奥数六年级下册秋季课程 第6讲《盈亏问题》教案

六年级                                              备课教员：×××

第6讲    盈亏问题

一、教学目标：

1. 了解盈亏问题并能运用公式正确的解答。

2. 掌握关系互换性盈亏问题。

3. 数学思维和分析转换能力得到提升。

二、教学重点：

1. 了解盈亏问题并能运用公式正确的解答。

2. 培养学生的数学思维和分析转换能力。

三、教学难点：

理解掌握关系互换性盈亏问题。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

师：同学们，你们还记得上节课讲过的问题吗？

生：记得，鸡兔同笼问题。

师：鸡兔同笼问题是一个古老的数学问题，今天我们再来看一个古老的数学问题。我们先来看一个题目。

    老猴给小猴分桃，每只小猴分2只，就多出7只；每只小猴分4只，就少1只。有几只小猴和多少只桃子？

（PPT出示）

师：有哪位同学知道这是什么问题吗？

生：盈亏问题。

师：非常棒！有一类应用题，是已知两个分案，一次分配有余，有余简称“盈”；

一次分配方案不足叫做“亏”，求参加分配的人数及被分配的数量。这类

解答分配过程中出现的剩余（盈）或不足（亏）的应用题叫做盈亏问题。

板书：

    盈亏问题

二、探索发现授课（40分）

（一）例题一：（10分）

新学期开始了，老师给住宿生分配宿舍，如果每个房间住3人，则多出20人，如果每个房间住5人，恰好合适，问宿舍有几间？住宿生有几人？

（PPT出示)

师：同学们，看完这个题目，知道这是个盈亏问题，你们知道分配对象和被分

    配的对象分别是谁吗?

生：房间和住宿生。

师：盈亏问题有两个不变的量：被分配的量的总数和参加分配的份数，同样多

的房间平均分给同样多的住宿生,由于两次分配的方法不同,两次分配的结

果就产生一个总差额,每个人在两次分配的数量也不同,就是两次分配数的

差,那么，总差额÷分配数的差=参加分配的份数。

师：那我们来看看本题的盈亏情况如何呢？

生：分3人，多20，分5人，刚刚好。

师：分析得不错。那我们运用盈亏公式把分配对象总数算出来。

板书：

两次盈数的差÷两次分得的差=参与分配对象的总数

房间：（20-0）÷（5-3）=10（间）

住宿生：10×5=50（人）

答：宿舍有10间，住宿生有50人。

师：答案出来后，我们可以来验证下对不对。同学们，怎么验证呢？

生：用第一个条件，分3人的情况是不是多20人。

师：50-3×10=20，我们的解答的过程是正确的。我们来看看下面这个练习哟。

练习一：（5分）

六一儿童节时，阿博士买来一些棒棒糖分给同学们，如果每个同学分10颗棒棒糖，则有3个同学没有分到；如果每个同学分8颗棒棒糖，刚好分完。求有多少个同学？多少颗棒棒糖？

（PPT出示)

分析:

本题是不足适足的问题，关键在于对“3个同学没有分到“转换成亏3×10=30颗棒棒糖。不足适足：一次分配不够，一次分配正好。可以套用两亏问题公式，刚好分配够当作亏“0”。

板书：

两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象的总数

同学：（30-0）÷（10-8）=15（人）

棒棒糖：15×10-30=120（颗）

答：有15个同学，120颗棒棒糖。

（PPT出示)

师：看来同学们都有点疲惫了，我们先来猜个简单的数字谜语。

（PPT出示)

（二）例题二：（10分）

芭啦啦学校的少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑，请问共有多少名少先队员？共要挖多少个树坑？

(PPT出示）

师：同学们，我们先来确定分配对象。本题中的分配对象又是谁呢？

生：少先队员。

师：对，同学们审题能力越来越强了。那老师想请一位同学来说下第一个条件

    下的“盈亏情况”。

生：按5个树坑分，多了3个树坑。

师：对，这里是属于盈的情况，多了3个树坑。

师：那另外一个分法呢？

生：……

师：同学们再仔细分析下，2人挖4个树坑，他们一起挖了8个树坑，若是每人

    挖6个树坑，树坑是什么情况呢？

生：12-8=4（个），还少4个树坑。

师：不错，那题目第二个条件就可以转换成“按6个树坑分，少了4个坑”。

师：那这是属于盈亏问题中哪种情况呢？

生：一盈一亏。

师：不错。

板书：

盈与亏的和÷两次分得的差=参与分配对象总数

少先队员：（3+4）÷（6-5）=7（名）

树坑：7×5+3=38（个）

答：共有7名少先队员，共要挖38个树坑。

（PPT出示)

练习二：（5分）

五年级给优秀学生发奖品书。如果每个学生发5册还剩32册；如果其中10个学生每人发4册，其余每人发8册，就恰好发完。那么优秀学生有多少人？奖品书有多少册？

（PPT出示)

分析：

本题的关键也是对第二个条件进行转换。“10个学生每人发4册”转换成10个学生每人发8册，则少10×8-10×4=40册。经过转换变成了“一盈一亏”。

板书：

    盈与亏的和÷两次分得的差=参与分配对象总数

    优秀学生：（40+32）÷（8-5）=24（人）

奖品书：24×5+32=152（册）

答：优秀学生有24人，奖品书有152册。

（PPT出示)

三、小结：（5分）

1. 熟练地应用盈亏问题的公式。

2. 转换题目条件，变成标准的盈亏问题。

第二课时（50分）

一、导入（5分）

师：同学们，我们做了些盈亏问题的练习，那还记得我们第一节课分桃子的题

目吗？诶，今天老师来给你们分大拇指，先分成两组，先算出同学数量的

奖励，每组队员奖励两个大拇指，先算出老师拇指数量的每组队员奖励4

个大拇指。

（PPT出示）

生：4个同学、15个大拇指。

师：回答得非常棒，奖励大拇指!那么接下来我们开始进入第二节课的学习。

二、探索发现授课（40分）

（一）例题三：（10分）

芭啦啦学校篮球队有若干名学生，如果少一个女生，增加一名男生，则男生为总数的一半；如果少一个男生，增加一个女生，则男生为女生人数的一半，篮球队共有多少个学生？

（PPT出示)

师：同学们，题目中的条件是不是比较绕呢？好像不能用盈亏公式解决？

师：那我们先来看看第一个条件“如果少一个女生，增加一名男生，则男生为

    总数的一半”。从中我们可以知道男生比女生少多少人呢？

生：少2人。

师：那我们再来看看第二个条件，“少一个男生，增加一个女生”这时候男生

    比女生少了多少个呢？

生：4个。

师：这时候出现了什么情况呢？

生：则男生为女生人数的一半。

师：男生比女生少4人，男生为女生人数的一半。则现在男生人数为多少？

生：4人。

师：那么原来男生情况为5人，女生为7人。

板书：

     男生人数：2+2+1=5（人）

     女生人数：5+2=7（人）

     篮球队共有：5+7=12(人）

答：篮球队共有12人。

（PPT出示)

练习三：（5分）

操场上有两堆货物,如果甲堆减少10千克，乙堆增加8千克，两堆货物就一样多；如果再放入10千克货物在甲堆，甲堆货物就是乙堆的5倍，操场上甲、乙两堆各有货物多少千克？

分析：

在条件中，我们可以知道甲比乙多10+8=18千克。甲再多10千克，甲堆货物就是乙堆的5倍。把乙堆数量当作分配对象，甲堆“亏18千克”，5倍甲堆“盈10千克”。运用盈亏公式就可以求出结果。其实这也是一个差倍问题。

板书：

解：设乙堆数量为a千克。

（18+10）÷（5-1）=a

                 a=7

乙堆：7千克

甲堆：7×5-10=25（千克）

答：乙7千克，甲堆25千克。

（PPT出示)

师：同学们，都非常喜欢做24点游戏吧！今天我们来做个难点24点游戏，数字不能移动哦。

10  10  4   4

（PPT出示)

（二）例题四：（10分）

幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分得4块。如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多少块？

师：同学们，本题中并没有给出饼干有多少块，但它是固定不变的。

师：我们先来看看第一个条件中，只分给中班的小朋友，平均每人可以多分得4

    块。从中我们可以转换成什么条件？

生：把小班的饼干分给中班，中班每人多分到4块。

师：不错，接下来同学们就可以想到本题解题关键是小班和中班的人数比。那

    他们人数比是多少？

生：中班比小班人数是6比4，是小班人数的1.5倍。

师：如果原先分给中班每人6块饼干分给小班的小朋友，他们能分到多少块呢？

生：能多分到1.5×6=9块。

师：不错，原先小班能分到6块，现在把中班的饼干都给小班又分到9块，那

    小班能分到多少块呢？

生：15块。

板书：

6+6×（6÷4）=15（块）

答：平均每人分得15块。

（PPT出示)

练习四：（5分）

老师把一批书借给A组同学，平均每人借4本，如果只借给A组的女同学，每人可借6本。如果只借给A组的男同学，平均每人借到几本？

分析：

   本题的迷惑点是在借给A组的女同学每人“可借6本”，我们需要进行分解，

实际上是女同学多借了2本。可以得出女同学人数是男同学的2倍。

板书：

4+4×4÷2=12（本）

答：如果只借给A组的男同学，平均每人借到12本。

（PPT出示)

（二）例题五：（选讲）

芭啦啦学校招收了一批新生，如果每个寝室安排8个人，要用33个寝室；如果每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，这批学生最多可能有多少人？最少又可能有多少人？

（PPT出示)

师：同学们，看完题目后，本题中分配对象是谁？

生：寝室。

师：是的，但同学们有没有发现分配对象数量在发生变化。

生：是的。

师：而且本题中也没有明确地告诉我们盈亏数量。所以我们就要考虑用其它方

    法来解决。

师：我们先来看看第一个条件，“每个寝室安排8人，要用33个寝室”。在这

    个条件里，新生人数最多情况是什么，最少情况呢？

生：最多33个寝室住满、最少是住满了32个寝室，第33个寝室住1人。

师：同学们分析得太好了，看来离答案不远了。下面请一位同学来分析下第二

    个条件？

生：每个寝室住6人，要用到43个寝室，最少是住满42个寝室、第43个寝室

    住一人，最多情况住满43个寝室。

师：我们来请这位同学替老师板书下过程。

板书：

住8人：最多33×8=264（人）

最少（33－1）×8＋1=257（人）

住6人：最多43×6=258（人）

最少42×6+1=253（人）

综合得出

最多258人，最少257人

答：这批人数最多258人，最少257人。

（PPT出示)

练习五：（选做）

超市有一批水果要装进礼品盒搞促销，如果每盒装9个，则要装23个盒子；如果每盒少装2个，则要增加6个盒子。这批水果最多有多少个？最少又可能有多少个？

（PPT出示)

分析：

本题也是跟例题5一样，逐步分析条件得出人数区间，最多取小数，最少取大数。

板书：

装9个：最多23×9=207（个）

最少：（23－1）×9+1=199（个）

装7个：最多（23+6）×7=203（个）

最少（23+6-1）×7+1=197（个）

综合得出

这批水果最多203个，最少199个

答：这批水果最多203个，最少199个。  

（PPT出示)

三、总结：（5分）

1. 特殊的盈亏问题，要转换成差倍、比例等其它问题解决。

2. 分配对象和盈亏对象都在变化时，要用条件筛选结果。

四、随堂练习：

1. 米德家养了一群可爱的小狗，妈妈买了一些狗粮让米德喂小狗，如果每条7

   千克，则少26千克；如果每条5千克，则刚刚好。问小狗和狗粮各有多少？

板书：

小狗数量：

（26-0）÷（7-5）=13（条）

狗粮：5×13=65（千克）

答：小狗数量13条，狗粮65千克。

2. 阿派买了一本《寓言故事》，他计划：若每天看3页，则剩16页；若每天

   看5页，则最后一天只要看1页。那么这本书共有几页？阿派计划看几天？

板书：

   （16+5-1）÷（5-3）=10（天）

    10×3+16=46（页）

答：这本书共有46页，10天看完。

3. 食堂购进大米和面粉各若干，如果大米增加60千克，面粉减少45千克，则

   大米和面粉一样多；如果再购进面粉35千克，面粉刚好是大米的3倍。原

   来大米和面粉各多少千克？

板书：

面粉比大米多：60+45=105（千克）

大米：（105+35）÷（3-1）=70（千克）

面粉：105+70=175（千克）

答：大米70千克，面粉175千克。

4. 幼儿园把一袋糖果分给小朋友，如果分给大班的小朋友，每人分5粒就缺6

   粒；如果分给小班的小朋友，每人4粒就余4粒。已知大班比小班少2个小

   朋友，这袋糖果共有多少粒？

板书：

分给大班转换成分成小班,

分给小班缺2×5+6=16（粒）

（16+4）÷（5-4）=20（人）

20×4+4=84（粒）

答：这袋糖果共有84粒。

5. 动物园管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分5根还余10根

   竹子；如果大熊猫只数增加到3倍还少5只，那么每只大熊猫分2根竹子还

   缺8根竹子。问有大熊猫多少只？竹子有多少根？

板书：

大熊猫增加到3倍，分2根竹子还缺：

2×5+8=18（根）

解：设大熊猫为a只，则竹子数量为（5a+10）根。

3a×2-(5a+10)=18

            a=28

大熊猫有28只

竹子有28×5+10=150（根）

答：大熊猫有28只，竹子有150根。

家庭作业

线上作业：第6讲

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处