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2022-2023学年四川省成都市城厢中学高一（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年四川省成都市城厢中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了 下列说法中错误的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都市城厢中学高一（下）期中数学试卷
1. 已知a=(3,2)，b=(0,−1)，则a+3b=( )
A. (3,−1) B. (3,5) C. (9,3) D. (−3,2)
2. 已知i是虚数单位，复数z=(x2−4)+(x+2)i是纯虚数，则实数x的值为( )
A. 2 B. −2 C. ±2 D. 4
3. sin20°cos10°+cos20°sin10°=( )
A. 12 B. 32 C. −12 D. − 32
4. 已知为非零向量，则“a与b的夹角为锐角”是“a⋅b>0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 如图所示，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，F为AB的中点，则EF⋅AD=( )
A. 2
B. 2
C. − 2
D. −2
6. 已知函数f(x)=2sinx，为了得到函数g(x)=2sin(2x−π3)的图象，只需( )
A. 先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的2倍,再向右平移π6个单位
B. 先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的12,再向右平移π6个单位
C. 先将函数f(x)图象向右平移π6个单位,再将点的横坐标变为原来的12
D. 先将函数f(x)图象向右平移π3个单位,再将点的横坐标变为原来的2倍
7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a= 2,b= 3,B=60°，则A=( )
A. 45°或135° B. 135° C. 45° D. 60°或120°
8. 泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”.秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史.如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB，高约为50m，在它们之间的地面上的点Q(B,Q,D三点共线)处测得A处、泰姬陵顶端C处的仰角分别是45°和60°，在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15°，则估算泰姬陵的高度CD为( )
A. 75m B. 50 2m C. 25 6m D. 80m
9. 下列说法中错误的是( )
A. 单位向量都相等
B. 向量AB与CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上
C. 若a为非零向量，则a|a|表示为与a同方向的单位向量
D. 若a//b，b//c，则a//c
10. 将函数f(x)=sinx的图象向左平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到函数g(x)的图象，则下列说法不正确的是( )
A. 函数g(x)的最小正周期为4π
B. 函数g(x)的单调递增区间为[4kπ−4π3,4kπ+2π3](k∈Z)
C. 直线x=2π3是函数g(x)图象的一条对称轴
D. 函数g(x)图象的一个对称中心为点(2π3,0)
11. 已知向量a=(2,1)，b=(−3,1)，则( )
A. (a+b)⊥a
B. 与向量a共线的单位向量是(2 55, 55)
C. |a+2b|=5
D. 向量a在向量b上的投影向量是− 102b
12. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若sin2A+sin2B
D. 若AB=2 2，B=45°，AC=3，则满足条件的三角形有且只有一个
13. 已知复数z=2i1−i，则|z|=______．
14. 已知向量a=(2,1),b=(3,4)，则|a+b|=______．
15. 已知在△ABC中，7sinA=8sinB=13sinC，则C的度数为______ ．
16. 下列命题：
①若OA=(3,−4)，OB=(6,−3)，OC=(5−m,−3−m)，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m>−34；
②若非零向量(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且AB|AB|⋅AC|AC|=12，则△ABC为等边三角形；
③若单位向量e1，e2的夹角为60°，则当|2e1+te2|(t∈R)取最小值时，t=1；
④已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λ(AB+AC)，λ∈(0,+∞)，则动点P一定通过△ABC的重心；
⑤如果△ABC内接于半径为R的圆，且2R(sin2A−sin2C)=( 2a−b)sinB，则△ABC的面积的最大值为 2+12R2．
其中正确的序号为______ ．
17. 已知|a|=4，|b|=2，且a与b夹角为120°求：
(1)a⋅b；
(2)(a−2b)⋅(a+b).
18. 已知复数z=−m2+m+2+(m2+m)i(m∈R)．
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若z为纯虚数，求m的值；
(3)若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
19. 已知函数f(x)=sin2x− 3(cos2x−sin2x)．
(1)求f(π6)；
(2)求f(x)的最小正周期和单调递增区间．
20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(a, 3b)，n=(cosA,sinB)，且m//n．
(1)求角A；
(2)若a= 7，b=2，求△ABC的面积．
21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=2 2，b=5，c= 13．
(1)求角C的大小;
(2)求sinA的值;
(3)求sin(2A+π4)的值．
22. 已知函数f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)+ 3sinxcosx．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A2)=1，a=2，求b+c的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵a=(3,2)，b=(0,−1)，
a+3b=(3,2)+3(0,−1)=(3,−1)．
故选：A．
根据向量的坐标运算求解即可．
本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵i是虚数单位，复数z=(x2−4)+(x+2)i是纯虚数，
∴x2−4=0x+2≠0，∴x=2，
故选：A．
由题意，利用纯虚数的定义，求得实数x的值．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12，
故选：A．
由条件利用本题主要考查两角和差的正弦公式，求得所给式子的值．
本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：对于“a与b的夹角为锐角”则“a⋅b>0”，当“a⋅b>0”时，“a与b的夹角为锐角或方向相同”，
故“a与b的夹角为锐角”是“a⋅b>0”的充分不必要条件，
故选：A．
直接利用平面向量的数量积的应用和充分条件和必要条件的应用求出结果．
本题考查的知识要点：向量的数量积，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵EF=BF−BE=−12AB−12AD，
∴EF⋅AD=(−12AB−12AD)⋅AD=−12AB⋅AD−12AD2=0−2=−2．
故选：D．
先将EF用AB、AD表示，再根据数量积的运算即可求解．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律即可得解．
【解答】
解：将f(x)=2sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，
得到的函数解析式为：y=2sin2x；
所有的点向右平移π6个单位长度，再把所得得到的函数解析式为：g(x)=2sin(2x−π3).
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：由正弦定理asinA=bsinB得：sinA=absinB= 2 3× 32= 22，
因为a
根据正弦定理求解即可．
本题主要考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由已知得△ABQ为等腰直角三角形，AB=50，AQ=50 2，∠AQB=45°，∠CQD=60°，
则有∠CQA=75°，
A处测C处的仰角为15°，则∠QAC=60°，
∴∠QCA=45°，
在△CAQ中，由正弦定理可得AQsin∠QCA=CQsin∠QAC，
即50 2 22=CQ 32，
解得CQ=50 3，
在Rt△CDQ中，sin∠CQD=CDCQ，CD=CQsin∠CQD=50 3× 32=75．
故选：A．
Rt△ABQ中边角关系解出AQ，△CAQ中由正弦定理解得CQ，Rt△CDQ中由边角关系解得CD．
本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对A，单位向量方向不一定相同，故A错误；
对B，向量AB与CD是共线向量，A、B、C、D不一定在一条直线上，故B错误；
对C，a为非零向量，则a|a|模长为1，方向与a同向，故C正确；
对D，当b=0时，D显然错误．
故选：ABD．
根据单位向量概念判断A，根据共线向量关系判断B，由向量的模及方向判断C，由特例可判断D．
本题主要考查了向量的基本概念，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=sinx的图象向左平移π6个单位长度，得到y=sin(x+π6)，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得g(x)=sin(12x+π6)，
对于A，函数g(x)的最小正周期为T=2π12=4π，故正确；
对于B，令2kπ−π2≤12x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得4kπ−4π3≤x≤4kπ+2π3，k∈Z，可得g(x)的单调递增区间为[4kπ−4π3,4kπ+2π3](k∈Z)，故正确；
对于C，令12x+π6=2kπ+π2，k∈Z，解得x=4kπ+2π3，k∈Z，当k=0时，可得g(x)的一条对称轴为x=2π3，故正确；
对于D，g(2π3)=sin(12×2π3+π6)=sinπ2=1≠0，故错误．
故选：D．
由已知利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求函数解析式g(x)=sin(12x+π6)，进而根据正弦函数的图像和性质逐项分析即可得解．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，正弦函数的图象和性质，考查了函数思想，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，a+b=(−1,2)，则有(a+b)⋅a=−2+2=0，故(a+b)⊥a，A正确；
对于B，向量a=(2,1)，|a|= 5，则与向量a共线的单位向量是(2 55, 55)或(−2 55,− 55)，B错误；
对于C，a+2b=(−4,3)，则|a+2b|= 16+9=5，C正确；
对于D，向量a在向量b上的投影向量|a|cosθ⋅b|b|=a⋅b|b|2b=− 102b，D正确；
故选：ACD．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直、共线的判断，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，根据结论大角对大边，则有a>b，
又因为正弦定理asinA=bsinB，所以sinA>sinB，故A正确；
对于B，由sin2A+sin2B
对于C，由acosA=bcosB可得sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，
∴A=B或2A+2B=π，△ABC是直角三角形或等腰三角形，故C错误；
对于D，由cosB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC=BC2−14 2BC= 22，
则BC2−4BC−1=0，解得BC=2± 5，
故BC=2+ 5，满足条件的三角形有且只有一个，故D正确．
故选：ABD．
由正弦定理结合结论大角对大边可判断A；由余弦定理结合正弦定理的边角互换可判断B；由正弦定理的边角互换结合二倍角的正弦公式可判断C；由余弦定理求出BC可判断D．
本题主要考查命题真假的判断，正余弦定理的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】 2
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：复数z=2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)=i−1，
则|z|= 12+(−1)2= 2，
故答案为 2．
14.【答案】5 2
【解析】解：∵a=(2,1),b=(3,4)，
∴a+b=(5,5)，
|a+b|= 52+52=5 2，
故答案为：5 2．
利用平面向量的坐标运算化简即可．
本题考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
15.【答案】2π3
【解析】解：∵7sinA=8sinB=13sinC，
∴由正弦定理可得7a=8b=13c，
∴b=87a，c=13a7，
由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab=a2+64a249−169a2492×a×8a7=−12．
∴由C∈(0,π)，可解得：C=2π3．
故答案为：2π3．
本题考查正、余弦定理的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属中档题．
由正弦定理可得7a=8b=13c，进而可用a表示b，c，代入余弦定理化简可得．
16.【答案】②④⑤
【解析】解：对于①，由OA=(3,−4),OB=(6,−3),OC=(5−m,−3−m)，
得BA=OA−OB=(−3,−1)，BC=OC−OB=(−m−1,−m)，
因为∠ABC为锐角，故BA⋅BC>0且BA,BC不共线，
所以−3(−m−1)+m>03m+(−m−1)≠0，解得m>−34且m≠12，故①错误；
对于②，因为非零向量(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，
所以∠BAC的角平分线与BC垂直，△ABC为等腰三角形，
又AB|AB|⋅AC|AC|=cos∠BAC=12，
又0<∠BAC<π，所以∠BAC=π3，所以△ABC为等边三角形，故②正确；
对于③，因为单位向量e1，e2的夹角为60°，
所以|2e1+te2|2=4e12+4te1⋅e2+t2e22=4+4t×12+t2=t2+2t+4=(t+1)2+3，
所以当t=−1时，|2e1+te2|(t∈R)取得最小值，故③错误；
对于④，因为O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，
动点P满足OP=OA+λ(AB+AC)，λ∈(0,+∞)，
设BC中点为E，则AB+AC=2AE，则AP=2λAE，故AP与AE共线，
而直线AE过△ABC的重心，故动点P一定通过△ABC的重心，故④正确；
对于⑤，∵2R(sin2A−sin2C)=( 2a−b)sinB，
∴根据正弦定理，得a2−c2=( 2a−b)b= 2ab−b2，可得a2+b2−c2= 2ab，
∴cosC=a2+b2−c22ab= 22，∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为π4，
∵c=2Rsinπ4= 2R，∴由余弦定理及重要不等式可得：
c2=a2+b2−2abcosC，
即2R2=a2+b2− 2ab≥2ab− 2ab=(2− 2)ab，当且仅当a=b时等号成立，
∴ab≤2R22− 2=(2+ 2)R2，
∴S△ABC=12absinC≤12×(2+ 2)× 22R2= 2+12R2，
即△ABC面积的最大值为 2+12R2，故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
由∠ABC为锐角，则BA⋅BC>0且BA,BC不共线，列式求解可判断①；由条件可知∠BAC的角平分线与BC垂直，△ABC为等腰三角形，又AB|AB|⋅AC|AC|=cos∠BAC=12，所以∠BAC=π3，即可判断②；根据向量数量积的性质及二次函数的性质，求解可判断③；记BC中点为E，则AP=2λAE，故AP与AE共线，而直线AE过△ABC的重心，即可判断④；由条件结合正弦定理得a2+b2−c2= 2ab，可得角C，由余弦定理结合基本不等式可得ab≤(2+ 2)R2，进而由三角形面积公式求解可判断⑤．
本题考查向量数量积的运算，余弦定理与三角形面积公式的应用．化归转化思想，属中档题．
17.【答案】解：(1)∵已知|a|=4，|b|=2，且a与b夹角为120°，∴a⋅b=4⋅2⋅cos120°=−4．
(2)(a−2b)⋅(a+b)=a2−a⋅b−2b2=16+4−2⋅4=12．
【解析】(1)由条件利用两个向量的数量积的定义，求得a⋅b的值．
(2)由条件利用两个向量的数量积的定义，求得要去式子的值．
本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．
18.【答案】解：(1)复数z=−m2+m+2+(m2+m)i，
则m2+m=0，解得m=0或−1；
(2)复数z为纯虚数，
则−m2+m+2=0m2+m≠0，解得m=2；
(3)复数z=−m2+m+2+(m2+m)i，
则−m2+m+2>0m2+m<0，解得−1
【解析】(1)根据已知条件，结合实数的定义，即可求解；
(2)根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解；
(3)根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查实数、纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)=sin2x− 3(cos2x−sin2x)=sin2x− 3cos2x=2sin(2x−π3)，
则f(π6)=2sin0=0，
(2)由(1)可得f(x)=2sin(2x−π3)，则最小正周期为T=π，
令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，解得，−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间[−π12+kπ,5π12+kπ]，k∈Z．
【解析】本题主要考查了两角和与差的正弦公式，二倍角公式，考查了正弦函数的性质，属于基础题．
(1)先结合二倍角公式，两角和与差的正弦公式进行化简函数，进而将x=π6代入即可求解；
(2)结合正弦函数的周期公式可求T，利用整体思想可得−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，解不等式可求x的范围，即可求解．
20.【答案】解：(1)因为向量m=(a, 3b),n=(cosA,sinB)，且m//n，
所以asinB− 3bcosA=0，由正弦定理得sinAsinB− 3sinBcosA=0，
又因为sinB≠0，所以tanA= 3，因为A∈(0,π)，
所以A=π3；
(2)由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，因为a= 7,b=2，
所以7=4+c2−2c，即c2−2c−3=0因为c>0，所以c=3，
故△ABC的面积为S△ABC=12bcsinA=3 32．
【解析】(1)由向量平行得出关系式后，再由正弦定理化边为角可求解；
(2)由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，代入a，b后，求得c，代入三角形面积公式即可求解．
本题考查利用正、余弦定理解三角形，三角形面积公式的运用，考查向量的数学运算，属于基础题．
21.【答案】解：(Ⅰ)由余弦定理以及a=2 2，b=5，c= 13，
则cosC=a2+b2−c22ab=8+25−132×2 2×5= 22，
∵C∈(0,π)，
∴C=π4；
(Ⅱ)由正弦定理，以及C=π4，a=2 2，c= 13，
可得sinA= asinCc=2 2× 22 13=2 1313；
(Ⅲ)由a
∴cos2A=2cos2A−1=513，
∴sin(2A+π4)= 22(sin2A+cos2A)= 22(1213+513)=17 226．
【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．
(Ⅰ)根据余弦定理即可求出C的大小；
(Ⅱ)根据正弦定理即可求出sinA的值；
(Ⅲ)根据同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．
22.【答案】解：(1)f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)+ 3sinxcosx
=sin(π4+x)cos(π4+x)+ 32sin2x
=12sin(π2+2x)+ 32sin2x
=12cos2x+ 32sin2x
=sin(2x+π6)，
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
则−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z；
(2)若f(A2)=1=sin(A+π6)，
由A为三角形内角得A=π3，
因为a=2，
由余弦定理得a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc≥(b+c)2−3×(b+c2)2=(b+c)24，当且仅当b=c时取等号，
则b+c≤4，即b+c的最大值为4．
【解析】(1)结合诱导公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；
(2)由已知先求出A，然后结合余弦定理及基本不等式即可求解．
本题主要考查了诱导公式，和差角公式及辅助角公式，还考查了正弦函数的性质及余弦定理的应用，属于中档题．
2022-2023学年四川省成都市城厢中学高一（下）期中数学试卷
1. 已知a=(3,2)，b=(0,−1)，则a+3b=( )
A. (3,−1) B. (3,5) C. (9,3) D. (−3,2)
2. 已知i是虚数单位，复数z=(x2−4)+(x+2)i是纯虚数，则实数x的值为( )
A. 2 B. −2 C. ±2 D. 4
3. sin20°cos10°+cos20°sin10°=( )
A. 12 B. 32 C. −12 D. − 32
4. 已知为非零向量，则“a与b的夹角为锐角”是“a⋅b>0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 如图所示，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，F为AB的中点，则EF⋅AD=( )
A. 2
B. 2
C. − 2
D. −2
6. 已知函数f(x)=2sinx，为了得到函数g(x)=2sin(2x−π3)的图象，只需( )
A. 先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的2倍,再向右平移π6个单位
B. 先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的12,再向右平移π6个单位
C. 先将函数f(x)图象向右平移π6个单位,再将点的横坐标变为原来的12
D. 先将函数f(x)图象向右平移π3个单位,再将点的横坐标变为原来的2倍
7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a= 2,b= 3,B=60°，则A=( )
A. 45°或135° B. 135° C. 45° D. 60°或120°
8. 泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”.秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史.如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB，高约为50m，在它们之间的地面上的点Q(B,Q,D三点共线)处测得A处、泰姬陵顶端C处的仰角分别是45°和60°，在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15°，则估算泰姬陵的高度CD为( )
A. 75m B. 50 2m C. 25 6m D. 80m
9. 下列说法中错误的是( )
A. 单位向量都相等
B. 向量AB与CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上
C. 若a为非零向量，则a|a|表示为与a同方向的单位向量
D. 若a//b，b//c，则a//c
10. 将函数f(x)=sinx的图象向左平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到函数g(x)的图象，则下列说法不正确的是( )
A. 函数g(x)的最小正周期为4π
B. 函数g(x)的单调递增区间为[4kπ−4π3,4kπ+2π3](k∈Z)
C. 直线x=2π3是函数g(x)图象的一条对称轴
D. 函数g(x)图象的一个对称中心为点(2π3,0)
11. 已知向量a=(2,1)，b=(−3,1)，则( )
A. (a+b)⊥a
B. 与向量a共线的单位向量是(2 55, 55)
C. |a+2b|=5
D. 向量a在向量b上的投影向量是− 102b
12. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若sin2A+sin2B
D. 若AB=2 2，B=45°，AC=3，则满足条件的三角形有且只有一个
13. 已知复数z=2i1−i，则|z|=______．
14. 已知向量a=(2,1),b=(3,4)，则|a+b|=______．
15. 已知在△ABC中，7sinA=8sinB=13sinC，则C的度数为______ ．
16. 下列命题：
①若OA=(3,−4)，OB=(6,−3)，OC=(5−m,−3−m)，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m>−34；
②若非零向量(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且AB|AB|⋅AC|AC|=12，则△ABC为等边三角形；
③若单位向量e1，e2的夹角为60°，则当|2e1+te2|(t∈R)取最小值时，t=1；
④已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λ(AB+AC)，λ∈(0,+∞)，则动点P一定通过△ABC的重心；
⑤如果△ABC内接于半径为R的圆，且2R(sin2A−sin2C)=( 2a−b)sinB，则△ABC的面积的最大值为 2+12R2．
其中正确的序号为______ ．
17. 已知|a|=4，|b|=2，且a与b夹角为120°求：
(1)a⋅b；
(2)(a−2b)⋅(a+b).
18. 已知复数z=−m2+m+2+(m2+m)i(m∈R)．
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若z为纯虚数，求m的值；
(3)若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
19. 已知函数f(x)=sin2x− 3(cos2x−sin2x)．
(1)求f(π6)；
(2)求f(x)的最小正周期和单调递增区间．
20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(a, 3b)，n=(cosA,sinB)，且m//n．
(1)求角A；
(2)若a= 7，b=2，求△ABC的面积．
21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=2 2，b=5，c= 13．
(1)求角C的大小;
(2)求sinA的值;
(3)求sin(2A+π4)的值．
22. 已知函数f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)+ 3sinxcosx．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A2)=1，a=2，求b+c的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵a=(3,2)，b=(0,−1)，
a+3b=(3,2)+3(0,−1)=(3,−1)．
故选：A．
根据向量的坐标运算求解即可．
本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵i是虚数单位，复数z=(x2−4)+(x+2)i是纯虚数，
∴x2−4=0x+2≠0，∴x=2，
故选：A．
由题意，利用纯虚数的定义，求得实数x的值．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12，
故选：A．
由条件利用本题主要考查两角和差的正弦公式，求得所给式子的值．
本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：对于“a与b的夹角为锐角”则“a⋅b>0”，当“a⋅b>0”时，“a与b的夹角为锐角或方向相同”，
故“a与b的夹角为锐角”是“a⋅b>0”的充分不必要条件，
故选：A．
直接利用平面向量的数量积的应用和充分条件和必要条件的应用求出结果．
本题考查的知识要点：向量的数量积，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵EF=BF−BE=−12AB−12AD，
∴EF⋅AD=(−12AB−12AD)⋅AD=−12AB⋅AD−12AD2=0−2=−2．
故选：D．
先将EF用AB、AD表示，再根据数量积的运算即可求解．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律即可得解．
【解答】
解：将f(x)=2sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，
得到的函数解析式为：y=2sin2x；
所有的点向右平移π6个单位长度，再把所得得到的函数解析式为：g(x)=2sin(2x−π3).
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：由正弦定理asinA=bsinB得：sinA=absinB= 2 3× 32= 22，
因为a
根据正弦定理求解即可．
本题主要考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由已知得△ABQ为等腰直角三角形，AB=50，AQ=50 2，∠AQB=45°，∠CQD=60°，
则有∠CQA=75°，
A处测C处的仰角为15°，则∠QAC=60°，
∴∠QCA=45°，
在△CAQ中，由正弦定理可得AQsin∠QCA=CQsin∠QAC，
即50 2 22=CQ 32，
解得CQ=50 3，
在Rt△CDQ中，sin∠CQD=CDCQ，CD=CQsin∠CQD=50 3× 32=75．
故选：A．
Rt△ABQ中边角关系解出AQ，△CAQ中由正弦定理解得CQ，Rt△CDQ中由边角关系解得CD．
本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对A，单位向量方向不一定相同，故A错误；
对B，向量AB与CD是共线向量，A、B、C、D不一定在一条直线上，故B错误；
对C，a为非零向量，则a|a|模长为1，方向与a同向，故C正确；
对D，当b=0时，D显然错误．
故选：ABD．
根据单位向量概念判断A，根据共线向量关系判断B，由向量的模及方向判断C，由特例可判断D．
本题主要考查了向量的基本概念，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=sinx的图象向左平移π6个单位长度，得到y=sin(x+π6)，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得g(x)=sin(12x+π6)，
对于A，函数g(x)的最小正周期为T=2π12=4π，故正确；
对于B，令2kπ−π2≤12x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得4kπ−4π3≤x≤4kπ+2π3，k∈Z，可得g(x)的单调递增区间为[4kπ−4π3,4kπ+2π3](k∈Z)，故正确；
对于C，令12x+π6=2kπ+π2，k∈Z，解得x=4kπ+2π3，k∈Z，当k=0时，可得g(x)的一条对称轴为x=2π3，故正确；
对于D，g(2π3)=sin(12×2π3+π6)=sinπ2=1≠0，故错误．
故选：D．
由已知利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求函数解析式g(x)=sin(12x+π6)，进而根据正弦函数的图像和性质逐项分析即可得解．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，正弦函数的图象和性质，考查了函数思想，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，a+b=(−1,2)，则有(a+b)⋅a=−2+2=0，故(a+b)⊥a，A正确；
对于B，向量a=(2,1)，|a|= 5，则与向量a共线的单位向量是(2 55, 55)或(−2 55,− 55)，B错误；
对于C，a+2b=(−4,3)，则|a+2b|= 16+9=5，C正确；
对于D，向量a在向量b上的投影向量|a|cosθ⋅b|b|=a⋅b|b|2b=− 102b，D正确；
故选：ACD．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直、共线的判断，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，根据结论大角对大边，则有a>b，
又因为正弦定理asinA=bsinB，所以sinA>sinB，故A正确；
对于B，由sin2A+sin2B
对于C，由acosA=bcosB可得sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，
∴A=B或2A+2B=π，△ABC是直角三角形或等腰三角形，故C错误；
对于D，由cosB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC=BC2−14 2BC= 22，
则BC2−4BC−1=0，解得BC=2± 5，
故BC=2+ 5，满足条件的三角形有且只有一个，故D正确．
故选：ABD．
由正弦定理结合结论大角对大边可判断A；由余弦定理结合正弦定理的边角互换可判断B；由正弦定理的边角互换结合二倍角的正弦公式可判断C；由余弦定理求出BC可判断D．
本题主要考查命题真假的判断，正余弦定理的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】 2
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：复数z=2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)=i−1，
则|z|= 12+(−1)2= 2，
故答案为 2．
14.【答案】5 2
【解析】解：∵a=(2,1),b=(3,4)，
∴a+b=(5,5)，
|a+b|= 52+52=5 2，
故答案为：5 2．
利用平面向量的坐标运算化简即可．
本题考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
15.【答案】2π3
【解析】解：∵7sinA=8sinB=13sinC，
∴由正弦定理可得7a=8b=13c，
∴b=87a，c=13a7，
由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab=a2+64a249−169a2492×a×8a7=−12．
∴由C∈(0,π)，可解得：C=2π3．
故答案为：2π3．
本题考查正、余弦定理的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属中档题．
由正弦定理可得7a=8b=13c，进而可用a表示b，c，代入余弦定理化简可得．
16.【答案】②④⑤
【解析】解：对于①，由OA=(3,−4),OB=(6,−3),OC=(5−m,−3−m)，
得BA=OA−OB=(−3,−1)，BC=OC−OB=(−m−1,−m)，
因为∠ABC为锐角，故BA⋅BC>0且BA,BC不共线，
所以−3(−m−1)+m>03m+(−m−1)≠0，解得m>−34且m≠12，故①错误；
对于②，因为非零向量(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，
所以∠BAC的角平分线与BC垂直，△ABC为等腰三角形，
又AB|AB|⋅AC|AC|=cos∠BAC=12，
又0<∠BAC<π，所以∠BAC=π3，所以△ABC为等边三角形，故②正确；
对于③，因为单位向量e1，e2的夹角为60°，
所以|2e1+te2|2=4e12+4te1⋅e2+t2e22=4+4t×12+t2=t2+2t+4=(t+1)2+3，
所以当t=−1时，|2e1+te2|(t∈R)取得最小值，故③错误；
对于④，因为O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，
动点P满足OP=OA+λ(AB+AC)，λ∈(0,+∞)，
设BC中点为E，则AB+AC=2AE，则AP=2λAE，故AP与AE共线，
而直线AE过△ABC的重心，故动点P一定通过△ABC的重心，故④正确；
对于⑤，∵2R(sin2A−sin2C)=( 2a−b)sinB，
∴根据正弦定理，得a2−c2=( 2a−b)b= 2ab−b2，可得a2+b2−c2= 2ab，
∴cosC=a2+b2−c22ab= 22，∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为π4，
∵c=2Rsinπ4= 2R，∴由余弦定理及重要不等式可得：
c2=a2+b2−2abcosC，
即2R2=a2+b2− 2ab≥2ab− 2ab=(2− 2)ab，当且仅当a=b时等号成立，
∴ab≤2R22− 2=(2+ 2)R2，
∴S△ABC=12absinC≤12×(2+ 2)× 22R2= 2+12R2，
即△ABC面积的最大值为 2+12R2，故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
由∠ABC为锐角，则BA⋅BC>0且BA,BC不共线，列式求解可判断①；由条件可知∠BAC的角平分线与BC垂直，△ABC为等腰三角形，又AB|AB|⋅AC|AC|=cos∠BAC=12，所以∠BAC=π3，即可判断②；根据向量数量积的性质及二次函数的性质，求解可判断③；记BC中点为E，则AP=2λAE，故AP与AE共线，而直线AE过△ABC的重心，即可判断④；由条件结合正弦定理得a2+b2−c2= 2ab，可得角C，由余弦定理结合基本不等式可得ab≤(2+ 2)R2，进而由三角形面积公式求解可判断⑤．
本题考查向量数量积的运算，余弦定理与三角形面积公式的应用．化归转化思想，属中档题．
17.【答案】解：(1)∵已知|a|=4，|b|=2，且a与b夹角为120°，∴a⋅b=4⋅2⋅cos120°=−4．
(2)(a−2b)⋅(a+b)=a2−a⋅b−2b2=16+4−2⋅4=12．
【解析】(1)由条件利用两个向量的数量积的定义，求得a⋅b的值．
(2)由条件利用两个向量的数量积的定义，求得要去式子的值．
本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．
18.【答案】解：(1)复数z=−m2+m+2+(m2+m)i，
则m2+m=0，解得m=0或−1；
(2)复数z为纯虚数，
则−m2+m+2=0m2+m≠0，解得m=2；
(3)复数z=−m2+m+2+(m2+m)i，
则−m2+m+2>0m2+m<0，解得−1
【解析】(1)根据已知条件，结合实数的定义，即可求解；
(2)根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解；
(3)根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查实数、纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)=sin2x− 3(cos2x−sin2x)=sin2x− 3cos2x=2sin(2x−π3)，
则f(π6)=2sin0=0，
(2)由(1)可得f(x)=2sin(2x−π3)，则最小正周期为T=π，
令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，解得，−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间[−π12+kπ,5π12+kπ]，k∈Z．
【解析】本题主要考查了两角和与差的正弦公式，二倍角公式，考查了正弦函数的性质，属于基础题．
(1)先结合二倍角公式，两角和与差的正弦公式进行化简函数，进而将x=π6代入即可求解；
(2)结合正弦函数的周期公式可求T，利用整体思想可得−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，解不等式可求x的范围，即可求解．
20.【答案】解：(1)因为向量m=(a, 3b),n=(cosA,sinB)，且m//n，
所以asinB− 3bcosA=0，由正弦定理得sinAsinB− 3sinBcosA=0，
又因为sinB≠0，所以tanA= 3，因为A∈(0,π)，
所以A=π3；
(2)由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，因为a= 7,b=2，
所以7=4+c2−2c，即c2−2c−3=0因为c>0，所以c=3，
故△ABC的面积为S△ABC=12bcsinA=3 32．
【解析】(1)由向量平行得出关系式后，再由正弦定理化边为角可求解；
(2)由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，代入a，b后，求得c，代入三角形面积公式即可求解．
本题考查利用正、余弦定理解三角形，三角形面积公式的运用，考查向量的数学运算，属于基础题．
21.【答案】解：(Ⅰ)由余弦定理以及a=2 2，b=5，c= 13，
则cosC=a2+b2−c22ab=8+25−132×2 2×5= 22，
∵C∈(0,π)，
∴C=π4；
(Ⅱ)由正弦定理，以及C=π4，a=2 2，c= 13，
可得sinA= asinCc=2 2× 22 13=2 1313；
(Ⅲ)由a
∴cos2A=2cos2A−1=513，
∴sin(2A+π4)= 22(sin2A+cos2A)= 22(1213+513)=17 226．
【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．
(Ⅰ)根据余弦定理即可求出C的大小；
(Ⅱ)根据正弦定理即可求出sinA的值；
(Ⅲ)根据同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．
22.【答案】解：(1)f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)+ 3sinxcosx
=sin(π4+x)cos(π4+x)+ 32sin2x
=12sin(π2+2x)+ 32sin2x
=12cos2x+ 32sin2x
=sin(2x+π6)，
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
则−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z；
(2)若f(A2)=1=sin(A+π6)，
由A为三角形内角得A=π3，
因为a=2，
由余弦定理得a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc≥(b+c)2−3×(b+c2)2=(b+c)24，当且仅当b=c时取等号，
则b+c≤4，即b+c的最大值为4．
【解析】(1)结合诱导公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；
(2)由已知先求出A，然后结合余弦定理及基本不等式即可求解．
本题主要考查了诱导公式，和差角公式及辅助角公式，还考查了正弦函数的性质及余弦定理的应用，属于中档题．
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