）2020年6月1日起,公安部在全国开展“一盔一带”安全守护行动.某校小交警社团在交警带领下,从5月29日起连续6天,在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查,并将数据绘制成图表如下:
（1）根据以上信息,小明认为6月3日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率约为.你是否同意他的观点?请说明理由.
（2）相比较而言,你认为需要对哪类人员加大宣传引导力度?为什么?
（3）求统计表中的值.
解：(1）不同意，由题目可知，本次调査是从5月29日起连续6天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员戴头盔情况进行了调查，数据代表比较单一，没有普遍性，故不能代表6月3日该地区全天摩托车骑乘人员头盔戴率；
(2）由折线统计图可知。骑电动自行车骑乘人员戴头盔率比摩托车骑乘人员头盔戴率要低很多，故应该对骑电动自行车骑乘人员加大宜传引导力度；
(3）由折线统计图可知，2020年6月2日骑电动自行车骑乘人员戴头盔率为45%，则骑电动自行车骑乘人员不戴头盔率为：1-45%=55%,∴，∴ m=88.
33.（大庆）为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数,从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数,且最高次数不超过150次）,整理后绘制成如图的频数直方图,图中的满足关系式.后由于保存不当,部分原始数据模糊不清,如图,但已知缺失数据都大于120.请结合所给条件,回答下列问题:
（1）求问题中的总体和样本容量;
（2）求的值（请写出必要的计算过程）;
（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀,那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人?（注:该年级共1000名学生）
33.解：(1）总体是某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，样本容量是40.
(2）设2a=3b= m ，则 ,．根据题意可得一分钟跳绳次数在100次以上的人数有20人，即a+b=20，，解得 m =24, ∴a =12, b =8.
(3)×1000=200（人），答：该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．
34.（徐州）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作.根据社区的安排,志愿者被随机分到组（体温检测）,组（便民代购组（环境消杀）.
（1）小红的爸爸被分到组的概率是 ；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍,他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少?（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
解:(1)
(2）用列表法表示所有可能出现的结果如下表：
共有9种可能出现的结果。其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种，
∴
35.（赤峰）如图,一枚质地均匀的正四面体骰子,它有四个面,并分别标有四个数字;如图等边三角形的三个顶点处各有一个圆圈.和甲甲想玩跳圈游戏,游戏的规则为:游戏者从圈起跳,每投掷一次骰子,骰子着地的一面点数是几,就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长.如:若第一次郑得点数为2,就逆时针连续跳2个边长,落到圈;若第二次郑得点数为4,就从圈继续逆时针连续跳4个边长,落到圈.
（1）YY随机掷一次骰子,她跳跃后落回到圈的概率为 ；
（2）和甲甲一起玩跳圈游戏:,都以最终落回到圈为胜者.这个游戏规则公平时?请说明理由.
35．解：(1)
(2）这个游戏规则不公平、理由：画树状图如图，共有16种等可能的结果，其中甲随机投掷两次骰子，两次数字和为3或6时，最终可落回圈 A ．这样最终落回到圈 A 的结果为5，所以甲随机投掷两次般子，最终落回到圈 A 的概率＝，因为，所以这个游戏规则不公平．
36.（泰州）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同,某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球,记下颜色后放回、搅匀,不断重复这个过程,获得数据如下:
（1）该学习小组发现,摸到白球的频率在一个常数附近摆动,这个常数是 （精确到）,由此估出红球有 个;
（2）现从该袋中摸出2个球,请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果,并求恰好摸到1个白球、1个红球的概率.
解：(1)0.33 2
(2）画树状图如图，共有6种等可能的结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况，∴摸到一个白球一个红球的概率为。
（四）综合与实践
一、选择题
1.（长春）如图（四）,数轴上被墨水遮盖的数可能为 ( )
A. B. C. D.
答案：C
2.（绵阳）下列四个图形中,不能作为正方体的展开图的是 ( )
答案：D
3.（呼和浩特）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是; 则在一定时间段内,由该元件组成的如图（四）-2的电路之间,电流能够正常通过 的概率( )
A. B. C. D.
答案：A
4.（柳州）如图（四）是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的折线统计图,根据折线图判断下列说法正确的是( )
A.甲的成绩更稳定
B.乙的成绩更稳定
C.甲、乙的成绩一样稳定
D.无法判断谁的成绩更稳定
答案：B
5.（孝感）某公司有10名员工,每人年收人数据如下表:
则他们年收人数据的众数与中位数分别为( )
A.4，6 B.6，6 C.4，5 D.6，5
答案：B
6.（大连）如图（四）,小明在一条东西走向公路的处,测得图书馆在他的北偏东方向,且与他相距,则图书馆到公路的距离为( )
A. B. C. D.
答案：A
7.（上海）我们经常将调查，收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示.下列统计图中,能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是( )
A.条形图 B.扇形图 C.折线图 D.频数分布直方图
答案：B
8.（长春）比萨斜塔是意大利的著名建筑,其示意图如图（四）5所示,设塔顶中心点为点,塔身中心线与垂直中心线的夹角为,过点向垂直中心线引垂线,垂足为点.通过测量可得的长度,利用测量所得的数据计算的三角函数值,进而可求的大小.下列关系式正确的是( )
A. B. C. D.
答案:A
9.（西宁）全民健身的今天,散步是大众喜欢的运动.甲、乙两人在绿道上同时从同一起点以各自的速度匀速同向而行,步行一段时间后,甲因有事按原速度原路返回,此时乙仍按原速度继续前行.甲乙两人之间的距离（米）与他们出发后的时间（分）的函数关系如图（四）所示,已知甲步行速度比乙快.由图象可知,甲、乙的速度分别是( )
A.60米/分,40米/分 B.80米/分,60米/分
C.80米/分,40米/分 D.120米/分,80米/分
答案：A
10.（巴中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个“折竹抵地”问题:“今有竹高丈,末折抵地,问折者高几何?"意思是：一根竹子,原来高一丈（一丈为十尺，虫仿有病,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离原竹子根部三八远,问:原处还有多高的竹子?[如图（四）-7]( )
A.4尺 B.尺
C.5尺 D.尺
答案：B
11.（广西）如图（四）-8,要测量一条河两岸相对的两点之间的距离,我们可以在岸边取点和,便点共线,且直线与垂直,测得,则的长约为( )
（参考数据sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5，sin45°≈0.7，cos45°≈0.7， tan45°=1）
A. B. C. D.
答案：B
12. （青岛）如图（四）,将矩形折叠,使点和点重合,折痕为与交于点.若,则的长为( )
A. B.
C. D.
答案：B
13.（南通）如图（四）为矩形的边上一点,点从点出发沿折线运动到点停止,点从点出发沿运动到点停止,它们的运动速度都是.现两点同吋出发,设运动时间为的面积为,若与的对应关系如图（四）-11所示,则矩形的面积是( )
A. B. C. D.
答案：C
14.（锦州）如图（四）,在四边形中,, .动点同时从点出发,点以的速度沿向终点运动,点以的速度沿折线向终点运动.设点的运动时间为的面积为,则下列图象能大致反映与之间函数关系的是( )
二、填空题
15.（西宁）2020年5月22日召开了第十三届全国人民代表大会第三次会议,在《政府工作报告》中指出:我国经济运行总体平稳，2019年国内生产总值达到99100000000000元.将99100000000000用科学记数法表示为 .
答案：
16.（日照）《孙子算经》记载:今有3人共车,二车空;二人共车,九人步,问人与车各几何?译文:今有若干人乘车,若每三人共乘一辆车,最终剩余2辆车;若每2人共乘一辆车,最终剩余9人无车可乘.问共有多少人?多少辆车?若设有人,辆车,则可列方程组为 .
答案：
17.（广西）观察下列一行数:,则第19个数与第20个数的和为 .
答案：-2047
18.（济南）如图（四）-13,在一块长、宽的矩形空地上,修建两条同样宽的相互垂直的道路,剩余部分栽种花草,要使绿化面积为,则修建的路宽应为米 .
答案：1
19.（巴中）如图（四）-14是中国象棋残局图的一部分,请用线段将图中棋子所在的格点按指定方向顺次连接,组成一个多边形.连接顺序为:将象炮兵马车将,则组成的多边形的内角和为度 .
答案：720
20.（西宁）如图（四）-15,将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放,三角板的一直角边与量角器的零刻度线所在直线重合,斜边与半圆相切,对应的圆心角为长为3,则图中扇形的面积是 .
答案：12π
21.（荆州）“健康荆州,你我同行”,市民小张积极响应“全民健身动起来”号召,坚持在某环形步道上跑步.已知此步道外形近似于如图（四）所示的Rt,其中与间另有步道相连,地在正中位置,地与地相距.若,,小张某天沿路线跑一圈,则他跑了 .
答案：24
22.（巴中）现有一“祥云”零件剖面图,如图（四）所示,它由一个半圆和左右两支拋物线的一部分组成,且关于轴对称.其中半圆交轴于点,直径;两支抛物线的顶点分别为点、点,与轴分别交于点;直线的解析式为:.则零件中这段曲线的解析式为 .
答案：
23.（重庆）为刺激顾客到实体店消费,某商场决定在.星期六开展促销活动.活动方案如下:在商场收银台旁放置一个不透明的箱子,箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同）,顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会,摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元.商场分三个时段统计摸球次数和返现金额,汇总统计结果为:第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍,摸到黄球次数为第一时段的2倍,摸到绿球次数为第一时段的4倍;第三时段摸到红球次数与第一时段相同,摸到黄球次数为第一时段的4倍,摸到绿球次数为第一时段的2倍,三个时段返现总金额为2510元,第三时段返现金额比第一时段多420元,则第二时段返现金额为 元.
答案：1230
三、解答题
24.（内江）我们知道,任意一个正整数都可以进行这样的分解:是正整数,且）,在的所有这种分解中,如果两因数之差的绝对值最小,我们就称是的最佳分解.并规定:.
例如:18可以分解成或,因为18-1>9-2>6-3,所以是18的最佳分解,所以.
（1）填空:
（2）一个两位正整数t（t=10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数）,交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54,求出所有的两位正整数;并求的最大值;
（3）填空:
①;②
③;④
答案：（1）
（2）设交换的个位上数与十位上的数得到的新数为,则,根据题意,得
为正整数,满足条件的为:
（3）（1）（2）（3）（4）.
25.（黔西南州）“分块计数法”:对有规律的图形进行计数时,有些题可以采用“分块计数”的方法,如图（四）-18.
例如:图1有6个点,图2有12个点,图3有18个点,,按此规律,求图10、图有多少个点?
我们将每个图形分成完全相同的6块,每块黑点的个数相同,这样图1中黑点个数是个;图2中黑点个数是个;图3中黑点个数是个;;所以容易求出图10、图中黑点的个数分别是请你参考以上“分块计数法”,先将下面的点阵进行分块,再完成以下问题:
（1）第5个点阵中有 圆圈;第n个点阵中有 圆圈；
（2）小圆圈的个数会等于271吗?如果会,请求出是第几个点阵.
答案:（1）61个个.如图答（四）,第1个点阵中存1个圆圈；第2个点阵中有个圆圈：第3个点阵的有个员雨：第,4个点阵中有个圆圈;第5个点阵中侑个圆图;;第个点阵化有个圆圈.
（2）,（舍）,小圆圈的个数会等于271,它是第10个点阵.
26.（黔南州）在2020年新冠肺炎疫情期间,某中学响应政府有“停课不停学”的号召,充分利用网络资源进行网上学习,儿（1）班的全体同学在自主完成学习任务的同时,彼此关怀,全班每两个同学都通过一次电话,互相勉励,共同提高,如果该班共有48名同学,若每两名同学之间仅通过一次电话,那么全班同学共通过多少次电话呢?我们可以用下面的方式来解决问题.
用点分别表示第1名同学、第2名同学、第3名同学,,第48名同学,把该班级人数与通电话次数之间的关系用如图模型表示:
（1）填写上图中第四个图中的值为 ,第五个图中的值为 .
（2）通过探索发现,通电话次数与该班级人数之间的关系式为 ,当48时,对应的 .
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次,问该班共有多少名女生.
答案：（1）1015
（2）,.当时，.
（3）依题意,得,化简,得,解得（不合题意,舍去）.答：该班共有20名女生.
27.（贵港）在今年新冠肺炎防疫工作中,某公司购买了两种不同型号的口罩,已知型口罩的单价比型口罩的单价多元,且用8000元购买型口罩的数量与用5000元购买型口罩的数量相同.
（1）两种型号口罩的单价各是多少元?
（2）根据疫情发展情况,该公司还需要增加购买一些口罟,增加购买型口罩数量是型口罟数量的2倍,若总费用不超过3800元,则增加购买型口罩的数量最多是多少个?
答案:（1）设型口罩的单价为元,则型口罩的单价为元,根据题意,得解得.经检捡,是原方程的根,且符合题意.所以2.5.答:型口罩的单价为4元,则型口罩的单价为元；
（2）设增加购买型口罣的数量是个,根据题意,得：2.5×2m+4m≤3800解得.m≤422因为为正整数,所以正整数的最大值为422.答:增加购买型口唱的数量最多是422个.
28.（兰州）为培养学生正确的劳动价值观和良好劳动品质,加强新时代中学生劳动教育,某校八（1）班对本班35名学生进行了劳动能力量化评估和近一周家务劳动总时间调查,并对相关数据进行了收集、整理和分析,研究过程中的部分数据如下:
信息一:劳动能力量化评估的成绩采用十分制,得分均为整数;
信息二:
信息三:
下面是近一周家务劳动时间分布表:
信息四:
下面是劳动能力量化成绩与近一周家务劳动总时间统计表:
根据以上信息,解决下列问题:
（1）直接从信息二的图（四）中“读”出八（1）班劳动能力量化成绩的平均分为 分;
（2）请你判断下列说法合理吗?（请在横线上填写“合理”或“不合理”）
①规定劳动能力量化成绩8分及以上为合格,八（1）班超过半数的学生达到了合格要求:
②班主任对近一周家务劳动总时间在4小时以上,且劳动能力量化成绩取得10分的学生进行表彰奖励,恰有3人获奖:
③小颖推断劳动能力量化成绩为8分的同学近一周家务劳动总时间主要分布在2＜t≤3的时间段:
（3） 结合以上信息,你认为普遍情况下参加家务劳动的时间与劳动能力之间具有怎样的关系?
答案:（1）平均成绩（分）.
（2）（1）合理（2）不合理（3）合理
①规定劳动能力䍏化成结8分及以上为合柊,八（1）班超过半数的学生达到了合柺要求,合理.
②班主任对近一周家务劳动总时间在4小时以上,且荣动能力量化成雸取得10分的学生进行表彰奖励,恰有3人获桨,不合理.
③小颖推断劳动能成旦化成绩为8分的同学近一周家务劳动总时间主要分布在2＜t≤3的时间段,合理.
（3）参加家务劳动的时间越长,劳动能力的成绩得分越大.
29.（包头）如图（四）是的直径,半径,垂足为,直线为的切线,是切点,是上一点,的延长线交直线于点是上一点,的延长线交于点,连接,已知的半径为.
（1）求的长;
（2）求的值及的长.
答案：(1)2
(2)
30.如图（四）-22①,在平面直角坐标系中,点的坐标是,在轴上任取一点,连接,分别以点和点为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于,两点,作直线,过点作轴的垂线交直线于点.根据以上操作,完成下列问题.
探究:
（1）线段与的数量关系为 ,其理由为 :
（2）在轴上多次改变点的位置,按上述作图方法得到相应点的坐标,并完成下列表格:
猜想:
（3）请根据上述表格中点的坐标,把这些点用平滑的曲线在图（四）-22①中连接起来;观察画出的曲线,猜想曲线的形状是
验证:
（4）设点的坐标是,根据图（四）-22中线段与的关系,求出关于的函数解析式.
应用:
(5)如图（四）,点,点为曲线上任意一点,且,求点的纵坐标的取值范围.
解：（1）.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
【解析】分别以点和点为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于两点,是的垂直平分线,点是上一点,（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）;
（2）【解析】当点）时,设点
,
点,当点时,设,
,
点;
（3）依照题意,得出图象,猜想曲线的形状为拋物线,故答案为:拔物线;
（4）,点的坐标是,
（5）点,,,是等边三角形,,
㛊图答（四）,以为圆心,为半径作,交抛物线与点,连接,设点,
点在抛物线上,,
,
（舍去）,
如图箭（四）,可知当点在点下方怕,点的纵坐标的取值范围为.
31.（盐城）木门常常需要雕刻美丽的图案.
（1）图（四）为某矩形木门示意图,其中长为200厘米,长为100厘野,阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具,刻刀的位置在模具的中心点处,在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边,所刻图案如虚线所示,求图案的周长；
（2）如图（四）,对于（1）中的木门,当模具换成边长为厘米的等边三角形时,刻刀的位置仍在模具的中心点处,雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边,使模具进行滑动雕刻.但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时,需将模具绕着重合点进行旋转雕刻,直到模具的另一边与木门的另一边重合.再滑动模具进行雕刻,如此雕刻一周,请在图（四）中画出雕刻所得图案的草图,并求其周长.
答案:（1）如图答（四）,过点作于.
点是边长为30厘米的正方形雕刻模具的中心,.
同理,与之间的距离为与之间的距离为与之间的距离为周长为.
（2）连接,过点作于点,如图答（四）.
点是边长为的等辽三角形模具的中心,.
.
当向上平移至点与点重合时,由题意可得,绕点顺时针旋转,使得与边重合,绕点㭊时针旋转到.
同理可得,其余三个角均为弧长为的圆弧,.
答:髉刻所得图案的周长为
32.（长春）【教材呈现】把一张矩形纸片如图（四）那样折一下,就可以裁出正方形纸片.为什么?
【问题解决】如图（四）-26,已知矩形纸片,将矩形纸片沿过点的直线折叠,使点A落在边DC上,点A的对应点为,折痕为DE,点E在AB上.求证:四边形是正方形.
【规律探索】由【问题解决】可知,图（四）中的为等腰三角形.现将图（四）-26中的点沿向右平移至点处（点在点的左侧）,如图（四）,折痕为,点在上,点在上,那么还是等腰三角形吗?请说明理由.
【结论应用】在图（四）-27中,当时,将矩形纸片继续折叠如图（四）,使点与点重合,折痕为,点在上.要使四边形为菱形,则 ,
答案：（1）证明:如图答（四）四边形是矩形,.
由翻折可知,四边形是矩形.四边形是正方形.
（2）结论:是等腰三角形.
理由:如图答（四）四边形是矩形,.
由翻折可知,是等媎三角形.
（3）解：如图答（四）四边形是菱形,者是等边三角形.
设.
由翻折可知,,
.
33.（吉林）能够完全重合的平行四边形纸片和按图（四）-29方式摆放,
其中.点分别在边上,与相交于点H.
【探究】求证:四边形是菱形;
【操作一】固定图（四）中的平行四边形纸片,将平行四边形纸片绕着点顺时针旋转一定的角度,使点与点重合,如图（四）-30.则这两张平行四边形纸片末重叠部分图形的周长和为 ,
答案：56
【操作二】将图（四）-30中的平行四边形纸片绕着点继续顺时针旋转一定的角度,使点与点重合,连接,如图（四）,若,则四边形的面积为 ,
答案：72
答案：【探究】∵四边形和都是平行四边形,四边形是平行四边形.四边形是菱形.
34.（昆明）如图（四）-32,在矩形中,,点分别为的中点.
（1）求证:四边形是矩形;
（2）如图（四）-33,点是边上一点,交于点,点关于的对称点为点,当点落在线段上时,则有.请说明理由;
（3）如图（四）-34,若点是射线上一个动点,点关于的对称点为点,连接,当是等腰三角形时,求的长.
答案：（1）证明：四边形是矩形，,四边形是平行四边形,目边形是矩形.
（2）证明：如冏答（四）中,连接四边形是矩形,,.由翻折可知,.
（3）解:如图答（四）,当时,连接,过点作于,交于,四边形是矩形
.
如图答（四）,当时,连接,设交于4,,.
如图答（四）,当时,此时点与手合,.
如图答（四）,当时,连接,过点仦:于,交于,.It,可得,
.综上所述,满足条件的的值为或20或8或10.
35.（无锡）如图（四）是一个三棱柱包装盒,它的底面是边长为的正三角形,三个侧面都是矩形.现将宽为的彩色矩形纸带裁剪成一个平行四边形（如图（四）-36）,然后用这条平行四边形纸带按如图（四）-37的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分）,纸带在侧面缠绕三圈,正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.
（1）请在图（四）中,计算裁剪的角度;
（2）计算按图（四）方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度.
答案：（1）的长等于三棱柱利底边周长,.纸带的宽为
（2）在将三棱柱沿过点的侧棱屰开,得如图答（四）的側面展开图.将图答（四）的向左平移向有平移,拼成如图答（四）中的平行四边形,此平行四边形即为所求的平行四边形.由题意,得原图中的图答（四）中的,故所需的矩形纸带的长度为
36.（山西）综合与实践,问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图（1）,在中,,垂足为为的中点,连接,试猜想与的数量关系,并加以证明:
独立思考:（1）请解答老师提出的问题;
实践探究:（2）希望小组受此问题的启发,将沿着为的中点）所在直线折叠,如图（2）,点的对应点为,连接并延长交于点,请判断与的数量关系,并加以证明;
问题解决:（3）智慧小组突发奇想,将沿过点的直线折叠,如图（3）,点的对应点为,使于点,折痕交于点,连接,交于点.该小组提出一个问题:若此的面积为20,边长,求图中阴影部分（四边形）的面积.请你思考问题,直接写出结果.
答案:（1）,
如图答（四）,分别延长相交于点,
四边形是平行四辽形,,
.
为的巾点,,
,即为的巾点,,
.
（2）如图答（四）所示：
将四边形ABCD沿着所在直线折㸚,点的对应点为
为的中点,,
,
,
四达形为平行四边形,,
.
（3）如图答（四）,辻点作于点,
四边形ABCD的面积为20,边长于点,
,由于,
,将四边形ABCD沿辻点的直线翻折,点的对应点为,
于点,
是等腰直角三角形,
四边形是平行四边形,
,
,
,
,
,
解得,
37.（兰州）如图（四）,二次函数的图象过点,交轴于点.直线与抛物线相交于另一点,连接,点是线段上的一动点,过点作交于点.
（1）求二次函数的表达式;
（2）判断的形状,并说明理由;
（3）在点的运动过程中,直线上存在一点,使得四边形为矩形,请判断此时与的数量关系,并求出点的坐标;
（4）点是抛物线的顶点,在（3）的条件下,点是平面内使得的点,在抛物线的对称轴上,是否存在点,使得是以为直角的等腰直角三角形,若存在,直接写出符合条件的所有点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案：（1）二次函数的图象过点,点,
解得
二次函数的解析式为.
（2）是直角三角形.理由:在直线的解析式为.
圸解得或.
,,是直角三角形.
（3）结论.理由：如图答（『）,连接,交于.
四边形是矩形,.
,.（4）存在.或,如图答（四）-29,设的中点为,连接.
点在以为直径的上运动.
是等腰直角三角形,
抛物线的顶点直线的絑析式为
,解得或,-4）或.
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