2023年四川省广安市中考数学试卷

这是一份2023年四川省广安市中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，实践应用题，推理论证题，拓展探究题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省广安市中考数学试卷
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣6的绝对值是（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
2．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．a2+a4＝a6 B．3a3•4a2＝12a6
C．（2a+b）2＝4a2+b2 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6
3．（3分）2023年以来，广安市全面落实市委、市政府关于促进消费的各项政策措施，积极优化消费运行环境，消费加速回升．1﹣2月，全市实现社会消费品总额116亿元，同比增长10.8%．请将116亿用科学记数法表示（　　）
A．1.16×109 B．1.16×1010 C．1.16×1011 D．116×108
4．（3分）如图，由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
5．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．三角形的一个外角等于两个内角的和
B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．在一组数据11，9，7，8，6，8，12，8中，众数和中位数都是8
D．甲乙两组各10名同学参加“安全知识竞赛”，若两组同学的平均成绩相同，甲组的方差S甲2＝0.25，乙组的方差S乙2＝0.15，则甲组同学的成绩比乙组同学的成绩稳定
6．（3分）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
7．（3分）如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
8．（3分）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，y1、y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（　　）

A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
9．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．π﹣2 B．2π﹣2 C．2π﹣4 D．4π﹣4
10．（3分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）．有下列结论：①abc＞0；②若点（﹣2，y1）和（﹣0.5，y2）均在抛物线上，则y1＜y2；③5a﹣b+c＝0；④4a+c＞0．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）的平方根是 　 　．
12．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 　 　．
13．（3分）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b＝+．若2※（﹣2）＝1，则（﹣3）※3的值是 　 　．
14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，圆的半径为7，∠BAC＝60°，则弦BC的长度为 　 　．

15．（3分）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 　 　cm．（杯壁厚度不计）

16．（3分）在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3、A4…在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3…在直线y＝x（x≥0）上，若点A1的坐标为（2，0），且△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，则点B2023的纵坐标为 　 　．

三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．（5分）计算：﹣12024+（﹣）0﹣2cos60°+|﹣3|．
18．（6分）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．
19．（6分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形．

20．（6分）如图，一次函数y＝kx+（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

四、实践应用题（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分）
21．（6分）“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．

（1）本次抽取调查学生共有 　 　人，估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为 　 　人；
（2）请将以上两个统计图补充完整；
（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率．
22．（8分）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售A、B两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元．
（1）A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
23．（8分）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向．
（1）求步道DE的长度；
（2）点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近．（结果精确到个位）
（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）

24．（8分）如图，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．

五、推理论证题（9分）
25．（9分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若sinC＝，DE＝5，求AD的长；
（3）求证：2DE2＝CD•OE．

六、拓展探究题（10分）
26．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


2023年四川省广安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣6的绝对值是（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数作出解答．
【解答】解：|﹣6|＝6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了绝对值．利用绝对值的意义求一个负数的绝对值是解题的关键．
2．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．a2+a4＝a6 B．3a3•4a2＝12a6
C．（2a+b）2＝4a2+b2 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6
【分析】根合并同类项法则，同底数幂的计算法则，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方计算法则进行解答．
【解答】解：A、a2与a4不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、3a3•4a2＝12a5，不符合题意；
C、（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，不符合题意；
D、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的计算法则，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方，属于基础题．
3．（3分）2023年以来，广安市全面落实市委、市政府关于促进消费的各项政策措施，积极优化消费运行环境，消费加速回升．1﹣2月，全市实现社会消费品总额116亿元，同比增长10.8%．请将116亿用科学记数法表示（　　）
A．1.16×109 B．1.16×1010 C．1.16×1011 D．116×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：116亿＝11600000000＝1.16×1010．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图，由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据简单组合体的三视图的画法画出它的俯视图即可．
【解答】解：这个组合体的俯视图如下：

故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确判断的前提．
5．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．三角形的一个外角等于两个内角的和
B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．在一组数据11，9，7，8，6，8，12，8中，众数和中位数都是8
D．甲乙两组各10名同学参加“安全知识竞赛”，若两组同学的平均成绩相同，甲组的方差S甲2＝0.25，乙组的方差S乙2＝0.15，则甲组同学的成绩比乙组同学的成绩稳定
【分析】根据三角形外角和内角的关系可以判断A；根据正方形的判定方法可以判断B；根据中位数和众数的求法可以判断C；根据方差越小越稳定可以判断D．
【解答】解：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故选项A错误，不符合题意；
对角线相等且互相垂直的矩形是正方形，但对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，故选项B错误，不符合题意；
在一组数据11，9，7，8，6，8，12，8中，众数和中位数都是8，故选项C正确，符合题意；
甲乙两组各10名同学参加“安全知识竞赛”，若两组同学的平均成绩相同，甲组的方差S甲2＝0.25，乙组的方差S乙2＝0.15，则乙组同学的成绩比甲组同学的成绩稳定，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查三角形的外角和内角的关系、正方形的判定、中位数、众数、方差，解答本题的关键是明确题意，可以判断出各个选项是否正确．
6．（3分）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵点P（a，c）在第四象限，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，
∴方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（3分）如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据题意可将铁块被拉起的过程分为三段：当铁块露出水面之前，根据F拉+F浮＝G分析得出弹簧测力计的读数不变；当铁块逐渐露出水面的过程中，根据F拉+F浮＝G分析得弹簧测力计的读数逐渐增大；当铁块完全露出水面之后，根据F拉＝G分析得弹簧测力计的读数不变．以此即可判断函数图象．
【解答】解：根据浮力的知识可知，当铁块露出水面之前，F拉+F浮＝G，
此过程浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读数不变；
当铁块逐渐露出水面的过程中，F拉+F浮＝G，
此过程浮力逐渐减小，铁块重力不变，故拉力逐渐增大，即弹簧测力计的读数逐渐增大；
当铁块完全露出水面之后，F拉＝G，
此过程拉力等于铁块重力，即弹簧测力计的读数不变．
综上，弹簧测力计的读数先不变，再逐渐增大，最后不变．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的图象，涉及与浮力有关物理知识，利用分类讨论思想分析得出不同过程中弹簧测力计读数的变化情况是解题关键．
8．（3分）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，y1、y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（　　）

A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【分析】设燃气汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（3x﹣0.1）元，根据行驶路程＝所需费用÷每千米所需费用，结合行驶路程相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设燃气汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（3x﹣0.1）元，
依题意得：＝．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．π﹣2 B．2π﹣2 C．2π﹣4 D．4π﹣4
【分析】根据已知求出∠A、∠B的度数，根据扇形和三角形的面积即可求出答案．
【解答】解：在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴阴影部分的面积S＝S扇形CAE+S扇形CBF﹣S△ABC
＝×2﹣
＝2π﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形、扇形的面积和三角形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
10．（3分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）．有下列结论：①abc＞0；②若点（﹣2，y1）和（﹣0.5，y2）均在抛物线上，则y1＜y2；③5a﹣b+c＝0；④4a+c＞0．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据函数图象开口向下可知a＜0，根据左同右异可知b＜0，再根据图象与y轴交于正半轴可知c＞0，然后即可判断①；根据二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数的额性质，即可判断②；根据对称轴可以得到a和b的关系，再根据x＝1时，y＝0，可以得到a+b+c＝0，进行变形即可判断③；根据x＝1时，y＝0和a、b的关系，可以判断④．
【解答】解：由图象可得，
a＜0，b＜0，c＞0，则abc＞0，故①正确，符合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），
∴该函数的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴x＝﹣0.5和x＝﹣1.5对应的函数值相等，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴若点（﹣2，y1）和（﹣0.5，y2）均在抛物线上，则y1＜y2，故②正确，符合题意；
∵对称轴是直线x＝＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵点（1，0）在该函数图象上，
∴a+b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
即3a+c＝0，
∴5a﹣b+c＝5a﹣2a+c＝3a+c＝0，故③正确，符合题意；
∵a+b+c＝0，a＜0，
∴2a+b+c＜0，
∴2a+2a+c＜0，
即4a+c＜0，故④错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）的平方根是 　±2　．
【分析】利用算术平方根与平方根的意义解答即可．
【解答】解：∵＝4，4的平方根为±2，
∴的平方根为±2．
故答案为：±2．
【点评】本题主要考查了算术平方根与平方根，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
12．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 　x≥﹣2且x≠1　．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解
【解答】解：根据题意得：，
解得：x≥﹣2且x≠1．
故答案为：x≥﹣2且x≠1．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
13．（3分）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b＝+．若2※（﹣2）＝1，则（﹣3）※3的值是 　﹣　．
【分析】利用新定义的规定列式求得（x﹣y）的值，再利用新定义和整体代入的方法运算即可．
【解答】解：∵2※（﹣2）＝1，
∴＝1，
∴x﹣y＝2．
∴（﹣3）※3＝
＝﹣（x﹣y）
＝2
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了实数的运算，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，圆的半径为7，∠BAC＝60°，则弦BC的长度为 　7　．

【分析】根据圆周角和圆心角的关系，可以求得∠BOC的度数，然后根据锐角三角函数可以得到BD的长，再根据垂径定理即可得到BC的长．
【解答】解：作OD⊥BC于点D，连接OB，OC，如图所示，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OD⊥BC，
∴∠BOD＝60°，OB＝7，BD＝CD，
∴BD＝BO•sin∠BOD＝7×sin60°＝7×＝，
∴BC＝2BD＝7，
故答案为：7．

【点评】本题考查三角形的外接圆、垂径定理、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（3分）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 　10　cm．（杯壁厚度不计）

【分析】将杯子侧面展开，建立B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知B′A的长度即为所求．
【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′，
连接B′A，则B′A即为最短距离，
B′A＝＝＝10（cm）．
故答案为：10．

【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
16．（3分）在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3、A4…在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3…在直线y＝x（x≥0）上，若点A1的坐标为（2，0），且△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，则点B2023的纵坐标为 　（3×22022，×22022）　．

【分析】设等边△BnAnAn+1的边长为an，可得△BnAnAn+1的高为an•sin60°＝an，即Bn的纵坐标为an，又点B1，B2，B3，…是直线y＝x上的第一象限内的点，知Bn的横坐标为an，故Bn（an，an），即可得B2023（3×22022，×22022）．
【解答】解：设等边△BnAnAn+1的边长为an，
∵△BnAnAn+1是等边三角形，
∴△BnAnAn+1的高为an•sin60°＝an，即Bn的纵坐标为an，
∵点B1，B2，B3，…是直线y＝x上的第一象限内的点，
∴∠AnOBn＝30°，
∴Bn的横坐标为an•＝an，
∴Bn（an，an），
∵点A1的坐标为（2，0），
∴a1＝2，a2＝2+2＝4，a3＝2+a1+a2＝8，a4＝2+a1+a2+a3＝16，…，
∴an＝2n，
∴Bn（3×2n﹣1，×2n﹣1），
当n＝2023时，
B2023（3×22022，×22022），
故答案为：（3×22022，×22022）．
【点评】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握等边三角形的性质，能熟练应用含30°角的直角三角形三边的关系．
三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．（5分）计算：﹣12024+（﹣）0﹣2cos60°+|﹣3|．
【分析】利用有理数的乘方法则，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值和绝对值的意义化简运算即可．
【解答】解：原式＝﹣1+1﹣2×+3﹣
＝﹣1+1﹣1+3﹣
＝2﹣．
【点评】本题主要考查了实数的运算，有理数的乘方法则，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值和绝对值的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
18．（6分）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
【解答】解：（﹣a+1）÷
＝•
＝．
∵﹣2＜a＜3且a≠±1，
∴a＝0符合题意．
当a＝0时，原式＝＝﹣1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、实数的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19．（6分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形．

【分析】结合已知条件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理ASA证得△ABE≌△CDF，则其对应边相等：AB＝CD；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论．
【解答】证明：∵AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF．
∴AE＝CF．
∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD．
∴∠BAE＝∠DCF．
在△ABE与△CDF中，
．
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
∴AB＝CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
20．（6分）如图，一次函数y＝kx+（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于k、n的方程组，通过解方程组求得它们的值；然后将点A的坐标代入反比例函数解析式，求得m的值即可；
（2）设P（a，0），利用两点间的距离公式和勾股定理以及AP＝AB列出方程，借助于方程求解即可．
【解答】解：（1）将A（1，n）、B（﹣3，0）分别代入一次函数y＝kx+，得
．
解得．
故A（1，3）．
将其代入反比例函数y＝，得
＝3．
解得m＝3．
故一次函数的解析式为y＝x+，反比例函数的解析式为y＝；

（2）由（1）知，A（1，3）、B（﹣3，0），则AB＝＝5．
设P（a，0），
当AB＝AP时，5＝．
解得a＝﹣3或a＝5（舍去）．
故P（﹣3，0）；
当AB＝PB时，5＝|﹣3﹣a|．
解得a＝﹣8或a＝2．
故P（﹣8，0）或（2，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标为：（﹣3，0）或（﹣8，0）或（2，0）．
【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求得一次函数和反比例函数解析式，勾股定理以及等腰三角形的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
四、实践应用题（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分）
21．（6分）“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．

（1）本次抽取调查学生共有 　60　人，估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为 　300　人；
（2）请将以上两个统计图补充完整；
（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率．
【分析】（1）根据B类型的人数及其占总人数的百分比可得被调查的总人数，用总人数乘以样本中D类型人数占被调查的总人数的百分比可得答案；
（2）用总人数乘以A类型对应的百分比可得其人数，据此可补全条形图，分别用C、D类型人数除以总人数求出其所占百分比即可补全扇形图；
（3）画树状图列出所有等可能结果，并从中找到两人恰好选择同一类的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次抽取调查的学生总人数为18÷30%＝60（人），
估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为3000×＝300（人），
故答案为：60，300；
（2）A选项人数为60×35%＝21（人），
C选项人数占被调查的总人数的百分比为×100%＝25%，
D选项人数占被调查总人数的百分比为×100%＝10%，
补全图形如下：

（3）画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中两人恰好选中同一类的结果数为4，
所以两人恰好选择同一类的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
22．（8分）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售A、B两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元．
（1）A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【分析】（1）根据购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，可以写出费用与购买A种盐皮蛋箱数的函数关系式，然后根据A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，可以列出相应的不等式组，求出A种盐皮蛋箱数的取值范围，再根据一次函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设A种盐皮蛋每箱价格为a元，B种盐皮蛋每箱价格为b元，
由题意可得：，
解得，
答：A种盐皮蛋每箱价格为30元，B种盐皮蛋每箱价格为20元；
（2）设购买A种盐皮蛋x箱，则购买B种盐皮蛋（30﹣x）箱，总费用为w元，
由题意可得：w＝30x+20（30﹣x）＝10x+600，
∴w随x的增大而增大，
∵A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，
∴，
解得17.5≤x≤20，
∵x为整数，
∴当x＝18时，w取得最小值，此时w＝780，30﹣x＝12，
答：购买18箱A种盐皮蛋，12箱B种盐皮蛋才能使总费用最少，最少费用为780元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组，利用一次函数的性质求最值．
23．（8分）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向．
（1）求步道DE的长度；
（2）点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近．（结果精确到个位）
（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）

【分析】（1）过D作DF⊥AE，垂足为F，根据题意可得：四边形ACDF是矩形，从而可得DF＝AC＝200米，然后在Rt△EFD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；
（2）先在Rt△EFD中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB，BC的长，从而求出DC的长，然后利用矩形的性质求出AF的长，从而求出AE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，比较即可解答．
【解答】解：（1）过D作DF⊥AE，垂足为F，

由题意得：四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC＝170米，
在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，
∴DE＝≈＝200（米），
∴步道DE的长度约为200米；
（2）小红从A出发，经过点B到达点D路程较近，
理由：在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，DF＝170米，
∴EF＝≈≈106.25（米），
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣30°＝60°，AC＝170米，
∴BC＝AC•tan60°＝170（米），
∴AB＝＝＝340（米），
∵BD＝100米，
∴CD＝BC+BD＝（170+100）米，
∵四边形ACDF是矩形，
∴AF＝DC＝（170+100）米，
∴AE＝AF﹣EF＝170+100﹣170＝（170﹣70）米，
∴某人从A出发，经过点B到达点D路程＝AB+BD＝340+100＝440（米），
某人从A出发，经过点E到达点D路程＝AE+DE＝170﹣70+170≈518.9（米），
∵440米＜518.9米，
∴小红从A出发，经过点B到达点D路程较近．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．（8分）如图，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．

【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的意义作图．
【解答】解：如下图：

【点评】本题考查了作图的应用和设计，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题的关键．
五、推理论证题（9分）
25．（9分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若sinC＝，DE＝5，求AD的长；
（3）求证：2DE2＝CD•OE．

【分析】（1）连接OD，BD，由AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°＝∠BDC，由点E是BC的中点，可得DE＝BE＝EC，进而证得△ODE≌△OBE（SSS），得出半径OD⊥DE，即可证得结论；
（2）利用解直角三角形可得BD＝8，再由sin∠ABD＝sin∠C＝，可得＝，设AD＝4x，则AB＝5x，利用勾股定理可得（4x）2+82＝（5x）2，求得x＝，即可求得AD＝；
（3）连接BD，可证得△BCD∽△OEB，得出＝，即＝，即可证得2DE2＝CD•OE．
【解答】（1）证明：连接OD，BD，

在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝BE＝EC，
∵OB、OD是⊙O的半径，
∴OB＝OD，
又∵OE＝OE，
∴△ODE≌△OBE（SSS），
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∴半径OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，如图，

由（1）知：DE＝BE＝EC，∠ADB＝∠BDC＝∠ABC＝90°，
∵DE＝5，
∴BC＝10，
∵sinC＝，
∴＝，
∴BD＝8，
∵∠C+∠CBD＝∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∴sin∠ABD＝sin∠C＝，
∴＝，
设AD＝4x，则AB＝5x，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴（4x）2+82＝（5x）2，
解得：x＝（负值舍去），
∴AD＝4x＝4×＝；
（3）证明：连接BD，

由（1）（2）得：∠BDC＝∠OBE＝90°，BE＝DE，
∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，
∴OE∥AC，BC＝2BE，
∴∠C＝∠OEB，
∴△BCD∽△OEB，
∴＝，即＝，
∴2DE2＝CD•OE．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，直角三角形性质，中点定义，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线．
六、拓展探究题（10分）
26．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由抛物线对称轴是直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），得点A的坐标为（﹣3，0），故二次函数解析式为y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3；
（2）连接ON，设P（m，0），则N（m，m2+2m﹣3），可得S四边形ABCN＝S△AON+S△BOC+S△CON＝﹣m2﹣m+6＝﹣（m+）2+，根据二次函数的性质可得答案；
（3）由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直线AC解析式为y＝﹣x﹣3，设Q（0，t），P（n，0），则M（n，﹣n﹣3），N（n，n2+2n﹣3），由MN∥CQ，知MN，CQ是一组对边；分两种情况：①当MC，NQ为对角线时，MC，NQ的中点重合，且CN＝CQ，②当MQ，CN为对角线时，MQ，CN的中点重合，且CQ＝CM，分别列出方程组，即可解得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），
∴点A的坐标为（﹣3，0），
∴二次函数解析式为y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3；
（2）连接ON，如图：

设P（m，0），则N（m，m2+2m﹣3），
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴S四边形ABCN＝S△AON+S△BOC+S△CON
＝×3（﹣m2﹣2m+3）+×1×3+×3（﹣m）
＝﹣m2﹣m+6
＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，S四边形ABCN取最大值，
此时P（﹣，0）；
∴四边形ABCN面积的最大值是，此时点P的坐标为（﹣，0）；
（3）在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直线AC解析式为y＝﹣x﹣3，
设Q（0，t），P（n，0），则M（n，﹣n﹣3），N（n，n2+2n﹣3），
∵MN∥CQ，
∴当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，MN，CQ是一组对边；
①当MC，NQ为对角线时，MC，NQ的中点重合，且CN＝CQ，
∴，
解得（此时M，N与C重合，舍去）或；
∴Q（0，﹣1）；
②当MQ，CN为对角线时，MQ，CN的中点重合，且CQ＝CM，
∴，
解得（舍去）或或，
∴Q（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）；
综上所述，Q的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，菱形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
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