奥数六年级下册秋季课程 第11讲《相遇问题》教案

六年级                                               备课教员：××× 

第11讲    相遇问题

一、教学目标：

1. 掌握相遇问题求路程的解题方法。

2. 熟练运用相遇问题的公式和追及问题的公式解决未知量。

3. 合理进行时间和路程的思维转换，解决相遇问题。

二、教学重点：

1. 分析相遇问题的数量关系，解决相遇问题。

2. 通过操作、观察、比较、分析，提高学生灵活解答的能力。

三、教学难点：

合理进行时间和路程的思维转换，解决相遇问题。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

师：哎呀，同学们，今天老师差点迟到了！

生：老师发生什么事情了！

师：今天老师来上课的时候，走到学校门口发现忘记带课本，马上打电话叫朋

友送过来，老师也马上返回，终于跑回了原来走过的一半路程碰到了朋友，

拿到了课本后急忙赶了过来，刚好和平时一样到达了教室。

生：那老师一定跑得很累吧。

师：是的，那同学们知道老师今天跑的平均速度比平时快多少倍吗？
生：不知道。

师：嗯，那我们先来想想老师跑了多少路。

生：老师跑了平时来上课的路程的2倍。

师：老师跑了多久呢？

生：老师跑了原来来上课时间。

师：知道了路程和时间，老师跑的速度是不是可以求出来了。

生：是的，速度是原来的2倍，比原来快了1倍。

师：回答得非常棒。今天老师就来讲讲更为复杂的相遇问题，如何来转换其中

    的条件是我们解题的关键哦。

板书：

    相遇问题

二、探索发现授课（40分）

（一）例题一：（10分）

两地相距655千米，甲列车开出3小时后，乙列车与甲列车相向开出，经过4小时与甲列车相遇。已知甲列车每小时比乙列车多行15千米。求甲列车的速度。

（PPT出示)

师：同学们，我们一起来读读这个题目。

生：（师生共读）

师：读完这个题目，有谁来说说里面哪些量是不会发生变化的呢？

生：总路程、甲的速度、乙的速度。

师：同学们回答的都不错。只要我们细心地抓住这些不变的量，我们就可以找

    到一些等量关系了。

师：有哪位聪明的小朋友来告诉老师，我们要从题目中哪个条件入手呢？

生：甲列车每小时比乙列车多行15千米。

师：对，我们可以把乙车的速度记作a千米/小时，那么甲车速度是多少？

生：（a+15）千米/小时。

师：好的，通过设未知数，现在我们都表示了甲车、乙车的速度。现在我们再

来看看其他条件。“甲列车开出3小时，乙列车与甲列车相向开出，经过4

小时与甲列车相遇。”那么甲列车行驶了多少小时，乙列车行驶了多少小

时呢？

生：甲行驶了7小时，乙行驶了4小时。

师：是的，最后它们相遇了，所以甲和乙一起行驶的路程是不是两地的距离？

生：是的。

师：所以我们可以得出相应的等量关系。

板书：

解：设乙车速度为a千米/小时，

7×（a+15）+4a=655

             a=50

甲车速度：50+15=65（千米/小时）

答：甲列车速度为65千米每小时。

（PPT出示)

(也可以用假设法解题，假设甲列车按照乙列车的速度行驶，行驶的路程也相应变化，求出乙列车的速度，进而解答。）

练习一：（5分）

王叔叔发现落了一份文件在家，王叔叔家离公司有4000米，王叔叔立马返回家拿，当王叔叔走了4分钟之后，王阿姨也发现，并也立刻给王叔叔送去，16分钟后两人相遇，已知王叔叔比王阿姨每分钟快20米。求王叔叔的速度。

（PPT出示)

分析:

本题跟例题1一样，我们可以通过3个条件建立等量关系。假设王阿姨的速度为a，则王叔叔的速度为a+20，相遇路程是4000米。可以得出等量关系式。

解：假设王阿姨的速度为a米/分钟，

则王叔叔的速度为（a+20）米/分钟。

4×（a+20）+16×（a+a+20）=4000

                         a=100

王叔叔的速度：100+20=120（米/分钟）

答：王叔叔的速度是120米每分钟。

（PPT出示)

师：我们用方程的方法解决了问题，下面我们先来猜个谜，然后来看看通过等量转换来解决问题的方法吧。

（PPT出示)

（二）例题二：（10分）

阿派和欧拉同时从学校和少年宫出发，相向而行，阿派每分钟走60米，两人相遇后，阿派再走5分钟到达少年宫，欧拉再走240米到达学校。欧拉每分钟走多少米？

(PPT出示）

师：看完题目，哪位同学能快速地算出总路程？

生：5×60+240=540米。

师：回答得非常棒。那老师再考考你们，相遇前阿派走了多少米呢？

生：240米。

师：240米？这不是欧拉相遇后走的路程吗？

生：因为总路程是固定的。相遇后欧拉走的路程就是相遇前阿派走的路程。

师：同学们思维转换得非常好！同样的，欧拉相遇前走的时间就是阿派相遇前

走的时间。阿派相遇前走了240米，速度是60米每分钟。所以我们可以得

出欧拉相遇前花去的时间为240÷60=4分钟。

师：诶，我们现在知道了相遇前欧拉花去的时间，我们能找到他行走的路程？

生：能，就是阿派相遇后行走的路程，300米。

师：同学们，我们知道欧拉的时间、路程，根据速度=路程÷时间，我们就可以

    得出欧拉的速度了。

板书：

相遇前欧拉、阿派行走的时间：

240÷60=4（分钟）    

相遇前欧拉行走的路程：

5×60=300（米）

欧拉的速度：

300÷4=75（米/分钟）                  

答：欧拉的速度是75米每分钟。

（PPT出示)

练习二：（5分）

米德和卡尔同时从学校和阿博士的实验室出发，相向而行，米德每小时走5千米，两人相遇后，米德再走3小时到阿博士的实验室，卡尔再走15千米到达学校。卡尔每小时走多少千米？

（PPT出示)

分析：

本题关键也是抓住总路程这个固定量推算出相遇前卡尔的行走路程和时间。卡尔相遇前行走路程=相遇后米德行走的路程=5×3=15千米。相遇前行走时间=15÷5=3小时，运用路程公式就可以求出卡尔的速度了。

卡尔相遇前行走路程：

5×3=15（千米）

卡尔相遇前行走时间：

15÷5=3（小时）    

卡尔的速度：

15÷3=5（千米/小时）

答：卡尔每小时走5千米。

（PPT出示)

师：同学们，从上面几个例题和练习中，你们找到了解决相遇问题的方法了吗？生：找到了。

三、小结：（5分）

1. 速度=路程÷相遇时间

2. 相向而行相遇问题，总路程不变。

第二课时（50分钟）

一、导入（5分）

师：同学们，通过上节课的学习，你们熟练地掌握了相遇问题的公式了吗？

生：掌握了。

师；那老师来考考你们。不能用笔，只能心算哦。

    米德和阿派从自家出发，相向而行，阿派贪吃鬼边走边吃，走的速度比米德慢多了，最后他们在离中点总路程处相遇。米德的速度是阿派的多少倍呢？

生：5倍。

师：这位同学心算能力不错哦。接下来我们来看看更复杂的相遇问题。解决它

    们关键是找到隐藏更深的条件建立等量关系。

二、探索发现授课（40分）

（一）例题三：（10分）

快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行48千米，经过5小时快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距10千米。慢车每小时行多少千米？

（PPT出示)

师：同学们，看完题目你们是不是觉得题目中的路程比较复杂？

生：是的。

师：遇到这样的情况我们最常用什么方法？

生：画线段图。                       

师：好，我们一起来画一下。用线段A、B表示甲乙两地距离。O表示中点，5

    个小时后快车到了C点，慢车与快车相距10千米的D点。

老师画完了图，看看老师的解题是不是正确？

板书：

快车比慢车多行：25+10=35（千米）

慢车行驶路程：48×5-35=205（千米）

慢车速度：205÷5=41（千米/小时）

答：慢车每小时行41千米。

（PPT出示)

生：不对，快车比慢车多行的路程算错了。

师：不错，这位同学发现了问题，给他鼓掌。请他来说说老师到底错在哪呢？

生：快车比慢车应该多2个25加上相距的10千米。

师：是的，同学们，只要你们仔细地思考就可以发现老师的错误了。所以我们

     要把过程改为

板书：

快车比慢车多行：25×2+10=60（千米）

慢车行驶路程：48×5-60=180（千米）

慢车速度：180÷5=36（千米/小时）

答：慢车每小时行36千米。

（PPT出示)

练习三：（5分）

有甲、乙两辆货车，分别从北京和上海运输货物，甲车每小时行驶40千米，经过4小时甲车已驶过中点34千米，这时甲车与乙车还相距7千米。乙车每小时行驶多少千米？

分析：

本题与例题3的情况相同，我们先求出乙车行驶的路程,然后运用路程的基本公式算出乙车的速度。

乙车行驶的路程：

40×4-34×2-7=85（千米）

乙车的速度：

85÷4=21.25（千米/小时）

答：乙车每小时行驶21.25千米。

（PPT出示)

（二）例题四：（10分）

甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地75千米相遇，相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地55千米处相遇。求A、B两地的距离是多少千米？

师：同学们，本题我们也用画线段图来理清题意。C点表示第一次相遇地点，D点是第二次相遇地点。此时有可能出现2种情况。

板书：

（PPT出示）

我们来看看第2种符合实际吗？   

生：不符合。

师：为什么呢？

生：第一次在C点相遇，图中可以看出甲车速度比乙车速度快，所以甲车到B

点比乙车A点时间早。它们各自到后立刻返回，此后甲车所行的路程应该

比75千米还多，但实际甲车只离B地55千米。它们之间相矛盾。

师：说的好，这样我们就可以把第二种情况排除。我们来看看第一种情况。

师：在C点相遇后，它们行驶了1个总路程。甲、乙两车继续前行到第二次相

    遇它们行驶了几个总路程呢？

生：1个、2个。

师：我们再来好好看看图，每次行驶它们都是相向的，所以它们一共行驶了3个总路程。

（PPT出示）

师：第一个总路程中，我们可以知道甲车行驶了75千米。那么3个总路程甲车

    行驶了75×3=225千米。那么第二次相遇甲车行驶的路程在图中是哪段呢？

生：AB段和BD段。

师：AB段是一个总路程，BD段少于AB段，所以我们可以得出一个总路程是多少呢？

生：A、B两地的距离是225-55=170千米。

板书：

75×3-55=170（千米）

答：A、B两地距离是170千米。

（PPT出示)

练习四：（5分）

两辆汽车同时从南、北两站相对开出，第一次在离南站55千米的地方相遇，之后两车继续以原来的速度前进。各自到站后都立即返回，又在距中点南侧15千米处相遇。两站相距多少千米？

分析：

    本题的关键在于对二次相遇距中点南侧15千米的转换。因为相距点在南侧15千米，可以知道从南站出发的车速度快于从从北站出发的车，所以第一次相遇离南站55千米的地点一定在距中点北侧的位置。做图：A点为第一次相遇地点,B点为第二次相遇地点。

（PPT出示）

    从图中我们可以看出从南站出发行驶的路程是1个总路程+0.5个总路程+15千米=1.5个总路程+15。根据例题4的思路，两车一共行驶了3个总路程，我们得出从南站出发的车行驶的路程是55×3=165千米。建立等式关系我们就可以求出两站距离了。  

南站出发的车行驶的路程：

55×3=165（千米）

两站相距：

（165-15）÷（1+0.5）=100（千米）

答：甲乙两站相距100千米。

（PPT出示)

（二）例题五：（选讲）

甲、乙、丙三人，每分钟分别行68米、70.5米、72米。现甲、乙从A镇去B镇，丙从B镇去A镇，三人同时出发，丙和乙相遇后，又过2分钟与甲相遇。A、B两镇相距多少千米？

（PPT出示)

师:看完题目，同学们，我们一起来画下路程图。C点表示丙与乙相遇点，D点表示丙与甲相遇点。E点表示当乙与丙相遇时甲的位置。

板书：

           E

（PPT出示）

师：同学们，我先来看看CE这线段，哪位同学来告诉老师表示是什么意思呢？

生：乙的速度比较快，所以乙与丙相遇后，乙比甲多行的路程。

师：说得对，那这段路程怎么求呢？

生：甲乙的速度差×他们走的时间。

师：这位同学说得不错，那我们按照这样的办法可以求出这段路程吗？

生：不可以，他们走的时间不知道。

师：既然我们没法得出来，那我们再来看看CE这线段还能表示什么？

生：甲丙同时从C、E两点出发，他们相遇的路程。

师：那按照这个方法，这段路程我们可以求出来吗？

生：可以。

师：对，甲乙速度和×相遇时间=（68+72）×2=280（米），同一段路程我们求

出来了，那我们再来看看第一个同学方法，CE=甲乙速度差×他们走的时间。

我们从中可以求出什么？

生：丙与乙相遇前他们走的时间。

师：是，同学们的脑子转的非常快哦。相遇前他们花去的时间280÷（70.5-68）

=112分钟。同时这112分钟又是丙和乙相遇所花去的时间。最后我们再次

用解决相遇问题的方法就可以求出总路程了。

板书：

乙丙相遇后，丙与甲的距离：

（68+72）×2=280（米）

乙丙相遇前，他们花去的时间：

280÷（70.5-68）=112（分钟）

总路程：112×（70.5+72）=15960（米）=15.96（千米）

答：A、B两镇相距15.96千米。

(PPT出示）

练习五：（选做）

有甲、乙、丙三人，甲每分钟行70米，乙每分钟行60米，丙每分钟行75米，甲、乙从A地去B地，丙从B地去A地，三人同时出发，丙遇到甲8分钟后，再遇到乙。A、B两地相距多少千米？

（PPT出示)

分析：

    本题的解题思路是跟例题5是一样的。通过相同路程和相同时间的转换，逐步把未知量通过已知量求出结果。

丙甲相遇后，乙与丙的距离：

（60+75）×8=1080（米）

丙甲相遇前，他们花去的时间：

1080÷（70-60）=108（分钟）

总路程：108×（70+75）=15660（米）=15.66（千米）

答：A、B两地相距15.66千米。

（PPT出示)

三、总结：（5分）

1. 追及时间=追及路程÷速度差

2. 相遇时间=相遇路程÷速度和

四、随堂练习：

1. 甲、乙两辆汽车早上8点钟分别从A、B两城同时相向而行。到10点钟时两

   车相距112.5千米。继续行进到下午1时，两车相距还是112.5千米。A、B

   两地间的距离是多少千米？

甲、乙两车速度和：（112.5+112.5）÷3=75（千米/小时）

8点到10点它们共行驶的路程：75×2=150（千米）

A、B两地的距离：150+112.5=262.5（千米）

答：A、B两地间的距离是262.5千米。

2. 欧拉和卡尔在体育馆和学校同时出发，相向而行,卡尔每分钟走54米，相遇

   后，卡尔再走2分钟就到学校，学校距体育馆324米。欧拉每分钟走多少米？

相遇前欧拉走的路程：

2×54=108（米）

相遇前卡尔花去的时间：

（324-108）÷54=4（分钟）

欧拉的速度：

108÷4=27（米/分钟）

答：欧拉每分钟走27米。

3. 一条笔直的马路通过A、B两地，甲、乙两人同时从A、B两地出发，若相向

   行走，12分钟相遇；若同向行走，8分钟甲就落在乙后面1864米。已知A、

   B两地相距1800米。甲、乙每分钟各行多少米？

甲乙两人速度和：1800÷12=150（米/分钟）

甲乙两人速度差：（1864-1800）÷8=8（米/分钟）

甲的速度：（150-8）÷2=71（米/分钟）

乙的速度：（150+8）÷2=79（米/分钟）

答：甲每分钟行71米，乙每分钟行79米。

4. 上午8时8分，阿派骑自行车从家里出发。8分钟后，爸爸骑摩托车去追他。

   在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家。到家后他又立即回头去

   追阿派。再追上他的时候，离家恰好是8千米，这时是几时几分？

第一次追上后到第二次追上阿派，

爸爸行走的路程：4+8=12（千米）

阿派行走的路程：4千米

爸爸的速度是阿派速度的3倍，

设阿派的速度为a米/分钟，则爸爸的速度为3a米/分钟，

追及时间8×a÷（3a-a）=4（分钟）

爸爸的速度：4÷4=1（千米/分钟）

爸爸总花去的时间：(8+8)÷1=16（分钟）

8点8分后，总过去16+8=24（分钟） 这时：8点32分

答：这时是8点32分。

5. 两辆汽车同时从A、B两站相向开出。第一次在离A站60千米的地方相遇。

   之后，两车继续以原来的速度前进。各自到达对方车站都立即返回。又在距

   中点右侧30千米处相遇。两站相距多少千米？

（60×3+30)÷1.5=140（千米）     

答：两站相距140千米。

家庭作业

线上作业：第11讲

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处