2023年四川省广安市中考数学试卷(含解析）

2023年四川省广安市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C. 或 D. 无法确定

2.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  年以来，广安市全面落实市委、市政府关于促进消费的各项政策措施，积极优化消费运行环境，消费加速回升月，全市实现社会消费品总额亿元，同比增长请将亿用科学记数法表示(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，由个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列说法正确的是(    )

A. 三角形的一个外角等于两个内角的和
B. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C. 在一组数据，，，，，，，中，众数和中位数都是
D. 甲乙两组各名同学参加“安全知识竞赛”，若两组同学的平均成绩相同，甲组的方差，乙组的方差，则甲组同学的成绩比乙组同学的成绩稳定

6.  已知、、为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断

7.  如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数单位：与铁块被提起的时间单位：之间的函数关系的大致图象是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施如图，、分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用单位：元与行驶路程单位：千米的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的倍少元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在等腰直角中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图所示，二次函数、、为常数，的图象与轴交于点，有下列结论：；若点和均在抛物线上，则；；其中正确的有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  的平方根是______ ．

12.  函数中，自变量的取值范围是______．

13.  定义一种新运算：对于两个非零实数、，若，则的值是______ ．

14.  如图，内接于，圆的半径为，，则弦的长度为______ ．

15.  如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为______ 杯壁厚度不计

16.  在平面直角坐标系中，点、、、在轴的正半轴上，点、、在直线上，若点的坐标为，且、、均为等边三角形，则点的纵坐标为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值．

19.  本小题分
如图，在四边形中，与交于点，，，垂足分别为点、，且，求证：四边形是平行四边形．

20.  本小题分
如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．
求一次函数和反比例函数的解析式．
点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．

21.  本小题分
“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了书法，绘画，舞蹈，跆拳道四类兴趣班为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图请根据统计图信息回答下列问题．

本次抽取调查学生共有______ 人，估计该校名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为______ 人；
请将以上两个统计图补充完整；
甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从，，，四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率．

22.  本小题分
“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售、两种品牌的盐皮蛋，若购买箱种盐皮蛋和箱种盐皮蛋共需元；若购买箱种盐皮蛋和箱种盐皮蛋共需元．
种盐皮蛋、种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？
若某公司购买、两种盐皮蛋共箱，且种的数量至少比种的数量多箱，又不超过种的倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．

23.  本小题分
为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园边上修建一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人行步道如图，点在点的正东方向米处，点在点的正北方向，点、都在点的正北方向，长为米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向．
求步道的长度；
点处有一个小商店，某人从点出发沿人行步道去商店购物，可以经点到达点，也可以经点到达点，请通过计算说明他走哪条路较近结果精确到个位
参考数据：，，，

24.  本小题分
如图，将边长为的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形注：网格中每个小正方形的边长为；所拼的图形不得与原图形相同；四边形的各顶点都在格点上．

 

25.  本小题分
如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接、．
求证：是的切线；
若，，求的长；
求证：．

26.  本小题分
如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．
求这个二次函数的解析式；
若点在线段上运动点与点、点不重合，求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标；
若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据负数的绝对值等于它的相反数作出解答．
本题主要考查了绝对值．利用绝对值的意义求一个负数的绝对值是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意．
故选：．
根合并同类项法则，同底数幂的计算法则，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方计算法则进行解答．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的计算法则，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：这个组合体的俯视图如下：

故选：．
根据简单组合体的三视图的画法画出它的俯视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确判断的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故选项A错误，不符合题意；
对角线相等且互相垂直的矩形是正方形，但对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，故选项B错误，不符合题意；
在一组数据，，，，，，，中，众数和中位数都是，故选项C正确，符合题意；
甲乙两组各名同学参加“安全知识竞赛”，若两组同学的平均成绩相同，甲组的方差，乙组的方差，则乙组同学的成绩比甲组同学的成绩稳定，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据三角形外角和内角的关系可以判断；根据正方形的判定方法可以判断；根据中位数和众数的求法可以判断；根据方差越小越稳定可以判断．
本题考查三角形的外角和内角的关系、正方形的判定、中位数、众数、方差，解答本题的关键是明确题意，可以判断出各个选项是否正确．
 

6.【答案】 

【解析】解：点在第四象限，
，，
，
方程的判别式，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据浮力的知识可知，当铁块露出水面之前，，
此过程浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读数不变；
当铁块逐渐露出水面的过程中，，
此过程浮力逐渐减小，铁块重力不变，故拉力逐渐增大，即弹簧测力计的读数逐渐增大；
当铁块完全露出水面之后，，
此过程拉力等于铁块重力，即弹簧测力计的读数不变．
综上，弹簧测力计的读数先不变，再逐渐增大，最后不变．
故选：．
根据题意可将铁块被拉起的过程分为三段：当铁块露出水面之前，根据分析得出弹簧测力计的读数不变；当铁块逐渐露出水面的过程中，根据分析得弹簧测力计的读数逐渐增大；当铁块完全露出水面之后，根据分析得弹簧测力计的读数不变．以此即可判断函数图象．
本题主要考查函数的图象，涉及与浮力有关物理知识，利用分类讨论思想分析得出不同过程中弹簧测力计读数的变化情况是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设燃气汽车每千米所需费用为元，则燃油汽车每千米所需费用为元，
依题意得：．
故选：．
设燃气汽车每千米所需费用为元，则燃油汽车每千米所需费用为元，根据行驶路程所需费用每千米所需费用，结合行驶路程相等，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在等腰直角中，，，
，
阴影部分的面积

．
故选：．
根据已知求出、的度数，根据扇形和三角形的面积即可求出答案．
本题考查了等腰直角三角形、扇形的面积和三角形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
，，，则，故正确，符合题意；
二次函数、、为常数，的图象与轴交于点，，
该函数的对称轴为直线，
和对应的函数值相等，当时，随的增大而增大，
若点和均在抛物线上，则，故正确，符合题意；
对称轴是直线，
，
，
点在该函数图象上，
，
，
即，
，故正确，符合题意；
，，
，
，
即，故错误，不符合题意；
故选：．
根据函数图象开口向下可知，根据左同右异可知，再根据图象与轴交于正半轴可知，然后即可判断；根据二次函数、、为常数，的图象与轴交于点，，可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数的额性质，即可判断；根据对称轴可以得到和的关系，再根据时，，可以得到，进行变形即可判断；根据时，和、的关系，可以判断．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：，的平方根为，
的平方根为．
故答案为：．
利用算术平方根与平方根的意义解答即可．
本题主要考查了算术平方根与平方根，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
 

12.【答案】且 

【解析】解：根据题意得：，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
．



．
故答案为：．
利用新定义的规定列式求得的值，再利用新定义和整体代入的方法运算即可．
本题主要考查了实数的运算，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：作于点，连接，，如图所示，
，
，
，
，，，
，
，
故答案为：．
根据圆周角和圆心角的关系，可以求得的度数，然后根据锐角三角函数可以得到的长，再根据垂径定理即可得到的长．
本题考查三角形的外接圆、垂径定理、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图：
将杯子侧面展开，作关于的对称点，
连接，则即为最短距离，
．
故答案为：．
将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
 

16.【答案】 

【解析】解：设等边的边长为，
是等边三角形，
的高为，即的纵坐标为，
点，，，是直线上的第一象限内的点，
，
的横坐标为，
，
点的坐标为，
，，，，，
，
，
当时，
，
故答案为：
设等边的边长为，可得的高为，即的纵坐标为，又点，，，是直线上的第一象限内的点，知的横坐标为，故B，即可得
本题考查一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握等边三角形的性质，能熟练应用含角的直角三角形三边的关系．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】利用有理数的乘方法则，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值和绝对值的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，有理数的乘方法则，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值和绝对值的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：

．
且，
符合题意．
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、实数的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
．
．
，
．
．
在与中，
．
≌．
．
四边形是平行四边形． 

【解析】结合已知条件推知；然后由全等三角形的判定定理证得≌，则其对应边相等：；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论．
本题主要考查了平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
 

20.【答案】解：将、分别代入一次函数，得
．
解得．
故A．
将其代入反比例函数，得
．
解得．
故一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；

由知，、，则．
设，
当时，．
解得或舍去．
故；
当时，．
解得或．
故或．
综上所述，符合条件的点的坐标为：或或． 

【解析】把点、的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于、的方程组，通过解方程组求得它们的值；然后将点的坐标代入反比例函数解析式，求得的值即可；
设，利用两点间的距离公式和勾股定理以及列出方程，借助于方程求解即可．
本题属于反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求得一次函数和反比例函数解析式，勾股定理以及等腰三角形的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
 

21.【答案】   

【解析】解：本次抽取调查的学生总人数为人，
估计该校名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为人，
故答案为：，；
选项人数为人，
选项人数占被调查的总人数的百分比为，
选项人数占被调查总人数的百分比为，
补全图形如下：

画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中两人恰好选中同一类的结果数为，
所以两人恰好选择同一类的概率为．
根据类型的人数及其占总人数的百分比可得被调查的总人数，用总人数乘以样本中类型人数占被调查的总人数的百分比可得答案；
用总人数乘以类型对应的百分比可得其人数，据此可补全条形图，分别用、类型人数除以总人数求出其所占百分比即可补全扇形图；
画树状图列出所有等可能结果，并从中找到两人恰好选择同一类的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

22.【答案】解：设种盐皮蛋每箱价格为元，种盐皮蛋每箱价格为元，
由题意可得：，
解得，
答：种盐皮蛋每箱价格为元，种盐皮蛋每箱价格为元；
设购买种盐皮蛋箱，则购买种盐皮蛋箱，总费用为元，
由题意可得：，
随的增大而增大，
种的数量至少比种的数量多箱，又不超过种的倍，
，
解得，
为整数，
当时，取得最小值，此时，，
答：购买箱种盐皮蛋，箱种盐皮蛋才能使总费用最少，最少费用为元． 

【解析】根据购买箱种盐皮蛋和箱种盐皮蛋共需元；购买箱种盐皮蛋和箱种盐皮蛋共需元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据题意，可以写出费用与购买种盐皮蛋箱数的函数关系式，然后根据种的数量至少比种的数量多箱，又不超过种的倍，可以列出相应的不等式组，求出种盐皮蛋箱数的取值范围，再根据一次函数的性质求最值．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组，利用一次函数的性质求最值．
 

23.【答案】解：过作，垂足为，

由题意得：四边形是矩形，
米，
在中，，
米，
步道的长度约为米；
小红从出发，经过点到达点路程较近，
理由：在中，，米，
米，
在中，，米，
米，
米，
米，
米，
四边形是矩形，
米，
米，
某人从出发，经过点到达点路程米，
某人从出发，经过点到达点路程米，
米米，
小红从出发，经过点到达点路程较近． 

【解析】过作，垂足为，根据题意可得：四边形是矩形，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；
先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，然后利用矩形的性质求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：如下图：
 

【解析】根据中心对称图形和轴对称图形的意义作图．
本题考查了作图的应用和设计，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题的关键．
 

25.【答案】证明：连接，，

在中，，
是的直径，
，
，
点是的中点，
，
、是的半径，
，
又，
≌，
，
半径，
是的切线；
解：连接，如图，

由知：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：负值舍去，
；
证明：连接，

由得：，，
点是的中点，点是的中点，
，，
，
∽，
，即，
． 

【解析】连接，，由是的直径，可得，由点是的中点，可得，进而证得≌，得出半径，即可证得结论；
利用解直角三角形可得，再由，可得，设，则，利用勾股定理可得，求得，即可求得；
连接，可证得∽，得出，即，即可证得．
本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，直角三角形性质，中点定义，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线．
 

26.【答案】解：抛物线对称轴是直线，点的坐标为，
点的坐标为，
二次函数解析式为；
连接，如图：

设，则，
在中，令得，
，
，



，
，
当时，取最大值，
此时；
四边形面积的最大值是，此时点的坐标为；
在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下：
由，得直线解析式为，
设，，则，，
，
当、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边；
当，为对角线时，，的中点重合，且，
，
解得此时，与重合，舍去或；
；
当，为对角线时，，的中点重合，且，
，
解得舍去或或，
或；
综上所述，的坐标为或或 

【解析】由抛物线对称轴是直线，点的坐标为，得点的坐标为，故二次函数解析式为；
连接，设，则，可得，根据二次函数的性质可得答案；
由，得直线解析式为，设，，则，，由，知，是一组对边；分两种情况：当，为对角线时，，的中点重合，且，当，为对角线时，，的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，菱形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．