专题05 函数与导数压轴小题（十大题型）-备战2023-2024学年高三数学上学期期中真题分类汇编（全国通用）

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专题05函数与导数压轴小题


不等式恒成立问题
1．（河北省石家庄市部分学校2023届高三上学期期中）对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由得，令，，利用导函数求最小值、最大值即可.
【详解】当时，，不等式显然成立；
当时，，
令，
令，则是上的增函数且，
当时，此时递减，时，此时递增.
故的最小值为，
令，则，
故是增函数，的最大值为，故，
综上所述，，
故选：D
2．（河北省张家口市第一中学2023届高三上学期期中）已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简题目所给不等式，构造函数，由在区间上恒成立分离常数，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】不妨设，
则，
即，
令
，
则，
∴在单调递增，
对恒成立，
而恒成立，
令，，
则在单调递减，
∴，
∴，
的取值范围是.
故选：A
【点睛】利用导数研究含有参数的不等式恒成立问题，可以利用分离常数法，然后通过求函数的最值来求得参数的取值范围.

不等式能成立问题
3．（福建省泉州市安溪一中、泉州实验中学、养正中学2023届高三上学期期中）已知函数，若有且仅有两个不同的整数解，则函数的最小值为 ；实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出导函数，确定的单调性，得最小值，然后比较，，的大小结合单调性可得结论．
【详解】函数，∴，
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.
∴当时，取得最小值，且.显然，.
当时，恒成立，
因为有且仅有两个不同的整数解，
则，即，.
故答案为；.
4．（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学上学期期中）已知函数，若存在，使得有解，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，转化为在有解，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解.
【详解】若存在，使得有解，
由函数，即，即在有解，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，也为最大值，即，
所以，即实数a的取值范围是.
故选：C.

双变量问题
5．（2022秋·山东烟台·高三统考期中）若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将不等式变式为，设后转化为恒成立，只需求函数的最大值即可.
【详解】因为，
所以，设，
则，，
令
恒成立，故单调递减，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；.
故
所以，得到.
故选:A.
6．（湖北省十一校2023届高三上学期期中）已知函数，，若，，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】对已知等式进行同构可得，令，利用导数可求得单调递增，由此可得，从而将所求式子化为；令，利用导数可求得，即为所求最大值.
【详解】由得：；
由得：，；
，
令，，
，在上单调递增，
；
令，则，
则当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，即的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解多变量的式子最值的问题；解题关键是能够对于已知等式进行同构变形，将问题转化为某一单调函数的两个函数值相等的问题，从而确定两个变量之间的关系，将所求式子化为单变量的式子来进行求解.

导数与体积
7．（安徽省合肥市肥东县综合高中2023届高三上学期期中）如图，已知正四棱柱和半径为的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，，，，四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为 ．

【答案】4
【分析】设该正四棱柱的高为h，底面边长为a，计算出底面外接圆的半径，利用勾股定理，得出，利用柱体体积公式得出柱体体积V关于h的函数关系式，然后利用导数可求出V的最大值．
【详解】设正四棱柱的高为h，底面棱长为a，则正四棱柱的底面外接圆直径为，所以，．
由勾股定理得，即，得，其中，
所以，正四棱柱的体积为，其中，
构造函数，其中，则，令，得．
当时，；当时，．
所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，则．
因此，该正四棱柱的体积的最大值为4．
【点睛】本题考查球体内接几何体的相关计算，解决本题的关键在于找出相应几何量所满足的关系式，考查计算能力，属于中等题．
8．（山东省聊城市第二中学2022-2023学年高三上学期期中）已知正三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为48π，则正三棱柱的体积的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合正三棱柱和外接球关系先求出外接球半径，令正三棱柱底面边长为，由函数关系表示出体积与函数关系，利用导数可求最值.
【详解】如图，设正三棱柱上､下底面的中心分别为H，，连接.根据对称性可知，线段的中点O即为正三棱柱外接球的球心，线段OA即为该外接球的半径.由已知得，所以.设正三棱柱的底面边长为x，则.在中，，所以，所以正三棱柱的体积.
令，则，，故，.当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.
故选：C.


指对数幂的比较大小
9．（山东省滕州市第一中学2022-2023学年高三上学期期中）已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，，利用导数分析这两个函数的单调性，可得出、的大小，、的大小，利用不等式的基本性质可得出、的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系.
【详解】令，其中，
则，所以，函数在上为增函数，
故当时，，则，所以，
因为，则，
当时，证明，令，其中，则，
所以函数在上为增函数，故当时，，
所以当时，，则，所以，
所以，因此.
故选：D.
10．（江苏省淮安市涟水县第一中学2023届高三上学期期中）已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由基本不等式可得，构造函数，利用导数求出的单调性，可比较的大小，即可得出答案.
【详解】因为，
，，
所以令，则，
所以当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
又因为，所以，
即，所以，又因为，所以.
故选：A.
11．（江苏省苏州市昆山中学2023届高三上学期期中）设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用，判断函数值的大小，即可判断选项.
【详解】，，，
设，且，，得，
当和时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因为，且，
所以，即.
故选：D

距离问题
12．（2022秋·辽宁铁岭·高三昌图县第一高级中学上学期期中）已知点A在函数的图象上，点B在直线上，则A，B两点之间距离的最小值是 ．
【答案】
【分析】分析函数单调性得图象，确定A，B两点之间距离的最小值的情况，利用导数的几何意义可得切线方程，从而求得最小距离.
【详解】由题意可得，令得
所以当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，所以，
所以的图象如下图：
  
要使得A，B两点之间距离最小，即直线与平行时，当直线与曲线相切时，
与的距离即为A，B两点之间最小的距离，
令，解得．由，
所以直线的方程为，即
则与的距离的距离，
则A，B两点之间的最短距离是．
故答案为：．
13．（江苏省徐州市第七中学2023届高三上学期期中）若动点在曲线上，则动点到直线的距离的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】转化为在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，利用导数的几何意义求出切点的坐标，再根据点到直线的距离公式可求出结果.
【详解】设，由题意知，
则在点处的切线斜率为，
当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，
由，得，则，
所以点到直线的距离.
所以动点到直线的距离的最小值为.
故选：A

导函数与原函数的构造问题
14．（2022秋·吉林长春·高三长春市第十七中学上学期期中）（多选）已知函数在R上满足，且当时，成立，若，则下列说法正确的有（    ）
A．为奇函数 B．为奇函数
C．在R上单调递减 D．
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义判断AB；构造函数，利用导数探讨单调性推理判断CD作答.
【详解】因为函数在R上满足，则函数是R上的偶函数，A错误；
令，则，则函数是R上的奇函数，B正确；
当时，，则函数在上单调递减，且，
由选项B知，函数在上单调递减，因此在R上单调递减，C正确；
显然，
由选项C知，，因此，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.
15．（2022秋·江苏连云港·高三江苏省赣榆高级中学上学期期中）（多选）定义在函数，是它的导函数，且恒有成立；则下列正确的是（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】通过构造函数，利用函数的单调性进行大小比较.
【详解】构造函数，
则，
∴在递减，
对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：AD.
16．（江苏省盐城市四校2023届高三上学期期中）已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意令，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小.
【详解】令，，
则，
∵当时，，
即，在单调递减，
∴，
∴，
即，
∴.
故选：D.

同构问题
17．（江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高三上学期期中）已知，则 ．
【答案】3
【分析】根据已知条件进行同构，研究同构函数单调性得到再转化求解即可.
【详解】因为，
所以，
令，则，
因为当时，，
所以在上单调递增，
所以，
所以，即，
所以．
故答案为：3
18．（江苏省南京市金陵中学2022-2023学年高三上学期期中）已知实数x，y满足且，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先分离同构，得到，设,则上式表明,利用导数研究函数单调性，并结合由已知条件得到的和的取值范围，得到,进而，然后将表示为的函数，利用导数求其最小值.
【详解】∵，∴，∴，即，
设,则上式表明,
求导得，当时，,单调递减，
由于，∴，∴，
∴,∴，∴,令,
,当时，单调递减；当时，单调递增，
∴,
故选：D.
【点睛】本题关键难点在于将已知条件整理得到两边同构的形式，构造同构函数，然后利用函数单调区间上的函数值与自变量的一一对应关系得到.
19．（湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期期中）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据在上递增，利用同构法求解即可．
【详解】解：构造，
则在上显然递增，
由得
，
即，
，
，
令，
则，
由得，递增，
由得，递减，
，
．
故选：B．
【点睛】本题解题的关键是看到 “指对跨阶”要想到同构，同构后有利于减少运算，化烦为简．

已知零点个数求参数
20．（2022秋·黑龙江牡丹江·牡丹江一中上学期期中）已知在处有极大值，若 有两个零点，则实数n的取值范围为 .
【答案】或
【分析】求出函数的导数，根据给定条件求出，再探讨函数的性质，结合图象求出直线与的图象有两个公共点的n的范围作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
依题意，，解得，此时，
当或时，，当或时，，则在处取得极大值，即，
于是函数在上单调递增，在上单调递减，且，
显然，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得极小值，显然当时，，
而函数在上递减，函数值集合为，则函数在上的取值集合为，
当时，，函数在上的取值集合为，
因此函数在上的取值集合为，函数的图象如图，
    
函数有两个零点，即直线与的图象有两个公共点，
观察图象得或，
所以实数n的取值范围为或.
故答案为：或
21．（山东省大教育联盟学校2022-2023学年高三上学期期中）若关于的方程有三个不等实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】构造函数，，利用导数研究函数的单调性，极值，画出对应的图像，数形结合即可求解.
【详解】由已知可知关于的方程有三个不等实数根，
即函数的图象与直线有三个公共点，
构造函数，求导，
令，解得
当时，，故在区间上单调递增，
当时，，故在区间和上单调递减，
且，，当或时，，
且当时，，当时，，
画出的大致图象如图，要使的图象与直线有三个交点，需，即，即的取值范围是．
故答案为：
  
【点睛】方法点睛：本题考查判断利用函数的零点个数求参数问题，常用的方法：
（1）方程法：令，如果能求出解，有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．

存在零点求参数
十、未命名题型
22．（海南省文昌中学2023届高三上学期期中）已知函数存在零点，函数存在零点，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先由题给条件求得，再根据题意得到方程在有解，求得函数的值域即可得到实数的取值范围.
【详解】函数为R上单调递增函数，
又函数存在零点，则，由，可得
存在零点，即方程在有解
令，
则
当时，单调递减；
当时，单调递增
则在时取得最小值
又，，
则的值域为，则实数的取值范围是
故答案为：


一、单选题
1．（海南省琼海市嘉积第三中学2023届高三上学期期中）已知点在曲线上运动，过点作一条直线与曲线交于点，与直线交于点，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求的最小值就是求的最小值，首先求出上的且斜率为的切线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】如下图所示，，当斜率为的直线与的图像相切时，为切点，此时的值最小.

设，，则有，解得，代入函数，求得，
即，则的最小值即点到直线的距离，则.
故选：C
2．（广东省深圳市南山区北京师范大学南山附属学校2023届高三上学期期中）函数是定义在上的偶函数，当时（其中是的导函数），若，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，根据其单调性和奇偶性，结合指数函数和对数函数的单调性，即可比较大小.
【详解】令，又为定义在上的偶函数，则，
故为定义在上的奇函数；
又，由题可知，当时，，即在单调递增，
结合是上的奇函数可知，为上的单调增函数；
又，
又，，，
故.
故选：B.
3．（广东省梅州市大埔县虎山中学2022-2023学年高三上学期期中）已知函数，，若成立，则的最小值为（    ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】令，得，，然后构造函数，利用导数求最小值可得.
【详解】不妨设，则，，
则．令，
则，记，则
所以在上单调递增，由，可得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以．
故选：A
4．（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期期中）如图，在棱长为的正四面体中，点、、分别在棱、、上，且平面平面，为内一点，记三棱锥的体积为，设，对于函数，则（    ）

A．当时，函数取到最大值
B．函数在上是减函数
C．函数的图象关于直线对称
D．存在，使得（其中为四面体的体积）
【答案】A
【分析】求出的解析式，利用导数分析函数的单调性与最值，可判断ABD选项的正误，利用函数对称性的定义可判断C选项的正误.
【详解】设点在平面内的射影为点，连接、，如下图所示：

则为等边的中心，故，
平面，平面，，，
，，
因为平面平面，则，，
且点到平面的距离为，所以，点到平面的距离为，
，其中，
对于A选项，，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，当时，函数取到最大值，A对；
对于B选项，由A选项可知，B错；
对于C选项，，
故函数的图象不关于直线对称，C错；
对于D选项，，
，
故对任意的，，D错.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：
（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；
（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
5．（湖北省荆荆宜三校2022-2023学年高三上学期;期中）已知：，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的公式求出，然后借助指数函数的单调性得到，即可得到，构造函数，利用函数的单调性得到，整理后即可得到.
【详解】，
，
∵，
∴，则，即，
设函数，则，
∵，，且函数单调递增，
∴只存在一个使，且，
当时，，在单调递减，
∴，即，即，
所以.
故选：B.
【点睛】方法点睛：比较数值大小方法．
（1）估值法：找出式子的取值区间，以此判断各个式子的大小关系；
（2）构造函数法：当无法进行估值判断式子大小时，可通过构造函数，利用导数判断其单调性，从而判断式子大小．
6．（江苏省常州市横林高级中学2022-2023学年高三上学期期中）已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先不等式同构变形为，引入函数，由导数确定单调性得，分离参数变形为，再引入函数，由导数求得其最小值，从而得的范围，得最小值．
【详解】不等式可化为，即，
，，则，，
设，则，时，，是增函数，
所以由得，，，
所以时，恒成立．
设，则，
时，，递减，时，，递增，
所以，
所以，．所以的最小值是．
故选：B．
【点睛】难点点睛：本题考查用导数研究不等式恒成立问题，难点在于不等式的同构变形，然后引入新函数，由新函数的单调性化简不等式，从而再由变量分离法转化为求函数的最值．
7．（江苏省常州市金坛区金沙高级中学2022-2023学年高三上学期期中）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据题目不等式构造，得到，构造，，证明出在上恒成立，得到在上单调递减，转化为在上恒成立，求出实数的取值范围.
【详解】依题意，．
令，
则．
令，，
则，
所以在上单调递减，
则，
所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以在上恒成立，故在上恒成立，
其中在单调递增，故．
所以，实数的取值范围是.
故选：D
【点睛】同构思想，在利用导函数求解参数的取值范围问题上，经常考察，通常题目特征为题干条件中同时出现了指数函数和对数函数，则可以考察同构的方法.
二、填空题
8．（辽宁省名校联盟2022-2023学年高三上学期期中）已知定义在上的函数满足，且是的导函数，当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】令，进而结合题意得函数为上的偶函数，在上单调递增，在上单调递减，，进而根据单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】解：令，则
因为，即，
所以，即函数为偶函数，
因为，当时，
所以，当时，，函数为单调递减函数，
因为函数为上的偶函数
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以
因为可变形为，即，
因为函数为上的偶函数，在上单调递增，在上单调递减，
所以，或，即或，
所以，不等式的解集为
故答案为：
9．（辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部2022-2023学年高三上学期期中）已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用导数，先求出的图像，再设，，得到，
可整理出复合函数，令，得到，再通过，与的交点情况，求出的范围，进而求出的范围.
【详解】根据题意，对于，
求导，则时，，单调递增；时，，单调递减；可得时，有最大值，且时，恒有，
故可画出的图像，

令，则，令
故， 令，
此时，参变分离可得，，
作出的图像，明显为对勾函数，

故只需求出满足题意时的范围，即可根据等量代换，得到的范围.
对于，当只有一个根满足时，令，此时，
如图，

此时，满足有3个零点，此时，明显地，当时，

此时满足唯一的，故对于对勾函数：，；
又，当有两个根和满足时，要满足有3个零点，则如图

或如图，

此时，必有，或
对应的对勾函数图为：
，或

如图，因为交点不存在，必有对应的，或，三种情况，故关键是要有对应的两个与之对应，取，故对于，有，
对于或，，可得，或，
故且或，其交集为；
综上所述，.
故答案为：
10．（辽宁省朝阳市建平县2022-2023学年高三上学期期中）不等式对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】设，则可得，而分别在曲线和直线上，将直线平移恰好与曲线相切时，可求出的最小值，从而可解关于的不等式可得答案.
【详解】由题意设，则，所以，
因为分别在曲线和直线上，
所以将直线平移恰好与曲线相切时，切点到直线的距离最小，此时最小，
设切线为，切点为，则，得，
所以，得，则，
所以的最小值为点到直线的距离，，
即的最小值为，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为，，进一步转化为曲线上的点和直线的点的距离最小问题，考查数学转化思想，属于较难题.
三、多选题
11．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】设函数，，利用导数可得在上单调递减，从而，即可得出答案.
【详解】设函数，，
则，
因为恒成立，所以，
所以在上单调递减，
所以，即，
则必有，，，，
故AD正确，BC错误.
故选：AD.
12．（2022秋·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考期中）已知函数，，若存在，，使得成立，则（    ）
A．当时， B．当时，
C．当时，的最小值为 D．当时，的最大值为
【答案】ACD
【分析】对于A项，可通过解不等式直接得出；对于B项，可以取合适的特殊值验证；求出，可知在上单调递增，在上单调递减，则可画出的图象.利用同构可知等价于，结合图象可知当时，与只有一个交点，则，则 ，代入CD项可构造函数，通过求导得到最值.
【详解】由已知，当时，即，，，，
所以有，A正确；
取，则，此时令，则有，，B项错误；
∵，         ∴
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以， 的图象如图所示.

又，即.当时，如图易知，与只有一个交点，
由可得，此时，，.
则.
令，则.
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减.
所以，在处有最小值，C项正确；
当时，.令，.
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增.
所以，在处有最大值，D项正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与交点问题，属于难题.通过导函数得出性质，画出函数图象.对多个变量时，常考虑利用同构.本题利用同构可知，等价于，结合图象，得出的关系，简化解题过程，找到突破口.
13．（2022秋·浙江杭州·高三学军中学校考期中）已知函数有两个零点，则可以取到的整数值有（    ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】将问题转化为与有两个不同交点的问题，令，可求得单调递增且存在，使得；设，利用导数可求得单调性，结合复合函数单调性的判断方法可知的单调性，由此可作出的大致图象，采用数形结合的方式可确定的范围，由此可得结果.
【详解】由题意知：定义域为，
有两个零点，有两个不等实根，
当时，恒成立，不合题意，，
有两个解，即与有两个不同交点，
令，则，在上单调递增，
且存在，使得，
设，则定义域为，，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减，
又当时，，
由复合函数单调性可知：在，上单调递增，在上单调递减，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
由此可得的图象如下图所示，

由图象可知：若与有两个不同交点，则，
即实数的取值范围为，则可能取到的整数值为和.
故选：CD.