专题2.2 数字变化类规律问题（压轴题专项讲练）-2022-2023学年七年级数学上册从重点到压轴（人教版）

专题2.2  数字变化类规律问题

【典例1】观察下列等式：第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；第四个等式：；其中a为常数，按照上面的规律，则x5＝　                           　；xn＝　                          　；若a＝6067，则x1+x2+x3+⋅⋅⋅+x2022＝　         　．

【思路点拨】

根据所给的等式的形式，不难总结出第n个等式为：，再利用相应的规律进行求解即可．

【解题过程】

解：∵第一个等式：；

第二个等式：；

第三个等式：；

第四个等式：；

...，

∴第五个等式为：x5，

第n个等式为：xn，

∴x1+x2+x3+⋅⋅⋅+x2022

（1...）

，

∵a＝6067，

∴原式

＝2022．

故答案为：x5；；2022．

1．（2022春•昭通期末）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这组数的第2022个数是（　　）

A． B． C． D．

2．（2022春•麒麟区期末）按一定规律排列的一列数依次为，，按此规律排列下去，这列数的第9个数是（　　）

A． B． C． D．

3．（2022•牡丹江）观察下列数据：，，，，，…，则第12个数是（　　）

A． B． C． D．

4．（2022•文山市模拟）一组按规律排列的单项式：﹣4x，7x2，﹣10x3，13x4，﹣16x5，…，根据其中的规律，第12个单项式是（　　）

A．﹣31x12 B．34x12 C．37x12 D．﹣40x11

5．（2022春•庆云县期末）一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2，a3，…，an，则a1+a2+a3+…+a2021的值为（　　）

A．1009 B． C． D．1008

6．（2022春•惠城区期末）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为（　　）

A．16，257 B．16，91 C．10，101 D．10，161

7．（2022•太平区一模）小时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2022时对应的指头是（　　）

A．无名指 B．食指 C．中指 D．大拇指

8．（2022•公安县模拟）现有一列数a1，a2，a3，…，a98，a99，a100，其中a1＝2022，a2＝﹣2020，a7＝2018，a96＝﹣2016，且满足任意相邻四个数的和为同一个常数，则a1+a2+a3+…+a98+a99+a100的值为（　　）

A．﹣2020 B．100 C．2018 D．2022

9．（2022春•两江新区期末）对于任意一个正整数x1可以按规则生成无穷数串：x1，x2，x3，…，xn，xn+1，…（其中n为正整数），规则为：xn+1．

下列说法：

①若x1＝4，则生成的这数串中必有xi＝xi+3（i为正整数）；

②若x1＝6，生成的前2022个数之和为55；

③若生成的数中有一个xi+1＝16，则它的前一个数xi应为32；

④若x4＝7，则x1的值只能是9．

其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．（2022•麦积区模拟）观察下列等式：1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42…，则1+3+5+7+…+2021＝　   　．

11．（2022•蓝田县二模）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是1，可发现第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，……，请你探索第2021次输出的结果是 　   　．

12．（2022•富川县三模）观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…，则3+32+33+34+…+32022+1的末位数字是 　   　．

13．（2022春•和平县期末）为了求1+2+22+23+……+299的值，可令S＝1+2+22+23+……+299，则2S＝2+22+23+……+299+2100，因此，2S﹣S＝2100﹣1，所以S＝2100﹣1．即1+2+22+23+……+299的值为2100﹣1．仿照以上推理计算：1+3+32+33+……+399的值为 　   　．

14．（2022•恩施州）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为an，且满足．则a4＝　   　，a2022＝　   　．

15．（2022春•绥棱县期末）下列式子：32+42＝52，82+62＝102，152+82＝172，242+102＝262…．请你利用发现的规律写出第五个等式 　   　．

16．（2022春•市北区期末）也许你认为数字运算是数学中常见而又枯燥的内容，但实际上，它里面也蕴藏着许多不为人知的奥妙，下面就让我们来做一个数字游戏：

第一步：取一个自然数n1＝3，计算n12+2得a1；

第二步：计算出a1的各位数字之和得n2，再计算n22+2得a2；

第三步：计算出a2的各位数字之和得n3，再计算n32+2得a3；

……

依此类推，则a2020＝　   　．

17．（2022•兴庆区校级二模）用符号f（x）表示关于自然数x的代数式，我们规定：当x为偶数时，f（x）；当x为奇数时，f（x）＝3x+1．例如：f（1）＝3×1+1，f（8）4．设x1＝8，x2＝f（x1），x3＝f（x2），⋯，xn＝f（xn﹣1）．以此规律，得到一列数x1、x2、x3，⋯，x2022，则这2022个数之和x1+x2+x3+⋯+x2021+x2022等于 　   　．

18．（2022•陇西县二模）观察以下等式：

第1个等式：（2）＝1；

第2个等式：（2）＝1；

第3个等式：（2）＝1；

第4个等式：（2）＝1；

第2021个等式：　   　．

19．（2022春•广陵区期中）如果记yf（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，且f（1）；表示当x时y的值，且；那么f（2021）　   　．

20．（2022春•南京期中）（1）阅读并填空：

22﹣21＝21×（2﹣1）＝21，

23﹣22＝22×（2﹣1）＝22，

24﹣23＝23×（2﹣1）＝23，

…

2n+1﹣2n＝　   　＝　   　（n为正整数）．

（2）计算：

①2100﹣299＝　   　；

②210+210﹣211＝　   　．

（3）计算：21+22+…+21000．

21．（2022春•成武县期末）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先观察下列等式找出规律，并解答问题．

①13＝12；

②13+23＝32；

③13+23+33＝62；

④13+23+33+43＝102；

（1）等式⑤是 　   　．

（2）应用规律探究：63+73+83+93+103的值．

22．（2021秋•广饶县期末）请先阅读下列一组内容，然后解答问题．

因为：1，，，…，，

所以：（1）+（）+（）+…+（）＝1⋯1．

化简下列各式并求值：

（1）；

（2）．

23．（2022•淮北一模）观察下列等式：

第1个等式：，

第2个等式：，

第3个等式：，

…

请解答下列问题：

（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝　   　＝　   　．

（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an＝　   　＝　   　．（n为正整数）

（3）求a1+a2+a3+……+a2022的值．

24．（2021秋•思明区校级期末）阅读材料：把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：

以0.为例，设0.x，

由0.0.333…，可知10x＝3.333…，所以10x＝3+x，解得x，于是0.．

（1）请把无限循环小数0.化为分数是 　   　；

（2）请把无限循环小数0.化为分数；

（3）将0.1与0.的积化为小数，则小数点后第999位数字是 　   　．

25．（2022春•莱芜区月考）如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．

（1）可求得x＝　   　，第2009个格子中的数为 　   　；

（2）判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2018？若能，求出m的值；若不能，请说明理由；

（3）如果a，b为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|a﹣b|的和可以通过计算|9﹣&|+|9﹣#|+|&﹣#|+|&﹣9|+|#﹣9|+|#﹣&|得到，若a，b为前19个格子中的任意两个数，则所有的|a﹣b|的和为 　   　．

26．（2021秋•垦利区期末）如图，将连续的奇数1，3，5，7…按图①中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图②）分别用a，b，c，d，x表示．

（1）若x＝17，则a+b+c+d＝　   　；

（2）用含x的式子分别表示数a，b，c，d；

（3）直接写出a，b，c，d，x这5个数之间的一个等量关系：　   　；

（4）设M＝a+b+c+d+x，判断M的值能否等于2020，请说明理由．

27．（2021秋•公安县期末）把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、第3行……，从左到右分别称为第1列、第2列、第3列……．用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为a，b，c，d．设a＝x．

（1）在图1中，数2022排在第几行第几列？

（2）若a+2b+3c＝387，求出d所表示的数；

（3）将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变，此时a﹣b﹣c+d的值能否为2700？如果能，请求出a所表示的数，并求出a在图1中排在第几行第几列；如果不能，请说明理由．

28．（2021秋•长春期末）如图，在表一中，将第1行第3列的数记为[1，3]，则[1，3]＝3，将第3行第2列的数记为[3，2]，则[3，2]＝6；按照要求回答下列各题：

（1）在表一中，[3，5]＝　   　，[8，10]＝　   　；

（2）在表一中，第3行第n+1列的数可以记为[3，n+1]＝　   　；

（3）如图，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，求3a+b﹣2c的值．