2022-2023学年四川省成都市树德中学高一（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2022-2023学年四川省成都市树德中学高一（下）月考数学试卷（4月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  半径为，圆心角为弧度的扇形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在中，“”是“”的(    )

A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  已知，，则与同向的单位向量的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知向量满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于点，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数的部分图象如图所示，且存在，满足，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  在平行四边形中，已知，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  下列说法正确的是(    )

A. 若，则或
B. 是函数的一条对称轴
C.
D. 若，则在方向上的投影向量的模为

11.  已知为偶函数，其图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为，，的最小值为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列选项正确的是(    )

A.
B. 函数在上单调递减
C. 是函数图象的一个对称中心
D. 若方程在上有两个不等实根，则

12.  已知函数，其中是大于的常数，则的所有零点之和可能是(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知向量，，，则实数的值为______ ．

14.  已知，，则的值为______ ．

15.  设，其中，是正实数若对一切恒成立，则 ______ ．

16.  已知函数同时满足下述性质：若对于任意的，恒成立；，则的取值范围为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知单位向量，，，，．
求的值；
求向量与向量夹角的余弦值．

18.  本小题分
已知，
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值．

19.  本小题分
已知，，函数．
若当时，函数的值域为，求实数，的值；
在条件下，求函数图象的对称中心和在上的单调递减区间．

20.  本小题分
如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数
，的图象，图象的最高点为边界的中间部分为长千米的直线段，且游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧．
求曲线段的函数表达式；
如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时的值．

21.  本小题分
在中，已知，，，，为线段延长线上的一点，且．
当且，设与交于点，求线段的长；
若，求的最大值．

22.  本小题分
已知向量，令．
求函数的对称轴方程；
设，当时，求函数的最小值；
在的条件下，若对任意的实数，且，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：半径为，圆心角为弧度的扇形的面积是．
故选：．
根据已知条件，结合扇形的面积公式，即可求解．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：在中，得，
反之也成立，
即是的充要条件，
故选：．
根据三角函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题知，，，，
所以与同向的单位向量为．
故选：．
由题知，，再根据求解即可．
本题考查平面向量投影向量的概念，考查向量的坐标运算，属基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，
故选：．
根据向量的数量积的性质与定义，即可求解．
本题考查向量的数量积的性质与定义，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由点在单位圆上，则，解得，
由锐角，即，
则，
故，
．
故选：．
根据任意角三角函数的定义，求得的正弦值与余弦值，利用余弦的差角公式，可得答案．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以，
即，
因为，，所以，
所以．
故选：．
先将已知等式化简得到，再利用角的关系求解即可．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，考查运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图象可得，即，
所以，，，
所以，，
因为，
所以，
所以，
由，
得，由，
结合图象可得，，
所以，所以．
故选：．
利用图象确定函数的周期及特殊点，求得函数的解析式，由确定，关系，代入结合诱导公式可求得的值．
本题主要考查余弦函数的图象，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，且，
，
则，
又因为，且，
，
则，
，得，
即，
所以．
故选：．
利用平面向量的线性运算及平面向量的数量积的运算，即可求得本题答案．
本题考查平面向量的数量积性质及运算，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为与的夹角为钝角，
所以且不共线，
又，所以，解得且，
因此实数的取值范围是且．
故选：．
由题意得出且不共线，利用向量的坐标运算可求出实数的取值范围．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于选项A，因为，所以或，或者，故A错误；
对于选项B，因为函数的对称轴方程为，
且，所以不是函数的对称轴，故B错误；
对于选项C，因为函数在单调递增，且，所以，故C正确；
对于选项D，设的夹角为，因为，
所以，所以在方向上的投影向量，
它的模为，故D正确．
故选：．
结合三角函数的图象与性质以及平面向量向量积的运算，逐项判断即可得到本题答案．
本题考查三角函数的性质，考查向量的运算，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为为偶函数，所以，
因为的图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为，，的最小值为，
所以，的最小正周期为，
所以，即，
所以，，故A选项正确；
当时，，此时函数为单调递减函数，故函数在上单调递减，选项正确；
当时，，此时不是函数的对称中心，故C选项错误；
当时，，此时函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以，当方程在上有两个不等实根时，，即，故D选项正确．
故选：．
由题知，，再结合余弦函数的性质与图象依次讨论各选项即可得答案．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
当时，，
故当时，函数无零点，
当时，令，则，
令，，则两函数都关于对称，
作函数，的图象，如图所示，

当时，函数，的图象有两个交点，
即函数有两个零点，，
所以，故C正确；
当时，函数，的图象有四个交点，
即函数有四个零点，，，，
所以，故A正确；
即由图可知当时，
函数，的图像有两个交点，
即函数有个零点，
且所有零点之和为，
所以AC正确，BD错误．
故选：．
当时，令，则，令，，则两函数都关于对称，作两函数的图象，结合图象分析即可得出答案．
本题考查函数的零点问题，三角函数的图像性质，化归转化思想，数形结合思想，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为向量，，．
所以，解得．
故答案为：．
根据向量垂直的坐标表示求解即可．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：
，
，
．
故答案为：．
根据两角和的正切公式化简得出，由二倍角的正弦公式求出，计算得解．
本题主要考查了和差角公式及二倍角公式的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题知，，
因为对一切恒成立，
所以的最大值为，且为函数的对称轴，
所以，，，解得，
所以，，即，
所以，，
所以，，
故答案为：．
由题知，再结合题意得的最大值为，且为函数的对称轴，进而得，再计算函数值即可．
本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故当时，，
对于任意的，恒成立，
，
，
，
，
，
，
综上，．
故答案为：．
利用三角恒等变换化简，根据题目条件可得相应不等式，结合正弦函数的性质，即可求得答案．
本题主要考查三角函数最值的求解，考查转化能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：根据题意，，，，，
则，
因为，即，解得，
所以，；
由可知，，
设与的夹角为，
则，
所以向量与向量夹角的余弦值为． 

【解析】根据题意求出的坐标，由向量平行的判断方法可得关于的方程，即可得到结果；
设与的夹角为，由向量夹角公式计算即可得到结果．
本题考查平面向量的数量积与夹角，坐标运算，属于基础题．
 

18.【答案】解：Ⅰ已知，
所以，
所以．
Ⅱ，．
所以 

【解析】Ⅰ直接利用同角三角函数的关系式的变换和和角公式的运用求出结果．
Ⅱ利用倍角公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：，
，，
，又，
，因此，
，解得：．
由知，
令，整理得，
的图象的对称中心为，
令，
整理得：，的单调减区间为，
所以在上的单调递减区间为，． 

【解析】利用三角恒等变换得到，结合得到，从而列出方程组，求出实数，的值；
整体法求解函数的对称中心和单调区间．
本题考查了二倍角的正余弦公式，两角差的正弦公式，正弦函数的对称中心和单调区间，复合函数的单调区间的求法，考查了计算能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：由已知条件，得，
又，，知，
当时，有，
所以，
故曲线段的函数表达式为：，；
如图，，，
所以，．
作轴于点，在中，．
在中，，
从而，



   
当，即时，平行四边形面积最大，为． 

【解析】由题意可得，，代入点求，从而求解析式；
作图求平行四边形的面积，；从而求最值．
本题考查三角函数在实际问题中的应用，同时考查了学生的作图能力，属中档题．
 

21.【答案】解：因为且，
所以是的中点，是的中点，则是的重心，
设，，
所以，
；
因为，，
所以，
，
，
，
由，得：，
所以，
因为，，
所以，，
令，则在单调递减，
所以当时，有最大值． 

【解析】用表示，结合向量的模公式，即可求得本题答案；
结合题目条件和向量数量积的公式，逐步化简，可得到，然后分离变量，利用函数的单调性即可求得本题答案．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于中档题．
 

22.【答案】解：向量，
由

．
由，．
可得
函数对称轴方程为．
函数，

令，
，


则．
对称轴
当时，可得，函数取得小值为．
当时，可得，函数取得小值为
当时，可得，函数取得小值为．
分
当时，由解析式可得：，．

而

解得：．
故得实数的取值范围是． 

【解析】根据求解出解析式，化简，结合三角函数的性质可得函数的对称轴方程；
根据时，求解出的范围，换元法转化为二次函数问题求最小值；
根据任意的，求出的范围．利用基本不等式即可求出实数的取值范围．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．转化思想和基本不等式的运用．二次函数最值的讨论．属于难题．